广东省2011年中考数学压轴题复习(18道题+答案)

2011初三数学总复习12分题参考答案（全等与锐角三角函数）1. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ．（1）证明：DE=CD ；（2）当tan ADE ∠=31时，求EF 的长．解：（1）过D 作DG ⊥BC 于G 1分由已知可得四边形ABGD 为正方形 ∵DE ⊥DC ∴∠ADE +∠EDG =90°=∠GDC +∠EDG ∴∠ADE =∠GDC 又∵∠A=∠DGC 且AD =GD ∴△ADE ≌△GDC ∴DE =DC 且AE =GC 在△EDF 和△CDF 中∠EDF =∠CDF ，DE =DC ，DF 为公共边 ∴△EDF ≌△CDF ，∴EF =CF（2）∵tan ∠ADE =AD AE =31∴2AE GC ==。

设EF x =，则88BF CF x =-=-，4BE = 由勾股定理222(8)4x x =-+。

解得5x =， ∴5EF =（旋转）2、 将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB =∠DEB =90°，∠A =∠D =30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．（1）求证： AF +EF =DE ； （2）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角α，且060α<<°°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60180β<<°°，其它条件不变，如图③．你认为⑴中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．解：⑴连接BF （如图①），∵△ABC ≌△DBE ，∴BC =BE ，AC =DE ． ∵∠ACB =∠DEB =90°，∴∠BCF =∠BEF =90°， ∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ．∴CF =EF ． 又∵AF +CF =AC ，∴AF +EF =DE ． ⑵画出正确图形如图②⑴中的结论AF +EF =DE 仍然成立．⑶不成立．此时AF 、EF 与DE 的关系为AF - EF =DE∵∠ACB =∠DEB =90°，∴∠BCF =∠BEF =90°． 又∵BF =BF ，∴Rt △BFC ≌Rt △BFE ．∴CF =EF ． 又∵AF -CF =AC ，∴AF -EF = DE ． ∴⑴中的结论不成立． 正确的结论是AF -EF = DE（规律）3、如图，在直角坐标系中，已知点0M 的坐标为（1,0），将线段0OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45 ，再将其延长到1M ，使得001OM M M ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45 ，再将其延长到2M ，使得112OM M M ⊥，得到线段2OM ，如此下去，得到线段3OM ，4OM ，…，n OM ．（1）写出点M 5的坐标；（2）求56M OM △的周长； （3）我们规定：把点)(n n n y x M ，（=n 0,1,2,3…）的横坐标n x ，纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()n n y x ,称之为点n M 的“绝对标”．根据图中点n M 的分布规律，请你猜想点n M 的“绝对坐标”，并写出来．解：（1）M 5（―4，―4）（2）由规律可知，245=OM ,2465=M M ，86=OM ∴56M OM △的周长是288+ （3）由题意知，0OM 旋转8次之后回到x 轴的正半轴，在这8次旋转中，点n M 分别落在坐标象限的分角线上或x 轴或y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点n M 的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为n① 当点M 在x 轴上时: M 0（0,)2(0），M 4（0,)2(4），M 8（0,)2(8），M 12（0,)2(12）,…， 即：点n M 的“绝对坐标”为（0,)2(n ）。

图③图②图①② 当点M 在y 轴上时: M 2))2(,0(2，M 6))2(,0(6，M 10))2(,0(10，M 14))2(,0(14,……， 即：点n M 的“绝对坐标”为))2(,0(n ．③ 当点M 在各象限的分角线上时：M 1))2(,)2((00，M 3))2(,)2((22，M 5))2(,)2((44，M 7))2(,)2((66,……，即：n M 的“绝对坐标”为))2(,)2((11--n n ．（规律）4、 观察下列方程及其解的特征： （3）1103x x +=的解为12133x x ==，； （1）12x x+=的解为121x x ==； （2）152x x +=的解为12122x x ==，； …… …… 解答下列问题：（1）请猜想：方程1265x x +=的解为 ； （2）请猜想：关于x 的方程1x x += 的解为121(0)x a x a a==≠，；（3）下面以解方程1265x x +=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为25265x x -=-．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）解：（1）15x =，215x =；（2）21a a+（或1a a +）；（3）二次项系数化为1，得22615x x -=-．配方，得2222613131555x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 213144525x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．开方，得131255x -=±．解得15x =，215x =． 经检验，15x =，215x =都是原方程的解（探究）5、 已知ABC △中，AC AB =，D 、E 是BC 边上的点，将ABD △绕点A 旋转，得到△D AC '，连结E D '．（1）如图1，当︒=∠120BAC ，︒=∠60DAE 时，求证：E D DE '=．（2）如图2，当E D DE '=时，DAE ∠与BAC ∠有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3） 如图3，在（2）的结论下，当︒=∠90BAC ，BD 与DE 满足怎样的理由）．