广州、广东中考数学压轴题集锦

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数学中考压轴题旋转问题(经典)

数学中考压轴题旋转问题(经典)

数学中考压轴题旋转问题(经典)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN旋转一、选择题1. (广东)如图,把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A .πB .3C .33+42π D .113+124π 2. (湖北)如图,O 是正△ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到;②点O 与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④AOBO S =6+33四形边;⑤AOC AOB 93SS6+4+=.其中正确的结论是【 】 A .①②③⑤ B .①②③④ C .①②③④⑤ D .①②③ 3. (四川)如图,P 是等腰直角△ABC 外一点,把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A :P′C=1:3,则P′A :PB=【 】。

A .1:2 B .1:2 C .3:2 D .1:34. (贵州)点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A 、B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°,得线段PE ,连接BE ,则∠CBE 等于【 】 A .75° B .60° C .45° D .30°5. (广西)如图,等边△ABC 的周长为6π,半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发,在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB 相切于点D 的位置,则⊙O 自转了:【 】A .2周B .3周C .4周D .5周二、填空题6. (四川)如图,四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.7. (江西南昌)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是▲ .8. (吉林省)如图,在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED的周长是_ ▲____.三、解答题9. (北京市)在ABC△中,BA=BC BAC,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段∠=αPA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。

挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)

挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)

04 挑战压轴题(解答题二)3.(2021·广东广州·统考中考真题)已知抛物线()2123y x m x m =-+++(1)当0m =时,请判断点(2,4)是否在该抛物线上;(2)该抛物线的顶点随着m 的变化而移动,当顶点移动到最高处时,求该抛物线的顶点坐标;(3)已知点()1,1E --、()3,7F ,若该抛物线与线段EF 只有一个交点,求该抛物线顶点横坐标的取值范围.1.已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD BC <,5AD =,2AB DC ==.⑴如图,P 为AD 上的一点,满足∠BPC=∠A ,求AP 的长;⑵如果点P 在AD 边上移动(点P 与点D 不重合),且满足∠BPE=∠A ,BC 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q .①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设CQ y =,CQ=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;②写CE=1时,写出AP 的长(不必写解答过程)5.(2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测)平面直角坐标系xOy 中,对于任意的三个点A 、B 、C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的“三点矩形”.在点A ,B ,C 的所有“三点矩形”中,若存在面积最小的矩形,则称该矩形为点A ,B ,C 的“最佳三点矩形”.如图1,矩形DEFG ,矩形IJCH 都是点A ,B ,C 的“三点矩形”,矩形IJCH 是点A ,B ,C 的“最佳三点矩形”.如图2,已知()41M ,,()23,N -,点()P m n ,.(1)①若2m =,4n =,则点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”的周长为_________,面积为_________;②若2m =,点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”的面积为24,求n 的值;(2)若点P 在直线25y x =-+上.①求点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围;②当点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”为正方形时,求点P 的坐标;(3)若点()P m n ,在抛物线2y ax bx c =++上,当且仅当点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”面积为18时,21m -≤≤-或13m ≤≤,直接写出抛物线的解析式.6.如图,一条抛物线经过原点和点C (8,0),A 、B 是该抛物线上的两点,AB ∥x 轴,点A 坐标为(3,4),点E 在线段OC 上,点F 在线段BC 上,且满足∠BEF =∠AOC .(1)求抛物线的解析式;(2)若四边形OABE 的面积为14,求S △ECF ;(3)是否存在点E ,使得△BEF 为等腰三角形?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2020下·天津和平·九年级统考阶段练习)已知点()4,8A -和点()2,B n 在抛物线2y ax =上.(Ⅰ)求该抛物线的解析式和顶点坐标,并求出n 的值;(Ⅱ)求点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ QB +最短,求此时点Q 的坐标;(Ⅲ)平移抛物线2y ax =,记平移后点A 的对应点为A ',点B 的对应点为B ',点()2,0C -是x 轴上的定点.①当抛物线向左平移到某个位置时,A C CB ''+最短,求此时抛物线的解析式;②()4,0D -是x 轴上的定点,当抛物线向左平移到某个位置时,四边形A B CD ''的周长最短,求此时抛物线的解析式(直接写出结果即可)8.(2023上·陕西西安·九年级校考期中)问题探究(1)请在图1中过点A 画一条直线,将ABC V 分成面积相等的两部分;(2)如图2,在ABCD Y 中,3AB =,4=AD ,点E 在AD 的延长线上,且2DE =,过点E 作直线l 分别交边CD ,AB 于点M ,N .若直线l 将ABCD Y 的面积平分,则请求出CM 的长度;问题解决(3)某市为保护生态环境,方便市民观光游览,准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”,其形状为四边形ABCD ,如图3所示.在四边形ABCD 中,90B D ∠=∠=︒,实际长度5AD =公里,9AB =公里,13BC =公里,15CD =公里,点P 在CD 上且5PD =公里,根据用地需求,需在BC 上确定点E ,将五边形ABEPD 作为特色植物繁育展示区,使其面积为四边形ABCD 总面积的一半,并在AB 上确定点F ,在PEF !中修建游客休息区,剩余部分作为花卉展示区,为方便游客游览,要求修建PE 、PF 、EF 三条观光道路的总长度最小.请问这样的PEF !是否存在?若存在,请求出点E 到点B 的距离及PEF !周长的最小值;若不存在,请说明理由.(1)求点B 的坐标;(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点(1)求证:2AG OE =;(2)若tan 21CAE AE ∠==,,求AG 的长;(3)如图2,若1AE =,设tan CAE ∠=①用含有x 的代数式表示OB 的长;②求y 关于x 的函数关系式.11.(2021上·安徽六安·九年级校考阶段练习)南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”,如图,准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面(粗线ABC 表示墙面,已知AB ⊥BC ,AB =3米,BC =1米)和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF (细线表示篱笆,小型农场中间GH 也是用篱笆隔开),点D 可能在线段AB 上(如图1),也可能在线段BA 的延长线上(如图2),点E 在线段BC 的延长线上.(1)当点D 在线段AB 上时,①设DF 的长为x 米,请用含x 的代数式表示EF 的长;②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为9平方米,求DF 的长;(2)DF 的长为多少米时,小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米?12.(2022·陕西西安·西安市第三中学校考模拟预测)问题提出:(1)如图1,在矩形ABCD 中,4AB =,3AD =,P 是对角线AC 上的一点,连接PD ,将PD 绕点P 逆时针旋转90︒得到PM ,过点M 作MN AC ⊥于N ,求PN 的长.问题解决:(2)2022年3月我省局部发生疫情,为落实“科学防治、精准施策、分级管理”,我省某小区设计防疫区域,在道路CD 边固定柱子(点)Q ,道路AB 边确定一点P ,以PQ 为边,搭建正方形防疫区域PMNQ ,内部道路CD 上设点E 作为记录处,EPQ V 、EPM V 、EMN V 、ENQ V 分别为不同的防疫物资放置区域,设计图简化如图2所示,已知道路两边AB CD ∥,道路宽为6m ,Q 为CD 上一定点,P 为AB 上一动点,PE CD ⊥于E .请问是否存在符合设计要求且面积最小的EMN V ?若存在,请求出面积最小值及此时QE 的长;若不存在,请说明理由.13.(2022·四川巴中·统考模拟预测)为了提高巴中市民的生活质量,巴中市对老旧小区进行了美化改造.如图,在老旧小区改造中,某小区决定用总长27m的栅栏,再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD,中间用栅栏隔成两个小矩形,已知房屋外墙长9m.(1)当AB长为多少时,绿化带ABCD的面积为242m(2)当AB长为多少时,绿化带ABCD的面积最大,最大面积是多少?14.(2021·江苏常州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数()0=≠和二次函数y kx k(2)如图②,四边形ABCD 内接于O e ,AC 为直径,点B 是半圆AC 的三等分点(弧AB <弧BC ),连接BD ,若BD 平分ABC ∠,且8BD =,求四边形ABCD 的面积.(3)如图③,为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮,其中一块圆形场地圆O ,设计人员准备在内接四边形ABCD 区域内进行花卉图案设计,其余部分方便游客参观,按照设计要求,四边形ABCD 满足∠ABC=60°,AB=AD ,且AD+DC=10(其中24DC ≤≤ ),为让游客有更好的观体验,四边形ABCD 花卉的区域面积越大越好,那么是否存在面积最大的四边形ABCD ?若存在,求出这个最大值,不存在请说明理由.16.(2021·上海宝山·统考一模)已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ,()1,3B -两点,抛物线的对称轴与x 轴交于点C ,点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称,联结BC 、BD .(1)求该抛物线的表达式以及对称轴;(2)点E 在线段BC 上,当CED OBD =∠∠时,求点 E 的坐标;(3)点M 在对称轴上,点N 在抛物线上,当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时,求这个平行四边形的面积.17.(2022上·河北沧州·九年级校考阶段练习)一名身高为1.8m 的篮球运动员甲在距篮筐(点B )水平距离4m 处跳起投篮,篮球准确落入篮筐,已知篮球的运动路线是抛物线,篮球在运动员甲头顶上方0.25m 处(点A )出手,篮球在距离篮筐水平距离为1.5m 处达到最大高度3.5m ,以水平地面为x 轴,篮球达到最大高度时的铅直方向为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求篮球运动路线(抛物线)的函数解析式;(2)求篮球出手时,运动员甲跳离地面的高度是多少米?(3)已知运动员乙跳离地面时,最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球?18.(2023下·浙江·八年级专题练习)在矩形ABCD 中,6cm AB =,12cm BC =,点P 从点A 出发,沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动,同时,点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动.如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第几秒时,PBQ V 的面积等于28cm ?(2)设运动开始后第t 秒时,五边形APQCD 的面积为范围;写出t 为何值时,S 的值最小.(3)当t =32时,试判断DPQ V 的形状.(4)计算四边形DPBQ 的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.(1)BD = ;(2)如图2,在运动过程中,连接OD ,将ODC V 沿OD 折叠,得到ODP V ,连接为 ,此时,AP 的值为 ;(3)如图3,在运动过程中,以O 为圆心,OC 的长为半径作半圆,交射线CB 于。

2024广东中考数学压轴题

2024广东中考数学压轴题

2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中,抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0),且与y 轴交于点C(0,3)。

下列说法正确的是:A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1(答案:D)二、已知三角形ABC的三边长为a,b,c,且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。

则下列判断三角形ABC的形状中,正确的是:A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形(答案:D)三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中,当x的值增大时,y的值会:A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大,在另一个区间内减小D. 保持不变(答案:C)四、已知四边形ABCD是平行四边形,且AB = 6,BC = 8,对角线AC与BD相交于点O,则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是:A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2(答案:B)五、圆O的半径为5,点P在圆O外,且OP = 8。

过点P作圆O的两条切线,分别与圆O 相切于点A和B。

则弦AB的长度为:A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15(答案:A)六、在数轴上,点A表示的数为-2,点B表示的数为3。

若点C表示的数为x,且满足AC + BC = 8,则x的值为:A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5(答案:B)七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0),(2,0)和(3,4)。

下列说法正确的是:A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上(答案:A)八、正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,且AE = 1。

广州中考数学压轴题(学生版)

广州中考数学压轴题(学生版)

1.如图,以O 为原点的直角坐标系中,A 点的坐标为(0,1),直线1交x 轴于点B 。

P 为线段上一动点,作直线⊥,交直线1于点C 。

过P 点作直线平行于x 轴,交y 轴于点M ,交直线1于点N 。

(1)当点C 在第一象限时,求证:△≌△;(2)当点C 在第一象限时,设长为m ,四边形的面积为S ,请求出S 与m 间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(3)当点P 在线段上移动时,点C 也随之在直线1上移动,△是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△成为等腰三角形的点P 的坐标;如果不可能,请说明理由。

