空间力系。重心

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四、实验法： 可用于测定外形复杂或质量分布不均匀物体的重心 ①悬挂法 ②称重法
由于 mB F 0
故xC

P 称 l1 P xC 0
P称 l1 P
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第六章
空间力系习题课
一、空间力系的平衡方程
空 间 任 意 力 系
X 0 Y 0 Z 0 m x 0 m y 0 mz 0
Fy
Z Fz F cosg
Fx
Fxy
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三、由坐标轴上的投影量求力F：
若以 Fx , Fy , Fz 表示力F在直角坐标轴的投影量。
则F的大小和方向：
2 2 F Fx Fy Fz2
Fz
g
O
cos cos b cosg
Fx
2 2 Fx Fy Fz2
b
Fy
Fy
2 2 Fx Fy Fz2





空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力 对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理 空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置
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[例1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内。求力P对三个坐标 轴的矩。
解： Pz P sin 45
Px P cos 45 sin 60 Py P cos 45 cos 60
成为恒等式 F3 z Fn y O
故空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
x
F2
F1
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对于空间平行于 z 轴的平行力系：
mz F 0
则
X 0 Y 0
成为恒等式
z Fn F1 y O
故空间平行于 z 轴的 平行力系的平衡方程为：
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第六章
空间力系 重心
§6–1 工程中的空间力系问题
§6–2 力在空间坐标轴上的投影
§6–3 力对轴的矩 §6–4 空间力系的平衡方程 §6–5 重心的概念 §6–6 重心坐标公式 §6–7 物体重心的求法 习题课
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§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且 不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。 P2 z P1 Z2 例如： Z1 (a) 空间汇交力系； (b) 空间平行力系； y (c) 空间一般力系。
V x dV V y dV xC yC V V 对于均质薄板，重心坐标：
A x dA xC A A y dA yC A
O
V z dV zC V
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§6-7
物体重心的求法
一、对称性法： 具有对称轴、对称面或对称中心的物体。这种物体 的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。
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[例2] 曲杆ABCD，已知∠ABC=∠BCD=900 ，AB=a， BC=b，CD=c， m2，m3，求：支座反力及m1

空间力系一般的平衡方程
空间一般力系平衡的充要条件： 各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴 力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。
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对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）
则
my mz
mx
F 0 F 0 F 0
X1 X2
x
迎面 风力
侧面 风力
b
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§6-2
一、力在空间的表示：
力在空间坐标轴上的投影
力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： F F
b q
g
O
作用点：
在物体的哪点就是哪点 Fxy 方向： 由力与坐标轴或平面的 方位角确定。
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二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法）
Fz
g
mx P mx Px mx Py mx 6 P sin 45 84.8N m m y P m y Px m y Py m y





Pz 0 0 6 Pz



5 P sin 45 70.7N m mz P mz Px mz Py mz Pz
mx 0， 200Z B 300Pz 50Q sin 20 0 N Z B 2040
X 0， X A X B Px Q cos 20 0，X A 729 N
Z 0， Z A Z B Pz Q sin 20 0，Z A 385N


2OA' B' 的 面 积
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是 代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力 臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的
乘积，其符号按右手法则确定。
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力对轴的矩 的符号规定 + 二、合力矩定理
右手法则
--
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为： mz R mz F1 mz F2 mz Fn mz Fi
O
X Fx F cos Y Fy F cos b Z Fz F cos g
2、二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到xy面上，然后再 投影到x、y轴上。
b
Fy
Fx Fz
g
O
X Fx F sin g cos
Y Fy F sin g sin
代入Wi mi g和W Mg mi xi xC M mi yi yC M mi zi zC M
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三、均质物体的重心坐标公式 均质物体的重量均匀分布，设单位体积的重量为γ
W g V
xi Vi xC V yi Vi yC V zi Vi zC V
重心坐标公式
一、平行力系的中心
空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是 空间平行力系的中心
由合力矩定理可得：
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二、重心坐标的一般公式 如果把物体的重力都看成 为平行力系，则求重心问题就 是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理：
Wi
Wi W W
W xC W i xi 重心坐标的一般公式 Wi xi xC W Wi yi yC W Wi zi zC W
F3
Z 0 mx F 0 my F 0

