函数的单调性和奇偶性精品讲义
函数的奇偶性与单调性word精品文档13页
函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C.D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C.D.4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是A.0B.–2 C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1 B.0 C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B.C. D.11.已知函数,若为奇函数,则.12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,.13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
2023届高考数学函数微专题——单调性与奇偶性综合+讲义
2023届函数微专题——单调性与奇偶性综合函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，几乎是每年必考的内容，奇偶性和单调性结合，提高了综合性和创造性．典例精讲类型一：比较大小例1.若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有()()21210-f x f x x x -<，则321()()()432f f f -、、的大小关系 。
例 2.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，(2)()0f x f x ++-=，且函数()y f x =在(0,1)上单调递增，则( ) A ．171()()()242f f f -<-< B ．711()()()422f f f -<-< C ．117()()()224f f f -<<- D ．171()()()242f f f <-<-自主练习1.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)()f x f x +=，关于2x =对称且在区间[0，2]上单调递增，则( ) A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<<2．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则(2)(3)(4)f f f --、、的大小关系 。
类型二：解抽象不等式例1.已知偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则满足()1212f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．31,,44⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭例2.已知函数()()()ln 11,011ln 1,0x x e x x f x x x e⎧++-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若()()2120x xf e f e -+≤，则实数x 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)ln 2,-+∞D ．(],ln 2-∞-例3.偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()01f =-，()10f -=，则满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是 。
艺术生高考数学专题讲义考点5函数性质——单调性、奇偶性与周期性
考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________． 答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数， 则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________． 答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________． 答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案 － 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________． 答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明： 任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲9页word文档
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性 【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数的单调性奇偶性与周期性13页word文档
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )=f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
高一数学-第四节.函数的单调性和奇偶性 精品
函数的单调性和奇偶性【知识目标】理解函数的单调性和奇偶性的概念；掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程。
知识梳理〖奇偶性〗1.定义：如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有（1）f (-x )=f (x )，则函数f (x )是偶函数；（2）f (-x )=-f (x )，则函数f (x )是奇函数.2.奇偶函数的定义要把握两点：①定义域在数轴上关于原点对称；②)()(x f x f ±=-中有一式恒成立.3.断函数奇偶性的方法：（1）定义法 （2）图像法 （3）性质法4.奇、偶函数的性质：（1）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；（2）两个偶函数的和、差、积、商是偶函数（3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；（4）奇函数的图像关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相同；（5）偶函数的图像关于y 轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相反；（6）f(x)为偶函数 （7）若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0例授：例1. 若0,1,()a a F x >≠为偶函数，则()1log )()(2++⋅=x x x F x G a 的图象 关于 对称.例2.知(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++在区间()0,+∞上的最大值是5，求F （x ）在(),0-∞上的最小值。
例3.若对于一切实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+.（1）求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）若8)1(=f ，求)()(N n n f ∈-.例4.已知a x f x lg 2)(=为奇函数，则a =______________.〖单调性〗1.定义：一般的，设函数f (x ) 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意的两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，（1）都有)()(21x f x f <，就说f (x )在这个区间上是增函数；（2）都有)()(21x f x f >，就说f (x )在这个区间上是减函数.注意：单调性是函数在定义域上某一区间上的“整体”性质，因此定义中的21,x x 具有任意性，不能用特殊值代替. ⇔)()(x f x f =2.单调性必须在定义域内研究：讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数单调性，必须先确定函数的定义域。
