第三章 空间力系
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空间力系的平衡
所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。 （2） 选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。 （3） 列平衡方程求解。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
第三章 空间力系分解
问题：如果已知： 如何求力F 对 z 轴之矩 F Fx i Fy j Fz k z Fz
F k i x
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
Fx
j y Fx
z x
M x ( F ) yFz zFy Fy y M y ( F ) zFx xFz
F F1 F2
F1
F2
r
M1 M2
F1'
F2'
F
'
F ' F1' F2'
M R {F , F ' }
M R r F ' r (F1 'F2 ' ) r F1 'r F2 ' M1 M2
rDC
C
F2
F1 '
M1 rBA F1
F2 '
M 2 rDC F2
rBA F1 M1 M 2 rDC F2
基本量的计算
二、力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效 {F , F '} {FR } 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平 面),而不改变对刚体的作用效应
Fxy
M z ( F ) xFy yFx
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
基本量的计算
力对轴之矩
MO
O
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
x
y r
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M Oz xFy yFx
F k i x
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
Fx
j y Fx
z x
M x ( F ) yFz zFy Fy y M y ( F ) zFx xFz
F F1 F2
F1
F2
r
M1 M2
F1'
F2'
F
'
F ' F1' F2'
M R {F , F ' }
M R r F ' r (F1 'F2 ' ) r F1 'r F2 ' M1 M2
rDC
C
F2
F1 '
M1 rBA F1
F2 '
M 2 rDC F2
rBA F1 M1 M 2 rDC F2
基本量的计算
二、力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效 {F , F '} {FR } 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平 面),而不改变对刚体的作用效应
Fxy
M z ( F ) xFy yFx
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
基本量的计算
力对轴之矩
MO
O
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
x
y r
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M Oz xFy yFx
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
空间力系
第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
理论力学---第三章 空间力系
B
P
Fz 0 : F cos P 0
E
C
D FD
F
C
z
A y
F
x
P
12
B
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢 空间力对点的矩的作用效果取决于： MO(F)
z B F
(1)力矩的大小 (2)转向 (3)力矩作用面方位。
h 这三个因素可用一个矢量 M O (F ) 表示。 x 矢量的方位：与作用平面法线 大小： M O (F ) Fh
例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
＝ 45° 已知:P＝1000N，CD＝AC＝AD，E为CD中点，
不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。 解：以铰A为研究对象，受力如图。
E
C
D
A
Fx 0 : FC sin FD sin 0
Fy 0: FC cos FD cos F sin 0
齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角 ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。
6
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin ,
将力Fxy向x，y 轴投影
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
z Fz F B Fy
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O ( Fy )
xFy yFx
工程力学—空间力系力的投影
第三章 空间力系 空间一般力系：各力的作用线在空间任意分布的力系。
平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都是它的特 殊情况。
设直角坐标系Oxyz如
图所示，已知力 与 F
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别为
z
﹑ ﹑ 。 则力 在 F
