2015年高一数学精品优秀教案：1.3.1《单调性与最大(小)值》(3)(新人教A版必修一)
1.3.1 单调性与最大(小)值 教案
1。
3.1 单调性与最大(小)值第1课时错误!教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点:归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．错误!创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图,捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息?预案：（1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；（2)在某时刻的温度；(3）某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y ＝错误!的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：（1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大;函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．（2）函数y＝x2在［0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．（3）函数y＝错误!在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在（－∞，0）上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f（x)在某个区间上随自变量x的增大,y 越来越小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y＝x＋错误!(x＞0）的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1）在给定区间内取两个数，例如1和2,因为12＜22，所以f(x）＝x2在[0，＋∞）为增函数．(2)仿(1），取很多组验证均满足,所以f(x)＝x2在［0，＋∞）为增函数．(3）任取x1,x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2）（x1－x2）＜0，即x12＜x22，所以f(x）＝x2在［0,＋∞）为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2。
单调性与最大(小)值教法设计
标题：《函数单调性与最大（小）值1》课时分配（2课时）备课组长：中心发言人：教材分析：单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。
学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。
本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。
也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。
因此，本次课的教学尤为关键。
本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
学情分析：认知分析：在初中学习函数时，已经重点研究了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性。
只是当时的研究较为粗略，即未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出；在前面学习函数时，对函数的定义域、值域以及函数的表示法又有了新的认识。
这些形成了学生思维的"最近发展区"。
能力分析：学生已经具备了一定的观察、研究能力，但在数学逻辑推理与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析：本人所教学生乃职业中学的学生，基础与普通中学相比有一定的差距，但学生比较活泼，有积极向上的一面。
学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.教法与学法指导新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。
在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。
人教版高中数学必修1第1章1.3.1 单调性与最大(小)值(3)教案
1.3 函数及其基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值（三）教学目标分析：知识目标：1．熟练掌握证明和判断函数单调性的方法； 2．掌握求简单函数最值的方法3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．过程与方法：借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。
情感目标：渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。
重难点分析：重点：函数单调区间和最值的判断和求法 难点：函数最值的求法 互动探究： 一、课堂探究： 复习回顾：1．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升的图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。
（填＂上升＂或＂下降＂） 4．函数单调性证明的步骤： （1）根据题意在区间上设12x x <； （2）比较12(),()f x f x 大小；(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂.5、函数的最大值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。
那么称M 是函数)(x f y =的最大值。
2015高中数学1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第1课时)教学设计新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教材分析研究函数的单调性和最值是函数性质一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排：2课时第1课时函数的单调性【教学目标】1．知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念，通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
单调性与最大(小)值 精品教案
§1.3.1单调性与最大（小）值（平行班）（第一课时）【教学目标】：（1）知识目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义和函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；利用函数的单调性求函数的最大（小）值．．（2）过程与方法目标：从已有的函数知识经验出发，系统的学习函数知识，理解函数性质（3）情感与能力目标：从知识的发现认识过程中，提升知识的理解，建立数学学习的信心。
通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力。
【教学重点】：函数的单调性及其几何意义．【教学难点】：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．【教学突破点】：从已有的函数知识引入通过函数单调性的概念，而通过具体函数的图像形象理解函数单调性的定义。
