「精品」高考高考数学试题分项版解析专题16抛物线文
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高考数学 试题汇编 第五节 抛物线 理(含解析)
第五节抛物线抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y 2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )(A)(B)1 (C)(D)解析:如图:由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则梯形AA1B1B的中位线|CC1|=,从而AB中点C到y轴的距离为d=-=.故选C.答案:C.2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于( )(A)4(B)8 (C)8(D)16解析:由题意知F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-(x-2),∴A(-2,4),设P(x0,4),代入y2=8x,得x0=6,则|PF|==8,故选B.答案:B.有关抛物线问题,应特别注意抛物线定义的应用,即抛物线上点到焦点的距离与点到准线的距离可以相互转化.3.(2010年上海卷,理3)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为.解析:动点P到定点F和到定直线x=-2距离相等,∴P点的轨迹为抛物线,=2⇒p=4,所以y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右4.(2012年四川卷,理8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)2(B)2(C)4 (D)2解析:由题意知,此抛物线开口向右,∴可设其标准方程为y2=2px(p>0).又∵点M在抛物线上且到焦点距离为3,∴点M到其准线的距离也为3,∴=3-2=1,p=2.∴抛物线方程为y2=4x.又∵点M在抛物线上,∴=4×2=8,∴|OM|====2.故选B.答案:B.5.(2011年陕西卷,理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )(A)y2=-8x (B)y2=8x(C)y2=-4x (D)y2=4x解析:抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为(2,0),∴=2,∴p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x,故选B.答案:B.6.(2011年湖北卷,理4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )(A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n≥3解析:如图所示,由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称.过点F作直线y=(x-),y=-(x-)分别与抛物线有2个交点.∴等边三角形有△AFB和△A'FB'共2个,故选C.答案:C.7.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为.解析:由已知F的坐标为(,0),则B点坐标为(,1),代入抛物线方程y2=2px 得p2=2,p=,∴B点到抛物线准线的距离d=+=.答案:直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考热点内容,(1)主要与向量、函数、不等式相结合考查焦点弦问题;(2)研究直线与抛物线的位置关系;(3)直线与抛物线相交时,考查借助弦长求参数或借助根与系数关系求弦长主观题、客观题均可能出现,难度中档偏上,所占分值4~8分备考指津训练题型:(1)直线与抛物线的位置关系,注重数形结合思想的训练;(2)直线与抛物线的相交弦问题,注重转化思想,“设而不求”法及“点差法”的训练,并注意判别式大于零这一隐含条件.8.(2012年安徽卷,理9,5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )(A)(B)(C)(D)2解析:本题考查抛物线的性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离公式以及三角形的面积.设A点坐标为(x 1,y1),B点坐标为(x2,y2),抛物线的焦点F(1,0),准线方程x=-1,根据点A 到焦点F 的距离等于到准线的距离可知x1=3-1=2,代入抛物线方程得y2=8,不妨取y1=2,则A(2,2),则k AB=2,直线AB方程为y=2x-2,代入y2=4x得2x2-5x+2=0,∴x1+x2=,|AB|=+2=,又点O到直线AB 的距离d==,所以S △AOB=××=.故选C.答案:C.根据抛物线定义可知抛物线上任一点到焦点的距离等于这点到准线的距离,可以把抛物线过焦点的弦长转化为过焦点的直线与抛物线两交点的坐标问题,这样比较容易求出弦长,然后利用点到直线的距离公式求三角形边上的高,利用面积公式即可解决问题.9.(2011年大纲全国卷,理10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos ∠AFB等于( )(A)(B)(C)-(D)-解析:由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.由,得A(1,-2),B(4,4).则AB==3,由抛物线定义得|AF|=2,|BF|=5,由余弦定理得cos ∠AFB==-,故选D.答案:D.10.(2012年北京卷,理12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.解析:∵抛物线y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又∵直线l倾斜角为60°,∴直线斜率为,∴直线方程为y=(x-1).联立方程解得或由已知得A的坐标为(3,2),∴S△OAF=|OF|·|y A|=×1×2=.答案:11.(2012年辽宁卷,理15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:y=x2,y'=x,P(4,8),k1=y'|x=4=4,切线为y=4x-8,Q(-2,2),k2=y'|x=-2=-2,切线为y=-2x-2.由得A(1,-4).答案:-412.(2012年重庆卷,理14,5分)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|= .解析:设直线AB方程:y=k(x-)(由题易知斜率存在且k≠0),代入y2=2x消去y并整理得k2x2-(k2+2)x+=0 ①,设A(x1,y1)、B(x2,y2)则x1+x2==1+,又|AB|=,故x1+x2+1=,∴x1+x2=,∴1+=,k2=24.把k2=24代入方程①得24x2-26x+6=0,解得x=或x=,因|AF|<|BF|,∴x1=,∴|AF|=+=.答案:本题考查抛物线的焦点弦、抛物线定义的运用,考查学生的运算能力、转化能力,难度较大.13.(2010年全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .解析:过M(1,0)的直线方程为y=(x-1),交准线l于点A(-,-(+1)),∵=,∴M为AB的中点,∴B为(2+,(+1)),代入抛物线方程得p=2.答案:214.(2010年湖南卷,理14)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .解析:由已知得焦点为F(0,),设直线为y=x+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得:x2-2px-p2=0,∴x1+x2=2p,x1·x2=-p2,∴y1+y2=x1+x2+p=3p,∴|CD|=|x1-x2|==2p,∴S梯形ABCD=(|AD|+|BC|)·|CD|=(y1+y2)·2p=×3p×2p=3p2.∴3p2=12,∴p=2.答案:215.(2012年山东卷,理21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,),设Q(a,b),由题意可知b=,则点Q到抛物线C的准线的距离为b+=+=p=,解得p=1,于是抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M(x0,)(x0>0),使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而F(0,),O(0,0),M(x0,),Q(a,),|MQ|=|OQ|=|QF|,∴(x0-a)2+(-)2=a2+,a=+x0,由x2=2y可得y'=x,k=x0=,则+-=-,即--2=0,解得x0=,点M的坐标为(,1).(3)当x0=时,由(2)得Q(,),☉Q的半径为r==.所以☉Q的方程为(x-)2+(y-)2=,由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-.所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2)由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于Δ2=+>0,x3+x4=,x3x4=-.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)++令1+k2=t,由于≤k≤2,则≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++=4t2-2t++,设g(t)=4t2-2t++,t∈[,5].因为g'(t)=8t-2-,所以当t∈[,5]时,g'(t)≥g'()=6,即函数g(t)在t∈[,5]上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.16.(2012年新课标全国卷,理20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C 上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.即×2p×p=4,∴p=-2(舍去)或p=2∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,∴∠ABD=30°,m的斜率为-或,当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0∴b=-,又∵m的截距b1=,=3∴坐标原点到m、n的距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.本题涉及抛物线与圆相结合、直线与抛物线位置关系,圆的简单性质等方面,综合性很强,难度突显,但是数据及运算量并不复杂,突破难点的关键是充分利用抛物线及圆心简单性质,巧妙处理.(2010年湖北卷,理19,12分)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:-x=1(x>0),2分化简得y2=4x(x>0).4分第(1)问赋分细则:(1)设出P(x,y),列出-x=1(x>0)得2分;(2)未加条件x>0扣1分.(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m,5分由,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0.6分于是①7分又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0 ②8分又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-(+)+1<0⇔+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0 ③9分根据①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2④10分对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0即3-2<m<3+211分由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).12分第(2)问赋分细则:(1)未写Δ>0扣1分;(2)未指明4t2的最小值为0,直接写出3-2<m<3+2扣1分;(3)③式结果错扣1分;(4)未写明结果扣1分.通过高考阅卷统计分析、造成失分的原因如下:(1)解题思路对,解题跨度大,如由·<0直接写出了等价条件m2-6m+1<4t2;(2)忽视m为正数的条件和4t2≥0;(3)结论写不清.。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
年高考总复习高中数学高考总复习抛物线习题及详解学生
