第三章 空间力系-重心形心
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结论 ：
若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩 必为零；反之，若图形对某轴的静矩为零， 则该轴必通过图形的形心。
第三章 空间力系
二、重心的求法：
1、简单几何形状物体的重心(对称法） 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出，
该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中 心上。 简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
即为AB和DE的交线C。
C
D
B
E
第三章 空间力系
<2>称重法 称出物体的重量G
固定物体，一端支于固 定点A，另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离l
读出磅秤上的读数FB
第三章 空间力系
G
h FB l G
3、组合法：（分割法或负面积法）
一般针对均质平板物体而言 <1>分割法：
若物体可以划分为形状简单的几个部分，每个部分的面积 和重心位置都属已知，则整个物体的重心易于求得。
xC
Ai xi Ai
yC
Ai yi Ai
<2>负面积法： 方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。
第三章 空间力系
例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图， 求：该截面的形心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，
A1 A2
取Oxy直角坐标系，如图
A3
x1 1.5cm , y1 4.5cm , A1 3.0 cm2
第三章 空间力系
1）重心坐标的一般计算公式
如图所示,设物体重力作用点的坐标为G(xc，yc，zc), 得物体的重心坐标公式为
xC
Gi xi Gi
Gi xi G
百度文库
yC
Gi yi Gi
Gi yi G
zC
Gi zi Gi
Gi zi G
第三章 空间力系
2）物体均质时重心坐标的计算公式 对于均质物体，若用ρ表示其密度，△V表示微体积，则得 物体的重心坐标公式为
x2 0.5cm , y2 3.0 cm , A2 4.0 cm2
x3 1.5 cm , y3 0.5 cm , A3 3.0 cm2
xC
Ai xi 3 (1.5) 4 0.5 31.5 0.2 cm
A
343
yC
Ai yi 3 (4.5) 4 3 3 0.5 2.7 cm
§3-5 物体的重心和形心
引入： 重力：由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。 方向：总是竖直向下。
第三章 空间力系
当我们用两轮手推车推重物时，只有重物的重心正好与车轮轴线在 同一铅垂面内时，才能比较省力。 起重机用起重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的上方，才能使起 吊过程中保持物体的平衡稳定。 机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求 它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引 起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关 系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、 混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工 程技术人员所必备的知识之一。
x2=20mm ， y2=8mm ， A2=16 × 40=640mm2
则有：
xC
xi Ai A1x1 A2x2 14.21mm
Ai
A1 A2
yC
yi Ai A1 y1 A2 y2 25.37mm
Ai
A1 A2
第三章 空间力系
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
Ai
A1 A2
yC
yi Ai A1 y1 A2 y2 25.37mm
Ai
A1 A2
第三章 空间力系
xdV
xC
xiVi V
V
V
ydV
yC
yiVi V
V
V
zdV
zC
ziVi V
V
V
第三章 空间力系
3）物体均质薄板时重心坐标的计算公式（即平面图形 的形心）
xc
A x ; A
yc
A
A
y ;
记Sy=∑xi△Ai= xcA，则Sy称为图形对y 轴的静矩 Sx=∑yi△Ai= ∑yi△Ai= ycA，Sx称为图 形对x轴的静矩
第三章 空间力系
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重心和形心的概念
重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。 对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。 形心 物体几何形状的中心点称为形心。 均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上
第三章 空间力系
2、实验法
如物体的形状复杂或质量分布不均匀，
A
其重心常由实验来确定。
<1>悬挂法 对于形状复杂的薄平板，求
形心位置时，可将板悬挂于任一点A，根据
B
二力平衡公理，板的重力与绳的张力必在
同一直线上，故形心一定在铅垂的挂绳延
长线AB上；重复施用上述方法，将板挂于
A
D点，可得DE线。显而易见，平板的重心
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC
xi Ai A1x1 A2x2 14.21mm
A
343
第三章 空间力系
例2 试求图示平面图形的形心位置(单位：mm)。
第三章 空间力系
解：该题可用两种方法求解
(1)分割法
如图所示将该图形分解成两个矩形I和II， 它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、
C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。得
