18-19 第2章 2.4 线性回归方程

2.4 线性回归方程学习目标：1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1nx i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nx i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1n x i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ＝y －b x .[基础自测]1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．图2-4-1③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元；②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元；④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．②[回归直线斜率为80，所以x每增加1，y^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：^＝2.3x 销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为y＋a(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元.【导学号：20132119】15[x＝7，y＝41.6，则a＝y－2.3x＝41.6－2.3×7＝25.5.当y＝6万元＝60千元时，60＝2.3x＋25.5，解得x＝15(千元)．]5．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：(1)(2)从散点图中判断销售额与广告费支出成什么样的关系？[解析]以x值为横坐标，y值为纵坐标得到点(2,30)，(4,40)，(5,60)，(6,50)，(8,70)，在平面直角坐标系中作出这些点，即得散点图，由散点分布规律作出关系判断．[解](1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：(2)从图中可以发现广告费支出与销售额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．[合作探究·攻重难]在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________．①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．][规律方法] 1.函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”.[跟踪训练]1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________.【导学号：20132120】③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]关还是负相关？【导学号：20132121】[解析]本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解]把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．[规律方法] 1.判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.,如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系.2.正相关、负相关,线性相关关系又分为正相关和负相关.,正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大.从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域.负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小.从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域.[提醒]画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.[跟踪训练]3．如图2-4-2是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？图2-4-2[解析]观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解]不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：是正相关还是负相关？【导学号：20132122】[解析]描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解]作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关.)之间有下表所对应的数据．(1)(2)求出y 对x 的回归直线方程y^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？[解析] 只有当散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．先画图分析，再定量分析．[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，b .于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a＝y－b x＝692－735×52＝－2.故y对x的回归直线方程为y^＝735x－2，其中回归系数b＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加735万元．(3)当x＝9万元时，y^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元．[规律方法] 1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.[提醒](1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误.(2)为了方便，常制表对应算出，以便于求和.(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据.[跟踪训练]5．根据如下样本数据：得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列判断正确的是________.【导学号：20132123】①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.②[作出散点图如图．观察图象可知，回归直线y^＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，y^＝a>0.故a>0，b<0.][当堂达标·固双基]1．在下列各组变量关系中，具有相关性的是________．(填序号)①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间；②学生的身高与学生的学习成绩；③教师的执教水平与学生的学习成绩；④球的表面积与球的半径.【导学号：20132124】①③[①中，炼钢时钢水含碳量和冶炼时间有一定的关系，但是还与炼钢时的原料和所使用的煤炭等有一定的关系．所以，炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间是一种相关关系．②中，学生的身高与学习成绩不具有相关性．③中，一般来说教师的执教水平越高，学生的学习成绩越好，具有相关性．④中，球的半径确定，表面积也就随之确定，所以球的表面积与球的半径之间是函数关系，而不是相关关系．]2．在图2-4-3所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是________．(填序号)图2-4-3②④[由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系．并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号有________．①④[由正负相关性的定义知①④一定不正确．]4．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________.【导学号：20132125】y^＝0.7x＋0.35[∵x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a＝y－b x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]5．2018年元旦前夕，某市统计局统计了该市2017年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)[解析] 按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y^＝0.17x ＋0.81. ∴所求的线性回归方程为y^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)， 可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。