04空间力系
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工程力学-第四章-空间力系
即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有 空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi
第四章空间力系
• 各分力相连的顺序任意，但合成的结果是惟一的。
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
n
2、解析法 各力沿坐标轴投影得:
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
i =1
FRx = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fix
i =1
n
FRy = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fiy
45o
静力学
D
F2
C F
30o 45o
（2） 列平衡方程
B
F =0 ∑ Fxx = 0
F =0 ∑ F yy = 0 F =0 ∑ Fzz = 0
F11 sin 45 oo − F22 sin 45 oo = 0
F1
α
F A sin 30 oo− F11 cos 45 oo cos 30 oo − F22 cos 45 oo cos 30 oo= 0 F A sin 30 − F cos 45 cos 30
1
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
§4-1 空间汇交力系
Spatial Concurrent Force System 空间汇交力系：各力作用线不在同一平面而且汇交于一点。
一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解
1、空间任意力在轴上的投影
第四章 空间力系 Spatial Force System
16
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
即：力Ｆ对 z 轴之矩，等于该力在垂直于 z 轴 平面上的投影F'对z 轴与投影面交点O之矩。
04空间一般力系
0,
xi yi
0 0 0
空间一般力系的平衡方程
10
zi
二、空间一般力系的平衡方程
F F F
xi yi
zi
M 0, M 0, M
0,
xi yi
0 0 0
zi
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
Pz
200
FAy
Q
x
Px
Qx
FAx A x
FBx FAy B
Px Py D y
F
x
0
FAx FBx Px Q cos200 0
FAx 729(N)
19
C
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。
这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各
个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。
这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，
并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并
与简化中心的选择有关。
5
Fi FR M O M Oi
解析式：
FRx i FRy j FRz k FR
Fxi FRx
Fyi FRy
M O M Ox i M Oy j M Oz k
MOx M xi
M Oy M yi
Fzi FRz
M Oz M zi
6
空间一般力系简化结果的讨论： 1、 FR 0, MO 0
xi yi
0 0 0
空间一般力系的平衡方程
10
zi
二、空间一般力系的平衡方程
F F F
xi yi
zi
M 0, M 0, M
0,
xi yi
0 0 0
zi
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
Pz
200
FAy
Q
x
Px
Qx
FAx A x
FBx FAy B
Px Py D y
F
x
0
FAx FBx Px Q cos200 0
FAx 729(N)
19
C
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。
这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各
个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。
这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，
并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并
与简化中心的选择有关。
5
Fi FR M O M Oi
解析式：
FRx i FRy j FRz k FR
Fxi FRx
Fyi FRy
M O M Ox i M Oy j M Oz k
MOx M xi
M Oy M yi
Fzi FRz
M Oz M zi
6
空间一般力系简化结果的讨论： 1、 FR 0, MO 0
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
004理力-空间力系
X F sin cos
Y F sin sin
Z F cos
上述方法称为间接投影法。
4
力沿坐标轴分解： 将力F 沿直角坐标轴分解，其分量分别为 Fx、Fy、Fz ， 则：
F Fx Fy Fz X i Y j Z k
若已知力F的三个投影X、 Y、Z，则
由于 Fi X i i Yi j Zi k ，代入上式，得合力
R ( X i ) i ( Yi ) j ( Z i ) k
Rx X i
R y Yi
Rz Z i
6
于是合力的大小和方向余弦为
X cos
R
R ( X i ) 2 ( Yi ) 2 ( Z i ) 2
9
[例]
物块G重为10kN，挂在D点，如图所示。A、B、C三点
用铰链固定，试求DA、DB、DC杆所受的力。
10
解：取结点D为研究对象。因三杆均为二力杆，设均受拉力， 则D点受力如图所示，列平衡方程：
Fx 0 : S B cos 450 S A cos 450 0
Fy 0: SC cos150 S B sin 450 cos 300 S A sin 450 cos 300 0
侧面 风力
c
2
§4-1
空间汇交力系