函数的奇偶性和单调性-课件
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数
函数的单调性及奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性与奇偶性讲义
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）函数的单调性与奇偶性讲义【一】基础知识1．函数的单调性（1） 定义：（2）判定方法（i ）定义法 （ii ）图象法 （iii ）根据已知函数的单调性 （iv ）导数法（3）复合函数的单调性2. 函数的奇偶性（1） 定义（2）性质：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
（2） 判断方法：（i ）定义法 （ii ）图象法(iii)若两个函数的定义域相同，则a. 两个偶函数的和为偶函数；b. 两个奇函数的和为奇函数；c. 两个奇函数的积为偶函数；d. 两个偶函数的积为偶函数；e. 一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。
（3） 定义域关于原点对称是一个函数为偶函数或奇函数的必要条件。
【二】例题讲析例1．判断下列函数的奇偶性（1）11log )(2+-=x x x f （2）11)(-+-=x x x f （3）11)(22-+-=x x x f （4）)21121()(+-=x x x f例2．已知函数是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程的所有实根之和是 （ ）(A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在[)+∞,0上为增函数，则其在(]0,∞-上单调性如地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）何？奇函数呢？（2）设)(x f 为偶函数，且在[)+∞,0上存在最大值，则在(]0,∞-上有最大值吗？奇函数呢？例4．设f(x)在R 上是偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且)12(2++a a f ),123(2+-<a a f 求a 的取值范围。
例5．已知)(x f 是奇函数，且0>x 当时，),2()(-=x x x f 求0<x 时，)(x f 的表达式。
例6．求函数)34(log 221+-=x x y 的单调递增区间。
例7．求函数5223++-=x x x y 的单调区间。
高一数学函数的单调性与奇偶性知识精讲
高一数学函数的单调性与奇偶性【本讲主要内容】一. 本周教学内容：函数的单调性与奇偶性函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。
【知识掌握】 【知识点精析】（一）函数的单调性1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f x ()，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12、，当x x 12<时，都有f x f x ()()12<［或都有f x f x ()()12>］，那么就说f x ()在这个区间上是增函数（或减函数）。
如果函数y f x -()在某个区间上是增函数（或减函数），就说f x ()在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f x ()的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f x ()，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f x ()，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。
注：利用导数研究函数单调性更便捷。
（二）函数奇偶性1. 奇函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=-［或f x f x ()()+-=0］，则称f x ()为奇函数。
2. 偶函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=［或f x f x ()()--=0］，则称f x ()为偶函数。
3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
函数的单调性和奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性〔1〕定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)〔f (x 1)>f (x 2)〕，那么就说f (x )在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 为函数y =f (x )的增区间〔减区间〕概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 〔2〕函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
〔3〕设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，那么()[]x g f y =在区间M 上是减函数；假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，那么()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号〞 〔4〕简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
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第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数），区间D 为函数y =f (x )的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 （2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
（3）设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在区间M 上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号” （4）简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
（5）必须掌握特殊函数单调性① 一次函数y kx b =+：② 二次函数2y ax bx c =++：③ 反比例函数ky x =： ④ 双钩函数ky x x=+：注：①函数的多个单调区间通常不能用并集联接；②单调区间的端点只要在定义域内就要加上③增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值（1）定义：()f x 的最大值： ()f x 最大的函数值；()f x 的最小值： ()f x 最小的函数值 （2）求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1．定义:①设y=f(x)，定义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=，称y=f(x)为偶函数。
②设y=f(x) ，定义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=-，称y=f(x)为奇函数。
