2019届湖南省八校高三毕业班调研联考(暑假返校考试)数学(理)试卷(word版)

绝密★启用前湖南省2019届高三毕业班调研联考（暑假返校考试）数 学(理科)本试题卷共23题(含选考题)。

考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：lh 、lwz 注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自已的姓名、准考证号和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

第I 卷（选择题）一、选择题。

(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分。

在每小题的四个选项中只有一个选项最符合题目要求。

)1．已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则（ ）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2．已知()21i z-= 1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表． 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A. 最低温与最高位为正相关B. 每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 165．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -= ( )A. -2B. 0C. 1D. 26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7．三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（ ）A ．38 B ．611 C ．311 D ．358．已知()002sin13,2sin77a =， 1a b -=， a 与a b -的夹角为3π，则•a b =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28yx = B ．28x y = C ．24yx = D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A. 2 B. 4C.2+D. 4+11．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，点M ， N ， F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A.12B. 12C. 12D. 212．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ） A. 在线段上存在一定点，使得的长度是定值B. 点在某个球面上运动C.对于任意位置，二面角始终大于二面角D. 存在某个位置，使得直线与所成角为第II 卷（非选择题）二、填空题。

(本大题共4个小题，每小题5分。

满分20分。

请将答案填在答题卡上的对应位置上。

)13．设x ， y 满足约束条件则3z x y =-的取值范围为 ．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，++∈+==N n a a a a n n n ,)3(31,3111，且nna b +=31．记n n b b b P ⨯⨯⨯= 21，n n b b b S +++= 21，则=++n n n S P 13 ．16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．三、解答题。

(本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cCbBaAs i n c o s c o s =+. （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC ； （Ⅱ）若bc a c b 56222=-+，求tanB.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABC 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （Ⅰ）证明MN ∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立. （Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．（本小题满分12分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为21,F F 的椭圆的离心率为36，焦距为22，A ，B 是椭圆上两点.（Ⅰ）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA ⊥OB ，求此圆的方程； （Ⅱ）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为31-，求动点P 的轨迹方程.21．设函数， x R ∈，其中,a b R ∈.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.(选考题)22．选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点. （Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与曲线相交于两点，若，求实数的取值范围.(选考题)23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-．（Ⅰ）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．湖南省2019届高三毕业班摸底调研联考理科数学试题卷参考答案及解析13．[]2,4-14．1415．316．.17．（Ⅰ）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>， 则a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksinC. 代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有 cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k A+=，变形可得sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin （A+B ）.在△ABC 中，由A+B+C=π，有sin （A+B ）=sin （π–C ）=sin C ， 所以sin A sin B=sin C. （Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 2223cos 25b c a A bc +-==.所以45=. 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ， 故tan B=sin cos BB=4. 18．（Ⅰ）由已知得.取的中点T ，连接，由为中点知，.又，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MNAT .因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，()0,2,4PM =-， 522PN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 5,1,22AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即240,20,2y z x y z -=+-=可取()0,2,1n =.于是85cos ,n AN n AN n AN⋅〈〉==.19．（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是1411042105C C ==.……2分（Ⅱ）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()3 0.4X B -，，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的 均值为1.2100120⨯=元.由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………7分（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y .由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，.于是，恰好k 次中奖的概率为()10100.40.6kk kP Y k C -==⨯⨯，0 1 10k =，，…，. 从而()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-， 1 2 10k =，，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=， 则()4P Y =最大.所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元.于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分20、（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===,,222,36222c a b c a c 得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,3c b a ∴椭圆方程为1322=+y x . ①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，代入椭圆方程得0)1(36)31(222=-+++m kmx x k .∴222122131)1(3,316k m x x k km x x +-=+-=+. ∵OA ⊥OB ，∴0OA OB ⋅=，即22121221212121)()1())((m x x km x x k m kx m kx x x y y x x ++++=+++=+0)316(31)1(3)1(22222=++-⋅++-⋅+=m kkm km k m k ，即033422=--k m . ∵AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径12+=k m r ，则431222=+=k m r ，∴圆的方程为4322=+y x . ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB 方程为23±=x 满足上述方程.综上，所求圆的方程为4322=+y x . （2）设),(),,(),,(2211y x B y x A y x P ，由3OP OA OB =+得⎩⎨⎧+=+=,3,32121y y y x x x又直线OA ，OB 的斜率积为31-，∴312121-=x x y y ，即032121=+y y x x . ∵A ，B 在椭圆上，∴,13,1322222121=+=+y x y x 联立得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=++=+=,33,33,03,3,32222212121212121y x y x y y x x y y y x x x 消去2211,,,y x y x ，得30322=+y x . 当OA 斜率不存在时，即01=x ，得3,0,1221±==±=x y y .此时33±=x ，同理OB 斜率不存在时，33±=x ，∴P 点的轨迹方程为)33(30322±≠=+x y x.21．（Ⅰ）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞. （2）当0a >时，令()0f x '=，解得3x =或3x =-.当x 变化时，()f x '， ()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （Ⅱ）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0a >且00x ≠.由题意，得()20030f x x a '=-=，即203ax =， 进而()300023a fxxa x=--=，又()()30000082282233a af x x ax b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠， 由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以10+2=0x x .（Ⅲ）证明：设在区间[]1,1-上的最大值为M ， {}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当3a ≥时，1133-≤-<≤，由（Ⅰ） 知， ()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}max |1|,|1|max 1,1M f f ab a b =-=---+-{}max 1,1a b a b =-+--1+,0,{ 1,0,a b b a b b -≥=--<所以12M a b =-+≥.（2）当334a ≤<时，113333-≤-<-<<≤，由（Ⅰ）和（Ⅱ） 知()133f f f ⎛⎛-≥-=⎝⎭⎝⎭， ()133f f f ⎛⎛≤=- ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,ff ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此M= max ,max f f b b ⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪= ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭231max 944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭.（3）当304a <<时， 1133-<-<<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，()133f f f ⎛⎫⎛-<-=⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， ()133f f f ⎛⎛>=- ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}max |1|,|1|max 1,1M f f a b a b =-=-+--- {}max 1,1a b a b =-+--114a b =-+>. 综上所述，当0a >时，在区间[]1,1-上的最大值不小于14. 22．（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.设点，. 由中点坐标公式得，代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.（2） 直线的普通方程为，由题意可得，解得，即实数的取值范围是.23．（1）当3a =时， ()21,3{5,32 21,2x x f x x x x --≤-=-<<+≥，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥，解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-⋃+∞．（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时， 42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-。