幻方
三年级幻方题目
三年级幻方题目
# 一、幻方的概念
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
（一）题目
把1 - 9这九个数字填入下面的九宫格中，使每行、每列以及每条对角线上的三个数字之和都相等。
（二）解析
1. 确定幻和
- 1+2 + 3+4+5+6+7+8 + 9=(1 + 9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5 = 45。
- 因为幻方中三行数字之和相等，所以幻和（每行、每列、每条对角线数字之和）为45÷3 = 15。
2. 确定中心数
- 考虑到经过中心数的行、列、对角线共有四条，这四条线上的数字之和为幻和×4。
- 设中心数为x，四条线上的数字之和可以表示为1+2+3+…+9+3x（因为中心数加了4次，多算了3次）。
- 即45+3x = 15×4，45+3x = 60，3x = 15，解得x = 5。
所以中心数是5。
3. 填写其他数字
- 然后根据幻和是15来凑数。
例如，与5在一条对角线上的两个数之和为10，可以是1和9、2和8、3和7、4和6。
- 先尝试一种，第一行可以是8、1、6（因为8 + 1+6 = 15），第二行3、5、7（因为3+5 + 7 = 15），第三行4、9、2（因为4+9+2 = 15）。
并且要保证每列的和也是15。
经检验，这样的填法满足要求。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
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我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
幻方量化 简介
幻方量化1. 引言幻方是一种特殊的正方形矩阵，其中每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
幻方在古代就被广泛研究，并且具有一些神秘的数学性质。
近年来，幻方也被引入到量化交易领域，用于构建量化交易策略。
本文将介绍幻方的基本概念和性质，以及如何将其应用于量化交易。
2. 幻方的基本概念2.1 正常幻方正常幻方是指每个数字都是唯一且不重复的幻方。
最简单的3阶正常幻方如下：8 1 63 5 74 9 22.2 奇阶幻方和偶阶幻方根据幻方的阶数（即矩阵的行数和列数），可以将幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方是指阶数为奇数的幻方，而偶阶幻方是指阶数为偶数的幻方。
奇阶幻方和偶阶幻方具有不同的构造方法和性质。
2.3 非正常幻方非正常幻方是指其中的数字可以重复的幻方。
非正常幻方也可以用于量化交易中的策略构建。
3. 幻方的性质3.1 幻方的对称性幻方具有多种对称性，包括水平对称、垂直对称、主对角线对称和副对角线对称。
这些对称性可以用于幻方的构造和分析。
3.2 幻方的旋转和镜像幻方可以通过旋转或镜像操作得到新的幻方。
这些操作可以改变幻方中数字的位置和排列方式，从而产生不同的幻方。
3.3 幻方的数学性质幻方具有一些有趣的数学性质，包括： - 幻方的数字之和等于幻方的阶数乘以幻方的中间数字 - 幻方的数字之和等于每行、每列和对角线上数字之和的平均数 - 幻方的每个数字都可以表示为其他数字的和或差4. 幻方在量化交易中的应用4.1 幻方信号生成幻方可以用于生成量化交易的信号。
通过将幻方中的数字映射到交易品种的价格或指标上，可以构建出一系列的交易信号。
这些信号可以用于判断交易的买入和卖出时机。
4.2 幻方的组合及优化幻方可以与其他技术指标和交易策略进行组合和优化。
通过将幻方的信号与其他指标的信号进行叠加或加权，可以得到更加准确和可靠的交易信号。
4.3 幻方的参数优化幻方中的数字可以作为交易策略的参数进行优化。
通过对幻方的数字进行调整和优化，可以找到最佳的参数组合，从而提高交易策略的盈利能力。
初中数学幻方的解法
1.暴力搜索法幻方解题的最初方法是暴力搜索法。
这种方法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
2.加1法加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
3.线性代数法线性代数法是基于矩阵和行列式的组合在内的线性代数来计算幻方。
它使用比"加1法"更加复杂的算法来解决幻方，但是在解决复杂的幻方问题方面非常有效。
线性代数法的基本思路是将幻方转化为一个矩阵，然后对该矩阵进行一系列操作，计算出其行列式，最终得到解决幻方的结果。
a.构造幻方矩阵首先，需要将幻方构造成一个矩阵。
对于一个n阶幻方，矩阵的大小也是n×n。
将幻方中的每个数字都与一个矩阵中的元素相对应，这些元素的值就是幻方中每个数字的值。
b.求出幻方矩阵的行列式然后，需要计算矩阵的行列式。
行列式是一种数学工具，用来计算一个矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵，行列式可以用一个n×n的矩阵来表示。
