2016年高考真题——理科数学(北京卷)正式版 Word版含解析

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】 C考点：集合交集.2.若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划. 3.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4x y OP开始输入ak =0,b =aa =b 输出k 结束k =k +111a a =-+否是【答案】B 考点：算法与程序框图4.设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.5.已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +> 【答案】C考点： 函数性质6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.16 B.13 C.12 D.1 【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.7.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3π D.32t =，s 的最小值为3π 【答案】A考点：三角函数图象平移8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A ：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.考点：概率统计分析.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】1-.【解析】试题分析：(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-.考点：复数运算10.在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.考点：二项式定理.11.在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】 试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x -=过圆22(1)1x y -+=圆心，因此2AB =，故填：2.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．考点：等差数列基本性质.13.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】2考点：双曲线的性质14.设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩. ①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题13分）在∆ABC 中，2222+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（2）求2cos cos A C + 的最大值.【答案】（1）4π；（2）1.22cos()4A A A π==-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=时，2cos cos A C +取得最大值1.考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.16.（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A 班6 6. 57 7.58 B 班6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<. 3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E =45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<.考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数17.（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AM AP = 【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB ⊥平面PAD ；根据线面垂直性质定理可知PD AB ⊥，再由线面垂直判定定理可知⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法可求出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A ，P ，M 三点共线，设AP AM λ=，根据//BM 平面PCD ，即0=⋅n BM ，求λ的值，即可求出AM AP的值. 试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.18.（本小题13分）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值；（2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.考点：导数的应用.19.（本小题14分）已知椭圆C：22221+=x ya b（0a b>>3，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（133ca=，OAB∆的面积为1，即112ab=，椭圆中222a b c=+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN，||BM的值，求其乘积为定值.228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=. 当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.20.（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .考点：数列、对新定义的理解.。