正弦定理、余弦定理、解三角形
知识梳理_正弦、余弦定理及解三角形_基础
正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ∆中，22290a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=3．直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC ∆中，90C =︒（如图），有： c cC c b B c a A ====1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：应用解三角形正弦定理 余弦定理2s i n s i ns i n abc R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
正弦定理、余弦定理及解三角形
第15页
返回目录
结束放映
考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
第3页
返回目录
结束放映
考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
第14页
返回目录
结束放映
考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理)
第七节 正弦定理和余弦定理一、基础知识 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析](1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A＝3×3＋2232×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形 2.变条件若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形 3.变条件若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22.又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清] 1.变条件本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：15 2.变结论本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca的取值范围是________．解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6 .由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即ca >2. 答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC， ∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. [答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A.2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A 3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1.[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝13，因为a ＝3，所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B.2 C.3D ．2解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，c os ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1.法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C.3D ．23解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋3B ．2＋2C ．3D ．3＋2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin Aa ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π3＝2 3.答案：239．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π6.由BD ＝2DC ，令DC ＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝12x，在△ABD 中，sin B ＝sin π32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x＝32.答案：3210．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C，可得4sin 2A ＝xsin π3. ①在△AED 中，DE sin A ＝AD sin ∠AED ，可得22sin A ＝x1. ② 联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.答案：6411．(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .解：(1)证明：∵c (1＋cos B )＝b (2－cos C )，∴由正弦定理可得sin C ＋sin C cos B ＝2sin B －sin B cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＋sin C ＝sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b .(2)∵B ＝π3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac . ∵a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－3×16，解得b ＝4. 12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝35.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 又因为cos B ＝45，sin B ＝35，所以cos A ＝－c os(B ＋C )＝－c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bc os π4＋sin B sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－c os 2A ＝7210. 因此，c os ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Ac os π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. B 级1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cosA <32，∴2<b a <3，∴2<2ba< 6. 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π6 3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。
正弦定理和余弦定理解直角三角形
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 33．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶66．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .1．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．52．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.235．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________． 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π314．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA ·BC = 23，求a+c 的值.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一 角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)一、选择题 1答案 D 2答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6. 3答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°. 6答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题 7答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9答案 1解析 由正弦定理，得 3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 10答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 三、解答题11解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.13答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2. ∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 1.1.1 正弦定理(二)一、选择题1答案 D2答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C . ∴0<c ≤403. 4答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6. 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5ka ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72k b ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 二、填空题7答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8答案 2 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ， 得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183， ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 三、解答题11证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 12解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．13答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87. 1．