x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fy﹑Fz 分别为：
Fx F cos
Fz F Fx o
y
Fy F cos
x
Fy
Fz F cos
注意
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
二次投影法
z
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F
Fz F cos
力的正交分解
i、 j、k分别为x、y、z
Fx o
x
Fy
y
Fxy
方向的单位矢量，若以 ﹑F
x、y、z 的三个正交分量，则
合力的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 1643 N
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
arccosFx arccos 300 79o29
F
1643
arccosFy arccos 600 68o35
F
1643
arccosFFz arccos11654030
arccos(0.9130 ) 155 o55
F Fz
Fx Fy
x
﹑F
y分F别z表示
沿直F角坐标轴
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
F Fx2 Fy2 Fz2
arccosFxFΒιβλιοθήκη arccosFyF
注意
arccosFz
F
力的投影和分量的区别：
平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都是它的特 殊情况。
设直角坐标系Oxyz如
图所示，已知力 与 F
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别为
z
﹑ ﹑ 。 则力 在 F
x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fy﹑Fz 分别为：
Fx F cos
Fz F Fx o
y
Fy F cos
x
Fy
Fz F cos
注意
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
二次投影法
z
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F
Fz F cos
力的正交分解
i、 j、k分别为x、y、z
Fx o
x
Fy
y
Fxy
方向的单位矢量，若以 ﹑F
x、y、z 的三个正交分量，则
合力的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 1643 N
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
arccosFx arccos 300 79o29
F
1643
arccosFy arccos 600 68o35
F
1643
arccosFFz arccos11654030
arccos(0.9130 ) 155 o55
F Fz
Fx Fy
x
﹑F
y分F别z表示
沿直F角坐标轴
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
F Fx2 Fy2 Fz2
arccosFxFΒιβλιοθήκη arccosFyF
注意
arccosFz
F
力的投影和分量的区别：
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
3.空间力系
x II
ix
z
F2 F1 F2
II I O
F2 d FBz AB 0
FBz FAz
F1
FAz
A
FBz
B y
m
FBx FAx
5 0.4 2.5 N 0.8
iz
0:
FAx
x
F1 d FBx AB 0
F2
FBx
3 0.4 1.5 N 0.8
x
F xy
M 0 F x yZ zY yF z zF y M x F M 0 F y zX xZ zFx xFz M y F
力对点的矩在通过该点的轴上的投影, 等于此力对该轴的矩. ( 1 ) 上面表达式中力和位矢的投影分量都是代数量, 本身含正负号. ( 2 ) 所选的坐标系必须是右手坐标系.
例二. 在棱长为 a 的正方体的顶角 A 处作用一力F . 求 此力对x ,y ,z 轴的矩.
z
解: 力F 在图示 x 轴, y 轴 , z 轴 上的投影 分别为: F F F
F
O x
3
,
3
,
3
.
y
A
Fa Mx F 3
Fa My F 3
Mz F 0
在上题的思维过程中也寓含着合力矩定理: 合力对某 一轴的矩, 等 于其各分力对同一轴之矩的代数和.
FR
为过 O 点的力.
M O 为向 O 点简化而得到的附加力偶.
(2)就力系向任意 一 点O 简化结果的度量而言:
FR 代表力系的主矢.
ix
z
F2 F1 F2
II I O
F2 d FBz AB 0
FBz FAz
F1
FAz
A
FBz
B y
m
FBx FAx
5 0.4 2.5 N 0.8
iz
0:
FAx
x
F1 d FBx AB 0
F2
FBx
3 0.4 1.5 N 0.8
x
F xy
M 0 F x yZ zY yF z zF y M x F M 0 F y zX xZ zFx xFz M y F
力对点的矩在通过该点的轴上的投影, 等于此力对该轴的矩. ( 1 ) 上面表达式中力和位矢的投影分量都是代数量, 本身含正负号. ( 2 ) 所选的坐标系必须是右手坐标系.
例二. 在棱长为 a 的正方体的顶角 A 处作用一力F . 求 此力对x ,y ,z 轴的矩.
z
解: 力F 在图示 x 轴, y 轴 , z 轴 上的投影 分别为: F F F
F
O x
3
,
3
,
3
.
y
A
Fa Mx F 3
Fa My F 3
Mz F 0
在上题的思维过程中也寓含着合力矩定理: 合力对某 一轴的矩, 等 于其各分力对同一轴之矩的代数和.
FR
为过 O 点的力.
M O 为向 O 点简化而得到的附加力偶.
(2)就力系向任意 一 点O 简化结果的度量而言:
FR 代表力系的主矢.