该矩阵的元素是由原矩阵中对应位置的子矩阵的行列式组成的。
c.计算幻方矩阵的行列式的值通过计算幻方矩阵的行列式的值，可以得到该幻方的解题结果。
如果幻方矩阵的行列式的值等于0，则该幻方无解。
如果幻方矩阵的行列式的值为非零数，则可以使用行列式展开式来计算幻方的解题结果。
总体来说，线性代数法是一种非常有效的幻方解题方法。
它比暴力搜索法和加1法更加高效，并且可以解决大多数幻方问题。
但是，这种方法需要使用高级数学知识，需要较高的数学水平才能应用。
4.对称性法对称性法是基于幻方的对称性的一种解题方法。
人教初中数学七年级 上册一元一次方程数学沃土中长出的奇葩----幻方
数学沃土中长出的奇葩----幻方一、幻方的由来幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹治水时，有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。
待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。
大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。
大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。
过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。
忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。
大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。
原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。
如图1所示：“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就组成了一个纵横图。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三行三列，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都等于15，如图2所示，这样的3×3的图我们称为三阶幻方。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后又有很大的扩展，成为纵横均为ｎ行的纵横图也就是n阶幻方。
这就是幻方的由来.二、三阶幻方中的规律根据幻方成立的条件，我们知道三阶幻方具有如下规律：1、每一行，每一列，每一条对角线上的三个数的和相等，我们不妨把这个相等的和值叫做三阶幻方的幻和.2、中心数处于幻方最中间的数称为中心数，且幻和=3×中心数.3、含中心数的行，列，对角线上的三个数中，其余两个数的和是中心数的2倍.证明：设三阶幻方的幻和为S，对角线的三个数为a,b,c，其中b是中心数，根据幻方知道：a+b+c=S,S=3b,所以a+c=2b.4、和任何一个角上的数同横行，同竖列，同对角线上的其余两个数的和相等.如图3，以数a为例，则有d+e=b+c=f+g.证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+d+e=S, a+ f+g =S,所以d+e=b+c=f+g.5、和周边三数的中间数同横行，同竖列的两个数的和相等.如图3，以数b为例，则有a+c=p+f.6、任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+f+g=S, p+ f+b =S, g+ h+c =S,所以a+b+c+a+f+g+p+f+b+g+h+c=4S，所以2（a+b+c）+2f+2g+p+h=4S，所以2S+2（S-a）+p+h=4S，即2S+2S-2a+p+h=4S,所以p+h=2a.三、三阶幻方的构造1、已知九数，构造幻方例1 用11，13，15，17，19，21，23，25，27这九个数构造一个广义的三阶幻方.分析：当已知九个数构造幻方时，关键是确定幻方的中心数，构造幻方的主要方法是-阶梯法，也就是把正方形从四周向外扩展成阶梯状，然后把数按照由小到大的顺序排列好，从最左边阶梯开始，按照从小到大的顺序依次斜置于阶梯上，后把拓展出的正方形内的数按照左右更替放置，上下更替放置的方式，把正方形外的数移到正方形内部，完成三阶幻方的构造.解：因为中心数为19，构造阶梯如图4，所以三阶幻方如图有图所示.2、已知幻和，构造幻方例2 自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行，每列和每条对角线上的三个数的和都等于45.分析：根据幻和与中心数之间的关系，我们可以确定出中心数的大小，然后利用等差方式依次向前确定四个数，向后确定四个数，利用阶梯法可以完成构造.