ﻩ2016年高考总复习高中数学圆锥曲线——抛物线ﻩ一、选择题1．（2016·湖北黄冈）若抛物线y 2=2ｐｘ的焦点与椭圆x 26＋＼f （y 2,2)=1的右焦点重合,则p 的值为( ) A ．－2 ﻩﻩﻩﻩB ．2 C ．－4 ﻩ ﻩ ﻩD ．４2．已知点Ｍ是抛物线y 2＝2ｐx (p >0)上的一点,F 为抛物线的焦点,若以｜MF ｜为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是（ )Ａ.相交 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩＢ.相切C.相离 ﻩ ﻩD.以上三种情形都有可能3.(2016·山东文）已知抛物线y 2=２px (p >0),过焦点且斜率为１的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1ﻩ B ．ｘ=-1 Ｃ.x ＝2 ﻩﻩ ﻩD.x ＝－24．双曲线＼f （ｘ2,９)－＼f(y 2,4)＝１的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2=2ｐx （p >0）过点Ａ，则该抛物线的方程为( )Ａ.ｙ2=９x ﻩB ．y ２=4x C.y 2＝＼f （4＼r （13)，１3)x ﻩﻩﻩﻩ Ｄ．y 2＝＼f(213），13x5.已知点P 是抛物线y 2=2ｘ上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与点Ｐ到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．错误! ﻩﻩﻩﻩB ．３ C.错误! ﻩﻩﻩ ﻩﻩD.错误!6.已知抛物线Ｃ：y ２＝4ｘ的焦点为F ,准线为ｌ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线,垂足为M ，若△ＡMF与△AOF （其中O 为坐标原点)的面积之比为3１，则点A 的坐标为（ )A ．(２,22) ﻩﻩﻩﻩB ．(2，－2＼ｒ（２)) Ｃ．(2,±2) ﻩﻩ Ｄ．(2，±22)7．(２0１６·河北许昌调研)过点P （－3,1)且方向向量为ａ＝(2,－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( ）A.y 2=－2ｘ ﻩﻩﻩﻩB ．y 2＝-32x C ．y 2=4x ﻩﻩﻩ ﻩD.y 2=-4ｘ８．已知ｍn ≠0,则方程是m ｘ2＋ny 2＝１与ｍｘ＋ny ２＝０在同一坐标系内的图形可能是（ )9.(2０1６·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：ｙ2=4x 上的不同两点，F 为抛物线Ｃ的焦点,若错误!＝－4错误!，则直线A Ｂ的斜率为( ）A.±错误! ﻩﻩﻩ ﻩB.±错误! Ｃ.±34 ﻩ ﻩﻩ D ．±＼f(4，３)10.已知抛物线C 的方程为ｘ２＝错误!y ,过点A (0,－4)和点B （t ，0)的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是（ ）Ａ．(－∞,-１）∪(1，＋∞）Ｂ．错误!∪错误!Ｃ.(－∞，－２2）∪(2错误!,+∞)D.(-∞，－2２)∪(错误!,＋∞)[点评] 可用数形结合法求解,设过点A (0,-4）与抛物线x ２=＼f(1,2)ｙ相切的直线与抛物线切点为Ｍ(x 0，y ０）, 则切线方程为y -y ０＝４x ０(ｘ-x ０)，∵过Ａ点,∴－４-２x 02=４ｘ０（0－x 0),∴x ０＝±２,∴y 0=4,∴切线方程为y -4＝±４2x -8，令y =0得x =±＼f(＼r(2）,2),即t ＝±22， 由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <-错误!或ｔ＞错误!.二、填空题11．已知点A (２,0)、B (4,０),动点P 在抛物线y 2=-4x 上运动，则错误!·错误!取得最小值时的点Ｐ的坐标是＿_＿_＿_.12．(文)(2０16·泰安市模拟）如图，过抛物线y 2=２px (p >0)的焦点Ｆ作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点,且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．(理）(２０１６·泰安质检)如图，过抛物线y 2=2px (ｐ>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点Ａ、Ｂ、C ,若|BC |＝２|BF |，且|A Ｆ|＝3，则抛物线的方程是______＿_.点评：还可以由|BC |=２|B Ｆ｜得出∠BCB 1＝30°，从而求得Ａ点的横坐标为｜OF |+＼f(１，2)|AF ｜=错误!＋＼f(3,２)或3-错误!,∴错误!＋错误!=３-错误!，∴ｐ＝错误!．1３．已知F 为抛物线C :y 2＝4x 的焦点,过Ｆ且斜率为１的直线交C 于Ａ、B 两点．设|F A |>｜ＦB |，则｜F A ｜与|FB |的比值等于＿__＿_＿__.1４．(文)若点(3，1)是抛物线ｙ2＝２ｐｘ的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝＿___＿___. (理)(２016·衡水市模考)设抛物线x ２=１２y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于Ａ、Ｂ两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋｜ＢＦ|=__＿_____.三、解答题15.(文）若椭圆C 1:x 24+错误!＝１(0<ｂ＜２）的离心率等于错误!,抛物线Ｃ２：ｘ2＝2py （p >0)的焦点在椭圆Ｃ1的顶点上.(1）求抛物线C 2的方程；(2）若过Ｍ(－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线Ｃ2的切线l １、l 2，当ｌ1⊥l 2时,求直线l 的方程．(理)在△ＡBC 中，错误!⊥错误!，错误!＝(0,－2),点M 在y 轴上且错误!=错误!（错误!+错误!),点C 在x 轴上移动.(１)求B 点的轨迹E 的方程；(２)过点F错误!的直线ｌ交轨迹E于Ｈ、E两点，(H在F、G之间),若错误!＝错误!错误!,求直线l的方程.16．(文)已知P（ｘ，y）为平面上的动点且x≥０，若Ｐ到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.（１)求点P的轨迹C的方程;(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点,问是否存在这样的实数m,使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[点评](1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,即点P到定点Ｆ(1，0）的距离与到定直线l：ｘ=-1的距离相等.∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线,∴ｐ=2,∴方程为ｙ2=4ｘ．(理)已知抛物线y２=４x,过点(０，－２)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(１)若错误!·错误!＝4，求直线AＢ的方程．(２)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(ｎ,0),求n的取值范围.１７．（文)（2０１0·全国Ⅰ）已知抛物线C：ｙ2＝4x的焦点为F,过点K(－１，０)的直线l与C相交于A、B 两点,点Ａ关于ｘ轴的对称点为D．(1)证明：点F在直线BＤ上；（2）设错误!·错误!=错误!，求△BDK的内切圆M的方程．(理)（２016·揭阳市模考)已知点C（１,0），点A、B是⊙Ｏ:x2+y2＝9上任意两个不同的点,且满足＼o(AC，)·错误!＝0，设Ｐ为弦AB的中点.→(1）求点P的轨迹T的方程;（2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点Ｃ的距离？若存在，求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由．。
高考数学试题分项版解析专题16抛物线文
专题16 抛物线1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且MN l ⊥,则到直线NF 的距离为A. B.【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是 （ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x【答案】A ．【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24xy =，则其准线方程为1y =-，故先A ．考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如2(0)y A x A =≠，则其焦点坐标为(,0)4A ，准线方程为4A x =-；若2(0)x Ay A =≠，则其焦点坐标为(0,)4A ，准线方程为4A y =-. 3. 【2014全国1，文10】已知抛物线x y =2的焦点为,()00,A x y 是上一点，x F A 045=，则0x =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】 试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =． 考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.4. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．C ．34-D ．12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知是抛物线2y x =的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．B ． CD【答案】B【解析】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是.故选D.【考点】抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.2.抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )A．(，0)B．(，0)或(－，0)C．(0，)D．(0，)或(0，－)【答案】C【解析】将方程改写为，可知2p＝，当a＞0时，焦点为(0，)，即(0，)；当a＜0时，焦点为(0，－)，即(0，)；综合得，焦点为(0，)，选C考点:抛物线的基本概念3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝x D．y2＝x【答案】B【解析】设M(x0,0)，P(0，y)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y)·(1，－y)＝0，∴x0＋y2＝0．由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x，y)，∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x．故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．故选B．4.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．5.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.6.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系7.已知直线:与抛物线:交于两点,与轴交于,若,则_______.[【答案】【解析】解方程组得或，由得：.【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、向量的运算.8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.已知直线交抛物线于两点．若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为________．【答案】【解析】根据题意不妨设，则⊥∴∵为直角，点C与点A不同，∴∴∵∴10.如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在AOB内的概率是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设抛物线与轴正半轴及轴的正半轴所围成的区域的面积为则设事件“随机往M内投一点P，则点P落在AOB内”则,故选:C.【考点】1、定积分；2、几何概型.11.已知抛物线C：，点A、B在抛物线C上.（1）若直线AB过点M（2p，0），且=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为，且，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点【解析】（1）当直线斜率不存在时方程为，与的交点分别为M，N ，弦长。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。
【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积． 【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________． 【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。
(精编)高中数学高考总复习抛物线习题及详解