说明:●考查字母运算能力 ● 分类讨论思想,取值范围内解的有效性 ●2.关于x 的二次函数y =2+(k 2-4)x +22以y 轴为对称轴,且与y 轴的交点在x 轴上方.(1)求此抛物线的解析式(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点,过点A 作垂直x 轴于点B,再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ,过D 点作垂直x 轴于点C, 得到矩形.设矩形的周长为C ,点A 的横坐标为x ,试求C 关于x 的函数关系式;(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.x 第1题图 第2题图说明:●考查字母运算能力●分类讨论思想,取值范围内解的有效性●方法多样化,易错点为用字母表示边长时,注意边长的非负性3.如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形的边长、分别为12、6, 点A、C 分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线2经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿边以1的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿边以2的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如第3题图果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.说明:●图形必须准确,存在性问题如果不会做,可通过画图判断(答存在得分的机会大得多)4.已知二次函数2++c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.(1)求这个二次函数的关系式;(2)若有一半径为r 的⊙P ,且圆心P 在抛物线上运动,当⊙P 与两坐标轴都相切时,求半径r 的值.(3)半径为1的⊙P 在抛物线上,当点P 的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P 与y 轴相离、相交?说明:●考查画图能力和字母运算能力 ●分类讨论思想,取值范围内解的有效性 ● 方法多样化,易错点为用字母表示边长时,注意边长的非负性5.如图示已知点M 的坐标为(4,0),以M 为圆心,以2为半径的圆交x 轴于A 、B ,抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C .(1)求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象(2)过C 点作⊙M 的切线,求直线的解析式.说明:●图形必须准确,画切线后巧妙解法是利用两直线平行,K 相等 ●易错点为漏解(过圆外一点作圆的切线有两条) ● 两直线垂直,K 互为负倒数可以使用6.如图,在ABC ∆中,∠A 90=°,10=BC , ABC ∆的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合),过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E .设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折,所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.(1).用x 表示∆的面积;第5题图(2).求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式;(3).求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式;(4).当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?说明:●考查画图能力和字母运算能力●分类讨论思想,取值范围内解的有效性●方法多样化,在设未知数或用字母表示未知量时,要充分发挥“勾股、相似、锐角三角函数”的作用,挖掘题目中的特殊角(特殊比值)来巧妙运算7.在△中,∠A=90°,=4,3,M是上的动点(不与A、B重合),过点M作∥交于点N. 以为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形,令. 当x为何值时,⊙O与直线相切?8.如图,直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A,点C是的中点,过点C向左方作射线⊥y轴,点D是线段上一动点,不和B重合,⊥于点P,⊥于点E,连接。

挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)

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03挑战压轴题(解答题一)(1)尺规作图:将法);(2)在(1)所作的图中,连接V①求证:ABD②若tan BAC∠2.(2022·广东广州·统考中考真题)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图,在某一时刻,旗杆的AB的影子为BC,与此同时在C处立一根标杆CD,标杆CD的影子为CE,CD = 1.6m,BC =5CD.(1)求BC的长;(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求旗杆AB的高度.条件①:CE = 1.0m;条件②:从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°.注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.参考数据:sin54.46°≈0.81,cos54.46°≈0.58,tan54.46°≈1.40.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)设PAO V 的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式:并写出x 的取值范围;(3)作PAO V 的外接圆C e ,延长PC 交C e 于点Q ,当POQ △的面积最小时,求C e 的半径.(1)沿AC BC 、剪下ABC V ,则ABC V 是_______三角形(填“锐角______.(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H .已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹,不要求写作法);2.(2022上·陕西西安·九年级校考期中)如图,在等边ABC V 中,点D 是AB 边上的一个动点(不与点A ,B 重合),以CD 为边作等边EDC △,AC 与DE 交于点F ,连接AE .(1)求证:ADF BCD △∽△;(2)若:5:2AB BD =,且20AB =,求ADF △的面积.3.(2022·安徽合肥·统考一模)如图,在正方形ABCD 中,9AB =,E 为AC 上一点,以AE 为直角边构造等腰直角AEF △(点F 在AB 左侧),分别延长FB ,DE 交于点H ,DH 交线段BC 于点M ,AB 与EF 交于点G ,连结BE .(1)求证:AFB AED≅V V (2)当62AE =时,求sin MBH ∠的值.(3)若BEH △与DEC V 的面积相等,记△(1)当点D 与圆心O 重合时,如图2所示,求DE 的长.(2)当CEF △与ABC V 相似时,求cos BDE ∠的值.6.(2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试)如图,矩形ABCD 中,8AB =厘米,12BC =厘米,P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点,若点P 从点A 出发,以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动,同时,点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动,设点P ,Q 运动的时间为x 秒.(1)设PBQ V 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2)当x 为何值时,以P ,B ,Q 为顶点的三角形与BDC V 相似?7.(2021下·湖北随州·七年级统考期末)阅读材料:在平面直角坐标系中,二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点(1,1)表示,二元一次方程有无数个解,以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象.一般地,在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=.直线x -y =0把坐标平面分成直线上方区域,直线上,直线下方区域三部分,如果点M (x 0,y 0)的坐标满足不等式x -y ≤0,那么点M (x 0,y 0)就在直线x -y =0的上方区域内。

广东中考数学压轴题

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广东09压轴题127.(广东省)正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直, (1)证明:Rt △ABM ∽Rt △MCN ;(2)设BM =x ,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 的面积最大,并求出最大面积;(3)当M 点运动到什么位置时,Rt △ABM ∽Rt △AMN ,并求此时x 的值.128.(广东省广州市)如图,二次函数y =x2+px +q (p <0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),△ABC 的面积为45. (1)求该二次函数的关系式;(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ACBD 为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.M B CND A129.(广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△P AB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积;若没有,请说明理由.130.(广东省深圳市)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.(1)连结P A,若P A=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?备用图131.(广东省深圳市)已知:Rt △ABC 的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB 与x 轴重合(其中OA <OB ),直角顶点C 落在y 轴正半轴上(如图1).(1)求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式. (2)如图2,点D 的坐标为(2,0),点P (m ,n )是该抛物线上的一个动点(其中m >0,n >0),连接DP 交BC 于点E .①当△BDE 是等腰三角形时,直接写出....此时点E 的坐标. ②又连接CD 、CP (如图3),△CDP 是否有最大面积?若有,求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标;若没有,请说明理由.132.(广东省珠海市)已知抛物线y =x2-32mx 与x 轴相交于点A 、B ,抛物线的顶点为C .(1)试用含m 的代数式表示AB 的长度; (2)当△ABC 为等边三角形时,求点C 的坐标; (3)在(2)的条件下,如何平移抛物线,使AC =213AB ?133.(广东省佛山市)如图1,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处. (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当AB =4,BC =4,CC 1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长; (3)求点B 1到最短路径的距离. A Bxy O 图1C A B x y O PD E图2 C A BPxy O D E 图3 C 备用图 图1134.(广东省茂名市)已知:如图,直线l :y =31x +b ,经过点M (0,41),一组抛物线的顶点B 1(1,y 1),B 2(2,y 2),B 3(3,y 3),…,B n (n ,y n )(n 为正整数)依次是直线l 上的点,这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是:A 1(x 1,0),A 2(x 2,0),A 3(x 3,0),…,A n +1(x n +1,0)(n 为正整数),设x 1=d (0<d <1). (1)求b 的值;(2)求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式(用含d 的代数式表示)(3)定义:若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为“美丽抛物线”.探究:当d (0<d <1)的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求出相应的d 的值.135.(广东省湛江市)已知矩形纸片OABC 的长为4,宽为3,以长OA 所在的直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系;点P 是OA 边上的动点(与点OA 不重合),现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ,再在AB 边上选取适当的点D ,将△P AD 沿PD 翻折,得到△PFD ,使得直线PE 、PF 重合.(1)若点E 落在BC 边上,如图①,求点P 、C 、D 的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;(2)若点E 落在矩形纸片OABC 的内部,如图②,设OP =x ,AD =y ,当x 为何值时,y 取得最大值?(3)在(1)的情况下,过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ,使△PDQ 是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q 的坐标.136.(广东省肇庆市)如图,⊙O 的直径AB =2,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于E ,交AM 于D ,交BN 于C .设AD =x ,BC =y . (1)求证:AM ∥BN ;(2)求y 关于x 的关系式;(3)求四边形ABCD 的面积S ,并证明:S≥2.137.(广东省清远市)如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,∠B 和∠C 都为锐角,M 为AB 上一动点(点M 与点A 、B 不重合),过点M 作MN ∥BC ,交AC 于点N ,在△AMN 中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .(2)将△AMN 沿MN 折叠,使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为A 1,△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?138.(广东省梅州市)如图,矩形ABCD 中,AB =5,AD =3.点E 是CD 上的动点,以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ,过点F 作FG ⊥BE 于点G . (1)当E 是CD 的中点时:①tan ∠EAB 的值为______________; ②证明:FG 是⊙O 的切线;(2)试探究:BE 能否与⊙O 相切?若能,求出此时DE 的长; 若不能,请说明理由.NB C N M A139.(广东省梅州市)如图,已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.(1)直接写出直线L的解析式;(2)设OP=t,△OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式;并求出当0<t<2时,S的最大值;(3)直线L1过点A且与x轴平行,问在L1上是否存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.1。

中考数学压轴题集锦精选100题(含答案)

中考数学压轴题集锦精选100题(含答案)

中考数学压轴题集锦精选100题(含答案)一、中考压轴题1.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.2.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.3.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.4.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.7.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.8.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.9.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.10.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.11.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.12.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.13.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.14.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.15.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.16.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.17.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB 的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.18.图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的两个问题:(1)在图(1)中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2,且△A1B1C1与△ABC的相似比是2,△A2B2C2与△ABC的相似比是;(2)在图(2)中用与△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次),拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【分析】(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2,则让△ABC的各边都扩大2倍就可.△A2B2C2与△ABC的相似比是;△ABC的直角边是2,所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度.斜边为2.依此画图即可;(2)拼图有审美意义即可,答案不唯一.【解答】解:【点评】本题主要考查了相似图形的画法,做这类题时根据的是相似图形的性质,即相似比相等.对应角相等.19.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.20.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.22.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.23.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.24.在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,由D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.设DE=a,DF=b,且实数a,b满足9a2﹣24ab+16b2=0,并有=2566,∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣=0有两个相等的实数根.(1)试求实数a,b的值;(2)试求线段BC的长.【分析】(1)由题意可知:2a2b=2566,则2a2b=248,则a2b=48.化简9a2﹣24ab+16b2=0得:(3a﹣4b)2=0,则3a﹣4b=0,即3a=4b,则根据,可求得a与b的值;(2)要求BC的长需求出BD和CD的长,知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边.又知在△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C,则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可,要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数,根据判别式可以求得∠A的读数.【解答】解:(1)由条件有,解得;(2)又由关于x的方程的判别式△=sin2A﹣sin A+=(sin A﹣)2=0,则sin A=,而∠A为三角形的一个内角,所以∠A1=60°或∠A2=120° 2分当∠A=60°时,△ABC为正三角形,∠B=∠C=60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD=,CD=所以BC=BD+DC=.当∠A=120°时,△ABC为等腰三角形,∠B=∠C=30°同上方法可得BC=14. 3分所以线段BC的长应为或14.【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用.25.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理。