解：因为幻和为45，所以中心数为15，按照依次差5方式确定数如下：-5，0，5，10和20，25，30，35，构造阶梯法如图5所示，所以三阶幻方如图5右图所示.3、已知同横行的三数，构造幻方例3 在图6所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、求幻和：S=3+4+（-1）=6；2、求中心数：6÷3=2；3、根据幻和，确定3，2所在对角线上空缺的数；4、根据幻和，确定4，2所在竖列上空缺的数 5、依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图6中的右图所示.4、已知同横行的两数，和与行有公共空角在列中的一个数，构造幻方例4 在图7所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定右下角中的数：4+8=2+x；2、根据规律3确定中心数：（4+x）÷2；3、根据对角线上的三数可以确定幻和；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图7中的右图所示.5、已知同横行的两数，和与某数在一条对角线上的一个数，构造幻方例5 在图8所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定最右边竖列中的空缺数：2+9=10+x，x=1；2、根据规律3确定中心数：（2+10）÷2=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：2+6+10=18；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图8中的右图所示.6、已知正方形角上的一个数，和与这个数同行，同列且相邻的两个数，构造幻方例6 在图9所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律6确定最右下角中的空缺数：[（-11）+(-5）]÷2=-8；2、根据规律3确定中心数：[（-6）+(-8）]÷2=-7；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：（-6）+(-8）+（-7）=-21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图9中的右图所示.7、已知正方形角上的两个数，和与这个数夹行，夹列中的一个数，构造幻方例7 在图10所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律5确定中心数：4+8=5+x，x=7；2、根据规律3确定另一角上的数：8+x=14，x=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：6+8+7=21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图10中的右图所示.。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
幻方
• 相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在 黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲 上背有9种花点的图案，人们将图案中的花 点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇 妙，后来人们就称这个图案为洛书。 • 洛书给出的9个数所排成的方阵具有绝妙的 性质，横的3行、纵的3列以及两对角线上 各自的数字之和都为15。
幻
方
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幻方的定义 幻方的历史 奇阶幻方 偶阶幻方 幻方的神奇
• 幻方又称为魔方，它是由1到n的平方,这n 的平方个自然数按照一定的规律排列成N行、 N列的一个方阵。 • 它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状 的表上排列适当的数字，如果对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条 路线，最后得到的和都是完全相同的 • 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
4
9
2
8
5
1
7
6
• 人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其 进行了多方面的研究。我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书，把图２叫“九宫算”， 又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于 “九宫图”的图形叫“纵横图”，国外数 学家把它叫做“幻方”。
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
13 21 1 19 25 2 20
14 22
15
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12 9