（1）证明：如图1∵ABD △旋转得到△D AC '∴D A AD BAC D DA '=︒=∠='∠,120 ∵︒=∠60DAE ∴︒=︒-︒=∠-'∠='∠6060120DAE D DA D EA ∴AE D DAE '∠=∠ 又∵AE AE =∴DAE D AE '△≌△)(SAS ∴E D DE '=（2）BAC DAE ∠=∠21理由：如图2∵ABD △旋转得到△D AC '∴BAC D DA ∠='∠，D A AD '= ∵AE AE E D DE ='=,∴DAE D AE '△≌△（SSS ）∴D DA AE D DAE '∠='=∠21∴BAC DAE ∠=∠21（3）BD DE 2=，或BD ︰DE ＝1︰2（探究）6、 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形． AEDB D '图1CACD 'EDB图2CAD '图3B O A DECA E DB D '图1CA CD 'ED B 图2CAB DED '图3A如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BCF CBG △≌△． 所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠， BEC ABE A ∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠． 可证BDF CEG △≌△．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．（抛物线）7、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+∴16m =- ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+ （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴5AB ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+= ∴点C 和点D （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：48,33k b ==-． ∴4833y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+，4833N y t =-， ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）．B O AD E C F 图1G（图形与抛物线）8、 如图①，梯形ABCD 中，∠C =90°．动点E 、F 同时从点B 出发, 点E 沿折线BA -AD -DC 运动到点C 时停止运动, 点F 沿BC 运动到点C 时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s ．设E 、F 出发t s 时, EBF ∆的面积为y cm 2．已知y 与 t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）梯形上底的长AD = cm ，梯形ABCD 的面积= cm 2； （2）当点E 在BA 、DC 上运动时, 分别求出y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值范围)；（3）当t 为何值时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2？解：（1）2，14．（2）①当点E 在BA 上运动时，如图①，此时05t <≤． 分别过点E ，A 作EG ⊥BC ，AH ⊥BC ， 垂足分别为G ，H ， 则△BEG ∽△BAH ．∴BE EG BA AH =，即54t EG =，∴45EG t=． ∴211422255y BF EG t t t =⋅=⋅⋅=． ② 当点E 在DC 上运动时，如图②，此时711t ≤<．∴11CE t =-，∴()115555112222y BC CE t t=⋅=⨯⨯-=-． （自变量的取值范围写全写对得1分，否则0分）（3）当05t <≤时，2275t =，∴t =． 当711t ≤<时，555722t -=，∴8.2t =．∴t =或8.2t =s 时，EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2．（图形与抛物线）9、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ． （1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外）， 使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？ 若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；，BCD CAO ∴△≌△， 12BD OC CD OA ∴====， ∴点B 的坐标为(31)-，；（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点； 则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， 过点1P 作1PMx ⊥轴， 11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°；1MPC DBC ∴△≌△ 121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △，过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△；221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上．（圆）10、如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点， C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △；（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？ 若是，请你给予证明并求出它的面积； 若不是，请说明理由． （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线．（1） 证明：∵C 是劣弧弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠．而ACD ∠公共， ∴DEC △∽ADC △．（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=，∴2313DC AC EC ==⨯= ．∴DC = ． 由已知BC DC ==AB是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ， ∴22222312AB AC CB =+=+=．∴AB =， ∴OD OB BC DC ===， ∴四边形OBCD 是菱形．∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形．