高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1 的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上 的一点，F 为抛物线 的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴 的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点 的纵坐标为2，则该抛物线 的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线上一点A 到双曲线 的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线 的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上 的一个动点，则点P 到点(0,2) 的距离与点P 到该抛物线准线 的距离之和 的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线 的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到抛物线 的准线 的距离之和 的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到焦点F 的距离之和 的最小值，结合图形不难得知相应 的最小值就等于焦点F 与点(0,2) 的距离，因此所求 的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上 的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点) 的面积之比为31，则点A 的坐标为()A．(2,22) B．(2，－22)C．(2，±2) D．(2，±22)[答案] D[解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点) 的面积之比为3∶1，∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12×|OF|×|AF|×sin(π－∠MAF)＝3，∴|AM|＝3，设A⎝⎛⎭⎫y024，y0，∴y024＋1＝3，解得y0＝±22，∴y024＝2，∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5) 的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0) 的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－32xC．y2＝4x D．y2＝－4x[答案] D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5) 的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F⎝⎛⎭⎫m4，0，∴m＝－4，故选D.8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上 的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样 的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0) 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切 的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时 的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为60° 的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线 的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点 的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p 2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB | 的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦 的中点，且这条弦所在直线 的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1) 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线 的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2) 的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0) 的焦点在椭圆C 1 的顶点上．(1)求抛物线C 2 的方程；(2)若过M (－1,0) 的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆 的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆 的上顶点为(0,1)，即抛物线 的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线 的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2 的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点 的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14 的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件 的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，。
抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0,2)B．(2,0)C．(4,0)D．(0,4)【答案】B【解析】x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2,0)．4.（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0B．n=1C．n=2D．n≥3【答案】C【解析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．解：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出抛物线的图象如下图所示，则点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义的可知，则点到直线的距离与到点的距离之差等于，当、、三点不共线时，由三角形三边之间的关系可知，，当点为射线与抛物线的交点时，，此时点到直线的距离与到点的距离取到最大值，故选D.【考点】1.抛物线的定义；2.数形结合7.（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意画出简图为：由于抛物线C1：x2=y准线方程为：y=﹣，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P（x0，x2），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，设过点P的圆c2的切线方程为：y﹣x2=k（x﹣x）即y=kx﹣kx+x2①则，即（x02﹣1）k2+2x（4﹣x2）k+（x2﹣4）2﹣1=0设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2应该为上述方程的两个根，∴，；代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x2="0" 则x1，x2应为此方程的两个根，故x1=k1﹣x，x2=k2﹣x∴kAB =x1+x2=k1+k2﹣2x=由于MP⊥AB，∴kAB •KMP=﹣1⇒故P∴．8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.9.抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由于，焦点在轴的正半轴，所以，抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的几何性质．10.已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.【答案】（1）；（2）8.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标，从而得到向量坐标，联立2个抛物线方程，解方程组，可求出A点坐标，从而得到向量的坐标，由于，所以，利用这个方程解出P的值，从而得到抛物线的方程；第二问，先设出过点O的直线方程，直线和抛物线联立，得到M点坐标，直线和抛物线联立得到N点坐标，由于，利用两点间距离公式得到3个边长，再利用基本不等式求面积的最小值.试题解析：（1）由已知得：，，∴ 1分联立解得或，即，，∴ 3分∵，∴，即，解得，∴的方程为． 5分『法二』设，有①，由题意知，，，∴1分∵，∴，有，解得， 3分将其代入①式解得，从而求得，所以的方程为． 5分（2）设过的直线方程为联立得，联立得 7分在直线上，设点到直线的距离为，点到直线的距离为则 8分10分当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，11分△面积取得最小值． 12分『法二』联立得，联立得， 7分从而，点到直线的距离，进而9分令，有， 11分当，即时，即当过原点直线为时，△面积取得最小值． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式.11.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.12.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的一点，其纵坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上不同于的两点，且，过两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】(1)对于开口向上的抛物线来说，，代入坐标，解出;(2)设,利用导数的几何意义，利用点斜式方程，分别设出过两点的切线方程，然后求出交点的坐标，结合，所得到的关系式，设，以及的坐标，将点的坐标转化为一个未知量表示的函数，，用未知量表示，转化为函数的最值问题，利用二次函数求最值的方法求出.中档偏难题型. 试题解析：（1）由抛物线定义得： 2分抛物线方程为 4分（2）设且即 6分 又处的切线的斜率为 处的切线方程为和由得8分设，由得10分 当时，12分【考点】1.抛物线的定义；2.导数的几何意义；3.函数的最值.13. 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.(1)求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（1）见解析（2）32【解析】(1)证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0, 则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由消去y ，得x 2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ，得y ＝x 2，所以y′＝x,所以，直线AM 的斜率为k AM ＝x 1, 所以，直线AM 的方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又＝4y 1,所以，直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)①，同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2)②，②－①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x ＝，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2)解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k≠0).所以k MF ＝＝－，则直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)由消去y ，得x 2＋x －4＝0，显然Δ＝＋16>0,所以x 3＋x 4＝－，x 3x 4＝－4，又|AB|＝＝＝4(k 2＋1)，|CD|＝＝，因为k MF ·k AB ＝－1，所以AB ⊥CD ， 所以S ACBD ＝|AB|·|CD|＝8≥32,当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.14. 如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．【答案】y 2＝3x【解析】由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离． 由|BC|＝2|BF|，得∠BCM ＝30°. 又|AF|＝3，从而A.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝.15. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|= . 【答案】【解析】由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A 到准线x=-1的距离为3∴点A 的横坐标为2.