8
3 2
5
双偶数阶幻方的编排方法 --------中心对称交换法
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
在幻方中，每个格子都填有不同的数字，而且每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊性使幻方成为了数学界的研究热点之一。
幻方的定义非常简单，即一个n阶幻方就是一个n×n的方阵，其中每个格子中填有1到n²之间的不同整数。
对于奇数阶的幻方，填数字的规则是从第一行的中间开始，依次向右上方填充；对于偶数阶的幻方，则是从第一行的左边开始，依次向右上方填充。
幻方的规律和性质也是数学家们感兴趣的研究方向之一。
幻方的最基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为幻方的“幻和”。
这个幻和的计算方法是将1到n²的所有数字相加，然后除以n，即(n × (n² + 1)) / 2。
除了这个基本规律外，幻方还有一些其他的规律。
例如，对于奇数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的；而对于偶数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的，除了中心数字出现的次数为2。
另一个有趣的幻方规律是对称性。
幻方通常具有不同的对称性，包括水平对称、垂直对称和对角线对称。
这些对称性可以通过幻方的排列方式来实现，使得整个幻方看起来更加美观。
幻方还有一些特殊的性质和变种。
例如，拉丁方是一种特殊的幻方，其中每行和每列都包含1到n的所有数字，且每个数字只出现一次。
还有一种称为魔方的幻方，其中除了每行、每列和对角线的和相等外，每个小正方形的四个角的和也相等。
幻方不仅仅是数学的研究对象，还有一些应用价值。
例如，在密码学中，幻方可以用于生成随机数或者加密信息。
在游戏设计中，幻方可以用作谜题或者解谜的元素。
总结一下，幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
它的基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方还具有对称性和其他特殊的性质和变种。
幻方不仅是数学的研究对象，还有一些实际应用。
通过研究和探索幻方，我们可以进一步了解数学的奥秘和美妙。
幻方构造原理
幻方构造原理最近在研究幻方构造原理，发现了一些有趣的东西，今天来和大家聊聊。
你们有没有玩过那种九宫格的数字游戏呀？就像在一个小表格里填数字，横竖斜三个方向上的数字加起来都相等呢。
这其实就是幻方的一种简单体现啦。
幻方这个东西啊，说起来就像是编了一个特别巧妙的数字阵法。
我一开始接触幻方的时候，真的是一头雾水。
感觉这些数字就像是被施了魔法一样，怎么就能整整齐齐地达到横竖斜相加都相等这个要求呢？后来呀，我在学习过程中发现了一种方法，打个比方吧，这就像是盖房子一样，得有个框架。
对于一些简单的幻方，比如三阶幻方，中间这个数字其实就像房子的支柱一样重要。
一般来说，中间数字就像是整个幻方的平衡点。
你看啊，就拿1 - 9这九个数字组成的三阶幻方来说，最中间的数字是5呢。
围绕这个5来分配其他数字，就是建立幻方的关键。
这是为什么呢？我琢磨着这种对称和平衡就像吃饭时候餐桌上的摆盘似的，讲究一个均匀分布。
从专业角度来说呢，在构造幻方时，要根据一些数学规律来放置数字。
对于奇数阶幻方，有个口诀叫“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样”。
说到这里，你可能会问，那偶数阶幻方又是怎么一回事呢？这个呀，偶数阶幻方就稍微复杂一点了。
像是四阶幻方，就不能简单地用奇数阶幻方的方法了。
我发现有一些方法是基于矩阵变换的原理。
老实说，我一开始也不明白这个矩阵变换是啥意思，就好像突然进入了一个新的数学迷宫。
后来我一点点地看书、查资料才明白，这个矩阵变换可以理解成像是整理一个堆放杂乱货物的仓库，通过一定的规则调整货物（数字）的位置，最后让仓库（幻方）看起来井然有序。
在实际生活中，幻方可不光是数字游戏这么简单。
比如说在一些密码学或者程序设计当中，幻方原理就可以应用到数据加密或者优化算法上。
又像是在建筑设计里，幻方所体现的平衡点和对称原理也能有所体现呢，如果一个建筑的受力（就像幻方里数字相加的平衡一样）分布合理，那这个建筑就会更稳固。
幻方
洛书
• 流传夏禹治水时（距今 四千多年），洛水河中 浮出一只神龟，龟背上 有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」，就是一 个三阶幻方. 我国汉代一 本叫《数术记遗》的书， 称三阶幻方图为“九宫算”， 又叫“九宫图”。宋朝数学 家杨辉的《续古摘奇算 法》的上卷记录了一些 幻方成果，杨辉称幻方 为“纵横图”。 1975年上 海人民出版社出版的自 然辩证法丛书《自然科 学大事年表》，对于幻 方作了特别的述说：“公 元前一世纪，《大戴礼》 记载，中国古代有象征 吉祥的河图洛书纵横图， 即为九宫算，被认为是 现代‘组合数学’最古 老的发现。 洛书被世界 公认为组合数学的鼻祖， 它是中华民族对人类的 伟大贡献之一。”