第三章 空间力系
第三章 空间力系一、 判别题（正确和是用√，错误和否用×，填入括号内。
） 4-1 力对点之矩是定位矢量，力对轴之矩是代数量。
（ √ ）4-2 当力与轴共面时，力对该轴之矩等于零。
（ √ ）4-3 在空间问题中，力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢决定。
（ √ ）4-4 将一空间力系向某点简化，若所得的主矢和主矩正交，则此力系简化的最后结果为 一合力。
（ √ ）4-5 某空间力系满足条件：ΣΣΣΣy x y F 0,Z 0,M (F )0,M (F )0====，该力系简化的最后结果可能是力、力偶或平衡。
（ √ ）4-6 空间力对点之矩矢量在任意轴上的投影，等于该力对该轴之矩。
（ × ） 4-7 空间力对点之矩矢量在过该点的任意轴上的投影等于该力对该轴之矩。
（ √ ） 4-8 如果选取两个不同的坐标系来计算同一物体的重心位置，所得重心坐标相同。
（ × ）4-9 重心在物体内的位置与坐标系的选取无关。
（ √ ）4-10 如题图4-10所示，若力F 沿x 、y 、z 轴的分力为F x 、F y 和F z ，则力F 在x 1轴上的投影等于F x 和F z 在x 1轴上的投影的代数和。
（ √ ）4-11 在题图4-10中，当x 1轴与z 轴间的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b arctg ϕ时，力F 才能沿x 1轴和y 轴分解成两个分量。
（ √ ） 4-12 由n 个力系组成的空间平衡力系，若其中（n -1）个力相交于A 点，则另一个力也一定通过A 点。
（ √ ）4-13 空间汇交力系在任选的三个投影轴上的投影的代数和分别为零，则汇交力系一定平衡。
（ × ）4-14 某空间力系由两个力组成，此二力既不平行，又不相交，则该力系简化的最终结果为力螺旋。
（ √ ）4-15 空间任意力系的合力（如果存在合力）的大小一定等于该力系向任一点简化的主矢大小。
（ √ ）题4-10图4-16 任一平衡的空间汇交力系，只要A 、B 、C 三点不共线，则∑M A （F ） = 0，∑M B （F ） = 0和∑M C （F ） = 0是一组独立的平衡方程。
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
理论力学第三章 空间力系
z
A
F DA
D E
F CA
B
F BA
W
F y
W
C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR
A
F DA
D E
F CA
B
F BA
W
F y
W
C
x
已知：CE=ED=c=1.5m, EB=a=2m, EF=b=3m, AF=h=2.5m
(a b) 2 h 2 AE 31.25 sin AD 33.5 (a b) 2 h 2 c 2
AF h 2.5 sin 2 AB 15.25 b h2
F
' R
MO
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
（2）简化为一个力偶
当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
C A B
2、空间汇交力系的合成与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理
FR F i
FRx Fix Fx
FRz Fiz Fz
合力的大小
方向余弦
FRy Fiy Fy
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
F cos( F , i )
R x
FR
cos( FR , j )
Fy FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点.
Fz cos( FR , k ) FR
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
理论力学第三章 空间力系汇总
Pxy Pcos45
Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
P 6 Pi 2 P j 2 Pk
4
4
2
r 0.05 i 0.06 j 0 k
MO(F) r F
i
j
k
0.05 0.06 0
6P 2P 2P
4
4
2
84.8 i 70.7 j 38.2 k
称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐 标轴上的投影的代数和分别为零.
[例]三角支架由三杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰支座B、C、
D固定在地面上，如图所示。设A铰上悬挂一重物，已知其重量W=500N。
结构尺寸为a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5m。若杆的自重均忽略不计，求
（2）何时MZ (F) 0
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
z
F
Fz
Fxy o
h
P
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
（3) 解析表达式
M Z (F) MO (F xy ) MO (F x ) MO (F y )
xFy yFx
M x (F) yFz zFy
空间力偶的三要素
（1） 力偶矩大小：力与力偶臂的乘积； （2） 力偶矩方向：右手螺旋； （3） 作用面：力偶作用面。
转向：右手螺旋；
2、力偶的性质
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点的矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改变而 改变。
M x (P) 84.8(N.m) M y (P) 70.7(N.m) M x (P) 38.2(N.m)
哈工大(七)第三章空间力系
根据合力矩定理
解法二 力F在x、y、z轴的投影为
力作用点D的坐标为