2020年广东省广州市中考数学压轴题二次函数题库及答案解析(共100题)

2020年广东省广州市中考数学压轴题二次函数题库及答案解析(共100题)

2020年广东省广州市中考数学压轴题题库及答案解析(二次函数综合共100题)1.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(4,0),点B(﹣1,0),与y轴交于点C,连接AC、BC.(1)求抛物线的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)①如图2,点D从点B出发沿线段BC向点C运动,到达点C停止,连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,当=时,求点D的坐标;②如图3,设点P是线段AD的中点,连接PE、PF、EF,在点D由起点到终点的运动过程中,写出点P的运动路程和△PEF周长的最小值.【分析】(1)用交点式抛物线表达式,即可求解;(2)点C(0,﹣3),则AC=5,AC=AB=5,即可求解;(3)①△DCF∽△DBE,则==,设DB=m,则BC=3m=,则m=,BE=,OE=,DE=1,即可求解;②A、E、D、F四点共圆,AD为⊙O的直径,∠BAC是定角,则∠EPF也是定角,当AD⊥BC时,直径AD最短,从而弦EF也最短,即可求解.【解答】解:(1)用交点式抛物线表达式可得:y=(x+1)(x﹣4)=x2﹣x﹣3;(2)点C(0,﹣3),则AC=5,AC=AB=5,△ABC的是等腰三角形;(3)①∵∠DBE=∠DCF,∴△DCF∽△DBE,∴==,设DB=m,则BC=3m=,∴m=,BE=,OE=,DE=1,∴D(﹣,﹣1);②∵DE⊥AB E,DF⊥AC,∴A、E、D、F四点共圆,AD为⊙O的直径,∵∠BAC是定角,∴∠EPF也是定角,当AD⊥BC时,直径AD最短,从而弦EF也最短.此时,AD=AB sin∠OBC=5×==2R,EF=2R sin∠EPD=2R sin∠OAC=×=,△PEF的周长最小值=EF+2R=+,点P的轨迹为△ABC的中位线:BC=.【点评】本题主要考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、圆的基本知识等,其中(3)②,确定A、E、D、F四点共圆,是本题的突破点和难点.2.如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上找出点P,使PC=PO,求点P的坐标;(3)将直线AC沿x轴的正方向平移,平移后的直线交y轴于点M,交抛物线于点N.当四边形ACMN为等腰梯形时,求点M、N的坐标.【分析】(1)把点A(1,0)、C(0,3)代入二次函数表达式,即可求解;(2)过P作PH⊥OC,垂足为H,PO=PC,PH⊥OC,则:CH=OH=,即:x2﹣4x+3=,即可求解;(3)四边形ACMN为等腰梯形,且AC∥MN,则GA=GC,在Rt△OGA中,OA2+OG2=AG2,则G(0,),即可求解.【解答】解:(1)把点A(1,0)、C(0,3)代入二次函数表达式得:,解得:,则抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3;(2)如下图,过P作PH⊥OC,垂足为H,∵PO=PC,PH⊥OC,则:CH=OH=,∴x2﹣4x+3=,解得:x=2,故点P(2+)或(2﹣);(3)如下图,连接NA并延长交OC于G∵四边形ACMN为等腰梯形,且AC∥MN,。

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)

2021年广东省广州市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题,得分率低,需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数,圆,多边形,相似,锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1.等边三角形ABC内接于⊙O,点D在弧AC上,连接AD、CD、BD.(1)如图1,求证BD平分∠ADC;
(2)如图2,若∠DBC=15°,求证:AD:AC=√2:√3;
(3)如图3,若AC、BD交于点E,连接OE,且OE=2√7,若BD=3CD,求AD的长.
2.(1)初步思考:
如图1,在△PCB中,已知PB=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1,试证明:PN=1
2PC
(2)问题提出:
如图2,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求
PD+1
2PC的最小值.
(3)推广运用:
如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一
个动点,求PD−1
2PC的最大值.。

2023年广州中考数学压轴题回忆版

2023年广州中考数学压轴题回忆版

2023年广州中考数学压轴题回忆版一、题目回忆1. 下列各组数据中,哪一组数据的方差最大?A. 1,2,3,4,5B. 6,7,9,10,11C. 21,23,25,27,29D. 33,35,37,39,412. 已知直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,则AC=?A. 5B. 6C. 7D. 83. 一张半径为5cm的圆被一块长为12cm、宽为16cm的矩形纸片的一个长边所切割,则切割后圆的面积为多少?A. 10πB. 12πC. 15πD. 16π4. 已知集合A={3,4,5,6},集合B={4,5,6,7},则A∩B=?A. {4,5,6}B. {4,5,6,7}C. {3,4,5,6,7}D. 空集5. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. y=x^3+2x^2B. y=3x^2+4xC. y=x^4+x^2D. y=3x^3+5x二、解题思路1. 题目一是考察对方差计算的理解和运用。

方差是指一组数据与其平均数之差的平方和的平均数,用于衡量数据的分散程度。

在选择答案时,需要计算每组数据的方差并做对比,选择分散程度最大的一组。

2. 题目二是利用勾股定理求解直角三角形的边长。

根据勾股定理,直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

结合AB和BC的已知条件,可以求得AC的长度。

3. 题目三是利用几何图形的面积计算。

首先确定圆的面积,然后根据题目所给的矩形纸片的长度和宽度,计算出被矩形纸片遮盖的圆形面积,最后利用减法得出切割后的圆的面积。

4. 题目四是利用集合的交集概念进行计算。

需要将两个集合进行交集运算,得到同时属于A和B的元素的集合。

5. 题目五是判断函数的奇偶性。

奇函数是指当自变量x变为-x时,函数值与原来的函数值互为相反数的函数。

需要对每个函数进行奇函数的特性判断,得出最终答案。

三、解题方法1. 方差的计算方法是先求出一组数据的平均数,然后将每个数据与平均数的差的平方相加,再求平均数,即可得到方差。

2020广州中考数学压轴题

2020广州中考数学压轴题
y的取值范围为0≤y≤16.
例题讲解
(2020广东广州中考,25)平面直角坐标系xOy中,
抛物线G:y=ax2+bx+c(0<a<12)过点A(1,c﹣5a),B(x1,3),C
(x2,3).顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设△OBE的面积为S1,
△OCE的面积为S2,S1=S2+
(1)用含a的式子表示b;
又∵点D(3,− + )
∴直线DE解析式为: = ( + − ) + − −
∵直线DE与直线DF是同一直线,∴=( + − ),∴ = 。
∴抛物线的解析式为: = 2 − 6 + 9
∵1<x<6,∴当x=3时,y取得最小值为0;
二次函数背景下的
含参数问题
以2020年广州中考数学25题为例
导入新课
1.已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4这个范围内,
求y的取值范围。
解:∵y=x2的对称轴为y轴,且抛物线
开口向上,所以在-1≤x≤4这个范围
内,
当x=0时,函数取得最小值y=0;
当x=4时,函数取得最大值y=16.
综上,在-1≤x≤4这个范围内,
解:(1)∵抛物线G:y=ax2+bx+c
(0<a<12)过点A(1,c﹣5a),
∴c﹣5a=a+b+c,∴b=﹣6a;
(2)求点E的坐标:
解:(2)如图,设BC的中点为M,
∵B(x1,3),C(x2,3),线段BC上有


一点E,∴ = × × =




= × × =
化,抛物线G的顶点的纵坐标k与横坐标h之间存在一个函数关系,求这个

挑战压轴题填空题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(解析版)

挑战压轴题填空题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(解析版)

02挑战压轴题(填空题)<≤【答案】 1.23S【分析】根据三角形中位线定理可得形DEFG是平行四边形,结合【详解】解:∵点D,E分别是由题意得,DE AM ∥,且DE ∴1122DE AM x ==,又F 、G 分别是MN AN 、的中点,∴FG AM ∥,12FG AM =,【答案】120°/120度75°/75度【分析】如图,以AB为边向右作等边△ABE,连接EP′.利用全等三角形的性质证明∠BEP′=90°,推出点P′在射线EP′上运动,如图1中,设EP′交BC于点O,再证明△BEO是等腰直角三角形,可得结论.【详解】解:如图,以AB为边向右作等边△ABE,连接EP′.∵△BPP′是等边三角形,∴∠ABE=∠PBP′=60°,BP=BP′,BA=BE,∴∠ABP=∠EBP′,在△ABP和△EBP′中BA BEABP EBPBP BP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩,∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴∠BAP=∠BEP′=90°,∴点P′在射线EP′上运动,如图1中,设EP′交BC于点O,当点P′落在BC上时,点P′与O重合,此时∠PP′C=180°-60°=120°,当CP′⊥EP′时,CP′的长最小,此时∠EBO=∠OCP′=30°,51【点睛】本题考查了正方形的综合问题,掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键.【答案】15 4【分析】如图,连接PC交AB于直角三角形求出AC,PA,利用相似三角形的性质求出题.【详解】解:如图,连接PC交AB∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∵BC=23,∠BAC=30°,∴AB=2BC=43,AC=3BC=6,∵∠EPB=∠EBP=60°,(1)∠AEB 的度数为 (2)若15EBA ∠=︒,【答案】 135° 【分析】(1)如图,连接∵E 是△ADC 的内心,∠∴∠ACE =12∠ACD ,∠EAC ∴∠AEC =180°−12(∠ACD 在△AEC 和△AEB 中,【详解】【答案】171++/117【分析】连接CE,AE',可证AE'=的圆,当E F'经过圆心半径为1【详解】解:如图,连接CE四边形ABCD是正方形,=∴∠=︒,AD CDADC90ADE CDE∴∠+∠=︒,90将DE绕D顺时针旋转∠=DE DE'∴=,EDE'∴22AF AD DF =+224117=+=,FE AF AE ''∴=+171=+;【答案】17【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,由V V,可得BE≅BDE BDF=,由勾股定理可求解.AE CF∠=BD DE,BDE2==∴∠=∠=︒,90BDE BDF()SAS∴≅V V,BDE BDF∠=∠BE BF∴=,BEA BFA【答案】8【分析】本题考查动点最值问题法求线段长等知识,在Rt PBE△中,求出在等腰ABCV中,∴在Rt△ABD中,ABsinAD ABDAB∴∠==在Rt PBE△中,sin313【答案】5【分析】本题考查了正方形的综合题,关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题.先画出点E 运动的路线EE ',过E 作EF AQ ⊥,交AQ 于点F ,根据EAF CAB △∽△,可得EF AF =,设cm EF x =,则()3cm BF x =-,()4.5cm QF x =-,再根据EQF DQA V V ∽,可求得EF E F '、,利用勾股定理可得EE '.【详解】解:当点P 在点A 处时,如图,,23cm BP BQ BP == ,,15cm BQ .∴=,当点P 运动到点B 时,如图,,所以点E 运动的路线EE ',如图,,过E 作EF AQ ⊥,交AQ 于点F ,即90AFE EFQ ∠=∠=︒,∵四边形ABCD 为正方形,【答案】32【分析】本题考查了垂线段最短,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,取连接DK ,EK ,由V AE 绕点A 顺时针旋转∵ABC V 是等边三角形,∴60BAC ∠=︒,3AD =∵线段AE 绕点A 顺时针旋转∴60PAE ∠=︒,AE =∴60PAE BAC ∠=∠=︒【答案】23【分析】本题考查三角形的重心,涉及相似三角形的判定与性质,于G ,延长CG 交AB 于点F ,证明V 据3AC =,得21CD AD ==,,进而根据勾股定理求出【详解】解:过G 作GD AC ⊥于G ,延长∵ 90GD AC BAC ⊥∠=︒,,∴ DE AB ∥,90CDG CAF ==∠∠又∵ DCG ACF ∠=∠,∴ DCG ACF V V ∽,∴ CD DG CG ==,【答案】26【分析】连接,,OA AC OC ,OF CF ,先求出AD =后利用勾股定理求出OE 则52OA OC OF ===,12AOD AOC ∴∠=∠,弦CD AB ⊥于点E ,CD ∴142CE CD ==,∴2225BC CE BE =+=设OC x =,则2=-OE x ,2C BAD ∠=∠ ,设BAD ∠=α,则2C α∠=,90ABD ∠=︒ ,90ADB ADE α∠=︒-=∠ ,180EDC ADB ADE ∴∠=︒-∠-∠=ED EC ∴=,【答案】AP的长为25或2或10【分析】分三种情况:PA'平行于行于x轴时,过点C作CN PA⊥于的坐标,从而求得CM AM,,再由折叠性质得PA '平行于x 轴时,如图,过点设AP a =,点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,则则5512A m a m ⎛⎫++ ⎪⎝'⎭,,50,12M ⎛ ⎝当P 靠近A 且PA '平行于x 轴时,延长设AP a =,点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,则0m <,则5512A m a m ⎛⎫-+ ⎪⎝'⎭,,50,512M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴555321212CM m m ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭,PM =综上,AP 的长为25或2或10.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,平行线的性质,等腰三角形的性质角平分线的性质,勾股定理,等积法,利用等积法是解题的关键与难点.17.(2024上·山东济南·八年级统考期末)平面直角坐标系中,点123B B B ⋯,,,在x 轴上,11122233OA B B A B B A B ⋯V V V ,,是等腰直角三角形.【答案】94,设22A C m =,33A C n =,点()111A ,,1111OC A C ∴==,【答案】8【分析】如图,记AB BC 、1122DP BC AB DQ ===,证明()SAS FDQ EDC V V ≌1124BM PM BP AB ===又∵D 是AC 的中点,∴DP DQ 、是ABC V 的中位线,∴1122DP BC AB DQ ===∴四边形BPDQ 是菱形,∴1122DP BQ BC AB ===∵等边DFE △,【答案】3212+2【分析】(1)连结AB,取AB的中点D,连结CD 以定点D为圆心,1为半径的圆上运动,所以当点即得OC的最小值;(2)连结AB,取AB的中点D,连结DM,ODC为AP的中点,M 为AC 的中点,1122DM BC ∴==,所以点M 在以定点D 为圆心,90AOB ∠=︒Q ,2OA =,OB 2222AB OA OB ∴=+=,1。