2003年潘凤雏构造的 4096阶6次幻方
64阶内第一个平方幻方 和三次幻方世界纪录表
64阶内第一个平方幻方 和三次幻方世界纪录表
潘凤雏李文首创的平方 幻方和三次幻方成果
4m阶,mn阶平方幻方的 构造
潘凤雏发表在《大学数 学》上的二次幻方论文
潘凤雏发表在《大学数 学》上的三次幻方论文
08年发表在美国数学月 刊的高次幻方论文
奇数阶幻方的构造
双偶阶幻方的构造
单偶阶幻方的构造
二阶子阵元素集Z4的 单偶阶幻方递推构造
4阶广义幻方例子
幻方的存在性与构造
• • • • • 三阶以上的幻方全部存在。 构造分三类： 奇数阶构造n=2k+1； 双偶数阶构造n=4k； 单偶数阶构造n=4k+2。
• 我个人的判断，应该很早以前 就已经有人解决，只是很难考 证。
近代幻方研究的发展
• 一：幻立方：费尔马第一个提出 幻立方的概念,幻线总数:3n2+4， • 完美幻立方:3n+6个剖面都是广义 幻方，幻线总数:3n2+6n+4。 • 泛对角线完美幻立方：13n2根幻 线. • 多维幻体。 • 二：平方幻方bimagic square • A German naturalized Frenchman Georges Pfeffermann, built the first bimagic square in 1890. • 高次幻方(t次幻方,t>0的整数). • 三：多维高次幻方
小四数学第14讲：幻方
第十四讲幻方--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
4、掌握好3阶幻方中的规律。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
关于幻方的公式
关于幻方的公式幻方这玩意儿，听起来好像挺神秘莫测的，但其实只要咱好好琢磨，也能把它弄得明明白白。
先来说说啥是幻方。
幻方就是一个正方形的表格，里面填了数字，而且每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
就像一个神奇的魔法盒子，怎么加都能得到相同的结果。
咱来看看幻方的公式。
一般来说，对于一个 n 阶幻方，幻和的值可以通过这个公式算出来：幻和 = n×(n² + 1)÷ 2 。
比如说一个 3 阶幻方，那幻和就是 3×(3² + 1)÷ 2 = 15 。
给您讲讲我以前教学生幻方的时候遇到的一件有趣的事儿。
有个小家伙，怎么都搞不明白幻方的公式，愁得小脸都皱起来了。
我就跟他说：“你就把这个幻方想象成一个装满宝贝的宝箱，每行每列和对角线都是通往宝箱的不同通道，而这个幻和就是宝箱里宝贝的总数。
不管你从哪个通道进去，拿到的宝贝都一样多。
”这小家伙眼睛一下子亮了，开始认真琢磨起来。
那怎么用这个公式来构造幻方呢？有很多方法。
比如罗伯法，它就有一套特定的规则。
先把 1 放在第一行的中间，然后依次往右上方填数字。
如果碰到边界了，就转到另一边。
再比如杨辉法。
它是把数字从小到大按顺序斜着填，出了幻方再调整位置。
幻方在数学里的应用可多啦。
像在密码学里，就可以用幻方来加密信息，让别人摸不着头脑。
还有在数学游戏里，幻方能让咱们玩得不亦乐乎。
学习幻方的过程，就像是一场有趣的冒险。
有时候会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但只要不放弃，找到那个公式的线索，就能走出困境，看到美丽的风景。
不管是简单的三阶幻方，还是复杂的高阶幻方，只要掌握了公式和方法，都能轻松应对。
所以啊，别被幻方一开始的神秘样子吓到，跟着公式一步步来，就能揭开它的面纱，发现其中的乐趣和奇妙。
希望您也能在幻方的世界里畅游，感受数学的魅力！。
(参考课件)幻方
耆那幻方是在印度哈周拉合市的 耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12－13世纪的产物。它的任何2×2的 方块内的4个数字和也是34。这个幻 方是一个泛对角幻方（完美幻方）。
7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
28
五、思考题：
在4×4格中，每行、每列、对
阅读材料：
幻方
1
一、幻方的起源： 幻方是一个高深莫测的数学迷宫
和高智力游戏,起源于《易》，古称 九宫（龟文）或纵横图，后来飘洋过 海，东传日本，西播欧美，有了很大 的发展，又以新的方式传回中国，叫 做幻方。中国的《洛书》中记载了世 界上最古老的幻方。
2
二，即二
12
比比看，谁更快！
下图中已填 入了3至18这16个 数中的一些数， 请将剩下的数填 入空格中，使每 行、每列、每条 对角线上各 数 的和相等。
138 4 5 165 7 183 192 10 11 192 183 14 165 16 17 138
13
3、五阶幻方 第一步：画一 个9×9的方格。 如右斜着填数
16
三 、 美 丽 的 幻 方
17
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ；