3．力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 ．
力对点的矩矢 在三个坐标轴上的投影 又
即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该 轴的矩。
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩。 证明： 设有力F和任意点O，力对点O 的矩 力F对z轴的矩
空间力偶理论 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：
矢的长度 长度表示力偶矩的大小 长度 方位与力偶作用面的法线 矢的方位 方位 方位相同， 矢的指向 指向与力偶转向的关系服 指向 从右手螺旋规则 右手螺旋规则。 右手螺旋规则 注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。 力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
且
空间任意力系的合力矩定理 空间任意力系的合力矩定理 空间任意力系的合力对于任一点的矩等于各分力对同一点的 矩的矢量和。 证明： 合力 对点O的矩 空间任意力系对简化中心O的主矩 所以得证 根据力对点的矩与力对轴的矩的关系，把上式投影到通过点 O的任一轴上，可得 即空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴 的矩的代数和。
四边形ACED与平行四边形Aced相似 ACED为平行四边形
对n个空间力偶，按上法逐次 合成，最后得
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
方向余弦
例3—5 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔 所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、 z轴上的投影 、 、 ，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：先将作用在四个面上的力偶用力偶 矩矢量表示，并将它们平行移到点A
第三章 空间力系
'
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
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M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
本章将研究空间力系的简化和平衡问题。
与平面力系一样，空间力系分为：①空间汇交力系；
②空间力偶系；③ 空间任意力系。
3
§3-1 空间汇交力系
力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
大小： F F
1
第三章 空间力系 §3–1 空间汇交力系 §3–2 力对点的矩与力对轴的矩 §3–3 空间力偶 §3–4 空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩 §3–5 空间任意力系的平衡方程 §3–6 重心
2
第三章 空间力系
第三章 空间力系
空间力系： 是指力系的各力的作用线不在同一平面内的力 系。空间力系是最一般的力系。 迎面 风力
1）建立坐标：对哪一点求矩，必须 以该点为坐标原点建立坐标；
→
→
→
F Fx i Fy j FZ k
z
r x i y j zBk
2）求点的坐标和力的投影：根据所建
坐标写出力作用点的坐标和力在
MO F
F
r θA
3个坐标轴上的投影：Fx、Fy、 Fz 。
O
y
3）计算：根据解析表达式求解力矩。
d x
A
G
z
16
第三章 空间力系
17
第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢
1）概念：力对任一点的矩等于
矩心到力的作用点的矢径与该 力的矢量积，称为力矩矢。
如图，以 r 表示矩心O到 力F作用点的矢径，则力F 对点O的矩可以写为
矢量
MO( F ) r F ( 3 8 )
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x) ，
等于此力对该轴的矩(如：Mx(F)) 。
26
第三章 空间力系
力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz， 则可求得过点O的力矩MO的大小，方向。
MO(F) [Mx( F )]2 [M y( F )]2 [Mz( F )]2
由式(3-12)得 M x ( F ) yFz zFy ( l a )( F cos ) 0 0 F ( l a )cos
M y ( F ) zFx xFz 0 F sin ( l ) ( F cos ) Fl cos
Mz ( F ) xFy yFx l 0 ( l a ) F sin F ( l a ) sin
MO (F )x yFz zFy MO (F )y zFx xFz
所以
MO (F )z xFy yFx
20
第三章 空间力系
力对点之矩的解析表达式
解题
MO(F) = r F
步骤 =( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
F 19.6
cos g Fz 18 0.919, g 23
F 19.6
11
第三章 空间力系
例试求3-这2:已个知力力的沿大直小角和坐方标向轴，的并解作析图式表为示。F
(3i4
j
5k
)
k, N
解：由已知条件，和力的解析式 F Fxi Fy j Fz k
得， Fx 3 kN, Fy 4 kN, Fz 5 kN
所以合力的大小为
FR 52 302 62 kN 31 kN
合力的方向余弦为
cos
FR , i
5 , 31
cos
FR , j
30 , 31
cos FR , k
6 31
合力FR 与x，y，z 轴间夹角
FR ,i 83.7 , FR , j 14.6 , FR , k 78.8
7
第三章 空间力系
➢力沿坐标轴的分解
若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fzk