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题07一次函数与反比例函数综合问题(教师版)

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题07一次函数与反比例函数综合问题(教师版)

专题07一次函数与反比例函数综合问题通用的解题思路:1.三角形面积的解题步骤:类型一:三角形有其中一边与坐标轴平行(垂直)的,以这边为底边,以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高•底边平行于V轴,则以所对顶点的横坐标的绝对值为高,反之则以纵坐标的绝对值为高.类型二:三角形没有其中一边与坐标轴平行(垂直)的,可以用公式水平宽X铅垂高求解.2.利用图象法解不等式解集的解题步骤:①求交点:联立方程求出方程组的解;②分区间:将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间;③比大小:图象谁在上方谁就大;④:写出对应区间自变量的取值范围.3.两线段和差的最值问题利用将军饮马模型:做对称,连定点,求交点.1.(2024广东东莞•一模)如图,一次函数y=+3的图象与'轴交于点,与反比例函数日的图象在第一象限内交于点瓦点B的横坐标为1,连接。

8,过点B作BClx轴于点C.⑴求一次函数和反比例函数的解析式;.....................................~4〜.......................⑵设点。

是x轴上一点,使得S^BCD=~S^AOB,求点Q的坐标.【答案】(1)必=2x+3,J=-x⑵点。

的坐标为(-1,0)或(3,0)【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式,一次函数图象的性质,一次函数图象上点的坐标的特征,反比例函数的性质,反比例函数图象上点的坐标的特征,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.(1)把点代入一次函数了=心+3中,解得m=2,进而可得点B的坐标为(1,5),再利用待定系数法解答即可;(2)根据坐标求得S△朝=可知S%co=:S△皿=5,再根据S^cd=?CD・BC,得CD=2,即可求解.【详解】(1)解:把点{―代入一次函数:Y=m+3中,,一3___——m+3=0,解得m=2,园一次函数的解析式为"2x+3.把点B的横坐标工二1代入y=2x+3中,得"5,国点B的坐标为(1,5),国点B为一次函数和反比例函数图象的交点,园把点8(1,5)代入反比例函数y=|中,得S5,园反比例函数的解析式为:y=-;(2)园jo],8(1,5),BClx轴,0OA=-,BC=5,C(l,0),S5aaob=-AO-BC=-x-x5=—,△如2224[?]Q=—V-^x—=5U*BCD3°AA(9B34,0S ABCn=-CD BC=-CD=5,园CD=2,M(l,0),回点。

初中数学中考压轴题及答案详解(广东篇)

初中数学中考压轴题及答案详解(广东篇)

专题训练122. 如图,抛物线923212--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC 、AC 。

(1)求AB 和OC 的长;(2)点E 从点A 出发,沿x 轴向点B 运动(点E 与点A 、B 不重合)。

过点E 作直线l 平行BC ,交AC 于点D 。

设AE 的长为m ,△ADE 的面积为s ,求s 关于m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接CE ,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点E 为圆心,与BC 相切的圆的面积(结果保留π)。

参考答案: 解:(1)令y=0,即0923212=--x x , 整理得 01832=--x x , 解得:31-=x ,62=x , ∴ A (—3,0),B (6,0) 令x = 0,得y = —9, ∴ 点C (0,—9)∴ 9)3(6=--=AB ,99=-=OC , (2)281992121=⨯⨯=⋅=∆OC AB S ABC, ∵ l ∥BC ,∴ △ADE ∽△ACB , ∴22ABAE S S ABC=∆,即229281m S = ∴ 221m S =,其中90<<m 。

(3)88129212192122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⨯⨯=-=∆∆∆m m m S S S ADEACE CDE , ∵ 021<-∴ 当29=m 时,S △CDE 取得最大值,且最大值是881。

这时点E (23,0),yA OB xElCD题22图∴29236=-=-=OE OB BE ,133962222=+=+=OC OB BC , 作EF ⊥BC ,垂足为F ,∵∠EBF=∠CBO ,∠EFB=∠COB , ∴△EFB ∽△COB ,∴CB BEOC EF =,即133299=EF ∴132627=EF , ∴ ⊙E 的面积为:πππ5272913262722=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⋅=EF S 。

2020年广东省中考数学压轴题专题训练(含解析)

2020年广东省中考数学压轴题专题训练(含解析)