将x=2代入y 2=4x 得y 2=8, 由图知点A 的纵坐标y=2, ∴A(2,2),∴直线AF 的方程为y=2(x-1). 由解得或由图知,点B 的坐标为,∴|BF|=-(-1)=.16. 若已知点Q(4,0)和抛物线y=x 2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为( ) A ．2+2 B ．11 C ．1+2 D ．6【答案】D【解析】抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P 到准线的距离为d, 则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6(当且仅当F,Q,P 共线时取等号), 故y+|PQ|的最小值是6.17. 设x 1,x 2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】D【解析】∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,∴==2. 则P(x,2).设P(x1,y1),即消去x得=4ax1(x1≥0,y1≥0),故点P的轨迹为抛物线的一部分.18.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.19.已知M是y=x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为()A．2B．4C．8D．10【答案】B【解析】【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值, 于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1) -1=4.20.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.21.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．【答案】（1）y 2＝8x .（2）24【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M . 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝|FM |·|y 1－y 2|＝3＝24.22. 抛物线y ＝x 2上的点到直线x ＋y ＋1＝0的最短距离为________． 【答案】【解析】由于f ′(x )＝2x ，设与直线x ＋y ＋1＝0平行且与抛物线相切的直线与抛物线切于点A (x 0，y 0)，由导数几何意义可知2x 0＝－1，求得切点为.切点A到直线x ＋y ＋1＝0的距离最小，由点到直线距离公式易得最小值为23. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )A ．2B ．2C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以x P ＝3，代入抛物线方程求得y P ＝2，所以S △POF ＝·|OF|·y P ＝2.24. 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝＝.当x ＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤＝(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.25.设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由条件，∵是的重心，则有，即，而.【考点】1.重心公式；2.焦半径公式.26.已知点Ｆ为抛物线的焦点，O为原点，点Ｐ是抛物线准线上一动点，Ａ在抛物线上，且＝４，则＋的最小值是【答案】【解析】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为-2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（-2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）,则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故答案.【考点】抛物线的简单性质.27.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵焦点为，∴设直线为，∵直线交抛物线于两点，∴∴消参得，设，∴，∵线段的中点的纵坐标为-2，∴，∴，∴抛物线的准线方程为.【考点】1.直线的方程；2.韦达定理；3.抛物线的焦点、准线；4.中点坐标公式.28.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C．【解析】因为抛物线的焦点的坐标为又抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，．由已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则点的横坐标为1，代入得再把代入，与联立得方程组消去得，解这个关于的双二次方程，得．【考点】抛物线与双曲线简单的几何性质（焦点、离心率）．29.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板长为2m，跳水板距水面的高为3m，=5m，=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点m（）时达到距水面最大高度4m，规定：以为横轴，为纵轴建立直角坐标系.（1）当=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可以将抛物线的方程设为顶点式.由顶点（3,4），然后代入点可将抛物线方程求出；（2）将抛物线的方程设为顶点式，由点得.将用表示.跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，所以方程在区间[5,6]内有一解，根据抛物线开口向下，由函数的零点与方程的根的关系，令，由，且可得的取值范围.试题解析：（1）由题意知最高点为，，设抛物线方程为， 4分当时，最高点为（3,4），方程为，将代入，得，解得.当时，跳水曲线所在的抛物线方程. 8分（2）将点代入得，所以.由题意，方程在区间[5,6]内有一解. 10分令，则，且.解得. 14分达到压水花的训练要求时的取值范围. 16分【考点】1.抛物线的顶点式方程；2.函数的零点与方程的根.30.如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；（Ⅱ）若线段，求直线的方程【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据已知条件设出未知的点的坐标和斜率，根据两点间的斜率公式和中点坐标公式找等价关系，求出直线的斜率，由已知得的根据斜截式求出直线方程； (Ⅱ)设出直线的方程为，这样避免讨论斜率的存在问题，与抛物线的方程联立方程组，得到根与系数的关系，根据直线与抛物线相交的交点弦的长来求参数的值试题解析：解：(Ⅰ)由已知得交点坐标为， 2分设直线的斜率为，，,中点则，，所以，又，所以4分故直线的方程是：6分(Ⅱ)设直线的方程为，7分与抛物线方程联立得，消元得，9分所以有，，11分所以有，解得，13分所以直线的方程是：，即15分【考点】1、直线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系31.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.32.在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（Ⅱ）先由求，再由求.试题解析：（Ⅰ）因为曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故． 6分令，得，即． 8分同理，， 9分于是． 10分【考点】抛物线的概念、曲线的交点.33.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.方程组的解法.34.如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.（1）当时，求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意由抛物线方程容易得椭圆的方程，代入既得椭圆方程；（2）假设存在满足条件的实数，由抛物线和椭圆方程求交点P，使得，求得.试题解析：（1）抛物线的焦点为, 1分椭圆的半焦距，离心率，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，3分所以椭圆的方程为, 4分当时，椭圆的方程. 6分（2）假设存在满足条件的实数由，解得, 8分，，, 11分所以的三条边的边长分别是，，所以当时使得的三条边的边长是连续的自然数. 13分【考点】1、抛物线和椭圆的方程及性质;2.存在性问题.35.（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线的距离d==1．故选D．36.过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。
2016届高考数学理命题猜想专题16椭圆、双曲线、抛物线(解析版)
【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2， b 2，p 的值．例1 (1)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4，则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)(2015·丰台模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 26＝1B.x 26－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1【答案】 (1)C (2)C(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是 y ＝±b a x ，故可知ba ＝3，又∵焦点坐标为(2,0)， ∴c ＝a 2＋b 2＝2， 解得a ＝1，b ＝ 3. ∴双曲线方程为x 2－y 23＝1.【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1(2)(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】 (1)A (2)D(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D. 【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x 【答案】 (1)3－1 (2)C易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 (1)D (2)A但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1. 当不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. (2)由题作出图象如图所示． 由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．即y ＝－a a －c b2x ＋aca －cb 2＋b 2a ， l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )， 即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a . ∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c.∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba <1.【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、(2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2，从而|PC |＝k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2.因为|PC |＝2|AB |， 所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】(1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A.433 B ．2 3 C ．6D ．4 3(2)(2015·南开中学月考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】 (1)D (2)D两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0.∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2.∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12， ∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2，∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.