x1=10mm ， y1=10mm ， A1=20 × 44=880mm2
若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩 必为零；反之，若图形对某轴的静矩为零， 则该轴必通过图形的形心。
第三章 空间力系
二、重心的求法：
1、简单几何形状物体的重心(对称法） 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出，
该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中 心上。 简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
即为AB和DE的交线C。
C
D
B
E
第三章 空间力系
<2>称重法 称出物体的重量G
固定物体，一端支于固 定点A，另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离l
读出磅秤上的读数FB
第三章 空间力系
G
h FB l G
3、组合法：（分割法或负面积法）
一般针对均质平板物体而言 <1>分割法：
若物体可以划分为形状简单的几个部分，每个部分的面积 和重心位置都属已知，则整个物体的重心易于求得。
xC
Ai xi Ai
yC
Ai yi Ai
<2>负面积法： 方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。
第三章 空间力系
例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图， 求：该截面的形心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，
A1 A2
取Oxy直角坐标系，如图
A3
x1 1.5cm , y1 4.5cm , A1 3.0 cm2
第三章 空间力系
1）重心坐标的一般计算公式
如图所示,设物体重力作用点的坐标为G(xc，yc，zc), 得物体的重心坐标公式为
xC
Gi xi Gi
Gi xi G
百度文库
yC
Gi yi Gi
Gi yi G
zC
Gi zi Gi
Gi zi G
第三章 空间力系
2）物体均质时重心坐标的计算公式 对于均质物体，若用ρ表示其密度，△V表示微体积，则得 物体的重心坐标公式为
x2 0.5cm , y2 3.0 cm , A2 4.0 cm2
x3 1.5 cm , y3 0.5 cm , A3 3.0 cm2
xC
Ai xi 3 (1.5) 4 0.5 31.5 0.2 cm
A
343
yC
Ai yi 3 (4.5) 4 3 3 0.5 2.7 cm
§3-5 物体的重心和形心
引入： 重力：由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。 方向：总是竖直向下。
第三章 空间力系
当我们用两轮手推车推重物时，只有重物的重心正好与车轮轴线在 同一铅垂面内时，才能比较省力。 起重机用起重物时，吊钩必须位于被吊物体重心的上方，才能使起 吊过程中保持物体的平衡稳定。 机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求 它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引 起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关 系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、 混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工 程技术人员所必备的知识之一。
x2=20mm ， y2=8mm ， A2=16 × 40=640mm2
则有：
xC
xi Ai A1x1 A2x2 14.21mm
Ai
A1 A2
yC
yi Ai A1 y1 A2 y2 25.37mm
Ai
A1 A2
第三章 空间力系
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
Ai
A1 A2
yC
yi Ai A1 y1 A2 y2 25.37mm
Ai
A1 A2
第三章 空间力系
xdV
xC
xiVi V
V
V
ydV
yC
yiVi V
V
V
zdV
zC
ziVi V
V
V
第三章 空间力系
3）物体均质薄板时重心坐标的计算公式（即平面图形 的形心）
xc
A x ; A
yc
A
A
y ;
记Sy=∑xi△Ai= xcA，则Sy称为图形对y 轴的静矩 Sx=∑yi△Ai= ∑yi△Ai= ycA，Sx称为图 形对x轴的静矩
第三章 空间力系
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重心和形心的概念
重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。 对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。 形心 物体几何形状的中心点称为形心。 均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上
第三章 空间力系
2、实验法
如物体的形状复杂或质量分布不均匀，
A
其重心常由实验来确定。
<1>悬挂法 对于形状复杂的薄平板，求
形心位置时，可将板悬挂于任一点A，根据
B
二力平衡公理，板的重力与绳的张力必在
同一直线上，故形心一定在铅垂的挂绳延
长线AB上；重复施用上述方法，将板挂于
A
D点，可得DE线。显而易见，平板的重心
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC
xi Ai A1x1 A2x2 14.21mm
A
343
第三章 空间力系
例2 试求图示平面图形的形心位置(单位：mm)。
第三章 空间力系
解：该题可用两种方法求解
(1)分割法
如图所示将该图形分解成两个矩形I和II， 它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、
C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。得
x1=10mm ， y1=10mm ， A1=20 × 44=880mm2