一、力在直角坐标轴上的投影与分解
力在直角坐标轴上的投影为
X F cos , Y F cos , Z F cos
上述方法称为直接投影法。
3
当力与各坐标轴正向间的 夹角不易确定时，可先将 F 投 影到xy面上，然后再投影到 x、 y 轴上，即
所以：
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
理论力学 第四章 空间力系
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
建筑力学4-空间力系
第四章 空间力系
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第四章空间力系共45页
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
M rO(Fr)rrFr
又 rrxiryrjzkr
rrrr FF xiF yjF zk
则 M r O ( F r ) ( r r F r ) ( x i r y r j z k r ) ( F x i r F y r j F z k r )
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
F1F2F1F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
MrABF
力偶矩 r r r MrBAF
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
有 Mix 0 Miy 0 Miz 0
简写： M x 0 , M y 0 , M z 0
称为空间力偶系的平衡方程。
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主
矩•简化过程： 将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
力线平移
合成 汇交力系
MO
合成 力偶系
结论： 空间 一般力系 向一点O 简化
rrr i jk
x y z
F x F x r F x
r
r
( y F x z F y ) i ( z F x x F z ) j ( x F y y F x ) k
力对O点的矩在三个坐标轴的投影：
rr M o(F ) xyF zzF y
rr M o(F)yzFxxFz
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
理论力学第四章空间力系
→
→ →
→
→
→
→
→
→
AB × F ')
→
力偶矩矢与矩心无关 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 自由矢量
21
结论： 结论：
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： 空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： ①力偶矩的大小 M = Fd = 2 A∆ABC ②力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 转向——遵循右手螺旋规则 ③转向——遵循右手螺旋规则
xi
yi
——空间汇交力系的平衡方程 ——空间汇交力系的平衡方程
8
已知： CE=EB=DE； [例1] 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE；θ = 30 ，
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图， 画受力图如图， 列平衡方程
∑F
x
=0
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
→ → → → → → → →
= [ m O ( F )] x i + [ m O ( F )] y i + [ m O ( F )] z k
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ → → → → →
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ →
→ → → → → →
M x ( F ) = yFz − zF y M y ( F ) = zF x − xFz M Z ( F ) = xF y − yFx
空间力系
定位矢量？ 滑移矢量？ 定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
空间力系
空间力偶
3.空间力偶系的合成与平衡 3.空间力偶系的合成与平衡
r r r r 合力偶矩矢： 合力偶矩矢：M = Mxi + My j + Mz k
r r r r r M = M1 + M2 +L+ Mn = ∑ Mi
r r r r r MO (F) = Mx (F) i + My (F) j + Mz (F)k = Fbsinα i −Fasinα j + (Fbsinα sin β − Fasinα cos β ) k
空间力系
空间力矩
思考题
A a F F b D
α
r r MA(F)
r r MAB (F) = MA(F) AB
空间力偶
r r r r r r r r r r 力偶矩矢 M = M( F , F′ ) = rA × F − rB × F′ = rBA × F
空间力系
空间力偶
2.空间力偶的性质 2.空间力偶的性质 （1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （2）空间力偶等效定理 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 对刚体的作用效果不变。 短，对刚体的作用效果不变。
x O z
r r MO (F)
B
F
r
第四章 空间力系
显然，当力F与z轴平行（此时Fxy=0）或者相交（此时d=0）时， 力F对z轴之矩为零。
力对轴之矩的单位是Nm。 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 2. 合力矩定理
空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代 数和，即
Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）
Z F cos
目录
第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
2）二次投影法。
若已知角和，则可先将力F投影到z轴和xy坐标平面上，分别