【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件——————————————第 1 页（共8页）————————————————————————————第 2 页（共8页）————————————————————————————第 3 页（共8页）————————————————————————————第 5 页（共8页）————————————————————————————第 6 页 （共 8页）——————————————§单调性与最大（小）值班级 姓名 A 组一、选择题：1．若一次函数),()0(+∞-∞≠+=在k b kx y 上是单调减函数，则点),(b k 在直角坐标平面的（ ）A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面2．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A ．[－21,+∞] B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－21） D ．（－∞，+∞） 3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（ ）A ．xy 1=B ．2x y +=C ．2x y -=D ．122--=x x y 4．已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥3B ．a ≤-3C ．a ≥-3D ．a ≤5 5．设A=[1，b]（b ＞1），)(1)1(21)(2A x x x f ∈+-=，若f （x ）的值域也是A ，则b 值是（ ）A ．23 B ．2 C ．3 D ．27 6．定义在R 上的f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且在（－∞，0）上是增函数，若)1()1(2f a f <-，——————————————第 7 页 （共 8则a 的取值范围是（ ） A ．2||<a B ．|a|>2 C ．1|1|2<-a D ．2||>a二、填空题：7．若函数f(x)=(-k 2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是 8．定义在区间[a 、b]上的增函数f （x ），最大值是________，最小值是________。
1.3.1 单调性与最大(小)值(2)(教案)
§1.3 函数的基本性质§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）【教学目标】l.知识与技能理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2. 过程与方法通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。
3. 情感态度与价值观利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。
【教学重点】函数的最大（小）值及其几何意义。
【教学难点】利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
【教学方法】学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤。
【教学过程】【导入新课】思路：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+； ②()3[1,2]f x x x =-+∈-；③2()21f x x x =++； ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-。
【推进新课】【新知探究】【知识点1】1、函数的最大（小）值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）存在0x I ∈，使得()0f x M =；（2）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≤）。
那么称M 是函数()y f x =的最大（小）值。
【注意】（1）函数的最大（小）值首先应该是该函数的函数值，即存在0x I ∈，使得()0f x M =；（2）函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()fx M ≤）。
【知识点2】2、求函数最值的方法： （1）图像法；（2）配方法；（3）换元法；（4）分离常数法；（5）判别式法； （6）单调性法。
结论：最大值：已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，a c b <<，当[],x a c ∈时，()f x 是单调增函数；当[],x c b ∈时，()f x 是单调减函数，则当x c =时()f x 取得最大值()()m ax f x f c =。
单调性与最大(小)值 --优质教案 (5)
《1.3.1单调性与最大（小）值（第1课时）》教学设计课型：新授课一、教学内容解析函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.二、教学目标按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：1.从实际问题出发，使学生通过观察、思考，直观感知函数的单调性.通过探究，讨论函数图像的变化趋势与y值随自变量x的变化情况之间的关系.让学生体验“任意”二字的含义，将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.2.从具体的二次函数2x,0(+∞上为增函数入手，通过学生对“y值y=在区间)随x的增大而增大”的逐层深入认识，将自然语言转化为数学符号语言，教师再加以合理引导，顺利突破本课第一个难点。
使学生从形与数两方面理解增、减函数的概念，掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此，让学生领会数形结合的数学思想方法，经历从具体到抽象，从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.3．通过对增、减函数概念的深入挖掘，初步掌握证明函数单调性的方法与步骤，培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力，提高学生的推理论证能力.三、学生学情分析学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力，但对于感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍，对于自然语言向符号语言的转化，学生会觉得比较困难.另外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.四、重、难点分析重点：增、减函数概念的形成及单调性的初步应用.难点：增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性.五、教学策略分析本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量.在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．六、教学过程（一）创设情境引例某品牌电热水壶，烧开一壶水需要6分钟，水开后自动断电，50分钟后冷却至室温.（1）你能描述一下，水温随时间的变化时如何变化的吗？（2）你能用图像表示出这种变化关系吗？（3）你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起来吗？这是一个实际问题，在描述上述变化关系时，把定义域分成了两个区间去研究.函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质------函数的单调性.（通过朴素的实际问题，让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起来，同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.）（二）自主探究1. 个人独立完成或学习小组合作完成.任意写出一个函数的解析式及定义域，画出草图，任意列出一些自变量和相应的函数值，将“图像的上升、下降趋势”与“y 值随x 的变化”结合起来.2.展示探究成果. 探究成果预设：)(2R x x y ∈= }0{1≠=x x xyX<0 x>0)(2R x x y ∈=,在),(+∞-∞上，y 值随x 的增大而增大，图像是上升的.)0,(-∞∈x 时，y 值随x 的增大}0{1≠=x x xy 当而减小，图像是下降的；当),0(+∞∈x 时，y 值也随x 的增大而减小，图像也是下降的.教师追问：能不能说xy 1=的图像在整个定义域上是下降的？能不能说整个定义域上y 值随x 的增大而减小？3.教师用几何画板演示二次函数2x y =的函数值y 随x 的变化而变化的过程，并任意选取自变量给出相应的y 值，让学生再次感受图像上升与y 随x 的增大而增大相对应；图像下降与y 随x 的增大而减小相对应.(三)抽象出增、减函数的定义1.问题引导：究竟如何理解“y 随x 的增大而增大”呢？学生探讨，得出“y 随x 的增大而增大”可以用符号语言表示为“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”.函数2x y =，在),0(+∞∈x 上满足，当21x x <时，)()(21x f x f <，则2x y =在),0(+∞上是增函数.2.一般的，对于函数x f y (=），在定义域的某个区间),(b a 上，如何说明它是增函数呢？让学生归纳出增函数的定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.用图像刻画增函数.3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义. 一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间D 上是减函数.用图像刻画减函数。
