5章空间力系和重心

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5章空间力系(交)

Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F

x
Fx

Fxy
y Fy
二、空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0

大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!

工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。

力的三要素：大小、方向、作用点。

平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。

二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。

2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。

3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。

（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。

5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。

三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。

2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。

3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。

4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。

工程力学第五章空间力系

cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ，它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。

工程力学——空间力系和重心

图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为，和，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
第5章空间力系和重心
第5章空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
图 5.4 中为压力角，为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道和，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系的合力投影定理。

工程力学第五章空间力系(2)

l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O

2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空间汇交力系
X 0 Y 0 Z 0
空间轴力系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空的间力系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )

第5章重心和形心

h
h/3
x
A
O
C
a
Ayd 0 hA 2 a h 2 a y h y a 2 a 2yd x0 hy d ( y a hya )d y1 6a2h
yC
A
ydA
1h,
A3
xC 0
（1）组合法
y 50
当物体或平面图形由几个基本部分组
成时，而每个组成部分的重心或形心 10 的位置已知，可用组合法求整个物体的重心（形心）。
Ai xi 或 A xC 称为图形对y轴的静矩；用符号Ｓx表示 Ai yi 或 A yC 称为图形对x轴的静矩；用符号Ｓy表示
§5-2 确定重心和形心位置的方法
一．对称图形对称图形，形心在对称轴上．
三角形
y轴为对称轴，重心（形心）在y轴上，
xc 0
yc ?
对质量均匀的物体，其重心和形心是重合的．
在工程中，确定物体重心的位置有非常重要的意义．
§5-1 重心和形心的坐标公式
一．重心坐标的一般公式
z
取固连在物体上的空间直
角坐标系Ｏxyz，以坐标
Ｃ1 △P1
O
Ｃi P
△Pi
y1 yC
x1 xC
yi
xi
xC， yC ，表示物体重心Ｃ的位置．物体每个小块所受的地心引力(分力） y 用△P1， △P２，﹒﹒﹒，
Ai A

yi
3.14 120 2 0 1 180 90 30

2
3.14 120 2 1 180 90
2
6.55
yC 0
y
x O
rr xC P P ixi V V ixi V V ixi

《工程力学》教学课件第5章空间力系

在平面力系中，力 F 与矩心 O 在同一个平面内，用代数量 MO (F ) 就足以概括力对点 O 之矩的全部要素。但在空间力系中，由于各力与矩心 O 所决定的平面可能不同，导致各力使刚体绕同一点转动的方位不同。当方位不同时，即使力矩的大小相同，作用效果也会完全不同。例如，作用在飞机尾部垂直舵和水平舵上大小相同的力，对飞机产生的绕重心转动的效果却不同，前者使飞机转弯，而后者则使飞机俯卧。
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩

第5章空间任意力系

例5-8 已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
F F F
x y
0 0 0
物体的重心（形心）与静矩 1．计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理
有对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为（4–14）对均质物体，均质板状物体，有
称为重心或形心公式
2．确定重心的悬挂法与称重法（1）悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2）称重法
例5-2,有点问题？已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 30 求：杆受力及绳拉力
0
，
解：画受力图如图，列平衡方程
F F F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 结果： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
= =
+0
-
= =
则
+ 0
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。
§5–2 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程

空间力系和重心

空间力系和重心空间力系和重心各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。

与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。

空间力系和重心6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法zF= Fx+ Fy+ Fz= Xi+ Yj+ Zk其中，FzαγZkFxFβ Y FyX= F cosα Y= F cosβ Z= F cosγXjixy空间力系和重心二次投影法zX= Fxy cos = F sinγ cos Y= Fxy sin = F sinγ sin Z= F cosγZγkFYj i X Fxyy注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

x空间力系和重心力的大小和方向余弦：zF= X 2+Y 2+ Z2X cos( F, i )= F Y cos( F, j )= F Z cos( F, k )= FZγkFYj i X Fxyyx空间力系和重心6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，M O (F )FOrMO ( F )= r× F空间力系和重心若矢径rz和力F分别为M O (F )B Fr= xi+ yj+ zk F= Xi+ Yj+ Zki则，M O ( F )= r× F= x X j y Y k z Z kOrA( x, y, z )ijyx= ( yZ zY )i+ ( zX xZ ) j+ ( xY yX )k空间力系和重心由此可知力矩矢M O (F )在三个坐标轴上的投影分别为：M Ox ( F )= yZ zY M Oy ( F )= zX xZ M Oz ( F )= xY yX(6 1)力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。