得到Z和矢量Fxy，然后再将Fxy向x、y轴投影，得
X F sin cos
Y
F sin sin
Z F cos
F Xi Yj Zk
式中：i、j、k——x、y、z轴的单位矢量。力F的大小和方向余弦分
别为
F X2 Y2 Z2
cos
X
, cos
Y
, cos
Z
F
F
F
目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算
4.2 力对轴之矩及其计算
4.2.1. 力对轴之矩的概念
在生产和生活实际中，有些物体（如门、窗等）在力的作用下 能绕某轴转动。本节讨论如何表示力使物体绕某轴转动的效应。
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
目录
第四章 空间力系\重心和形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wi xi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
力对轴之矩的单位是Nm。 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 2. 合力矩定理
空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代 数和，即
Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）
Z F cos
目录
第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
2）二次投影法。
若已知角和，则可先将力F投影到z轴和xy坐标平面上，分别
得到Z和矢量Fxy，然后再将Fxy向x、y轴投影，得
X F sin cos
Y
F sin sin
Z F cos
F Xi Yj Zk
式中：i、j、k——x、y、z轴的单位矢量。力F的大小和方向余弦分
别为
F X2 Y2 Z2
cos
X
, cos
Y
, cos
Z
F
F
F
目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算
4.2 力对轴之矩及其计算
4.2.1. 力对轴之矩的概念
在生产和生活实际中，有些物体（如门、窗等）在力的作用下 能绕某轴转动。本节讨论如何表示力使物体绕某轴转动的效应。
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
目录
第四章 空间力系\重心和形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wi xi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
第4章空间力系
矩平面，指向由右手螺旋规则 来拟定，即从矢量旳正向观看， 力矩旳转向是逆钟向旳。
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
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力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
004 第四章 空间力系
同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 ⑶ 均质物体重心坐标公式〔形心（几何中心）坐标〕
① 均质立体
设g 表示单位体积的重量，⊿Vi 第i个小体积，则 P i g Vi 代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC , zC V V V
⑴ 几何法平衡充要条件
几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵ 解析法平衡充要条件 2、空间汇交力系的平衡方程
X 0 Y 0 亦称为 空间汇交力系的平衡方程 Z 0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-3
一、力对轴的矩
空间力对坐标轴的矩 ⒈ 实例
⒉ 定义
mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
令R RP0 , F1 F1P0 , Fn Fn P0 ;
RrC F1r1 F2r2 Fn rn
P0 为沿
方向的单位矢量
F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri rC R Fi
4、带有销子的夹板
5、空间固定端
球形铰链
Rz Ry Rx
滚珠（柱）轴承
Rz
Rx
活页铰
滑动轴承
止推轴承
带有销子的夹板
空间固定端
§4-1
空间汇交力系
1.力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： F F
一、力在空间轴上的投影与分解：
g
O
方向： 由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 Fxy 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。
① 均质立体
设g 表示单位体积的重量，⊿Vi 第i个小体积，则 P i g Vi 代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC , zC V V V
⑴ 几何法平衡充要条件
几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵ 解析法平衡充要条件 2、空间汇交力系的平衡方程
X 0 Y 0 亦称为 空间汇交力系的平衡方程 Z 0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-3
一、力对轴的矩
空间力对坐标轴的矩 ⒈ 实例
⒉ 定义
mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
令R RP0 , F1 F1P0 , Fn Fn P0 ;
RrC F1r1 F2r2 Fn rn
P0 为沿
方向的单位矢量
F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri rC R Fi
4、带有销子的夹板
5、空间固定端
球形铰链
Rz Ry Rx
滚珠（柱）轴承
Rz
Rx
活页铰
滑动轴承
止推轴承
带有销子的夹板
空间固定端
§4-1
空间汇交力系
1.力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： F F