《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案
1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）一、 教学目标1．知识与技能：(1)理解函数单调性的概念(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤2．过程与方法：通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力3．情感态度与价值观：通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。
二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡三、教学模式：引导探究四、教学方法：教师启发讲授五、 教学基本流程：六、 教学过程：从实际问题引入函数的单调性 通过函数图像，直观认识函数的单调性通过图表，用自然语言描述用数学符号语言描述单调性由图像判断函数的单调区间 利用定义证明函数单调性 练习、反馈、巩固 归纳小结1．创设情境（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因。
（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。
而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。
（过渡性语言）原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。
从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。
同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。
2．探究新知（1）观察图像，感知特征（直观感知）首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x)(和二次函数f=x2f=，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面x(x)天气图像的变化规律？（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x)(的图像是上f=x升的；而二次函数2f=的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。
高中数学1.3.1单调性与最大(小)值教案新人教A版必修1
高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案 新人教 A 版必修 1
结论：这时，说 y1= x 2 在[0 ， +∞ ] 上是增函数。 （同理分析 y 轴左侧部分）由此可有：
2. 定义：（投影 2）
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I ：
如果对于属 于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值
x1、 x2, 当 x1 x2 时都有 f(x 1)<
例 1. 下图是定义在闭区间
5,5 上的函数 y=f(x) 的图象，根据图象说出函数的单调区
间，以及在每一个区间上的单调性（ 课本 P34 例 1）。
问题 3： y=f(x) 在区间 5, 2 ， 1,3 上是减函数；在区间
2,1 ， 3,5 上是增函数，那
么在两个区间的公共端点处，如： x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数？
（ 4） [ 2,2] （ 5） [ 2,4]
高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案 新人教 A 版必修 1
如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数 , 那么就说函说 y=f(x) 在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x) 的单调区间，在单调区间上增函数的图象是 上升的，减函数的图象是下降的。 注意：（ 1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点 x1,x 2 的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 （III ）例题分析
随着 x 的增加， y 值在增加。 问题 2：怎样用数学语言表示呢？
设 x1、 x2 ∈[0 ， +∞ ] ，得 y 1=f(x 1), y 2=f(x 2). 当 x1<x2 时， f(x 1 )< f(x 2). ( 学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时 机予以启发 ) 。
人教A版高中数学必修1-1.3.1《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教学目标：1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念。
2、掌握增（减）函数的证明和判别。
3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质。
教学重难点：重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值。
难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值。
在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
教学过程：1.情境导入教师通过大屏幕出示2008年北京奥运会相关视频，学生观看后，出示北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图，引导学生识图，启发学生思考分析最高最低温度，温度随时间的变化等等，让体会数学在生活中的应用。
根据学生的回答，教师讲解：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。
顺势引出课题---单调性和最大（最小）值。
2.新课讲授活动一：师生合作，感知函数单调性教师出示f（x）=x和f（x）=x2的函数图像，并提出问题：函数图像是怎样变化的？预设学生回答：对于一次函数，图像是一直上升的，对于二次函数的图像，先下降，再上升。
此时教师进行讲解：图像的上升和下降反应了函数的单调性，并出示f（x）=x2中x和y的对应值表，再次提出问题：如何描述函数的上升和下降？组织学生同桌讨论，启发学生说出：在区间（-∞，0],f（x）随着x的增大而减小，在区间（0，+∞）,f（x）随着x的增大而增大。
在此基础上，教师追问：如何用严谨的数学语言表示函数f（x）=x2随着x的增大而增大或者减小？预设学生回答并不完美，教师随时抓住时机进行引导和补充，并给出适当的示范，描述出f（x）=x2在（0，+∞）是增函数，并让学生仿照描述f（x）=x2在区间（-∞，0]是减函数。
最后教师给出定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），函数f（x）在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），函数f（x）在区间D上是减函数。
高中数学1.3.1单调性与最大小值教案新人教A必修1
福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值教案新人教A版必修11.3.1 单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性三维方针定向〖知识与技能〗（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。