2020年(广东)中考数学压轴题专题训练1.如图,AB为⊙O的直径,P为BA延长线上一点,点C在⊙O上,连接PC,D为半径OA上一点,PD=PC,连接CD并延长交⊙O于点E,且E是的中点.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:CD•DE=2OD•PD;(3)若AB=8,CD•DE=15,求P A的长.2.已知:矩形ABCD内接于⊙O,连接BD,点E在⊙O上,连接BE交AD于点F,∠BDC+45°=∠BFD,连接ED.(1)如图1,求证:∠EBD=∠EDB;(2)如图2,点G是AB上一点,过点G作AB的垂线分别交BE和BD于点H和点K,若HK=BG+AF,求证:AB=KG;(3)如图3,在(2)的条件下,⊙O上有一点N,连接CN分别交BD和AD于点M和点P,连接OP,∠APO=∠CPO,若MD=8,MC=3,求线段GB的长.3.如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,交⊙O于C、D两点,交AB点E、F是弧BD上一点,过点F作一条直线,交CD的延长线于点G,交AB的延长线于点M.连结AF,交CD于点H,GF=GH.(1)求证:MG是⊙O的切线;(2)若弧AF=弧CF,求证:HC=AC;(3)在(2)的条件下,若tan G=,AE=6,求GM的值.4.如图,已知AC是半径为2的⊙O的一条弦,且AC=2,点B是⊙O上不与A、C重合的一个动点,(1)请计算△ABC的面积的最大值;(2)当点B在优弧上,∠BAC>∠ACB时,∠ABC的平分线交AC于D,且OD⊥BD,请计算AD的长;(3)在(2)条件下,请探究线段AB、BC、BD之间的数量关系.5.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,BC为⊙O的直径,在线段OC上取点D(不与端点重合),作DG⊥BC,分别交AC、圆周于E、F,连接AG,已知AG=EG.(1)求证:AG为⊙O的切线;(2)已知AG=2,填空:①当四边形ABOF是菱形时,∠AEG=°;②若OC=2DC,△AGE为等腰直角三角形,则AB=.6.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,AD是⊙O的弦,AD=BC,AD与BC相交于点E.(1)求证:CB平分∠ACD;(2)过点B作BG⊥AC于G,交AD于点F.①猜想AC、AG、CD之间的数量关系,并且说明理由;②若S△ABG=S△ACD,⊙O的半径为15,求DF的长.7.如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,交y轴于点A,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,连接BD分别交y轴和AC于E、F两点,连接AB.(1)求证:AB=AD;(2)若BF=4,DF=6,求线段CD的长;(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC边上(不包括端点B,C),过A,C,D 三点的⊙O交AB于另一点E,连结AD,DE,CE,且CE⊥AD于点G,过点C作CF∥DE交AD于点F,连结EF.(1)求证:四边形DCFE是菱形;(2)当tan∠AEF=,AC=4时,求⊙O的直径长.9.如图,抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,若A(﹣1,0),且OC=3OA.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为抛物线上第四象限内一动点,顺次连接AC,CM,MB,是否存在点M,使四边形MBAC的面积为9,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.(3)将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点,过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E,且D在N的上方,将A点绕O顺时针旋转90°得M,若∠NBD=∠MBO,试求E的的坐标.10.已知:如图,直线y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c过A、C两点,(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点,连接P A,PC,试问△P AC的面积是否存在最大值,若存在,请求出△APC面积的最大值,以及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M为抛物线上一点,点N为抛物线对称轴上一点,若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形,请直接写出点M的坐标.11.如图,二次函数y=a(x2+2mx﹣3m2)(其中a,m是常数a<0,m>0)的图象与x轴分别交于A、B(点A位于点B的右侧),与y轴交于点C(0,3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连结AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.(1)求a与m的关系式;(2)求证:为定值;(3)设该二次函数的图象的顶点为F.探索:在x轴的正半轴上是否存在点G,连结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.12.如图,抛物线y=ax2+4ax+与x轴交于点A、B(A在B的左侧),过点A的直线y=kx+3k交抛物线于另一点C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC,过点B作BD⊥BC,交直线AC于点D,若BC=5BD,求k的值;(3)将直线y=kx+3k向上平移4个单位,平移后的直线交抛物线于E、F两点,求△AEF的面积的最小值.13.如图1,二次函数y=﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)求点D的坐标;(2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点,在线段AO上取一点F,过点F作FH ⊥CD,交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧),当五边形FCEHB的面积最大时,求点H的横坐标;(3)如图3,在直线BC上取一点M(不与点B重合),在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,已知二次函数y=ax2﹣8ax+6(a>0)的图象与x轴分别交于A、B两点,与y 轴交于点C,点D在抛物线的对称轴上,且四边形ABDC为平行四边形.(1)求此抛物线的对称轴,并确定此二次函数的表达式;(2)点E为x轴下方抛物线上一点,若△ODE的面积为12,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,点P是抛物线的对称轴上一动点,连接PE、EM,过点P作PE的垂线交抛物线于点Q,当∠PQE=∠EMP时,求点Q到抛物线的对称轴的距离.15.如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+与抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5.(1)求抛物线的函数表达式;(2)该二次函数图象上有一点P(x,y)使得S△BCD=S△ABP,求点P的坐标;(3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,求2AF+DF的最小值.16.二次函数y=x2﹣x﹣与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,点D 为抛物线的顶点,连接BD.(1)如图1,点P为抛物线上的一点,且在线段BD的下方(包括线段的端点),连接P A,PC,AC.求△P AC的最大面积;(2)如图2,直线l1过点B、D.过点A作直线l2∥l1交y轴于点E,连接点A、E,得到△OAE,将△OAE绕着原点O顺时针旋转α°(0<α<180)得到△OA1E1,旋转过程中直线OE1与直线l1交于点M,直线A1E1与直线l1交于点N.当△E1MN为等腰三角形时,直接写出点E1的坐标并写出相应的α值.17.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,点A、B在x轴上,点C、D在第二象限,点M是BC中点.已知AB=6,AD=8,∠DAB=60°,点B的坐标为(﹣6,0).(1)求点D和点M的坐标;(2)如图①,将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y=(x>0)的图象上,请求出a的值以及这个反比例函数的表达式;(3)如图②,在(2)的条件下,过点M,M′作直线l,点P是直线l上的动点,点Q 是平面内任意一点,若以B′,C′,P、Q为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.18.如图,过原点的直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2=(k<0)的图象交于A、B 两点,点A在第二象限,且点A的横坐标为﹣1,点D在x轴负半轴上,连接AD交反比例函数图象于另一点E,AC为∠BAD的平分线,过点B作AC的垂线,垂足为C,连接CE,若AD=2DE,△AEC的面积为.(1)根据图象回答:当x取何值时,y1<y2;(2)求△AOD的面积;(3)若点P的坐标为(m,k),在y轴的轴上是否存在一点M,使得△OMP是直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.19.阅读材料:我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点,过另外两个顶点分别向该直线作垂线,即可得三垂直模型”如图①:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,分别过A、B向经过点C直线作垂线,垂足分别为D、E,我们很容易发现结论:△ADC≌△CEB.(1)探究问题:如果AC≠BC,其他条件不变,如图②,可得到结论;△ADC∽△CEB.请你说明理由.(2)学以致用:如图③,在平面直角坐标系中,直线y=x与直线CD交于点M(2,1),且两直线夹角为α,且tanα=,请你求出直线CD的解析式.(3)拓展应用:如图④,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接BE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD 外部时,连接PC,PD.若△DPC为直角三角形时,请你探究并直接写出BE的长.20.笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家,他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的.1637年,笛卡尔发表了《几何学》,创立了直角坐标系.其中笛卡尔的思想核心是:把几何学的问题归结成代数形式的问题,用代数的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的.某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时,发现直线y=kx+b(k≠0)上的任意三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1≠x1≠x3),满足===k,经学习小组查阅资料得知,以上发现是成立的,即直线y=kx+b(k≠0)上任意两点的坐标M(x1,y1)N(x2,y2)(x1≠x2),都有的值为k,其中k叫直线y=kx+b的斜率.如,P(1,3),Q(2,4)为直线y=x+2上两点,则k PQ==1,即直线y=x+2的斜率为1.(1)请你直接写出过E(2,3)、F(4,﹣2)两点的直线的斜率k EF=.(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到如下正确结论:不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.如图1,直线GH⊥GI于点G,G(1,3),H(﹣2,1),I(﹣1,6).请求出直线GH 与直线GI的斜率之积.(3)如图2,已知正方形OKRS的顶点S的坐标为(6,8),点K,R在第二象限,OR 为正方形的对角线.过顶点R作RT⊥OR于点R.求直线RT的解析式.参考答案一.解答题(共20小题)1.(1)证明:连接OC,OE,∵OC=OE,∴∠E=∠OCE,∵E是的中点,∴=,∴∠AOE=∠BOE=90°,∴∠E+∠ODE=90°,∵PC=PD,∴∠PCD=∠PDC,∵∠PDC=∠ODE,∴∠PCD=∠ODE,∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠E=90°,∴OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线;(2)证明:连接AC,BE,BC,∵∠ACD=∠DBE,∠CAD=∠DEB,∴△ACD∽△EBD,∴=,∴CD•DE=AD•BD=(AO﹣OD)(AO+OD)=AO2﹣OD2;∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠PCO=90°,∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°,∴∠ACP=∠BCO,∵∠BCO=∠CBO,∴∠ACP=∠PBC,∵∠P=∠P,∴△ACP∽△CBP,∴,∴PC2=PB•P A=(PD+DB)(PD﹣AD)=(PD+OD+OA)(PD+OD﹣OA)=(PD+OD)2﹣OA2=PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2,∵PC=PD,∴PD2=PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2,∴OA2﹣OD2=2OD•PD,∴CD•DE=2OD•PD;(3)解:∵AB=8,∴OA=4,由(2)知,CD•DE=AO2﹣OD2;∵CD•DE=15,∴15=42﹣OD2,∴OD=1(负值舍去),∴AD=3,由(2)知,CD•DE=2OD•PD,∴PD==,∴P A=PD﹣AD=.2.