【高考真题解读】1．(2015·重庆，10)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 A2．(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．【答案】 2 2【解析】 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.3．(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1【答案】 D4．(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1【答案】 A【解析】 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 5．(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】 B【解析】 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.6．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【答案】 C【解析】 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.7．(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1【答案】 B【解析】 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.8．(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3C ．6D ．43【答案】 D9．(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【答案】 D10．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【答案】 A 【解析】 由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.11．(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______．【答案】 23 y ＝±22x【解析】 由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .12．(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________． 【答案】 33【解析】 双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.13．(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【答案】 5【解析】 不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.14．(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．【答案】 22【解析】 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.15．(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0， b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【答案】 32∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb 2a 2－p 22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54. 设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94. ∴e ＝32.。
专题16 抛物线—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)(打包下载)
专题16 抛物线1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为B. C. D. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 84. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3CD 6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ）6 （C ）12 （D ）9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）210.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OHON； （II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.16.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.19.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. （1）求点A ，B 的坐标； （2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公 共点为切点.20.【2014福建,文21】（（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 21.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．专题17 立体几何中线面位置关系1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．2.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线..,满足,,,则下列结论一定正确的是( ) A . B .C ..既不平行也不垂直D ..的位置关系不确定4.【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 6. 【2016高考上海文科】如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 17.【2014辽宁文4】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件9.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m10.【2014年.浙江卷.文6】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 11.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．12.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E⊥平面ABCD ,（Ⅰ）证明：1AO ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.13.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .14.【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.15.【2014四川，文18】（本小题满分12分）(第15题)ADBC EF在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。
历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上， 将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析 如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一 抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ， 则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1， 作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二 抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)， 由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ， 则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上， 且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )， 则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ， 即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |， 即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ， 代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ， 则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ， 可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6， 从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析 由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)， 则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6， 所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4， 所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2， 由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析 由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析 由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析 设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22， 又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2， 所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ， 代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。
(2021年整理)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
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抛物线专题复习知识点梳理：焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线与抛物线的位置关系 直线,抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时,ox ()22,B x yFy ()11,A x yΔ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点; Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离,无公共点。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，点的横坐标时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是.故选D.【考点】抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系.2.抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值为（）A．4B．C．D．－4【答案】C【解析】将抛物线方程改写为，可知由准线方程为，可得，即解得，选C【考点】抛物线的方程及其准线方程3.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( ) A．B．2C．D．【答案】C【解析】∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1．如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2＝4－2·＝4－＝．4.已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．