F Fxi Fy j Fzk
Fz Fx
Fy
8
第三章 空间力系
2.空间汇交力系的合力与平衡条件 1）空间汇交力系的合力 1 几何法：合力为空间力多边形的封闭边；作用点过汇交点。
Fy FR
cos(FR
,
k
)
Fz FR
9
第三章 空间力系
2.空间汇交力系的合力与平衡条件
2）空间汇交力系的平衡条件
充要条件：力系的合力为零，即： FR Fi 0
1 几何条件：为该力系的力多边形自行封闭。
2 解析条件：
Fx = 0 Fy = 0 平衡方程 三个未知量
Fz = 0
说明：1）当空间汇交力系平衡时，该力系在任何平面上的投影得到的平
－5
10
kN
4
1
－2
kN
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
ห้องสมุดไป่ตู้13
静力学
第三章 空间力系
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
作用点：在物体的哪点就是哪点
g
方向：由、、g三个方向角确,
定由仰角O 与俯角 来确定。
由仰角 与俯角 来确定。
Fxy
4
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 1.力在直角坐标轴上的投影
1）一次投影法（直接投 影法）
如图，若已知力与正交
坐标系Oxyz三轴正向间 的夹角、、 。
则由力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交 坐标系Oxyz三轴上。在各轴上的投影为
2 解析法：各力在三个正交坐标轴上的投影，再计算合力。
空间汇交力系的合力
FRx Fix Fx
FR
F i
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
大小： FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向：
cos(FR,i )
Fx FR
cos(FR
,
j
)
由矢径和力的解析表达式
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
可得力矩矢的解析形式
i jk
MO(F) r F x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
式中：单位矢量前面 的系数就是 MO（F） 在x,y,z轴上的投影，
3)F的图形：如图所示，力F是以Fx=3kN; Fy=3kN; FZ=3kN为12楞的 长方体的对角线。
静力学
第三章 空间力系
例 3-3: 在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影 如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。
F1
Fx
1
Fy
10
Fz
3
解： 由上表得
F2
F3
F4
单位
2
0
2
kN
15
14
例 3-4直杆OA、OB、OC用光滑球铰链连接成支架，如图所示。 平面ABC和平面AOD都是铅直的，而且相互垂直。在球铰链O上 挂有重量G=5kN的重物，略去杆重。求三根杆所受力的大小，并 说明其受拉或受压。
解：分析O点，受力如图
Fz =0 G + FOA·sin = 0
B
FOA = -6.25kN (压)
cos( M O,i )
Mx(F )
,
cos(M O, j )
Mx(F )
, cos(M O,k )
Mx(F
)
(3 14)
|MO(F )|
|MO(F )|
| MO(F )|
27
第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平 行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
本章将研究空间力系的简化和平衡问题。
与平面力系一样，空间力系分为：①空间汇交力系；
②空间力偶系；③ 空间任意力系。
3
§3-1 空间汇交力系
力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
大小： F F
1
第三章 空间力系 §3–1 空间汇交力系 §3–2 力对点的矩与力对轴的矩 §3–3 空间力偶 §3–4 空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩 §3–5 空间任意力系的平衡方程 §3–6 重心
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第三章 空间力系
第三章 空间力系
空间力系： 是指力系的各力的作用线不在同一平面内的力 系。空间力系是最一般的力系。 迎面 风力
1）建立坐标：对哪一点求矩，必须 以该点为坐标原点建立坐标；
→
→
→
F Fx i Fy j FZ k
z
r x i y j zBk
2）求点的坐标和力的投影：根据所建
坐标写出力作用点的坐标和力在
MO F
F
r θA
3个坐标轴上的投影：Fx、Fy、 Fz 。
O
y
3）计算：根据解析表达式求解力矩。
d x
A
G
z
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第三章 空间力系
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第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢
1）概念：力对任一点的矩等于
矩心到力的作用点的矢径与该 力的矢量积，称为力矩矢。
如图，以 r 表示矩心O到 力F作用点的矢径，则力F 对点O的矩可以写为
矢量
MO( F ) r F ( 3 8 )
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x) ，
等于此力对该轴的矩(如：Mx(F)) 。
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第三章 空间力系
力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz， 则可求得过点O的力矩MO的大小，方向。