x
F2
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几种典型的空间约束 1、球形铰链
15
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承
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3、滑动轴承
17
4、 止 推 轴 承
My
Mx
18
5、带有销子的夹板
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6、空间固定端
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[例1] 已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力Q和轴承A , B处的约束反力？
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
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二、解题步骤、技巧与注意问题：ห้องสมุดไป่ตู้1、解题步骤： (与平面的相同) ①选研究对象
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数
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2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 ② 投影轴尽量选在与未知力垂直，力矩轴选在与未知 力平行或相交 ③ 一般从整体 局部的研究方法。 ④ 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。
1 S1 80cm ， S 2 πR 2 , R 10cm 2 4R y1 4 cm， y2 8 cm 2π
Ai yi S1 y1 S2 y2 yC 6.4 cm A S1 S2 ②负面积法（或负体积法）
在物体内切去一部分，这类物体的重心，仍可应用 分割法，只是切去部分面积或体积取负值。
(Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程 最好每一个方程有一 个未知量，方便求解
Y 0， YA Py 0， YA Py 352N
m y 0， Pz 50 100Q cos 20 0 Q 746N
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mz 0， 300Px 50Py 200X B 50Q cos 20 0 X B 437N
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三、积分法： 用数学积分求物体的重心的方法
[例2] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧AB的重心。
解：由于对称关系 圆弧重心必在Ox轴，即yC=0 取微段 O
dL Rd q
x R cos q
R 2 cosqdq xdL xC L L 2R R sin
二、组合法： 分割法 负面积法（或负体积法）
简单图形的面积及重心坐标公式可查表6-1
①分割法 将形状比较复杂的物体分成几个简单几何图形物体， 然后根据重心坐标公式求出组合形体的重心。 28
①分割法
[例1] 已知图示薄板平面，求该组合体的重心？ 解：建立图示坐标
由对称性
2
xC 0
8cm 10cm
Pz 0 0 5 Pz




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6 P cos 45 sin 60 5 P cos 45 cos 60 38.2N m
§6-4 空间力系的平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，
都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的
Fx
Fz
2 2 Fx Fy Fz2
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§6-2 力对轴的矩
一、力对轴的矩的概念
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由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对z轴的矩定义： Fz — 平 行 于 Z轴 的 分 量 F Fxy — 垂 直 于 Z轴 的 平 面 内 分 量 mz F mO Fxy Fxy d
过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平 衡方程。 设作用在刚体上有 空间一般力系
F 1 , F2 , F3 Fn
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如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三 轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足:
X 0 , mx F 0 Y 0, m y F 0 Z 0 , mz F 0
Y 0，T 1' sin 15 Q sin 45 0 T1 546kN
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由B点： X 0 , T2 cosq cos 45 T3 cosq cos 45 0 Y 0 , T1 sin 60 T2 cosq cos 45 T3 cosq cos 45 0 平 Z 0 , N 2 T1 cos 60 T2 sin q T3 sin q 0 面 cosq 4 5 sin q 3 5 汇 T2 T3 419 k N 交 力 N 2 230 k N 系
3、注意问题：
① 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） ② 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。 ③ 求物体重心问题常用组合法。 对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。
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[例1] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求：绳BE、BF的拉力和杆AB的内力 解：分别研究C点和B点作受力图 由C点： 平面汇交力系
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§6-5
重心的概念
一、物体重心的概念 物体的每个微小部分都受到重力作 用，可认为该力系是空间平行力系
平行力系的合力，称为物体的重力 平行力系的中心，称为物体的重心 二、研究物体重心的意义 重心位置会影响物体的平衡和稳定
W
Wi Wi W
例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等
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§6-6
Wi g Vi
Wi Wi W
均质物体的重心坐标公式
W
均质物体的重心只与物体的形状有关，而与物体的 重量无关。因此均质物体的重心也称为物体的形心
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四、均质薄板的重心 平面薄板，重心有二个坐标
xi Ai xC A yi Ai yC A
y xC C yC x
物体分割的越多，求得的重心位置 就越准确。常用积分法求物体的重心位置。 例如对于均质物体，重心坐标：