【答案】（1）|MN|不变化，其定值为2p 见解析（2）见解析【解析】(1)设O′(x0，y)，则x2＝2py(y≥0)，则⊙O′的半径|O′A|＝，⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y)2＝x2＋(y－p)2，令y＝0，并把x02＝2py，代入得x2－2xx＋x2－p2＝0，解得x1＝x－p，x2＝x＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，这说明|MN|不变化，其定值为2p．(2)不妨设M(x0－p,0)，N(x＋p,0)．由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x＋p|，所以－p≤x≤p．O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y＋＝，⊙O′的半径|O′A|＝＝＝．因为r＞d⇔x04＋4p4＞(x2＋p2)2⇔x2＜p2，又x2≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d，即⊙O′与抛物线的准线总相交．5.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．6.在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. （1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.【答案】（1）；（2）当时直线与轨迹恰有一个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【解析】（1）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为，联立方程组整理得，分类讨论①时；②；③或；④，确定直线与轨迹的公共点的个数.（1）设点，依题意，，即，整理的，所以点的轨迹的方程为.（2）在点的轨迹中，记，，依题意，设直线的方程为，由方程组得①当时，此时，把代入轨迹的方程得，所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.当时，方程①的判别式为②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若，由②③解得或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰有一个公共点.（ⅱ）若或，由②③解得或，即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个共点，与没有公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.（ⅲ）若，由②③解得或，即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【考点】两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系.7.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】题中抛物线的标准形式为，则其准线方程为，故先A.【考点】1.抛物线的准线方程.8.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由题意，，因此焦点为.【考点】抛物线的性质.9.（12分）（2011•福建）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．【答案】（Ⅰ）b=﹣1（Ⅱ）（x﹣2）2+（y﹣1）2=4【解析】（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．10.过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求面积的最大值.【答案】（1）y2＝8x，(2，4)；（2）.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由题意结合抛物线图象得到M点坐标，代入抛物线方程中，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程及M点坐标；第二问，设出A，B点坐标，利用M点，分别得到直线MA和直线MB的斜率，因为两直线倾斜角互补，所以两直线的斜率相加为0，整理得到y1＋y2＝－8，代入到中得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，利用M点在直线AB上方得到b 的范围，令直线与抛物线方程联立，图形有2个交点，所以方程的进一步缩小b的范围，，而用两点间距离公式转化，d是M到直线AB的距离，再利用导数求面积的最大值.（1）抛物线C的准线x＝－，依题意M(4－，4)，则42＝2p(4－)，解得p＝4．故抛物线C的方程为y2＝8x，点M的坐标为(2，4)， 3分（2）设．直线MA的斜率，同理直线MB的斜率．由题设有，整理得y1＋y2＝－8．直线AB的斜率． 6分设直线AB的方程为y＝－x＋b．由点M在直线AB的上方得4＞－2＋b，则b＜6．由得y2＋8y－8b＝0．由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6． 9分，于是．点M到直线AB的距离，则△MAB的面积．设f(b)＝(b＋2)(6－b)2，则f¢(b)＝(6－b)(2－3b)．当时，f¢(x)＞0；当时，f¢(x)＜0．当时，f(b)最大，从而S取得最大值． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值.11.（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（1）求点M 到抛物线C 1的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线C 1上一点（异于原点），过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意画出简图为：由于抛物线C 1：x 2=y 准线方程为：y=﹣，圆C 2：x 2+（y ﹣4）2=1的圆心M （0，4）， 利用点到直线的距离公式可以得到距离d==．（2）设点P （x 0，x 02），A （x 1，x 12），B （x 2，x 22）； 由题意得：x 0≠0，x 2≠±1，x 1≠x 2，设过点P 的圆c 2的切线方程为：y ﹣x 02=k （x ﹣x 0）即y=kx ﹣kx 0+x 02① 则，即（x 02﹣1）k 2+2x 0（4﹣x 02）k+（x 02﹣4）2﹣1=0设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2（k 1≠k 2），则k 1，k 2应该为上述方程的两个根， ∴，；代入①得：x 2﹣kx+kx 0﹣x 02="0" 则x 1，x 2应为此方程的两个根， 故x 1=k 1﹣x 0，x 2=k 2﹣x 0 ∴k AB =x 1+x 2=k 1+k 2﹣2x 0=由于MP ⊥AB ，∴k AB •K MP =﹣1⇒故P ∴．12. 过抛物线x 2=2py(p>0)焦点的直线与抛物线交于不同的两点A 、B ，则抛物线上A 、B 两点处的切线斜率之积是（ ）A.P 2B.-p 2C.－1D.1 【答案】C【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ∵=x,∴过A 点的切线斜率为x 1, 过B 点的切线斜率为x 2, ∴过抛物线上A 、B 两点处的切线斜率之积是x 1x 2,设过抛物线焦点的直线方程为y=kx+与x 2=2py 联立消去y 得 x 2-2kpx-p 2=0x 1x 2=-p 2x 1x 2=-1．13. 抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】【解析】由于，焦点在轴的正半轴，所以，抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的几何性质．14.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．（0，1）D．（1，0）【答案】C【解析】解抛物线的标准方程为,所以抛线以轴为对称轴，开口向上，且，,所以焦点坐标为,故选C.【考点】抛物线的标准方程与简单几何性质.15.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.16.若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____.【答案】；.【解析】抛物线的焦点坐标为，该点在直线上，则有，解得，此时抛物线的准线方程为.【考点】抛物线的几何性质17.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选【考点】抛物线的定义。
高考数学 试题汇编 第五节抛物线 文(含解析)
第五节抛物线抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(2012年四川卷,文9,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)2(B)2(C)4 (D)2解析:因为抛物线的对称轴是x轴,且过点M(2,y0),点M到焦点的距离为3,所以p=2,抛物线的方程为y2=4x,|OM|===2,故选B.答案:B.2.(2011年新课标全国卷,文9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C 交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )(A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0),F为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,AF==6,∴△ABP的边AB上的高h=6,∴S△ABP=×12×6=36.故选C.答案:C.3.(2011年广东卷,文8)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为( )(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆 (D)圆解析:由题意知动圆圆心C到点(0,3)距离与到定直线y=-1的距离相等,故轨迹为抛物线.故选A.答案:A.4.(2011年辽宁卷,文7)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )(A)(B)1 (C)(D)解析:如图:由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则梯形AA1B1B的中位线|CC1|=,从而AB中点C到y轴的距离为d=-=.故选C.答案:C.5.(2010年四川卷,文3)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:y2=8x,p=4,焦点到准线的距离:-(-)=p=4.故选C.答案:C.6.(2010年湖南卷,文5)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)12解析:∵抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,且抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.∴由题意知,点P到焦点的距离等于4-(-2)=6.故选B.答案:B.7.(2012年安徽卷,文14,5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|= .解析:抛物线焦点坐标(1,0),准线方程x=-1,由|AF|=3知点A(x A,y A)到准线距离为3,所以x A=2,得y A=±2,不妨设y A=2.因此直线AB的方程为y=2(x-1)代入抛物线方程8(x-1)2=4x,于是(2x-1)(x-2)=0,所以x B=,(x B=2舍去),于是点B到准线距离为,所以|BF|=.答案:8.(2012年陕西卷,文14,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.解析:先以拱顶为原点,建立直角坐标系,设水面和拱桥交点A(2,-2),则抛物线方程为x2=-2py,代入得22=-2p×(-2),∴2p=2,x2=-2y,当水面下降1米时,水面和拱桥的交点记作B(a,-3)则代入抛物线方程得:a=,因此水面宽2米.答案:29.(2010年上海卷,文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.解析:由抛物线定义得P点的轨迹为焦点在x轴上的抛物线,又=2,∴p=4,∴y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右10.(2011年陕西卷,文2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )(A)y2=-8x (B)y2=-4x(C)y2=8x (D)y2=4x解析:由抛物线准线方程为x=-2知抛物线方程为y2=8x.故选C.答案:C.11.(2011年山东卷,文9)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )(A)(0,2) (B)[0,2](C)(2,+∞) (D)[2,+∞)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0,y0)为抛物线x2=8y上一点,所以有=8y0.又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上.