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠BDC=∠DBA,BD是⊙O的直径,∴∠BED=90°,∵∠BFD=∠ABF+∠BAD,∠BFD=∠BDC+45°,∴∠ABF+90°=∠DBA+45°,∴∠DBA﹣∠ABF=45°,∴∠EBD=45°,∴△BED是等腰直角三角形,∴∠EBD=∠EDB;(2)证明:过点K作KS⊥BE,垂足为R,交AB于S,如图2所示:∵KG⊥AB,∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°,∴∠SBR=∠HKR,∵∠BED=90°,∴∠RBK=∠RKB=45°,∴BR=KR,在△SRB和△HRK中,,∴△SRB≌△HRK(ASA),∴SB=HK,∵SB=BG+SG,HK=BG+AF,∴BG+SG=BG+AF,∴SG=AF,在△ABF和△GKS中,,∴△ABF≌△GKS(AAS),∴AB=KG;(3)解:过点O分别作AD与CN的垂线,垂足分别为Q和T,连接OC,如图3所示:∵∠APO=∠CPO,∴OQ=OT,在Rt△OQD和Rt△OTC中,,∴Rt△OQD≌Rt△OTC(HL),∴DQ=CT,∴AD=CN,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=CN=BC,连接ON,在△NOC和△BOC中,,∴△NOC≌△BOC(SSS),∴∠BCO=∠NCO,设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α,∴∠MOC=2α,过点M作MW⊥OC于W,在OC上取一点L,使WL=OW,连接ML,∴MO=ML,∴∠MOL=∠MLO=2α,∴∠LCM=∠LMC=α,∴ML=CL,设OM=ML=LC=a,则OD=a+8=OC,∴OL=8,OW=WL=4,∴CW=4+a,由勾股定理得:OM2﹣OW2=MW2=MC2﹣CW2,即a2﹣42=(3)2﹣(4+a)2,整理得:a2+4a﹣45=0,解得:a1=﹣9(不合题意舍去),a2=5,∴OM=5,∴MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26,∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW,tan∠MCW===,∴tan∠GKB=tan∠CBD=tan∠ADB=tan∠BCO=tan∠MCW=,设AB=b,则AD=3b,由勾股定理得:b2+(3b)2=262,解得b=,∴CD=GK=AB=,在Rt△GKB中,tan∠GKB==,∴GB=GK=×=.3.(1)证明:连接OF.∴AB⊥CD,∴∠AEH=90°,∴∠EAH+∠AHE=90°,∵GF=GH,∴∠GFH=∠GHF=∠AHE,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OF A,∴∠OF A+∠GFH=90°,∴OF⊥GM,∴MG是⊙O的切线.(2)证明:∵=,∴OF垂直平分线段AC∵OF⊥MG,∴AC∥GM,∴∠CAH=∠GFH,∵∠CHA=∠GHF,∠HGF=∠GFH,∴∠CAH=∠CHA,∴CA=CH.(3)解:∵AC∥GM,∴∠G=∠ACH,∴tan∠CAH=tan∠G==,∵AE=6,∴EC=8,AC===10,设GF=GH=x,则CG=CH+GH=AC+GH=10+x,∵CD=2EC=16,∴GD=10+x﹣16=x﹣6,∵GF2=GD•GC,∴x2=(x﹣6)(x+10),解得x=15,∴EG=CG﹣CE=25﹣8=17,∵tan∠G==,∴EM=,∴GM===.4.解:(1)如图1中,当点B在优弧AC的中点时,△ABC的面积的最大,连接AB,BC,OB,延长BO交AC于H.∵=,∴BH⊥AC,∴AH=HC=,∴OH==1,∴BH=OB+OH=2+1=3,∴△ABC的最大面积=×AC×BH=×2×3=3.(2)如图2中,延长BD交⊙O于E,连结OE交AC于F,连结OC.由BD平分∠ABC可得,E为弧AC中点,∴OE⊥AC,∴AF=CF=∴OF===1=EF,∴DF垂直平分OE,又∵OD⊥BD,∴△ODE是等腰直角三角形,∴DF=OE=1,∴AD=.(3)如图3,连结AE、CE,由已知得AE=CE,∠AEC=120〫,将△EAB绕点E顺时针旋转120〫得△ECF,∵∠BAE=∠ECF,∠BAE+∠BCE=180〫,∴∠ECF+∠BCE=180〫,∴BF=BC+CF,∵AB=CF,∴BF=AB+BC,∵BE=FE,∠BEF=∠AEC=120〫,∴BF=BE,∵OD⊥BD,∴BE=2BD,∴BF=2BD,∴BA+BC=2BD.5.(1)证明:连接OA.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵GA=GE,∴∠GAE=∠GEA,∵DG⊥BC,∴∠EDC=90°,∴∠OCA+∠DEC=90°,∵∠CED=∠GEA=∠GAE,∴∠OAC+∠GAE=90°,∴∠OAG=90°,∴OA⊥AG,∴AG是⊙O的切线.(2)①如图2中,连接OA,AF,OF.∵四边形ABOF是菱形,∴AB=BO=OF=AF=OA,∴△ABO是等边三角形,∴∠B=60°,∵BC是直径,∴∠BAC=90°∴∠ACB=90°﹣60°=30°,∵ED⊥BC,∴∠DEC=90°﹣∠ACB=60°,∴∠AEG=∠DEC=60°.故答案为60.②如图3中,当AB=4时,△AGE是等腰直角三角形.理由:连接OA.∵△AGE是等腰直角三角形,∴∠AEG=∠DEC=∠DCE=45°,∴△EDC,△ABC都是等腰直角三角形,∵OB=OC,∴AO⊥OC,∴∠AOD=∠ODG=∠G=90°,∴四边形AODG是矩形,∴AG=OD=2,∴OC=2OD=4,∴BC=2OC=8,∴AB=AC=4,故答案为4.6.(1)证明:如图1中,∵AD=BC,∴=,∴=,∵AB=AC,∴=,∴=,∴∠ACB=∠BCD,∴CB平分∠ACD.(2)①结论:AC﹣2AG=CD.理由:如图2中,连接BD,在GC上取一点H,使得GH=GA.∵BG⊥AH,GA=GH,∴BA=BH,∴∠BAH=∠BHA,∵∠BAH+∠BDC=180°,∠BHG+∠BHC=180°,∴∠BDC=∠BHC,∵∠BCH=∠BCD,CB=CB,∴△BCH≌△BCD(AAS),∴CD=CH,∴AC﹣2AG=AC﹣AH=CH=CD.②如图3中,过点G作GN⊥AB于G,过点D作DM⊥AC交AC的延长线于M,连接AO,延长AO交BC于J,连接OC.∵=,∴∠BAD=∠ADC,∴AB∥CD,∴S△ACD=S△BCD,∵△BCH≌△BCD,∴S△BCH=S△BCD,∵AG=GH,∴S△ABG=S△BGH,∵S△ABG=S△ACD,∴S△ABG=S△BGH=S△BCH,∴AG=GH=CH,设AG=GH=HC=a,则AB=AC=3a,BG===2a,∵BG⊥AC,∴•BG•AG=•AB•GN,∴GN==a,在Rt△BGC中,BC===2a,∵AB=AC,∴=,∴AJ⊥BC,∴BJ=JC=a,∴AJ===a,在Rt△OJC中,∵OC2=OJ2+JC2,∴152=(a﹣15)2+(a)2,∴a=,∵S△ABG=S△ACD,AB=AC,GN⊥AB,DM∠AC,∴DM=GN=a=,∵BC=AD=2a=20,∴AM===,∵FG∥DM,∴=,∴=,∴AF=6,∴DF=AD=AF=20﹣6=14. 7.(1)证明:∵OA⊥BC,且OA过圆心点P,∴OB=OC,在△AOB和△AOC中,,∴△AOB≌△AOC(SAS),∴AB=AC,∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD,∴AD=AC,∴AB=AD;(2)如图1,过点A作AM⊥BD于M,由(1)知,AB=AD,∴DM=BD,∵BF=4,DF=6,∴BD=10,∴DM=5,∵∠AMD=90°=∠DAF,∠ADM=∠FDA,∴△ADM∽△FDA,∴,∴,∴AD=,在等腰直角三角形ADC中,CD=AD=2;(3)的值是不发生变化,理由:如图2,过点D作DH⊥y轴于H,作DQ⊥x轴于Q,∴∠AHD=90°=∠COA,∴∠ADH+∠DAH=90°,∵∠CAD=90°,∴∠CAO+∠DAH=90°,∴∠ADH=∠CAO,∵AD=AC,∴△ADH≌△ACO(AAS),∴DH=AO,AH=OC,∵∠OHD=∠QOH=∠OQD=90°,∴四边形OQDH是矩形,DH=OQ,DQ=OH,又∵HO=AH+AO=OC+DH=OB+DH=OB+OQ=BQ,∴DQ=BQ,∴△DBQ为等腰直角三角形,∴∠DBQ=45°,∴∠DEH=∠BEO=45°,∴sin∠DEH=,∴=,∴,∴.8.解:(1)证明:∵CE⊥AD,∴EG=CG,∵CF∥DE,∴∠DEG=∠FCG,∵∠FGC=∠DGE,∴△DEG≌△FCG(ASA),∴ED=FC,∴四边形DCFE为平行四边形,又∵CE⊥DF,∴四边形DCFE是菱形;(2)∵AG⊥EC,EG=CG,∴AE=AC=4,∵四边形AEDC内接于⊙O,∴∠BED=∠BCA=90°,∵四边形DCFE是菱形,∴EF∥DC,DE=DC,∴∠AEF=∠ABC,∴tan∠ABC=tan∠AEF=,在Rt△BED中,设DE=3a,则BE=4a,∴DC=3a,BD==5a,∵BC2+AC2=AB2,∴(5a+3a)2+42=(4a+4)2,解得a=或a=0(舍去),∴DE=DC=2,∴AD===2.即⊙O的直径长为2.9.解:(1)∵A(﹣1,0),∴OA=1,OC=3OA=3,∴C(0,﹣3),将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+mx+n中,得,解得,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,理由:令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),∴直线BC的解析式为y=x﹣3,设M(m,m2﹣2m﹣3),过点M作MN∥y轴交BC于N,如图1,∴N(m,m﹣3),∴MN=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,∴S四边形MBAC=S△ABC+S△BCM=AB×OC+MN×OB=×4×3×(﹣m2+3m)×3=9,解得:m=1或2,故点M的坐标为(1,﹣4)或(2,﹣3);(3)∵OB=OC=ON,∴△BON为等腰直角三角形,∵∠OBM+∠NBM=45°,∴∠NBD+∠NBM=∠DBM=45°,∴MB=MF,过点M作MF⊥BM交BE于F,过点F作FH⊥y轴于点H,如图2,∴∠HFM+∠BMO=90°,∵∠BMO+∠OMB=90°,∴∠OMB=∠HFM,∵∠BOM=∠MHF=90°,∴△BOM≌△MHF(AAS),∴FH=OM=1,MH=OB=3,故点F(1,4),由点B、F的坐标得,直线BF的解析式为y=﹣2x+6,联立,解得,∴E(﹣3,12).10.解:(1)y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,则点A、C的坐标分别为:(﹣3,0)、(0,﹣3);将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;(2)存在,理由:如图1,过点P作y轴的平行线交AC于点H,设点P(x,x2+2x﹣3),则点H(x,﹣x﹣3),△APC面积S=S△PHA+S△PHC=×PH×OA=(﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3)×3=﹣x2﹣x,∵﹣<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为,此时点P(﹣,﹣);(3)如图2,设点N(﹣1,s),点M(m,n),n=m2+2m﹣3,过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H,交过点N与x轴的平行线于点G,∵∠GMN+∠GNM=90°,∠GMN+∠HMC=90°,∴∠HMC=∠GNM,∵∠MGN=∠CHM=90°,MN=MC,∴△MGN≌△CHM(AAS),∴GN=MH,即GN=|﹣1﹣m|=MH=|n+3|,①当﹣1﹣m=n+3时,即m+n+4=0,即m2+3m+1=0,解得:m=,故点P(,);②当﹣1﹣m=﹣(n+3)时,即m=n+2,同理可得:点P(,);故点P的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).11.解:(1)将点C的坐标代入抛物线表达式得:﹣3am2=3,解得:am2=﹣1;(2)对于二次函数y=a(x2+2mx﹣3m2),令y=0,则x=m或﹣3m,∴函数的对称轴为:x=﹣m,∵CD∥AB,∴点D、C的纵坐标相同,故点D(﹣2m,3),故点A、B的坐标分别为:(m,0)、(﹣3m,0),设点E(x,y),y=a(x2+2mx﹣3m2),分别过点D、E作x轴的垂线,垂足分别为M、N,∵AB平分∠DAE,∴∠DAM=∠EAN,∴RtADM△∽Rt△ANE,∴,即,解得:y=,故点E(x,),将点E的坐标代入抛物线表达式并解得:x==﹣4m,则y==﹣5,故点E(﹣4m,﹣5),故===为定值;(3)存在,理由:函数的对称轴为x=﹣m,当x=﹣m时,y=a(x2+2mx﹣3m2)=4,即点F(﹣m,4),由点F、C的坐标得,直线FC的表达式为:y=﹣x+3,令y=0,则x=3m,即点G(3m,0),GF2=(3m+m)2+42=16m2+16,同理AD2=9m2+9,AE2=25m2+25,故AE2=AD2+GF2,GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形,点G的横坐标为3m.12.解:(1)∵直线y=kx+3k过点A,∴y=0时,0=kx+3k,解得x=﹣3,∴A(﹣3,0),把点A的坐标代入y=ax2+4ax+,得9a﹣12a+=0,解得a=,∴抛物线解析式为y=x2+x+;(2)如图1,过点D作DF⊥x轴于F,过点C作CG⊥x轴于G,∴∠DFB=∠CGO=90°=∠DBC,∴∠DBF+∠BDF=90°,又∵∠DBF+∠CBG=90°,∴∠BDF=∠CBG,∴△BDF∽△CBG,∴,∵CB=5BD,∴CG=5BF,BG=5DF,联立方程组,解得:,(舍去),∴点C(4k﹣1,4k2+2k),∴CG=4k2+2k,OG=4k﹣1,设BF=m,则CG=5m,DF=2k﹣km,BG=5(2k﹣km),∴,解得k=﹣(舍去)或k=0(舍去)或k=1,∴k的值为1;(3)∵将直线y=kx+3k向上平移4个单位,∴平移后解析式为y=kx+3k+4,∴kx+3k+4=x2+x+,∴x E+x F=4k﹣4,x E•x F=﹣12k﹣13,∴|x F﹣x E|==,∵△AEF的面积=×4×,∴当k=﹣时,△AEF的面积的最小值为16.13.