一、力在空间轴上的投影与分解：
g
O
方向： 由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 Fxy 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。
【材料课件】04空间力系(1)
rr M o (F ) y zFx xFz
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
静力学-第4章 空间基本力系
41
例题
空间基本力系
例题8
解：
建立如图坐标系Bxyz， 其 中 y 轴 平 分 ∠ CBD 。 由 于 ABCD是 正 交 锥 ，所 以 AB与y 轴 的夹角为θ。
42
例题
空间基本力系
例题8
力F 在坐标面Oxy上投影
1.取球铰链A为研究对 象,受力分析如图。
为求各力在轴x，y上 的投影，可先向坐标面 Oxy上投影，然后再向轴 上投影。
FR 5232062kN 3k 1N
FR , k 78 .8 27
例题
空间基本力系
例题5
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜 齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴 的分力。
28
例题
空间基本力系
例题5
运动演示
29
例题
空间基本力系
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
空间基本力系
例题7
如图所示为空气动力天平
上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点O，其上作用有铅直
载荷F。钢丝OA和OB所构成的
平面垂直于铅直平面Oyz，并与
该 平 面 相 交 于 OD ， 而 钢 丝 OC
则沿水平轴y。已知OD与轴z间
的 夹 角 为 β ， 又 ∠ AOD =
∠BOD = α，试求各钢丝中的
例题5
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
30
例题
空间基本力系
例题5
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
FxFxysin Fncossin FyFxycosFncoscos
沿各轴的分力为
例题
空间基本力系
例题8
解：
建立如图坐标系Bxyz， 其 中 y 轴 平 分 ∠ CBD 。 由 于 ABCD是 正 交 锥 ，所 以 AB与y 轴 的夹角为θ。
42
例题
空间基本力系
例题8
力F 在坐标面Oxy上投影
1.取球铰链A为研究对 象,受力分析如图。
为求各力在轴x，y上 的投影，可先向坐标面 Oxy上投影，然后再向轴 上投影。
FR 5232062kN 3k 1N
FR , k 78 .8 27
例题
空间基本力系
例题5
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜 齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴 的分力。
28
例题
空间基本力系
例题5
运动演示
29
例题
空间基本力系
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
空间基本力系
例题7
如图所示为空气动力天平
上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点O，其上作用有铅直
载荷F。钢丝OA和OB所构成的
平面垂直于铅直平面Oyz，并与
该 平 面 相 交 于 OD ， 而 钢 丝 OC
则沿水平轴y。已知OD与轴z间
的 夹 角 为 β ， 又 ∠ AOD =
∠BOD = α，试求各钢丝中的
例题5
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
30
例题
空间基本力系
例题5
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
FxFxysin Fncossin FyFxycosFncoscos
沿各轴的分力为
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o z z
上式表明：力对一点之矩的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影量等于力 对于该轴之矩。它表明了力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系。
联立求解可得
4.12
W 2 103 F1 F2 F3 737 N o 3sin 3sin 65
图4.3 三角架
MO (F ) Fd 2 AVOAB
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
一、空间力系中力对点之矩的矢量表示
对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点之矩的全部要素，即大 小和转向，这是因为力矩的作用面是一固定平面。而在空间问题中研究力对点 之矩时，不仅要考虑力矩的大小和方向，还要考虑力和矩心所在平面的方位。 当该作用面的空间方位不同时，其对刚体的作用效果则完全不同。所以，在空 间问题中，力对点之矩是由力矩的大小、力矩在作用面内的转向及力矩作用面 的方位这三个要素所决定的。而用一代数量是无法将这三要素表示出来的，故 须用一矢量来表示，将该矢量称为力矩矢。力F对点O之矩记作M0(F)，如图 4.4所示，该力矩矢通过矩心O，且垂直于力矩作用面(即△OAB所在平面)，其 方向可由右手螺旋法则确定：即右手四指与力F对点O之矩的转动方向一致， 则拇指所指方向就为力矩矢的方向。而力矩的大小为
若空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。同平面任意 力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。
一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解
1.力在空间直角坐标轴上的投影
如图4.1(a)所示，若力F与三个直角坐标轴的夹角分别为、、，则力 在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计 算，即
或可用解析式表示为
FR
2
FR F 0
(4.9)
F F F
2 x y z
2
0
所以
F F F
x y
z
0 0
0
(4.10)