1.2 余弦定理(一)一、选择题1答案 A2答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 4答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 5答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7答案 120°8答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， ∴θ＝120°. 10答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.11解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 1．1.2 余弦定理(二)一、选择题1答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°. 2答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab .∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．二、填空题7答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.8答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.9答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3， ∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393， ∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C . 12解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.13答案 A 解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1， ∴0<sin C ≤12. ∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6， ∴0<C ≤π6. 14解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.。
正弦定理、余弦定理和解斜三角形
5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abcR C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinCa=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2- 2﹒a ﹒b=a 2+b 2- 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2.►变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．►变式训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．CABa cb【当堂训练】1、在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是 （ ） A ．直角三角形 B ． 锐角三角形C ．钝角三角形D ． 直角三角形或钝角三角形2、在△ABC 中，“︒A>30”是“1sinA>2”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、在△ABC 中，已知B=30°, ，那么这个三角形是 （ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞05、在△ABC 中，a,b,c,分别是三内角A 、B 、C 所对的边，若B=2A ，则b:a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()1,2C ．()1,1-D ．()0,16、在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A<B<C ，则cos cos A C 的取值范围是（ ） A ．11,24⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭7、在A B C ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和12c b =+A ∠和B tan 的值．8、已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，且cot cot A C +=，3=+c a ． （1）求B cos ；（2）求ABC ∆的面积．【家庭作业】 一、填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________ 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABC Δ中，若2cos cos sin cos cos sin sin sin =+++B A B A B A B A ，那么三角形的形状为_______________4．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________ 5．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则=++++Csin B sin A sin c b a 6．在锐角ABC Δ中，若11-=+=t B tan ,t A tan ，则t 的取值范围是__________ 7．在ABC Δ中，若1222=-+Csin B sin Asin C sin B sin ，则=A ________________8．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是__________________ 9．(A)在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________(B) 已知A B C π++=，且sin cos cos A B C =⋅，则在cot cot tan tan B C B C ++、、s i nB+s i nC 及cos cos B C +中必为常数的有_________ 10．(A)在ABC Δ中，21==a ,c ，则C 的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是()2223,33,20a a a a a a ++++>，则三角形的最大角等于______________ 二、 选择题11．在ABC Δ中，B cos A cos B sin A sin +=+是2πC =（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ABC Δ中，若232222b A cosc C cos a =+，那么其三边关系式为 （ ） A.c b a 2=+ B. b c a 2=+ C.a c b 2=+ D. b c a 322=+14．(A)在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的实数根，则该三角形是 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x 的方程2cos cos 1cos 0x x A B C +⋅-+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC Δ是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 三、解答题15．在ABC Δ中，若22Acos C sin B sin =，试判断三角形的形状16．在ABC Δ中，若()()ac c b a c b a =+-++，求B 。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
解三角形公式大全
解三角形公式大全
解三角形是初中、高中数学中重要的内容，通常需要掌握一些基本的三角函数公式和定理。
下面是一些常用的解三角形公式：
1.正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC（其中a、b、c为三角形三边的长度，A、B、C为对应的内角度数）。
2.余弦定理：a = b + c - 2bc cosA（其中a、b、c为三角形三边的长度，A为对应的内角度数）。
3.正切定理：tanA = (a/b) / (1 - a/b)^(1/2)。
4.半角公式：sin(A) = (u/v)^(1/2)，cos(A) = (1 +
u/v)^(1/2)/v^(1/2)（其中u = 1 - cosA，v = 1 + cosA）。
5.万能公式：tan(A/2) = [(s-b)(s-c)]^(1/2) / [s(s-a)]^(1/2) + [(s-a)(s-c)]^(1/2) / [s(s-b)]^(1/2)（其中a、b、c为三角形三边的长度，s为半周长）。
6.勾股定理：a + b = c（其中a、b、c为直角三角形两条直角边的长度和斜边长度）。
上述公式和定理，可以帮助我们解决不同类型的三角形题目。
需要注意的是，在应用这些公式时，要根据具体的问题情况选择合适的公式并进行变形计算。
此外，还需要掌握一些基本的三角函数值及其特点，有助于更好地理解和运用这些公式。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常用的两个重要定理。
它们通过三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解未知的角度和边长。
下面将介绍正弦定理和余弦定理的定义、推导过程和应用技巧。
一、正弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：sinα = h/c, sinβ = h/a根据正弦定理，我们可以得到以下的关系：a/sinA = c/sinC，即a/sinA = c/sinαb/sinB = c/sinC, 即b/sinB = c/sinβ由此推导出正弦定理的表达式。
二、正弦定理的应用技巧：正弦定理可以用来求解三角形的未知边长和角度，常用的技巧有以下几种：1.已知两边和夹角，求第三边：根据正弦定理的表达式，我们可以将已知信息代入其中，解方程求得未知边长。
2.已知两边和一个对角的正弦值，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
3.已知两角和一边，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
4. 已知三边，求三角形内部的角度：根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。
通过反正弦函数，我们可以求得每个角度的值。
三、余弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的表达式为：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：cosα = h/c, cosβ = h/a根据余弦定理，我们可以得到以下关系：a² = b² + c² - 2bc*cosA，即a² = b² + c² - 2bc*cosαb² = a² + c² - 2ac*cosB，即b² = a² + c² - 2ac*cosβ由此推导出余弦定理的表达式。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
知识回顾：
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， 即
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C
.