解:(1)令x=0,则y=3,∴C(0,3),∴OC=3.令y=0,则﹣x2+x+3=0,解得:x1=﹣4,x2=6,∴A(﹣4,0),B(6,0),∴OA=4,OB=6.∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵CO⊥AD,∴OC2=OA•OD,∴OD=,∴D(,0).∴E(1,).如图2,连接OE、BE,作HG⊥x轴于点G,交BE于点P.由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为:y=﹣x+.设H(m,﹣m2+m+3),则P(m,﹣m+).∴HG=﹣m2+m+3,HP=y H﹣y P=﹣m2+m﹣.∴S△BHE=(x B﹣x E)•HP=(﹣m2+m﹣)=﹣m2+m﹣.∵FH⊥CD,AC⊥CD,∴AC∥FH,∴∠HFG=∠CAO,∵∠AOC=∠FGH=90°,∴△ACO∼△FHG,∴==,∴FG=HG=﹣m2+m+4,∴AF=AG﹣FG=m+4+m2﹣m﹣4=m2+m,∴S△AFC=AF•OC=(m2+m)=m2+m,∵S四边形ACEB=S△ACO+S△OCE+S△OEB=×4×3+×3×1+6×=,∴S五边形FCEHB=S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC=+(﹣m2+m﹣)﹣(m2+m)∴当m=时,S五边形FCEHB取得最大值.此时,H的横坐标为.(3)∵B(6,0),C(0,3),D(,0),∴CD=BD=,BC=3,∴∠DCB=∠DBC.①如图3﹣1,△CMN≌△DCB,MN交y轴于K,则CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB,∴MN∥AB,∴MN⊥y轴,∴∠CKN=∠COB=90°,MK=NK=MN=,∴△CKN∼△COB,∴==,∴CK=,∴OK=OC+CK=,∴N(,).②如图3﹣2,△MCN≌△DBC,则CN=CB=3,∠MCN=∠DBC,∴CN∥AB,∴N(3,3).③如图3﹣3,△CMN≌△DBC,则∠CMN=∠DCB,CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∴MN∥CD,作MR⊥y轴于R,则===,∴CR=,RM=,∴OR=3﹣,作MQ∥y轴,NQ⊥MQ于点Q,则∠NMQ=∠DCO,∠NQM=∠DOC=90°,∴△COD∼△MQN,∴==,∴MQ=MN=,NQ=MN=,∴NQ﹣RM=,OR+MQ=,∴N(﹣,).综上所述,满足要标的N点坐标有:(,)、(3,3)、(﹣,).14.解:(1)对称轴为直线x=﹣=4,则CD=4,∵四边形ABDC为平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,∴DC=AB=4,∴A(2,0),B(6,0),把点A(2,0)代入得y=ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6=0,解得a=,∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+6;(2)如图1,设E(m,m2﹣4m+6),其中2<m<6,作EN⊥y轴于N,如图2,∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN=S△ODE,∴(4+m)(6﹣m2+4m﹣6)﹣×4×6﹣m(﹣m2+4m﹣6)=12,化简得:m2﹣11m+24=0,解得m1=3,m2=8(舍),∴点E的坐标为(3,﹣);(3)Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时,如图2,过点E作EF⊥PM于F,MQ交x轴于G,∵∠PQE=∠PME,∴点E,M,Q,P四点共圆,∵PE⊥PQ,∴∠EPQ=90°,∴∠EMQ=90°,∴∠EMF+∠HMG=90°,∵∠HMG+∠HGM=90°,∴∠EMF=∠HGM,在Rt△EFM中,EF=1,FM=,tan∠EMF==2,∴tan∠HGM=2,∴,∴HG=HM=1,∴点G(5,0),∵M(4,﹣2),∴直线MG的解析式为y=2x﹣10①,∵二次函数解析式为y=x2﹣4x+6②,联立①②解得,(舍)或,∴Q(8,6),∴点Q到对称轴的距离为8﹣4=4;Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时,如图3,过点E作EF⊥PM于F,过点Q作QD⊥PM于D,∴∠DQP+∠QPD=90°,∵∠EPQ=90°,∴∠DPQ+∠FPE=90°,∴∠DQP=∠FPE,∵∠PDQ=∠EFP,∴△PDQ∽△EFP,∴,由Ⅰ知,tan∠PQE==2,∵EF=1,∴=,∴DP=,PF=2QD,设Q(n,n2﹣4n+6),∴DQ=4﹣n,DH=n2﹣4n+6,∴PF=DH+FH﹣DP=n2﹣4n+6+﹣=n2﹣4n+7,∴n2﹣4n+7=2(4﹣n),∴n=2+(舍)或n=2﹣,∴DQ=4﹣n=2+,即点Q到对称轴的距离为4或2+.15.解:(1)抛物线y=a(x+2)(x﹣4),令y=0,解得x=﹣2或x=4,∴A(﹣2,0),B(4,0).∵直线y=﹣x+,当x=﹣5时,y=3,∴D(﹣5,3),∵点D(﹣5,3)在抛物线y=a(x+2)(x﹣4)上,∴a(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3,∴a=.∴抛物线的函数表达式为:y=x2﹣x﹣.(2)如图1中,设直线BD交y轴于J,则J(0,).连接CD,BC.∵S△BDC=××9=10,∴S△P AB=10,∴×6×|y P|=10y P=±,当y=时,=x2﹣x﹣,解得x=1±,∴P(,)或(,),当﹣=x2﹣x﹣,方程无解,∴满足条件的点P的坐标为(,)或(,).(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,∵D(﹣5,3),B(4,0),∴tan∠DBA==,∴∠DBA=30°∴∠BDM=∠DBA=30°,过F作FJ⊥DM于J,则有sin30°=,∴HF=,∴2AF+DF=2(AF+)=2(AF+HF),当A、F、H三点共线时,即AH⊥DM时,2AF+DF=2(AF+HF)取最小值为=.16.解:(1)∵y=x2﹣x﹣=(x2﹣2x﹣3)=(x﹣1)2﹣2,∴顶点D的坐标为(1,﹣2),令y=0,则(x2﹣2x﹣3)=0,∴x=﹣1或x=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),令x=0,则y=﹣,∴C(0,﹣),∴AC是定值,要△ACP的面积最大,则点P到AC的距离最大,即当点P在点B位置时,点P到AC的距离最大,∴S△ACP最大=S△ABC=AB•OC=(3+1)•=3;(2)由(1)知,B(3,0),D(1,﹣2),∴直线l1的解析式为y=x﹣3,∵l1∥l2,且l1过点A,∴直线l2的解析式为y=x+,∴E(0,),∴OE=,在Rt△AOE中,OA=1,∴tan∠AEO==,∴∠AEO=30°,∵l1∥l2,∴∠DBO=60°,由旋转知,OE1=OE=,∠A1E1O=∠AEO=30°,∴∠ME1N=30°如图,∵△E1MN为等腰三角形,∴①当E1N1=M1N1时,∴∠E1M1N1=∠A1E1O=30°,∴α=∠BOM=60°﹣30°=60°,过点E1作E1F⊥x轴于F,∴E1F=OE1=,∴OF=E1F=,∴E1(,),②当E2M2=E2N2时,∠E2N2M2=∠E2M2N2=(180°﹣30°)=75°,∴∠BOM2=75°﹣60°=15°,∴α=105°,过点E2作E2H⊥x轴,在OH上取一点Q,使OQ=E2Q,∴∠E2QH=30°,设E2H=a,则E2Q=2a,HQ=a,∴OQ=E2Q=2a,OH=(2+)a,在Rt△OHE2中,根据勾股定理得,[(2+)a]2+a2=3,∴a=(舍去负值),∴E2(,﹣).③当E3M3=M3N3时,∠E3N3M3=∠M3E3N3=30,∴∠E3M3N3=120°,∴∠BOM3=60°,∴α=150°,∵∠OBM3=60°,∠E3N3M3=30°,∴∠N3GB=90°,∴OG=,E3G=,∴E3(,﹣).17.解:(1)∵AB=6,点B的坐标为(﹣6,0),∴点A(﹣12,0),如图1,过点D作DE⊥x轴于点D,则ED=AD sin∠DAB=8×=4,同理AE=4,故点D(﹣8,4),则点C(﹣2,4),由中点公式得,点M(﹣4,2);(2)图象向右平移了a个单位,则点D′(a﹣8,4)、点M′(a﹣4,2),∵点D′M′都在函数上,∴(a﹣8)×4=(a﹣4)×2,解得:a=12,则k=(12﹣8)×4=16,故反比例函数的表达式为=;(3)由(2)知,点M′的坐标为(8,2),点B′、C′的坐标分别为(6,0)、(10,4),设点P(m,2),点Q(s,t);①当B′C′是矩形的边时,如图2,求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′,过点C′作C′H⊥l交于点H,C′H=4﹣2=2,直线B′C′的倾斜角为60°,则∠M′PC′=30°,PH=C′H÷tan∠M′PC′=故点P的坐标为(16,2),由题意得:点P、Q′关于点C′对称,由中点公式得,点Q的坐标为(12,﹣4);同理点Q、Q′关于点M′对称,由中点公式得,点Q′(4,6);故点Q的坐标为:(12,﹣4)或(4,6);②当B′C′是矩形的对角线时,∵B′C′的中点即为PQ的中点,且PQ=B′C′,∴,解得:,,故点Q的坐标为(4,2)或(12,2);综上,点Q的坐标为:(12,﹣4)或(4,6)或(4,2)或(12,2).18.解:(1)∵直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2=(k<0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为﹣1,∴点A,点B关于原点对称,∴点B的横坐标为1,∴当x取﹣1<x<0或x>1时,y1<y2;(2)连接OC,OE,由图象知,点A,点B关于原点对称,∴OA=OB,∵AC⊥CB,∴∠ACB=90°,∴OC=AB=AO,∴∠OAC=∠OCA,∵AC为∠BAD的平分线,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥OC,∴S△AEO=S△ACE=,∴AE=DE,∴S△AOD=2S△AOE=3;(3)作EF⊥x轴于F,作AH⊥x轴于H,则EF∥AH,∵AD=2DE,∴DE=EA,∵EF∥AH,∴==1,∴DF=FH,∴EF是△DHA的中位线,∴EF=AH,∵S△OEF=S△OAH=﹣,∴OF•EF=OH•HA,∴OH=OF,∴OH=HF,∴DF=FH=HO=DO,∴S△OAH=S△ADO=3=1,∴﹣=1,∴k=﹣2,∴y=﹣,∵点A在y=﹣的图象上,∴把x=﹣1代入得,y=2,∴A(﹣1,2),∵点A在直线y=mx上,∴m=﹣2,∴P(﹣2,﹣2),在y轴上找到一点M,使得△OMP是直角三角形,当∠OMP=90°时,PM⊥y轴,则OM=2,∴点M的坐标为(0.﹣2);当∠OPM=90°时,过P作PG⊥y轴于G,则△OPM是等腰直角三角形,∴OM=2PG=4,∴点M的坐标为(0.﹣4);综上所述,点M的坐标为(0.﹣2)或(0,﹣4).19.解:(1)理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠BCE=90°,又∵∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,且∠ADC=∠BEC=90°,∴△ADC∽△CEB;(2)如图,过点O作ON⊥OM交直线CD于点N,分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴,由(1)可得:△NFO∽△OEM,∴,∵点M(2,1),∴OE=2,ME=1,∵tanα==,∴,∴NF=3,OF=,∴点N(﹣,3),∵设直线CD表达式:y=kx+b,∴∴∴直线CD的解析式为:y=﹣x+;(3)当∠CDP=90°时,如图,过点P作PH⊥BC,交BC延长线于点H,∵∠ADC+∠CDP=180°,∴点A,点D,点P三点共线,∵∠BAP=∠B=∠H=90°,∴四边形ABHP是矩形,∴AB=PH=3,∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°,∴AE=EP,∠AEP=90°,∴∠AEB=∠PEH=90°,且∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠PEH,且∠B=∠H=90°,AE=EP,∴△ABE≌△EHP(AAS),∴BE=PH=3,当∠CPD=90°时,如图,过点P作PH⊥BC,交BC延长线于点H,延长HP交AD的延长线于N,则四边形CDNH是矩形,∴CD=NH=3,DN=CH,设BE=x,则EC=5﹣x,∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°,∴AE=EP,∠AEP=90°,∴∠AEB=∠PEH=90°,且∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠PEH,且∠B=∠EHP=90°,AE=EP,∴△ABE≌△EHP(AAS),∴PH=BE=x,AB=EH=3,∴PN=3﹣x,CH=3﹣(5﹣x)=x﹣2=DN,∵∠DPC=90°,∴∠DPN+∠CPH=90°,且∠CPH+∠PCH=90°,∴∠PCH=∠DPN,且∠N=∠CHP=90°,∴△CPH∽△PDH,∴,∴∴x=∵点P在矩形ABCD外部,∴x=,∴BE=,综上所述:当BE的长为3或时,△DPC为直角三角形.20.解:(1)∵E(2,3)、F(4,﹣2),∴k EF==﹣,故答案为﹣.(2)∵G(1,3),H(﹣2,1),I(﹣1,6),∴k GH==,k GI==﹣,∴k GH•k GI=﹣1.(3)如图2中,过点K作KM⊥x轴于M,过点S作SN⊥x轴于N,连接KS交OR于J.∴S(6,8),∴ON=6,SN=8,∵四边形OKRS是正方形,∴OK=OS,∠KPS=∠KMO=∠SNO=90°,KJ=JS,JR=JO,∴∠KOM+∠SON=90°,∠SON+∠OSN=90°,∴∠KOM=∠OSN,∴△OMK≌△SNO(AAS),∴KM=ON=6,OM=SN=8,∴K(﹣8,6),∵KJ=JS,∴J(﹣1,7),∵JR=OJ,∴R(﹣2,14),∵k OR==﹣7,∵RT⊥OR,∴k RT=﹣=,设直线RT的解析式为y=x+b.。