它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
3
64 法 9 7 5一
10 8
11
6 11 4 579 10 3 8
6
4 92 35 7
81 6
6 11 4
法 二
579
幻方的定义
幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
[编辑本段]n阶幻方与高阶幻方n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。
例子：（三阶幻方，幻和为15，）4 9 23 5 78 1 6三阶幻方中间必填5高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
[编辑本段]幻方的历史:幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
人教版小学四年级数学第14讲：幻方(学生版)
第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
幻方ppt课件
偶数阶幻方的构造方法
偶数阶幻方中最常用的是四阶和八阶幻方。四阶幻方的构 造方法是将1放在第一行中间，然后按顺序将其它数字填入 ，每行从左到右填入数字，每列也从左到右填入数字，保 证每个数字都不重复。
单人幻方游戏
九宫格幻方
将1至9的数字填入3x3的九宫格中，使得每行、每 列以及对角线的数字之和都相等。
16格幻方
将数字1至16填入4x4的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
25格幻方
将数字1至25填入5x5的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
奇数阶幻方
由奇数个数字组成的幻方，通常为3×3、5×5等。这类幻 方构造相对简单，但也有一定的难度。
偶数阶幻方
由偶数个数字组成的幻方，如4×4、6×6等。这类幻方构 造较为复杂，需要遵循一定的规律和技巧。
广义幻方
不仅限于数字，还可以用字母、符号等代替数字，甚至可 以是非线性的矩阵。这类幻方更加灵活多变，具有更广泛 的用途。数学中的规律美 Nhomakorabea规律之美
幻方中的数字按照一定的规律排 列，这种规律美是数学中非常重
要的美学特征之一。
逻辑之美
幻方的构造过程需要遵循一定的 逻辑，这种逻辑美也是数学中非
常重要的美学特征之一。
统一之美
幻方中的数字虽然千变万化，但 都遵循着统一的规律和逻辑，这 种统一美也是数学中非常重要的
美学特征之一。
数学中的逻辑美
多人幻方挑战赛
团队赛
01
多个团队同时进行幻方挑战，以最快完成且符合规则的团队为
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分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:
方。
③解法3：（推理法）
常用，虽然速度不是很快。其实就是在1～16这16 个数找到四个数相加为34的数填在四阶幻方的正中间， 然后按照一定的推理方法填入其它空格内。
④解法4：（方程法）
四阶幻方，可以有设置5个未知数到里面，只要代进其
中的数，可以推出其它的数，具体设置位置，可以看下
附图 m
m+x+y+z n+y
n+x+z
n+x+y n+z
m+x
m+y+z
m+x+z m+y
n+x+y+z n
n+y+z n+x
m+z
m+x+y
a bc d ef gh i j kl mn o p
则a+f+k+p=34 d+g+j+m=34 e+f+g+h=34 i+j+k+l=34 abcdefghijklmnop b+f+j+n=34 c+g+k+o=34 得 (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n+o+p) +2（f+g+j+k)=204 所以2（f+g+j+k)=68 f+g+j+k=34 得：f=6 g=7 j=10 k=11
1
2
3
4
5
67
8
9
10 11 12
13 14 15 16
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
32ຫໍສະໝຸດ 16114 15 4
9
67
12
5
10 11 8
13 2 3
16
②解法2.(田格图阵法) 1.将1～16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34.(多
种分法)如:
1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34. 2.分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21. 3.将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻
先在
?
x上方填写1.所以x下方应填写9。 即是
x-4 x x+4
1
?
5
?