所以+(y0-2)2=r2>16,所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,解得y0>2或y0<-6(舍),∴y0>2.故选C.答案:C.12.(2011年湖北卷,文4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )(A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n≥3解析:设抛物线上点A(,y1),B(,y2),且y1≠y2,焦点F(,0),由|AF|=|BF|得(-)()=0,∵y1≠y2,∴y1=-y2.∴A、B关于x轴对称.过点F作直线y=(x-),y=-(x-)分别与抛物线有2个交点.∴等边三角形有△AFB和△A'FB'共2个,故选C.答案:C.13.(2010年山东卷,文9)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )(A)x=1 (B)x=-1 (C)x=2 (D)x=-2解析:如图,焦点F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则AB直线方程为y=x-,由消去x得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,∴y0==p,∴p=2,∴准线方程为x=-=-1.故选B.答案:B.14.(2010年陕西卷,文9)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )(A)(B)1 (C)2 (D)4解析:圆心(3,0)到抛物线准线x=-的距离即为圆的半径4,∴3-(-)=4,即=1,∴p=2,故选C.答案:C.直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要以直线与椭圆的位置关系为主,有时也涉及直线与抛物线的位置关系,主要考查与抛物线焦点弦有关的性质,以选择、填空形式出现时,难度中低档,以解答题形式出现难度较大,所占分值5~12分15.(2010年全国卷Ⅱ,文15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .解析:过M(1,0)的直线方程为y=(x-1),交准线l于点A(-,-(+1)),∵=,∴M为AB的中点,∴B为(2+,(+1)),代入抛物线方程得p=2.答案:216.(2012年江西卷,文20,13分)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上的动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程是x2=4y.(2)直线PA,PB的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C在点Q处的切线l的方程是y=x-,且与y轴的交点为F(0,-),分别联立方程组,,解得D,E的横坐标分别是x D=,x E=,则x E-x D=2,|FP|=1-,故S△PDE=|FP|·|x E-x D|=·(1-)·2=,而S△QAB=·4·(1-)=,则=2.即△QAB与△PDE的面积之比为2.本题以向量为载体,考查了抛物线方程的求解,直线的方程,直线与抛物线相切,导数的几何意义,三角形的面积等.用x0表示y0,从而达到只有一个未知数的目的,然后用x0的代数式分别表示△QAB,△PDE的面积,从而求得两者的比值为定值.关于圆锥曲线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系等问题是高考的常考点,一般以综合性试题的形式出现,常与数列、平面向量等知识结合命题.17.(2011年福建卷,文18)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解:(1)由得x2-4x-4b=0,(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2.所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.18.(2011年江西卷,文19)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.解:(1)设直线AB的方程是y=2(x-),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4知4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4),设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),∴又∵=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1)即(2λ-1)2=4λ+1.解得λ=0或λ=2.。
2020高考数学试题分项版解析专题16抛物线文
【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题16抛物线文1.2017课标II ，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为 2:4C y x =F C M M C N MN l ⊥M NF【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2014，安徽文3】抛物线的准线方程是（ ）241x y =A ．B ．C ．D ． 1-=y 2-=y 1-=x 2-=x 【答案】A ． 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为，则其准线方程为，故先A ．24x y =1y =- 考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如，则其焦点坐标为，准线方程为；若，则其焦点坐标为，准线方程为.2(0)y Ax A =≠(,0)4A 4A x =-2(0)x Ay A =≠(0,)4A 4A y =- 3. 【2014全国1，文10】已知抛物线 的焦点为,是上一点，，则（ ）C ：x y =2F ()00,A x y C x F A 045=0x = A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：，则有：，即有，可解得．14x =-01||4AF x =+001544x x +=01x = 考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.4. 【2014辽宁文8】已知点在抛物线C ：的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）(2,3)A -22y px =A ．B ．C ．D ．43-1-34-12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点的坐标，进一步确定直线的斜率.F本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）F 2y x =A B 2OA OB ⋅=O ABO ∆AFO ∆A ．B ．C ．D 【答案】B 【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.1(,0)4F 1122(,),(,)A x y B x y 221122,x y x y ==221212122,2y y y y y y +==-121y y =,A B 122y y =-12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥ 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出两点坐标，由，得，接下来表示出与面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”.1122(,),(,)A x y B x y 2OA OB ⋅=122y y =-ABO ∆AFO ∆6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）22(0)y px p =>(1,1)-A ．B ．C ．D ．(1,0)-(1,0)(0,1)-(0,1)【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，22(0)y px p =>2px =-(1,1)-2p = 所以抛物线焦点坐标为，故答案选(1,0)B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.p7. 【2016高考四川文科】抛物线的焦点坐标是( )24y x =(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.【2014全国2，文10】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则 （ ）F 2:=3C y x F 30︒C A B AB =（A ） （B ） （C ） （D12【答案】C【解析】由题意，得．又因为，故直线AB 的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，3(,0)4F 0k t a n 303==3y (x )34=-2=3y x 21616x x -+=1(x ,A B12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y2=4x 的焦点，曲线y=（k>0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（ ）k x（A ） （B ）1 （C ） （D ）21232【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y= ，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数.k x(0)k ≠0k >(,0)-∞(0,)+∞0k <(,0)-∞(0,)+∞ 10.【2017天津，文12】设抛物线的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .24y x =120FAC ∠=︒【答案】22(1)(1x y ++-= 【解析】试题分析：设圆心坐标为，则，焦点，(1,)C m -(0,)A m (1,0)F(1,0),(1,)AC AF m =-=-，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.1cos 21AC AF CAF AC AF⋅∠===-⋅+m =C y m =(-22(1)(1x y ++-= 【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的坐标表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的坐标表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了.0120CAF ∠=cos CAF ∠()1,C m -()()2211x y m ++-=m11.【2014上海,文4】若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.15922=+y x【答案】.2x =-【考点】椭圆与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线的准线方程为________.24y x =【答案】1x =- 【解析】试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线的准线方程为，故答案为.24y x =1x =-1x =- 考点：抛物线的几何性质.【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y=上两点，A 与B 的横坐标之和为4．24x（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AMBM ，求直线AB 的方程．⊥【答案】（1）1； （2）．7y x =+ 于是直线AB 的斜率．12121214y y x x k x x -+===- （2）由，得．24x y =2x y'=设M （x3，y3），由题设知，解得，于是M （2，1）．312x =32x =设直线AB 的方程为，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN|=|m+1|．y x m =+将代入得．y x m =+24x y =2440x x m --=当，即时，．16(1)0m ∆=+>1m >-1,22x =±从而．12||AB x x -=由题设知，即，解得．||2||AB MN =2(1)m =+7m =所以直线AB 的方程为．7y x =+【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A ，，抛物线上的点．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．2x y=11()24-，39()24B ，)2321)(,(<<-x y x P （Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求的最大值．||||PQ PA ⋅ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）)1,1(-2716试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则，∵，∴直线AP 斜率的取值范围是．