〖过程与方式〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。
〖感情、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。
教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。
〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。
教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数xxf=)(和二次函数2)(xxf=的图象。
（几何画板）问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。
二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。
增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。
学生类比得出减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。
〖知识提炼〗同增异减注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必需是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。
单调性与最大(小)值 精品教案
单调性与最大（小）值【教学目标】1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义。
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数。
体会求函数最值是函数单调性的应用之一、2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念。
培养应用函数的单调性求解函数最值问题。
3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。
【教学重难点】重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义。
【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图情境引入师：我们高一（5）班最高的男生是谁？生：金哲航师：你是如何得知的呢？（学生讨论）师引导：在高一（5）班内任选一名男生，都一定比金哲航同学矮。
师：如果说“我们高一（5）班最高的男生是姚明”对吗？生：不对，他不是我们高一（5）班的男生从现实问题出发，激发学生的学习兴趣，同时为学习接下来的函数最值概念做好铺垫提出问题（1）观察图象，指出下列图象的最高点或最低点，（1）xxf=)(（2）2)(xxf=（3）的[]2,1,1)(-∈+=xxxf图象呢，有没有最高点或最低点？（4）你是怎样理解最高点的？师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f （x）的图象特征，通过图象观察，明确（2）中函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值。
应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值。
形成概念函数最大值概念：一般地，设函数y = f （x）的定义域为I。
如果存在实数M满足：（1）对于任意x I都有f∈（x）≤M。
（2）存在x0I，使得f∈（x0） = M。
那么，称M是函数y = f（x）的最大值。
师：对于函数y = f （x）、f（x0）为其最大值。
即f （x0）≤ f （x）意味着什么？生：f （x0）为函数的最大值，必须满足：①x0定义域；∈②f （x0）值域；∈③f （x0）是整个定义域上最大的函数值。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.1 单调性与最大（小）值》
§函数的单调性（人教版必修一）教案河北易县中学边红霞一、教材分析1、地位及作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的定义域、值域、最值、奇偶性等其它性质出现。
它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础，同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用。
研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
2、教学目标1）、知识目标：（1）理解单调性概念，掌握函数单调性的应用（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图助数的过程，在这个过程中，通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。
2）、能力目标：在探索过程中培养分析、归纳、抽象思维及推理判断能力。
初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
3）、情感目标：在参与过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，提高学好数学的自信。
3、教学重点与难点难点：函数单调性定义。
重点：利用定义证明函数的单调性。
二、教学方法根据学生的认知规律，本节采用探索式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以熟悉的问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
在鼓励学生主体参与的同时，发挥教师的主导作用，教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
三、学法分析1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过对比构造，来完成从感性认识到理性思维质的飞跃，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。
单调性与最大(小)值 精品教案
单调性与最大（小）值【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】函数单调区间的判定。
【教学方法】观察、探究、讨论。
【教学过程】一、新课引入：师：前面我们学习了函数的概念及其表示方法。
在函数的不同表示方法中，图象法可以直观形象地表示随着自变量的变化，函数值的变化趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质。
今天开始，我们就来利用函数的图象研究函数的一些基本性质。
二、讲授新课：1.单调性的概念：师：首先，请同学们观察一次函数()f x x =和二次函数2()f x x =的图象。
从左至右，它们的图象分别是怎样的变化趋势？生：函数()f x x =的图象从左至右是上升的；函数2()f x x =的图象在y 轴的左侧从左至右是下降的，在y 轴的右侧从左至右是上升的。
师：我们怎样用自变量x 和相应的函数值()f x 的变化来描述上面的规律呢？请以二次函数2()f x x =为例进行描述。
生：在区间(,0]-∞上，随着x 的逐渐增大，相应的函数值()f x 逐渐减小；在区间(0,)+∞上，随着x 的逐渐增大，相应的函数值()f x 逐渐增大。
师：很好！对于二次函数2()f x x =，怎样用数量关系来描述“在区间(0,)+∞上，随着x 的逐渐增大，相应的函数值()f x 逐渐增大”这个性质呢？（师引导学生探究、分析，得出结论）生：在区间(0,)+∞上，任取两个自变量的值1x 、2x ，得到与它们相对应的函数值211()f x x =和222()f x x =，当12x x <时，12()()f x f x <。
师：这时，我们就称函数2()f x x =在区间(0,)+∞上是增函数。
2.单调性的几何意义师：如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
那么，函数在区间上D 是增函数或减函数，反映在这函数的图象上有什么特征呢？生：如果函数在区间D 上是增函数，那么它的图象在区间D 上从左至右是上升的；如果函数在某区间上是减函数，那么它的图象在区间D 上从左至右是下降的。
《函数的单调性与最大(小)值》教案#优选.