上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个 坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式(4.10)亦称为空间汇交力系 的平衡方程。
第4章 空 间 力 系
第4章
空间力系
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4.1
第4章 空 间 力 系
本章内容
•空间汇交力系
•力对点之矩和力对轴之矩 •空 间 力 偶
•空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
•空间任意力系的简化结果分析 •空间任意力系的平衡方程 •重 心 •习题集思考题
4.2
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
0 cos 90o 100
-1
其中、、 为第四个力F4与x、y、z三个坐标轴的夹角。
4.10
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
2.空间汇交力系的平衡条件
由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。 所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即
4.11
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
【例4.2】 如图4.3所示简易三角架起重的装置，其中AB、AC、AD三杆的两端可视 为球形铰链连接。三角架的三角B、C、D构成一等边三角形，且每根杆均与地面
成
65° 的倾角。已知起吊的重物重量为W=2kN，试求三根杆所受的压力。
解：由题意可知，AB、AC、AD三杆为二力杆，设三杆所受的压力分别为F1、 F2、F3，且力系为一空间汇交力系。取节点A为研究对象，受力图如图4.3(b)所 示，且建立如图所示坐标，可列出如下平衡方程： (1) F 0 F cos cos30o F cos cos30o 0
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系
由上述分析及图4.4所示可知，力F对点O的矩的大小为 而力F对通过点O的z轴的矩的大小为 在图4.4中，由几何学知识可知
M o F 2 AVOAB
1 1
M z F 2 AVOA B
Fy Fx Fz cos , cos , cos F F F F Fx2 Fy2 Fz2
(4.5)
必须注意，由式(4.5)只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用 线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。
4.6
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
4.9
F4 x 80N，F4 y 60N，F4 z 0，
F4 80i 60 j
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
所以，力F4的大小 力F4的方向
F4 802 602 100
cos-1
80 36.87o 100
cos-1
60 53.13o 100
MO (F ) Fd 2 AVOAB
其中d为矩心O到力F作用线的垂直距离，△OAB为三角形OAB的面积。 若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径(如图4.4所示)，则矢量 r F 的大 小为
4.13
r F 2 AVOAB
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
且矢量 r F 的方向也可由右手螺旋法则确定，由图4.4可知，其方向与 力矩矢M0(F)的方向一致，所以 (4.11) MO (F ) r F 上式为力对点之矩的矢积表达式。它表明：力对点的矩矢等于矩心到 力的作用点的矢径与该力的矢积。 必须指出，由于力矩矢的大小和方向均与矩心的位置有关，故力矩矢 的矢端必须在矩心而不可任意移动，所以，力矩矢应为一定位矢量。
在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式(4.4)可知， 力系中任一力Fi均可表示为
4.7
Fi Fix i Fiy j Fiz k
(4.7a)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
将式4.7(a)代入(4.6)式中，得
FR F Fx i Fy j Fz k
4.4
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
(4.2)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
由式(4.2)计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第2章可知， 力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这 是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。
Fy Fy j Fz Fz k
x
x
(4.3)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
式中i、j、k分别为沿三个坐标轴x、y、z的单位矢量，则力矢F沿直 角坐标轴的解析表达式为 F Fx i Fy j Fz k (4.4) 即力矢F可由在直角坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的 投影Fx、Fy、Fz，则力的大小和方向余弦可由下式确定：
4.1 空间汇交力系
式中、、 分别为合力FR与x、y、z三个直角坐标轴的夹角。因 为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇交点。
【例4.1】 已知空间汇交力系的四个力中 F1 60i 80 j 60k (N)， 2 70i 70k F F (N)， 3 30i 40 j 50k (N)，合力 FR 100i 100 j 80k (N)，求第四个力F4的大 小和方向。 解：设F4的解析表达式为 则由式(4.7)可知
2 2 2 Fx Fy Fz Fx , cos Fy , cos Fz cos FR FR FR 2 2 2 FR FRx FRy FRz
(4.8)