2121412-=+-=x x x k 1322x -<<)1,1(- （Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程解得点Q 的横坐标是，因为|PA|==)1(23422+++-=k k k xQ 1)2x +)1(12++k k |PQ|= ，所以|PA||PQ|=1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q 3)1)(1(+--k k令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．3)1)(1()(+--=k k k f 2)1)(24()('+--=k k k f )21,1(-)1,21(12||||PQ PA ⋅2716【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．||PA ||PQ 3)1)(1()(+--=k k k f ||||PQ PA ⋅15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y 轴于点M,交抛物线C ：于点P,M 关于点P 的对称点为N,连结ON 并延长交C 于点H.xOy 22(0)y px p => （I ）求；OHON（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.MH x tpt y 2=-px y 22=04422=+-t ty y t y y 221==MH C H MH C 试题解析：（Ⅰ）由已知得,.),0(t M ),2(2t pt P又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,因此.N M P ),(2t p t N ON x tp y =px y 22=0222=-x t px 01=x p t x 222=)2,2(2t p t H 所以为的中点,即.N OH2||||=ON OH （Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：MH C H直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.MH x tp t y 2=-)(2t y p tx -=px y 22=04422=+-t ty y t y y 221==MH C H MH C考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.16.2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．C 22y x =F 12,l l C ,A B C P Q ，（I ）若在线段上，是的中点，证明；F AB R PQ AR FQ（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.PQF ∆ABF ∆AB 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．21y x =-试题解析：由题设.设，则，且)0,21(F b y l a y l ==:,:210≠ab)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分B A ,0)(2=++-ab y b a x （Ⅰ）由于在线段上，故.F AB 01=+ab 记的斜率为，的斜率为，则，AR 1k FQ 2k 222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-= 所以. ......5分AR FQ （Ⅱ）设与轴的交点为，)0,(1x D 则.2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆由题设可得，所以（舍去），.221211ba x ab -=--01=x 11=x 设满足条件的的中点为.AB ),(y x E 当与轴不垂直时，由可得.AB DE AB k k =)1(12≠-=+x x yb a 而，所以.y b a =+2)1(12≠-=x x y 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分AB E D 12-=x y 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F 也是椭圆21:4C x y =22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，与的公共弦长为，过点F 的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.1C 2C 1C ,A B 2C ,CD AC BD （I ）求的方程；2C（II ）若，求直线的斜率.AC BD =【答案】（I ） ；(II) .22198y x +=±2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.1y kx =+试题解析：（I ）由知其焦点F 的坐标为，因为F 也是椭圆的一个焦点，所以 ①； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为， ②，21:4C x y =(0,1)2C 221a b -=1C 2C 1C 2C y 1C 21:4C x y =1C 2C 3()2229614a b ∴+= 联立①②得，故的方程为。
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专题16 抛物线1.2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M 在轴上方），为C 的准线，点N 在上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为【答案】C【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 2.【2014，安徽文3】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A ． 1-=yB ． 2-=yC ． 1-=xD ． 2-=x 【答案】A ． 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24x y =，则其准线方程为1y =-，故先A ．考点：抛物线的准线方程．【名师点睛】在求解抛物线标准方程过程中，先要将给定方程转化成标准形式如2(0)y Ax A =≠，则其焦点坐标为(,0)4A ，准线方程为4A x =-；若2(0)x Ay A =≠，则其焦点坐标为(0,)4A，准线方程为4A y =-. 3. 【2014全国1，文10】已知抛物线C ： x y =2的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点，x F A 045=，则0x =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =． 考点：抛物线的方程和定义【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力. 4. 【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点F 的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.5.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．8D 【答案】B 【解析】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设112(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，我们通常使用设而不求的办法，此题中，我们设出1122(,),(,)A x y B x y 两点坐标，由2OA OB ⋅=，得122y y =-，接下来表示出ABO ∆与AFO ∆面积之和，利用基本不等式即可求得最小值，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”. 6.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.7. 【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ） （C ）12 （D ）【答案】C【解析】由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 303==，故直线AB 的方程为3y (x )34=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y)A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．9.【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.10.【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++=【解析】试题分析：设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AF CAF AC AF⋅∠===-⋅，m =C 与y 轴得正半轴相切，则取m =，所求圆得圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=.【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是0120CAF ∠=，会不会用向量的坐标表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为()1,C m -，那么方程就是()()2211x y m ++-=，若能用向量的坐标表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了.11.【2014上海,文4】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【考点】椭圆与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 12.【2014高考陕西版文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________. 【答案】1x =-【解析】试题分析：由抛物线的几何性质知：抛物线24y x =的准线方程为1x =-，故答案为1x =-. 考点：抛物线的几何性质.【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的几何性质，属于容易题，解题时直接利用抛物线的几何性质即可求得其准线方程13.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1； （2）7y x =+．于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x=，解得32x =，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 14.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）2716试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)1(23422+++-=k k k x Q ，因为|PA1)2x +=)1(12++k k |PQ |= 1)1)(1()(1222++--=-+k k k x x k Q ，所以|PA ||PQ |=3)1)(1(+--k k令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．15.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点. 试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x tp y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-,即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 16.2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为，则的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设与轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．17. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,CD 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II) 4±.2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线的斜率为，则的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3()2，229614a b∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。