概括起来，即()()()()f x f x f x f x ⎧⇔⎨-=⎩定义域关于原点对称为偶函数，()()()()f x f x f x f x ⎧⇔⎨-=-⎩定义域关于原点对称为奇函数 2．函数奇偶性的判断的步骤：①求()f x 定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；若()f x 定义域关于原点对称，则判断()f x 与()f x -的关系 ②判断()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -=且()()f x f x -=-，则()f x 既是奇函数又是偶函数；若()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，则函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数 3.性质：（1）若()f x 为奇函数，则：①()()f x f x -=-；②()f x 图像关于原点对称； ③0在()f x 定义域内时有(0)0f =；④()f x 在关于原点对称的区间上单调性相同⑤几种特殊的奇函数y x =，3y x =，1y x=，sin y x = （2）若()f x 为偶函数，则：①()()f x f x -=；②()f x 图像关于y 轴对称③()f x 在关于原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：y x =，2y x =，cos y x =注：①若二次函数2y ax bx c =++为偶函数，则0b =；②在同一定义域内，=⨯÷奇偶奇，=±奇奇奇，=±⨯÷偶偶偶；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式()0f x =二、典例例题解析：题型一 单调性的定义例1 定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等的实数,a b 总有()()0f a f b a b->-，试判断()f x 单调性。
例 2 若()f x 在区间(,)a b 上是增函数，在区间(,)b c 上也是增函数，则函数()f x 在区间(,)(,)a b b c 上（ ）A. 必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性 变式训练 下列说法中正确的有＿＿＿＿＿＿个①若12,x x I ∈，当12x x <时，12()()f x f x <，则()y f x =在I 上是增函数 ②函数2y x =在R 上是增函数；③函数1y x =-在定义域上是增函数；④1y x=的单调区间是(,0)(0,)-∞+∞题型二 单调性的证明例1 证明函数1y x x=+在区间(0,1)上为减函数例2 证明函数()f x x 在其定义域内是减函数例3 已知函数()y f x =在(0,)+∞上为增函数，且()0(0)f x x <>，试判断1()()F x f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出证明过程题型三 利用单调性求函数值域和最值 例1 求下列函数的最值①()f x x =；②()f x =③()f x =④1()2f x x =+⑤()[1,)f x x =∈+∞变式如果函数()f x =()f x 的单调区间和值域例2 已知2()2(1)2f x x a x =--+在(,4]-∞，上是减函数，求a 的取值范围变式 1 已知2()2(1)2f x x a x =--+的减区间是(,4]-∞，求a 的值变式2 函数f(x)= x 2 + 3x +2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （ ）A 、42,12B 、42，-14C 、12，-14D 、无最大值，最小值-14.变式3函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是 ( )A.1B.3C.5D.－1 例3 若1()2ax f x x +=+在区间(-2,)+∞上是减函数，求a 的的取值范围变式1函数()y f x =的图象如图所示：则12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调减区间是（ ）(])(])...0,1.,1A B C D⎤⎡+∞-∞+∞⎥⎣⎣⎦和和变式2、已知()()()()3141l o g1aa x a xf xx x-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R上的减函数，那么a的取值范围是（）()1111.0,1.0,.,.,13737A B C D⎛⎫⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎣⎭⎣⎭题型四抽象函数的单调性例1 已知函数()y f x=是(,)-∞+∞上的增函数，且(23)(56)f x f x->+，求x的取值范围变式已知函数()y f x=的定义域为[2,2]-，且()f x在区间[2,2]-上是增函数且(1)()f m f m-<，求m的取值范围例2 已知函数()y f x=在[0,)+∞上是减函数，比较3()4f与2(1)f a a-+的大小例3 已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x满足()()()xf f x f yy=-，且当1x>时()0f x<①求(1)f的值；②判定()f x的单调性；③若(3)1f=-，求()f x在[2,9]上的最小值变式已知定义在区间(0,)+∞上的增函数()f x满足()()()xf f x f yy=-，(2)1f=，解不等式1()()23f x fx-≤-例4 函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y) ＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m －2)≤3变式 已知函数()f x 定义域为R ，且对,m n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12x >-时，()0f x >① 求1()2f ②证明：()f x 在R 上为增函数题型五 函数的奇偶性概念例1 下列说法中错误的个数为（ ）①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于y 轴对称的函数是偶函数 ③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一定与y 轴相交 A.4 B.3 C.2 D.0 变式 下列判断正确的是（ ）A. 定义在R 上的函数()f x ，若(1)(1)f f -=，且(2)(2)f f -=，则()f x 是偶函数B. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则()f x 在R 上是增函数C. 定义在R 上的奇函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则在区间(0,]+∞上也是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六 函数奇、偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性（定义法）⑤ 31()f x x x =-②()(f x x =-()f x =④2()21f x x x =+-⑤()22f x x x =+--⑥()f x =1212)(-+=x x x f⑧)1lg()1lg()(x x x f ++-=例2判断下列函数奇偶性（定义法或图像法）①(1),0()(1),0x x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩ ②22230()0023x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩③{}()2,2,1,0,1,2f x x =∈--例3判断下列函数奇偶性（抽象函数） ①()()()F x f x f x =+- ②()()()F x f x f x =--③()()()F x f x f x =--，其中()f x 为奇函数④函数()f x 定义域为R ，并且对任意x y R ∈、均满足()()()f x y f x f y +=+，判断()f x 奇偶性，并证明。