4.8
第4章 空 间 力 系
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
4.3
(4.1)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
γ β α φ γ
图4.1 力F的投影 利用式(4.1)计算投影的方法称为直接投影法。而若力F与坐标轴Ox和Oy的 夹角 、 不易确定时，可先将力F投影到oxy平面上，得到一力在平面上的 投影量Fxy，然后再将Fxy投影到x轴、y轴上。如图4.1(b)所示，当已知、 角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：
4.14
图4.4 力F对点矩
二、空间力系中力对轴之矩
在工程实际中，经常会遇到研究对象绕某一定轴转动的情况，这时需确定力 对该定轴之矩的大小和方向。如图4.4所示，若欲求力F对于z轴之矩，可先作 一与z轴垂直的xy平面，且z轴与xy平面相交于O点，Fxy为力F在xy平面内的投 影。由图4.4的空间位置关系可知，力F对z轴的矩就是其投影Fxy对z轴的矩， 或者说是在xy平面内Fxy对O点的矩，即
1 1
AVOAB cos AVOA B
式中 为△OAB和△OA1B1所在两平面的夹角，因为力矩矢和z轴分别垂直 于两平面，所以矢量和z轴的夹角亦为 ，则
Mo (F ) cos M z (F )
式中左边即为力矩矢 Mo (F ) 在z 轴上的投影，用 M o (F )z 表示。若考虑到正 负号的关系，则上式可写成 (4.13) M ( F ) M ( F )
二、空间汇交力系的合成与平衡
1.空间汇交力系的合成
同平面汇交力系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法 和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内， 所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有 F1、F2、…Fn组成一空间汇交力系，则力系的合力FR应等于力系中各力 的矢量和，即 FR F1 F2 L Fn F (4.6) 且合力FR的作用线通过力系的汇交点。
上式表明：力对一点之矩的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影量等于力 对于该轴之矩。它表明了力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系。
联立求解可得
4.12
W 2 103 F1 F2 F3 737 N o 3sin 3sin 65
图4.3 三角架
MO (F ) Fd 2 AVOAB
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
一、空间力系中力对点之矩的矢量表示
对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点之矩的全部要素，即大 小和转向，这是因为力矩的作用面是一固定平面。而在空间问题中研究力对点 之矩时，不仅要考虑力矩的大小和方向，还要考虑力和矩心所在平面的方位。 当该作用面的空间方位不同时，其对刚体的作用效果则完全不同。所以，在空 间问题中，力对点之矩是由力矩的大小、力矩在作用面内的转向及力矩作用面 的方位这三个要素所决定的。而用一代数量是无法将这三要素表示出来的，故 须用一矢量来表示，将该矢量称为力矩矢。力F对点O之矩记作M0(F)，如图 4.4所示，该力矩矢通过矩心O，且垂直于力矩作用面(即△OAB所在平面)，其 方向可由右手螺旋法则确定：即右手四指与力F对点O之矩的转动方向一致， 则拇指所指方向就为力矩矢的方向。而力矩的大小为
若空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。同平面任意 力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。
一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解
1.力在空间直角坐标轴上的投影
如图4.1(a)所示，若力F与三个直角坐标轴的夹角分别为、、，则力 在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计 算，即
或可用解析式表示为
FR
2
FR F 0
(4.9)
F F F
2 x y z
2
0
所以
F F F
x y
z
0 0
0
(4.10)
上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个 坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式(4.10)亦称为空间汇交力系 的平衡方程。
第4章 空 间 力 系
第4章
空间力系
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4.1
第4章 空 间 力 系
本章内容
•空间汇交力系
•力对点之矩和力对轴之矩 •空 间 力 偶
•空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
•空间任意力系的简化结果分析 •空间任意力系的平衡方程 •重 心 •习题集思考题
4.2
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
0 cos 90o 100
-1
其中、、 为第四个力F4与x、y、z三个坐标轴的夹角。
4.10
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
2.空间汇交力系的平衡条件
由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。 所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即
4.11
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
【例4.2】 如图4.3所示简易三角架起重的装置，其中AB、AC、AD三杆的两端可视 为球形铰链连接。三角架的三角B、C、D构成一等边三角形，且每根杆均与地面
成
65° 的倾角。已知起吊的重物重量为W=2kN，试求三根杆所受的压力。
解：由题意可知，AB、AC、AD三杆为二力杆，设三杆所受的压力分别为F1、 F2、F3，且力系为一空间汇交力系。取节点A为研究对象，受力图如图4.3(b)所 示，且建立如图所示坐标，可列出如下平衡方程： (1) F 0 F cos cos30o F cos cos30o 0