9
?
x+1 x+2 x-3
这时填写x右上方的数。由
题意得该位置无法为2、3、4， 因为2或3或4+1不能等于大于
?
1
6
5的数。而5已经用过，所以
不能填写5.也不能填写7，
?
5
?
（7+1=8,15-8=7）9使用过，
也不能填。所以 该处可填写6 ?
那么幻方应为 1 14 15 4
9 6 7 12
5 10 11 18
五阶幻方
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3
所谓幻方，就是一个n行n列的正方形，当 n为奇数时，称为奇数阶幻方。共有n²个
格子，将1、2、3、……、n²这些数字放到 这些格子里，使其每行的和、每列的和及两
若右上格既从右面超出又从上面超出，则将后一数放到前一数的下面。
若右上格已被数字填充，则将后一数放到前一数的下面
依以上法则，你可以很快的写出奇数阶幻方！当然，这中写法只是其中一个
答案，而不是唯一答案。
幻方构造方法
1. 奇数阶 n=2×m+1,m为自然数 1)将数字1填在 (0,(n+1)/2) ；要注意c中是从下标0开始 2)从左上往右下依次填 3)由2),列的下标出界(超过n-1)时，行加1，以n为摸的 余数为应填的列数 4)由2),行的下标出界(超过n-1)时，列加1，以n为摸的 余数为应填的行数 5)由2),行列都未出界，但已添上其他数，应在当前位置 左横移一个位置进行填数
幻方的历史很悠久，传说
最早出现在夏禹时代的“洛
书”。把洛书用今天的数学符
号翻译过来，就是一个三阶幻
洛书
方。
幻方的定义
在一个由若干个排列整齐的数组成的 正方形中，图中任意一横行、一纵行及对 角线的几个数之和都相等，具有这种性质 的图表，称为“幻方”。
幻方的幻和等于n（n2+1）÷2。
二阶幻方
ab cd
○4 交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n×n) 所谓对 应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置。上面的 这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶 的关系)
研究成果展示——十五阶幻方
104 87 70 53 36 19 2 225 208 191 174 157 140 123 106 88 71 54 37 20 3 211 209 192 175 158 141 124 107 105 72 55 38 21 4 212 210 193 176 159 142 125 108 91 89 56 39 22 5 213 196 194 177 160 143 126 109 92 90 73 40 23 6 214 197 195 178 161 144 127 110 93 76 74 57 24 7 215 198 181 179 162 145 128 111 94 77 75 58 41 8 216 199 182 180 163 146 129 112 95 78 61 59 42 25 217 200 183 166 164 147 130 113 86 79 62 60 43 26 9 201 184 167 165 148 131 114 97 80 63 46 44 27 10 218 185 168 151 149 132 115 98 81 64 47 45 28 11 219 202 169 152 150 133 116 99 82 65 48 31 29 12 220 203 186 153 136 134 117 100 83 66 49 32 30 13 221 204 187 170 137 135 118 101 84 67 50 33 16 14 222 205 188 171 154 121 119 102 85 68 51 34 17 15 223 206 189 172 155 138 120 103 86 69 52 35 18 1 224 207 190 173 156 139 122
9
?
或8.这里先举一个填写6的例
子。
即
816
357
492
249 753 618
四阶幻方
①解法1.(对称交换法) 1.求幻和 4（42+1）÷2=30
2.⑴将1～16按自然顺序排成四行四列; ⑵因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动. ⑶将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不 动。 ⑷将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不 动。
条对角线的和都是一个相同的数。
解法：1、 将1放在第一行中间一个格子里。 2、 依次将后一个数放到前一个数的右上 格，如：将2放到1的右上格。将3放 到2的右上格等等。
11 18 25 2 9
可能出现下面的情况。 若右上格从上面超出，则将后一数放到与右上
格同列的最后一行。
若右上格从右面超出，则将后一数放到与右上格同行的最后一列。
由幻方性质得：a+b=a+c=a+d=b+c=b+d=c+d 研究得：此幻方必须满足a=b=c=d，但一般幻 方都不会有数重复，所以不成立。