MO(F) [Mx( F )]2 [M y( F )]2 [Mz( F )]2
由式(3-12)得 M x ( F ) yFz zFy ( l a )( F cos ) 0 0 F ( l a )cos
M y ( F ) zFx xFz 0 F sin ( l ) ( F cos ) Fl cos
Mz ( F ) xFy yFx l 0 ( l a ) F sin F ( l a ) sin
MO (F )x yFz zFy MO (F )y zFx xFz
所以
MO (F )z xFy yFx
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第三章 空间力系
力对点之矩的解析表达式
解题
MO(F) = r F
步骤 =( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
F 19.6
cos g Fz 18 0.919, g 23
F 19.6
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第三章 空间力系
例试求3-这2:已个知力力的沿大直小角和坐方标向轴，的并解作析图式表为示。F
(3i4
j
5k
)
k, N
解：由已知条件，和力的解析式 F Fxi Fy j Fz k
得， Fx 3 kN, Fy 4 kN, Fz 5 kN
所以合力的大小为
FR 52 302 62 kN 31 kN
合力的方向余弦为
cos
FR , i
5 , 31
cos
FR , j
30 , 31
cos FR , k
6 31
合力FR 与x，y，z 轴间夹角
FR ,i 83.7 , FR , j 14.6 , FR , k 78.8
7
第三章 空间力系
➢力沿坐标轴的分解
若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fzk
F Fxi Fy j Fzk
Fz Fx
Fy
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第三章 空间力系
2.空间汇交力系的合力与平衡条件 1）空间汇交力系的合力 1 几何法：合力为空间力多边形的封闭边；作用点过汇交点。
Fy FR
cos(FR
,
k
)
Fz FR
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第三章 空间力系
2.空间汇交力系的合力与平衡条件
2）空间汇交力系的平衡条件
充要条件：力系的合力为零，即： FR Fi 0
1 几何条件：为该力系的力多边形自行封闭。
2 解析条件：
Fx = 0 Fy = 0 平衡方程 三个未知量
Fz = 0
说明：1）当空间汇交力系平衡时，该力系在任何平面上的投影得到的平
－5
10
kN
4
1
－2
kN
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
ห้องสมุดไป่ตู้13
静力学
第三章 空间力系
Fx 1 kN 2 kN 0 kN 2 kN 5 kN, Fy 10 kN 15 kN 5 kN 10 kN 30 kN, Fz 3 kN 4 kN 1 kN 2 kN 6 kN
作用点：在物体的哪点就是哪点
g
方向：由、、g三个方向角确,
定由仰角O 与俯角 来确定。
由仰角 与俯角 来确定。
Fxy
4
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 1.力在直角坐标轴上的投影
1）一次投影法（直接投 影法）
如图，若已知力与正交
坐标系Oxyz三轴正向间 的夹角、、 。
则由力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交 坐标系Oxyz三轴上。在各轴上的投影为
2 解析法：各力在三个正交坐标轴上的投影，再计算合力。
空间汇交力系的合力
FRx Fix Fx
FR
F i
FRy Fiy Fy
FRz Fiz Fz
大小： FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向：
cos(FR,i )
Fx FR
cos(FR
,
j
)
由矢径和力的解析表达式
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
可得力矩矢的解析形式
i jk
MO(F) r F x y z Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
式中：单位矢量前面 的系数就是 MO（F） 在x,y,z轴上的投影，
3)F的图形：如图所示，力F是以Fx=3kN; Fy=3kN; FZ=3kN为12楞的 长方体的对角线。
静力学
第三章 空间力系
例 3-3: 在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影 如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。
F1
Fx
1
Fy
10
Fz
3
解： 由上表得
F2
F3
F4
单位
2
0
2
kN
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例 3-4直杆OA、OB、OC用光滑球铰链连接成支架，如图所示。 平面ABC和平面AOD都是铅直的，而且相互垂直。在球铰链O上 挂有重量G=5kN的重物，略去杆重。求三根杆所受力的大小，并 说明其受拉或受压。
解：分析O点，受力如图
Fz =0 G + FOA·sin = 0
B
FOA = -6.25kN (压)
cos( M O,i )
Mx(F )
,
cos(M O, j )
Mx(F )
, cos(M O,k )
Mx(F
)
(3 14)
|MO(F )|
|MO(F )|
| MO(F )|
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第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平 行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。