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（1）教案授课人：马山中学蒙立勇1．教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．2．教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．3．教学方法和教学手段运用导学案方式引导学探索发现新识。
4．教学过程5、教学基本流程：单调性的直观感受---单调性的定性描述-----单调性的定量刻画-----单调性的具体应用合作学习问题探究（2）对于函数f(x)，当自变量x在定义域的某个区间上的任取两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则在这个区间上随着自变量x的增大，函数值f(x)都在逐步增大，则函数在这个区间上是增函数由此可知要确保函数是增函数，x1，x2在这个区间必须是任意才可以归纳总结形成结论一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间D叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义教师引导学生找出定义中的关键词：定义域内的某个区间----自变量的任意两个值-----都有。
单调性与最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大（小）值【教学目标】1.知识与技能：（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。
（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。
（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。
2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。
3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.【重点难点】1.教学重点：理解函数的最值。
2.教学难点：运用函数的单调性求函数的最值。
【教学策略与方法】1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入；喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.1.观察与思考；问题1. 这两个函数图象有何共同特征？问题 2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,学生通过对图像的观察，进行口答。
遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的单调性，进而为抽象出单调性的数学概念打下基础。
yx o x图M2()([2,6])1=∈-f x x x f(x)与M 的大小关系如何?环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念； 问题1.函数最大值的“形”的定义： 当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。
当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。
问题2.函数图象最高点的数的刻画： 函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。
对应函数 而言，即对于任意的()y f x = ，都有0()()f x f x ≤函数最大值定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有________； （2）（2）存在x0∈I ，使得_______。
高中数学人教A版必修一1.3.1【教学设计】《函数的单调性和最大(小)值 》
《函数的单调性与最大（小）值》第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。
他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？（二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：。
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例1、函数]4,1[,642∈+-=x x x y 的最小值为 ，最大值为 。
练习：函数]1,1[,232-∈+-=x x x y 的最小值为 ，最大值为 。
一般结论： ],[),0()(2n m x a c bx ax x f ∈>++=
（Ⅰ）配方，求对称轴0x x =；
（Ⅱ）判断0x x =是否属于给定区间[m , n]：
① 若],[0n m x ∈，则)(0min x f y =，再求)(),(n f m f ，较大者为最大值； ② 若],[0n m x ∉，则求)(),(n f m f ，较大者为最大值，较小者为最小值。
练习（1）求函数])4,2[(22∈-=x x x y 的最大、最小值。
（2）求函数])1,1[(22-∈-=x x x y 的最大、最小值。
例2、求函数3)1(4
3)(2++-=x x f 在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。
练习（1）（2006年福建高考）求函数x x x f 8)(2+-=在区间[t , t + 1]上的最大值。
（2）设函数f (x) = 4x 2 – 4ax + (a 2
– 2a + 2)在[0, 2]上的最大值为3，求a 的值。
（3）求函数])1,[(22+∈-=t t x x x y 的最大、最小值。
作业：
1、求函数x x x f 8)(2+-=在区间[t , t + 1]上的最大值。
2、已知函数]5,5[,22)(2-∈++=x ax x x f 。
（1）当a = – 1时，求f (x)的最值；
（2）求实数a 的取值范围，使y = f (x)在[– 5 , 5]上是单调函数。