正弦定理适用的解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两角与一边 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
例1(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
3 1 1 解：由正弦定理，有 ＝ ，即 sin B＝ 2π sin B 2 sin 3 π 又 C 为钝角，所以 B 必为锐角，所以 B＝ 6 π 所以 A＝ .故 a＝b＝1. 6
例3．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求
AC边上的中线长． 思考：用正弦还是余弦定理？
解：设 AC 的中点为 D，由余弦定理的推论得： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 在三角形 ABD 中，由余弦定理知： BD2＝AD2＋AB2－2· AD· ABcos A 2 ＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49 3
方法感悟： 所给边不是已知角的对边 先求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边
6- 2 2
B
6- 2 2
a
A C
b=1
2．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 两倍这两边与它们的夹角的余弦的积，即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .(三边一角)
法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝ a2＋(3 3)2－ 2× 3 3a× cos 30° ， 即 a2－ 9a＋18＝0，∴a＝6 或 a＝3. 1 6× asin B 2 ＝ ＝1 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ b 3 a ∴ A＝ 90° ， C＝60° . 当 a＝ 3 时， A＝30° ，C＝120° .
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。
如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理直角三角形
正弦定理和余弦定理直角三角形正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个基本公式。
一、正弦定理：在任何三角形中，对于一个角度和它对应的边，正弦定理表示边长与正弦值成正比例关系。
对于一个直角三角形中的角 A，其对边长设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则正弦定理可表示为：sin A = a / c其中，sin A 表示角 A 的正弦值，a 表示角 A 对应的直角三角形的对边长，c 表示直角三角形的斜边长。
可以通过正弦定理推导出其他两个角的正弦值，从而求解三角形中的边和角度：sin B = b / csin C = c / c = 1二、余弦定理：余弦定理是另一种在直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式。
对于一个直角三角形中的角 A，其对边长设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则余弦定理可表示为：cos A = b / c其中，cos A 表示角 A 的余弦值，b 表示角 A 对应的直角三角形的邻边长，c 表示直角三角形的斜边长。
通过余弦定理，可以求出其他两个角的余弦值：cos B = a / ccos C = 0三、比较正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个基本公式。
它们都可以用于求解三角形的边和角度，但是有一些不同点：1. 适用条件不同。
正弦定理适用于任何三角形，而余弦定理无法适用于等边三角形。
2. 求解的变量不同。
正弦定理可以求解角的正弦值，而余弦定理可以求解角的余弦值。
3. 计算方式不同。
正弦定理使用正弦函数，余弦定理使用余弦函数，两者在计算推导过程中存在差异。
总之，正弦定理和余弦定理是直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式，掌握并灵活应用这两个公式可以帮助我们更好地理解和求解三角形中的各种问题。
解三角形-正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理一．知 识 梳理 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= sin()A B +=sin C ； cos()A B +=cos C - cos sin 22A B C += 面积公式: 111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- 2222cos c a b ab C =+- 形式二： cos A =bc a c b 2222-+ cos B =ca b a c 2222-+ cosC=ab c b a 2222-+三．热点考点题型探析例1.在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求c.例2.在△ABC 中，bcosA ＝a cosB ，试判断三角形的形状.变式练习. 在△ABC 中，若cosA cosB ＝b a ，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形例3．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．32例4．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或例4:在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．四．基础巩固训练1. 在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆一定是 ( )A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形2. 在ABC ∆中，8b =，c =ABC S ∆=A ∠等于 ( )A 、30B 、60C 、30或150D 、60或1203. 在ABC ∆中，060=A ，且最大边长和最小边长是方程01172=+-x x 的两个根，则第三边的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.在Rt △ABC 中，C=2π，则B A sin sin 的最大值是_______________. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 12,3,cos 3a c C ===，，则其外接圆的半径为_______________.6．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===求△ABC 外接圆的半径R.7.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． ⑴、求sin A 的值；⑵、设ABC △的面积332ABC S ∆=，求BC 的长．。
正弦定理、余弦定理及解三角形
正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sincos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22abB ，a sinC ＝c sin A2.三角形面积公式：S △ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；S △ABC ＝abc4R；S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．三角形解的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，三角形解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sinA <a <b a ≥ba >b解的 个数一解两解一解 一解典例剖析题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________.答案 59解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59. 