过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则OB BC OC ===∴60OBC ∠=︒．∴sin 60CF BC ︒=，3sin 602CFBC =︒==， ∴()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝．（3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形，∴OC BD ⊥且OG GC =．又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线．（圆与相似）11、如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知43BC CA =∶∶，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A B 、两点重合），过C 点作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点（1）求证：AC CD PC BC =··； （2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD △的面积最大？并求这个最大面积S . 解：（1）AB 为直径，90ACB ∴∠=︒．又90PC CD PCD ⊥∴∠=︒，而AC BCCAB CPD ABC PCD PC CD∠=∠∴∴=，△∽△，·AC CD PC BC ∴=·（2）当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE PC ⊥于点E ，P 是AB 中点452PCB CE BE BC ∴∠=︒===，又CAB CPB ∠=∠ 43tan tan 3tan 4BE CPB CAB PE CPB ∴∠=∠=∴==∠，34BE ⎫==⎪⎪⎝⎭从而2PC PE EC =+=1）得433CD PC == （3）当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =△·，由（1）可知，43CD PC = 223PCD S PC ∴=△故PC 最大时，PCD S △取最大值时；而PC 为直径时最大.PCD S ∴△的最大值2250533S =⨯=.（翻折）12、如图1,在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°, △ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F .（1） 求证：① △AEF ≌△BEC ； （2） ② 四边形BCFD 是平行四边形；（3）如图2，将四边形ACBD 折叠,使D 与C 重合，HK 为折痕，图1 ABCDE F30°A证明思路：设BC=a ，则AB=AD=2a ，AC=a 3，由翻折可知CH=DH ，令AH=x ，则CH=DH=a-x ，在Rt △AHC 中，AH 2+AC 2=HC 2，可得AH=a 81，则CH=a 87，所以sin ∠ACH=71（翻折）13、如图①，将边长为 4 cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点， ①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE +DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．解：（1）① 6 ．②（图略）取EP 中点G ，连接MG ．梯形AEPD 中，∵M 、G 分别是AD 、EP 的中点， ∴()12MG AE DP =+． 由折叠得∠EMP =∠B =90︒，又G 为EP 的中点，∴12MG EP =．故EP AE DP =+．（2）△PDM 的周长保持不变．证明：如图，设AM x =cm ，Rt △EAM 中，由222(4)AE x AE +=-，可得：2128AE x =-．∵∠AME +∠AEM =90︒，∠AME +∠PMD =90︒，∴∠AEM =∠PMD ． 又∵∠A =∠D =90︒，∴△AEM ∽△DMP ．∴DMP AEMC DMCAE =，即241428DMP C xx x -=+-NFPECDB MA∴24(4)8128DMPxC x x -=⋅+=-cm ． 故△PDM 的周长保持不变．（动态）14、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE ⊥于F ． （1）求证：PFA ABE △∽△；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA x =，是否存在实数x ，使以P F E ，，为顶点的三角形也与ABE △相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．（1）证明：由正方形ABCD 知AD BC ∥PAF AEB ∴∠=∠ 又90PFA ABE ∠=∠= P F A A B E ∴△∽△ （2）解：若EFP ABE △∽△，则PEF EAB ∠=∠∴必有PE AB ∥ ∴四边形ABEP 为矩形2PA EB ∴==，即2x = 若PFE ABE △∽△，则PEF AEB ∠=∠ 而PAF AEB ∠=∠PEF PAF ∴∠=∠，PE PA ∴=PF AE ⊥，∴点F 为AE 的中点，22AE AB ==== 12E F A E ∴=由PE EFAE EB =2=得5PE =，即5x = ∴满足条件的x 的值为2或5．（动态）15、如图，ABC △中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证:PE=PF ；（2）当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；（3）若在AC 边上存在点P ,使四边形AECF 是正方形,且23=BC AP 时，求∠A 的大小.（1）证明: ∵EC 平分∠BCA , ∴∠BCE=∠PCE .∵MN BC ∥，∴∠PEC=∠BCE .∴∠PEC=∠PCE , ∴PE=PC . 同理可证PC=PF .∴PE=PF . （2）四边形BCFE 不可能是菱形. 若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥. 因为在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以BF EC ⊥不能成立,所以四边形BCFE 不可能是菱形.（3）当AECF 为正方形时，P 是AC 的中点,且EF AC ⊥．∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥.∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形∵23=BC AP ,在R t △ABC 中, 332tan ===AP BC AC BC A .