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全3篇

中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇:数与代数1.下列各组数中,哪一组数最大?A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数,十位数与各位数的和为9,再去掉该整数中的各位数,十位数与剩下的数字的和为40,该整数为__________。

A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1,求a^2+b^2的值。

A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。

A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数,各位数字相同,但顺序颠倒,若它们的和为110,这两个数分别是多少?A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7,x+4y=1,则y的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4,则 a 的值为__________。

A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3,b:c=7:4,则a∶b∶c=__________。

A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5,3a-5b=7,则 a 的值为__________。

A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3,xy=2,则y的值为__________。

A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇:几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6,以 BC 为边,画一个正三角形 BCE,连接 AE,AD,请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少?A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上,在纸的中央画一个圆形,请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形(圆覆盖圆)?A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,E是BC中点,DE∥AC,AE=CD=2,求△ABC 的面积。

广州、广东中考数学压轴题集锦

广州、广东中考数学压轴题集锦

广州市历年中考压轴题2018年24.(14分)已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4(m>0).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在⊙P上.①试判断:不论m取任何正数,⊙P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;②若点C关于直线x=﹣mm2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,⊙P的半径记为r,求ll rr的值.25.(14分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.2017年24.(14分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△COD关于CD 的对称图形为△CED.(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)连接AE,若AB=6cm,BC=√5cm.①求sin∠EAD的值;②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连接OP,一动点Q从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s的速度沿线段PA 匀速运动到点A,到达点A后停止运动,当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.25.(14分)如图,AB是⊙O的直径,AAAA�=BBAA�,AB=2,连接AC.(1)求证:∠CAB=45°;(2)若直线l为⊙O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD 所在的直线与AC所在的直线相交于点E,连接AD.①试探究AE与AD之间的是数量关系,并证明你的结论;②EEEE CCCC是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.2016年24.(14分)(2016•广州)已知抛物线y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B(1)求m的取值范围;(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3)当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A,B构成的△ABP的面积是否有最值?若有,求出该最值及相对应的m值.25.(14分)(2016•广州)如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连结CD,求证:AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.24.(14分)(2015•广州)如图,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论;(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC>AB,BD、AC为对角线,BD=8,①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由;②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE,当四边形ABED为菱形时,求点F到AB的距离.25.(14分)(2015•广州)已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1•x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.(1)求点C的坐标;(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.24.(14分)(2014•广州)已知平面直角坐标系中两定点A(﹣1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)过点A,B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.25.(14分)(2014•广州)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5.点E为线段CD上一动点(不与点C重合),△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE,连接CF.设CE=x,△BCF的面积为S1,△CEF的面积为S2.(1)当点F落在梯形ABCD的中位线上时,求x的值;(2)试用x表示,并写出x的取值范围;(3)当△BFE的外接圆与AD相切时,求的值.24.(14分)(2013•广州)已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.(1)当OC=时(如图),求证:CD是⊙O的切线;(2)当OC>时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.①当D为CE中点时,求△ACE的周长;②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE•ED的值;若不存在,请说明理由.25.(14分)(2013•广州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)使用a、c表示b;(2)判断点B所在象限,并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围.24.(14分)(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.25.(14分)(2012•广州)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).(1)当α=60°时,求CE的长;(2)当60°<α<90°时,①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.24.(14分)(2011•广州)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)(1)求c的值;(2)求a的取值范围;(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1﹣S2为常数,并求出该常数.25.(14分)(2011•广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.(1)证明:B、C、E三点共线;(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.24.(14分)(2010•广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE 长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.25.(14分)(2010•广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E.(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.24.(14分)(2009•广州)如图,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH 分割为四个小矩形,EF与GH交于点P.(1)若AG=AE,证明:AF=AH;(2)若∠FAH=45°,证明:AG+AE=FH;(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积.25.(14分)(2009•广州)如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),△ABC的面积为.(1)求该二次函数的关系式;(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.24.(14分)(2008•广州)如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;(2)当点C在上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;(3)求证:CD2+3CH2是定值.25.(14分)(2008•广州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米.(1)当t=4时,求S的值;(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.24.(14分)(2007•广州)一次函数y=kx+k过点(1,4),且分别与x轴、y轴交于A、B 点,点P(a,0)在x轴正半轴上运动,点Q(0,b)在y轴正半轴上运动,且PQ⊥AB.(1)求k的值,并在直角坐标系中画出一次函数的图象;(2)求a、b满足的等量关系式;(3)若△APQ是等腰三角形,求△APQ的面积.25.(12分)(2007•广州)已知:在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM.(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图1,探索BM、DM的关系并给予证明;(2)如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图2,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.广东省历年中考压轴题2018年24.(9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;(3)在(2)条件下,连接BD交于⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.25.(9.00分)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如题图1,连接BC.(1)填空:∠OBC= °;(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B 路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?2017年24.(9分)如图,AB是⊙O的直径,AB=4√3,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作CE⊥OB,交⊙O于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:CB是∠ECP的平分线;(2)求证:CF=CE;(3)当CCCC CCCC=34时,求劣弧BBAA�的长度(结果保留π)25.(9分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2√3,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空:点B的坐标为;(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;(3)①求证:CCEE CCEE=√33;②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.24.(9分)(2016•广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A 作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证:△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC=,求DE的长;(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.25.(9分)(2016•广东)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.24.(9分)(2015•广东)⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D,连接AG、CP、PB.(1)如图1,若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;(2)如图2,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:四边形AGKC是平行四边形;(3)如图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:PH⊥AB.25.(9分)(2015•广东)如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt △ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm(1)填空:AD= (cm),DC= (cm)(2)点M,N分别从A点,C点同时以每秒1cm的速度等速出发,且分别在AD,CB上沿A→D,C→B方向运动,点N到AD的距离(用含x的式子表示)(3)在(2)的条件下,取DC中点P,连接MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,△PMN的面积y存在最大值,请求出y的最大值.(参考数据sin75°=,sin15°=)24.(9分)(2014•广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB 于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F 点,连接PF.(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)(2)求证:OD=OE;(3)求证:PF是⊙O的切线.25.(9分)(2014•广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.24.(9分)(2013•广东)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证:∠BCA=∠BAD;(2)求DE的长;(3)求证:BE是⊙O的切线.25.(9分)(2013•广东)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF 沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC= 度;(2)如图3,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.21.(2012•广东)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.(1)求证:△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长.22.(2012•广东)如图,抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).。

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广州市历年中考压轴题2018年24.(14分)已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4(m>0).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在⊙P上.①试判断:不论m取任何正数,⊙P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;②若点C关于直线x=﹣mm2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为l,⊙P的半径记为r,求ll rr的值.25.(14分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.(1)求∠A+∠C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.2017年24.(14分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△COD关于CD 的对称图形为△CED.(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)连接AE,若AB=6cm,BC=√5cm.①求sin∠EAD的值;②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连接OP,一动点Q从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s的速度沿线段PA 匀速运动到点A,到达点A后停止运动,当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.25.(14分)如图,AB是⊙O的直径,AAAA�=BBAA�,AB=2,连接AC.(1)求证:∠CAB=45°;(2)若直线l为⊙O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD 所在的直线与AC所在的直线相交于点E,连接AD.①试探究AE与AD之间的是数量关系,并证明你的结论;②EEEE CCCC是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.2016年24.(14分)(2016•广州)已知抛物线y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B(1)求m的取值范围;(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3)当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A,B构成的△ABP的面积是否有最值?若有,求出该最值及相对应的m值.25.(14分)(2016•广州)如图,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连结CD,求证:AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.24.(14分)(2015•广州)如图,四边形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.(1)试探究筝形对角线之间的位置关系,并证明你的结论;(2)在筝形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC>AB,BD、AC为对角线,BD=8,①是否存在一个圆使得A,B,C,D四个点都在这个圆上?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由;②过点B作BF⊥CD,垂足为F,BF交AC于点E,连接DE,当四边形ABED为菱形时,求点F到AB的距离.25.(14分)(2015•广州)已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1•x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.(1)求点C的坐标;(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.24.(14分)(2014•广州)已知平面直角坐标系中两定点A(﹣1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)过点A,B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.25.(14分)(2014•广州)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5.点E为线段CD上一动点(不与点C重合),△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE,连接CF.设CE=x,△BCF的面积为S1,△CEF的面积为S2.(1)当点F落在梯形ABCD的中位线上时,求x的值;(2)试用x表示,并写出x的取值范围;(3)当△BFE的外接圆与AD相切时,求的值.24.(14分)(2013•广州)已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.(1)当OC=时(如图),求证:CD是⊙O的切线;(2)当OC>时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.①当D为CE中点时,求△ACE的周长;②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE•ED的值;若不存在,请说明理由.25.(14分)(2013•广州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)使用a、c表示b;(2)判断点B所在象限,并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围.24.(14分)(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.25.(14分)(2012•广州)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).(1)当α=60°时,求CE的长;(2)当60°<α<90°时,①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.24.(14分)(2011•广州)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)(1)求c的值;(2)求a的取值范围;(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1﹣S2为常数,并求出该常数.25.(14分)(2011•广州)如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.(1)证明:B、C、E三点共线;(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由.24.(14分)(2010•广州)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE 长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.25.(14分)(2010•广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E.(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.24.(14分)(2009•广州)如图,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH 分割为四个小矩形,EF与GH交于点P.(1)若AG=AE,证明:AF=AH;(2)若∠FAH=45°,证明:AG+AE=FH;(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积.25.(14分)(2009•广州)如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),△ABC的面积为.(1)求该二次函数的关系式;(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.24.(14分)(2008•广州)如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;(2)当点C在上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;(3)求证:CD2+3CH2是定值.25.(14分)(2008•广州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米.(1)当t=4时,求S的值;(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.24.(14分)(2007•广州)一次函数y=kx+k过点(1,4),且分别与x轴、y轴交于A、B 点,点P(a,0)在x轴正半轴上运动,点Q(0,b)在y轴正半轴上运动,且PQ⊥AB.(1)求k的值,并在直角坐标系中画出一次函数的图象;(2)求a、b满足的等量关系式;(3)若△APQ是等腰三角形,求△APQ的面积.25.(12分)(2007•广州)已知:在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM.(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图1,探索BM、DM的关系并给予证明;(2)如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图2,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.广东省历年中考压轴题2018年24.(9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;(3)在(2)条件下,连接BD交于⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.25.(9.00分)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如题图1,连接BC.(1)填空:∠OBC= °;(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B 路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?2017年24.(9分)如图,AB是⊙O的直径,AB=4√3,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作CE⊥OB,交⊙O于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:CB是∠ECP的平分线;(2)求证:CF=CE;(3)当CCCC CCCC=34时,求劣弧BBAA�的长度(结果保留π)25.(9分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2√3,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空:点B的坐标为;(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;(3)①求证:CCEE CCEE=√33;②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.24.(9分)(2016•广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A 作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证:△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC=,求DE的长;(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.25.(9分)(2016•广东)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.24.(9分)(2015•广东)⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D,连接AG、CP、PB.(1)如图1,若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;(2)如图2,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:四边形AGKC是平行四边形;(3)如图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:PH⊥AB.25.(9分)(2015•广东)如图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt △ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm(1)填空:AD= (cm),DC= (cm)(2)点M,N分别从A点,C点同时以每秒1cm的速度等速出发,且分别在AD,CB上沿A→D,C→B方向运动,点N到AD的距离(用含x的式子表示)(3)在(2)的条件下,取DC中点P,连接MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,△PMN的面积y存在最大值,请求出y的最大值.(参考数据sin75°=,sin15°=)24.(9分)(2014•广东)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB 于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F 点,连接PF.(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)(2)求证:OD=OE;(3)求证:PF是⊙O的切线.25.(9分)(2014•广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.24.(9分)(2013•广东)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证:∠BCA=∠BAD;(2)求DE的长;(3)求证:BE是⊙O的切线.25.(9分)(2013•广东)有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF 沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC= 度;(2)如图3,在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.21.(2012•广东)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.(1)求证:△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长.22.(2012•广东)如图,抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).。

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