变式训练 在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 答案 23解析 在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA ＝32×2232＝2 3.解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．题型二 利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.变式训练 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ . 答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．题型三 综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.变式训练 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.答案 332解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于________. 答案 2 2解析 A ＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212，即a ＝2 2.3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________. 答案 3＋1 解析A ＝π－(B ＋C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sin π6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.4．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.课后作业一、填空题1．(2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32且b<c，则b等于________.答案 2解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－2×b×23×32，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.2．已知△ABC，a＝5，b＝15，A＝30°，则c＝________.答案 25或 5解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________. 答案 5解析 由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125，又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15，即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去).4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________. 答案 直角三角形解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A＞0，∴sin A＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.答案19解析∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a ＝1，b＝3，则c＝________.答案 2解析由正弦定理asin A＝bsin B得：1sin A＝3sin B，又∵B＝2A，∴1sin A＝3sin2A＝32sin A cos A，∴cos A＝32，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝12＋(3)2＝2.7．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝________.。
正弦定理余弦定理与解斜三角形
正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、 正弦定理推导在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin abccABC===b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC ==C a B思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1.1-3，当∆ABC是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a Bb A =,则sin sin abA B =， C 同理可得sin sin c bCB =， b a 从而sin sin a b A B=sin cC =A DB (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc21即得：A a sin =B b sin =C c sin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD D aA a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)同理 B b sin =2R ，C csin ＝2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC =(1) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；(2）sin sin abAB=sin c C =等价于sin sin ab AB =，sin sin cb CB =，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A Bb=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解三角形正弦定理（一）典型例题:1．在△ABC 中，已知030,10,25===A c a ，则∠B 等于（ ） A ．0105 B ．060 C ．015 D ．0015105或2．在△ABC 中，已知060,2,6===A b a ，则这样的三角形有_____1____个．3．在△ABC 中，若5:3:1::=c b a ,求CBA sin sin sin 2-的值．解 由条件51sin sin ==C A c a ∴C A sin 51sin = 同理可得C B sin 53sin =∴C B A sin sin sin 2-＝CCC sin sin 53sin 512-⨯＝51-练习:一、 选择题1．一个三角形的两内角分别为045与060，如果045角所对的边长是６，那么060角所对的边的边长为（ ）．Ａ．63 Ｂ．23 Ｃ．33 Ｄ．62 2．在△ABC 中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（ ）Ａ．R Cc B b A a 2sin sin sin === Ｂ．R B a 2sin = Ｃ．aR A 2sin = Ｄ．B R b sin =3．在△ABC 中，AbB a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 解：在△ABC 中，∵AbB a cos cos =，∴a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。
∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。