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩间的关系
由上述分析及图4.4所示可知，力F对点O的矩的大小为 而力F对通过点O的z轴的矩的大小为 在图4.4中，由几何学知识可知
M o F 2 AVOAB
1 1
M z F 2 AVOA B
Fy Fx Fz cos , cos , cos F F F F Fx2 Fy2 Fz2
(4.5)
必须注意，由式(4.5)只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用 线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。
4.6
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
4.9
F4 x 80N，F4 y 60N，F4 z 0，
F4 80i 60 j
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
所以，力F4的大小 力F4的方向
F4 802 602 100
cos-1
80 36.87o 100
cos-1
60 53.13o 100
MO (F ) Fd 2 AVOAB
其中d为矩心O到力F作用线的垂直距离，△OAB为三角形OAB的面积。 若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径(如图4.4所示)，则矢量 r F 的大 小为
4.13
r F 2 AVOAB
第4章 空 间 力 系
4.2 力对点之矩和力对轴之矩
且矢量 r F 的方向也可由右手螺旋法则确定，由图4.4可知，其方向与 力矩矢M0(F)的方向一致，所以 (4.11) MO (F ) r F 上式为力对点之矩的矢积表达式。它表明：力对点的矩矢等于矩心到 力的作用点的矢径与该力的矢积。 必须指出，由于力矩矢的大小和方向均与矩心的位置有关，故力矩矢 的矢端必须在矩心而不可任意移动，所以，力矩矢应为一定位矢量。
在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式(4.4)可知， 力系中任一力Fi均可表示为
4.7
Fi Fix i Fiy j Fiz k
(4.7a)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
将式4.7(a)代入(4.6)式中，得
FR F Fx i Fy j Fz k
4.4
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
(4.2)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
由式(4.2)计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第2章可知， 力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这 是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。
Fy Fy j Fz Fz k
x
x
(4.3)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
式中i、j、k分别为沿三个坐标轴x、y、z的单位矢量，则力矢F沿直 角坐标轴的解析表达式为 F Fx i Fy j Fz k (4.4) 即力矢F可由在直角坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的 投影Fx、Fy、Fz，则力的大小和方向余弦可由下式确定：
4.1 空间汇交力系
式中、、 分别为合力FR与x、y、z三个直角坐标轴的夹角。因 为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇交点。
【例4.1】 已知空间汇交力系的四个力中 F1 60i 80 j 60k (N)， 2 70i 70k F F (N)， 3 30i 40 j 50k (N)，合力 FR 100i 100 j 80k (N)，求第四个力F4的大 小和方向。 解：设F4的解析表达式为 则由式(4.7)可知
2 2 2 Fx Fy Fz Fx , cos Fy , cos Fz cos FR FR FR 2 2 2 FR FRx FRy FRz
(4.8)
4.8
第4章 空 间 力 系
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
4.3
(4.1)
第4章 空 间 力 系
4.1 空间汇交力系
γ β α φ γ
图4.1 力F的投影 利用式(4.1)计算投影的方法称为直接投影法。而若力F与坐标轴Ox和Oy的 夹角 、 不易确定时，可先将力F投影到oxy平面上，得到一力在平面上的 投影量Fxy，然后再将Fxy投影到x轴、y轴上。如图4.1(b)所示，当已知、 角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：
4.14
图4.4 力F对点矩
二、空间力系中力对轴之矩
在工程实际中，经常会遇到研究对象绕某一定轴转动的情况，这时需确定力 对该定轴之矩的大小和方向。如图4.4所示，若欲求力F对于z轴之矩，可先作 一与z轴垂直的xy平面，且z轴与xy平面相交于O点，Fxy为力F在xy平面内的投 影。由图4.4的空间位置关系可知，力F对z轴的矩就是其投影Fxy对z轴的矩， 或者说是在xy平面内Fxy对O点的矩，即
1 1
AVOAB cos AVOA B
式中 为△OAB和△OA1B1所在两平面的夹角，因为力矩矢和z轴分别垂直 于两平面，所以矢量和z轴的夹角亦为 ，则
Mo (F ) cos M z (F )
式中左边即为力矩矢 Mo (F ) 在z 轴上的投影，用 M o (F )z 表示。若考虑到正 负号的关系，则上式可写成 (4.13) M ( F ) M ( F )
二、空间汇交力系的合成与平衡
1.空间汇交力系的合成
同平面汇交力系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法 和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内， 所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有 F1、F2、…Fn组成一空间汇交力系，则力系的合力FR应等于力系中各力 的矢量和，即 FR F1 F2 L Fn F (4.6) 且合力FR的作用线通过力系的汇交点。