∴∠A=30°.16、（探究）如图1，在Rt ABC △中，9068ACB AC BC ∠===°，，，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB ∠交边BC 于点E ，CM BD ⊥垂足为M EN CD ⊥，，垂足为N.（1）当AD=CD 时，求证：DE AC ∥；（2）探究：AD 为何值时，BME △与CNE △相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与BDE △的面积相等？（1）证明：AD CD DAC DCA =∴∠=∠2BDC DAC ∴∠=∠又∵DE 是∠BDC 的平分线∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC =∠BDE ∴DE ∥AC（2）解：（Ⅰ）当BME CNE △∽△时，得MBE NCE ∠=∠∴BD=DC ∵DE 平分∠BDC ∴DE ⊥BC ，BE=EC.又∠ACB =90° ∴DE ∥AC .∴BE BD BC AB =即152BD AB ===∴AD =5 （Ⅱ）当BME ENC △∽△时，得EBM CEN ∠=∠ ∴EN ∥BD 又∵EN ⊥CD∴BD ⊥CD 即CD 是△ABC 斜边上的高，由三角形面积公式得AB ·CD=AC ·BC ∴CD=245∴185AD ==综上，当AD =5或185时，△BME 与△CNE 相似. （3）由角平分线性质易得12MDE DEN S S DM ME ==△△·BDE MEND S S =△四边形12BD EM DM EM ∴=·· 即12DM BD = ∴EM 是BD 的垂直平分线. ∴∠EDB=∠DBE ∵∠EDB =∠CDE ∴∠DBE =∠CDE 又∵∠DCE =∠BCD ∴CDE CBD △∽△CD CE DE BC CD BD ∴==①2CD BE BEBC BD BM∴==即4BE CD BM =45cos 4554BM B CD BE ==∴=⨯= 由①式得2258CD CE BC ==3943939cos 85810BE BM BE B ∴=∴==⨯=39112102105AD AB BM ∴=-=-⨯=C E ND M B A 图1 C B A C B A 图2（备用图） 图3（备用图）C E ND M BA 第24题 CA第24题E N M D17、如图．抛物线212y ax ax b =-+经过A （－1，0），C （2，32）两点，与x 轴交于另一点B ．(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP =x ，MQ=22y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．解：（1）∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=2321b a∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23．（2）作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒．根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2． ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… ． 由 、 得y 2=21x 2-x +25．∵0≤x ＜3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x ≤3)．（3）四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为 E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)．同理，点F 、H 坐标为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)．∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1．∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2-2m +1=n 2-2n +1 ∴(m +n -2)(m -n )=0．由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．18、如图，点A B 、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且2OE OC =．设(0)OE t t =>，矩形OEDC 与AOB △重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题： （1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值； （2）当4t =时，求S 的值；（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程） （4）若12S =，则t = ．解：（1）由题意可得90BCD BOA ∠=∠=°，CBD OBA ∠=∠，BCD BOA ∴△∽△BC CDBO OA∴=而8842tCD OE t BC CO OA ===-=-=，，，则8284t t -= 解得165t =，∴当点D 在直线AB 上时，165t =．（2）当4t =时，点E 与A 重合，设CD 与AB 交于点F ，则由CBF OBA △∽△得CF OA CB OB =，即4828CF =-，解得3CF =， 11()2(34)722S OC OE CF ∴=+=⨯⨯+=（3）①当1605t <≤时，212S t =②当1645t <≤时，2171016S t t =-+-③当416t <≤时，21216S t t =-+ 分析：①当1605t <≤时，如图（1），212S t = ②当1645t <≤时，如图（2），(40)08A B ，，（，）， ∴直线AB 的解析式为28y x =-+，(28)442t t G t t F ⎛⎫∴-+- ⎪⎝⎭，，，，554842DF t DG t ∴=-=-，，155482242DFG COED t S S S t t t ⎛⎫⎛⎫∴=-=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△矩形217101616t t -+-③当416t <≤时，如图（3）CD OA ∥，BCF BOA ∴△∽△，BC CF BO OA ∴=，8284t CF -∴=，44t CF ∴=-，∴211148482224216BOA BCF t t S S S t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-⨯--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△（4）8分析：由题意可知把12S =代入21216S t t =-+中，2121216t t -+=整理，得 2321920t t -+=解得 1282416t t ==>，（舍去）∴当12S =时，8t =．（3）。