二、填空题4．在△ABC 中，已知,6,8==b a 且Ｓ△ABC ＝ 3125．如果baB A =--cos 1cos 1，那么△ABC 是__等腰三角形_____三、解答题6．在△ABC 中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC ＝４，求2sin B的值． 解 由条件,5,2==a c Ｓ△ABC ＝B ac sin 214sin 5sin 2521==⨯⨯=B B ∴54sin =B 当B 为锐角时，53cos =B 由512cos 12sin 2=-=B B ∴552sin =B当B 为钝角时，53cos -=B 由542cos 12sin 2=-=B B ∴5522sin =B 7．在△ABC 中，,,,c b a 分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2+==A B a b ,求Ａ的值． 解∵Ｂ＝Ａ＋060 ∴)60sin(sin 0+=A B A A B c o s 23s i n 21s i n += 又A R B R a b sin 4sin 2,2== ∴A B sin 2sin =∴A A A cos 23sin 21sin 2+=A A c o s3s i n 3= ∴,33tan =A 又∵001800＜A＜ ∴030=A 8．在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos ba b B a A -=- 解：.B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (bB a A = ⇒2222sin sin bB a A =⇒222cos 12cos 1b Ba A -=- ⇒2222112cos 2cos ba b B a A -=-1．1．1．正弦定理（二）典型例题:1．在△ABC 中，已知045,1,2===B c b ，则a 的值为 （ ）Ａ．226- Ｂ．226+ Ｃ．12+ Ｄ．23-2．在△ABC 中，已知0015,105,5===C B a ，则此三角形的最大边长为_________ 答案：665215+3．△ABC 的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程06752=--x x 的根，求△ABC 的面积．解 设两边夹角为α,而方程06752=--x x 的两根122,3/5x x ==-∴53cos -=α∴54)53(1sin 2=-=α∴Ｓ△ABC ＝ 26545321cm =⨯⨯⨯练习:一、选择题1．在△ABC 中，已知0075,60,8===C B a ，则b 等于（ ） Ａ．24 Ｂ．34 Ｃ．64 Ｄ．3322．在△ABC 中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( )Ａ.222＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜3．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（21，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）二、填空题４．在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆的形状是一定是等腰三角形___ 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C cA a =，再由余弦定理，得cosB ＝2222a c b ac+-．∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．５．在△ABC 中，已知31cos ,23==C a ，Ｓ△ABC ＝34，则b 三、解答题６．已知方程0cos )cos (2=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且b a ,为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状解：由方程两根之积为B a cos ，方程两根之和为A b cos ，∴A b B a cos cos =由正弦定理，得A B B A cos sin cos sin = 即0)sin(=-B A ∵ 00180180B ＜＜A -- ∴Ａ－Ｂ＝０ ∴Ａ＝Ｂ ∴三角形为等腰三角形 7．在△ABC 中，3,2π=-=+C A b c a ，求sinB 的值。
解 由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB由22;22CA C A C C A C A A --+=-++= 得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+ 即B C A sin 6cos 2sin=+π即2sin 23sin C A B += ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π∴Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）222C A B +-=π∴2sin )22cos(2cos C A C A B +=+-=π ∴2cos 232cos 2sin2BB B = ∵02cos≠B ∴ 432sin =B ∴413)43(12cos 2=-=B ∴8394134322cos 2sin2sin =⨯⨯==B B B8、在45,5ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求 （1）?BC = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由cos sin C C ==sin sin(18045)sin )A C C C =--+由正弦定理知sin sin AC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅==，112BD AB ==由余弦定理知CD =9、如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=;（2）若求β的值. 解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=- ， 即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=⇒∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 2sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sin ββββ-===解得．0,sin .23ππβββ<<∴⇒=BDCαβA1．1．2．余弦定理（一）典型例题:1．在△ABC 中，已知13,34,8===c b a ，则△ABC 的最小角为（ ） A ．3π B ．4π Ｃ．4π Ｄ．12π２．在△ABC 中，已知060,3,1===A c b ，则a3．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S解 由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+=∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S练习:一、选择题1．在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角Ａ等于（ ） Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0120 Ｄ．0150２．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a３在△ABC 中，已知)(2222444b a c c b a +=++则角Ｃ＝（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．0120二、填空题4．已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a5、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是120°三、解答题7．在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴CcC a sin 2sin = ∴C c a sin 2= 又8=+c a ∴ cccocC 28-= ①由余弦定理，得CC c C ab b a c 222222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②① 入②，得 )(44524516舍或⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ，8．已知锐角三角形ABC 中，边b a 、为方程02322=+-x x 的两根,角A 、B 满足03)sin(2=-+B A ，求角C 、边c 及Ｓ△ABC 。
解 02322=+-x x ，得 X 1=13-, X 2=13+ ∵C C B A sin )sin()sin(=-=+π∴23sin =C 由于△ABC 为锐角三角形，∴Ｃ＝060 由余弦定理，得 Cab b a c cos 2222-+=660cos )13)(13(2)13()13(cos 2022212221=+--++-=-+=Cx x x x∴6=C Ｓ△ABC ＝060sin )13)(13(21sin 21+-=C ac 23=1．1．2．余弦定理（二）典型例题:1．在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．非钝角三角形2、△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π解：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。