空间力系和重心6.2.2力对轴之矩为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。

空间力系和重心力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：M Z ( F )= M O ( Fxy )=± Fxy hM z (F )F这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。

空间力系与重心

轴上的力和力矩平衡条件。只有当这六个方程同时满足时，空间一般力
系才处于平衡状态。
04
重心位置确定方法
几何法确定重心位置
01
02
03
悬挂法
将物体悬挂于一点，通过测量悬线的长度和方向，利用几何关系确定重心位置。
支撑法
将物体支撑于两点，测量支撑点的位置和支撑力的大小，通过几何关系求解重心位置。
度的基础。
06
重心在工程中应用举例
建筑结构稳定性分析
重心位置与结构稳定性
案例分析
在建筑设计中，通过调整结构布局和构件尺寸，可以改变结构的重心位置，从而提高结构的稳定性。
以高层建筑为例，通过优化结构布局和构件设计，降低重心高度，提高结构的整体稳定性。
地震作用下的重心影响
地震时，建筑物受到水平地震力的作用，重心位置的高低直接影响结构的抗震性能。
THANKS
感谢观看
航空航天领域应用
重心与飞行器稳定性
在航空航天领域，飞行器的重心位置对其稳定性和操控性具有重要影响。合理设计重心位置可以提高飞行器的稳定性和操控性。
重心与燃料消耗
飞行器的重心位置不仅影响稳定性和操控性，还影响燃料消耗。通过优化重心位置可以降低飞行器的燃料消耗。
案例分析
以飞机设计为例，通过精确计算和调整机身、机翼等部件的质量和布局，实现重心的合理分布，提高飞机的稳定性和经济性。
力多边形封闭
如果将各力矢量按照一定顺序首尾相接，可以形成一个封闭的力多边形，这也是空间汇交力系平衡的一个必要条件。
空间平行力系平衡条件
各力在任意轴上的投影之和为零
对于空间平行力系，所有力在任意选定的轴上的投影之和必须为零，这是平衡的一个必要条件。

《工程力学》空间力系与重心

Fz F cos
F
Fxy
F sin
Fx Fy
Fxy cos F sin cos Fxy sin F sin sin
（3-2）
反之，如果已知力F在x、y、z三个坐标轴上的投影 Fx 、Fy 、Fz
F Fx2y Fz2 Fx2 Fy2 Fz2
，也可以求出F的大小和方向。其形式为（3-3）
FX 0, F1 sin 45 F2 sin 45 0 FY 0, FA sin 30 F1 cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FZ 0, F1 cos45 sin 30 F2 cos45 sin 30 FA cos30 P 0
求解上面的三个平衡方程，得
所以
zc
Gi zi G
由以上得到重心坐标的一般公式为：
xc
Gi xi G
yc
Gi yi G
zc
Gi zi G
（3-12）
xc
mi xi M
在式（3-12）中，如以
Gi
mi g、G Mg
代入，在分子和分母中消去g，即得到公式：
yc
mi
M
yi
zc
mi zi M
设有一个空间力F，作用点A的坐标为（x，y，z）,该力在三个坐标轴上的分力大小（即该力在x，y，z轴
上的投影）分别为Fx , Fy , Fz ，则该力对三个坐标轴的矩为（证明从略）
M M
x y
(F (F
) )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
（3-8）
例3-3 如图3-5所示，手柄ABCD在平面内，在D点作用一个力F，该力平行于xz平面，已知F=200N， 30，AB＝ 20cm，BC＝30cm，CD＝15cm，试求F对x，y，z轴之矩。

工程力学第四版电子课件gclx5

解：solution
Pz = P⋅sin45° Pxy = P⋅cos45° Px = − Pcos45°⋅sin60° Py = P⋅cos45°⋅cos60°
9
m z ( P ) = m z ( P x ) + m z ( P y ) + m z ( P z ) = 6× Px + ( −5× Py ) + 0 = 6 Pcos45°sin60° − 5Pcos45°cos60° = 38.2( N ⋅m)
∑X =0 Y ∑ =0 ∑Z =0
说明：三个独立平衡方程，说明：①空间汇交力系只有三个独立平衡方程，只能求解三个未知量。知量。 we can determine three unknown forces by using three independent equations.
15
∑X =0, ∑mx (F)=0 ∑Y =0, ∑my (F)=0 ∑Z=0, ∑mz (F)=0
12
2、解析法：、解析法由于 Fi = X ii + Y i j + Z i k 合力由 ∴ 代入上式
R = ∑ X i i + ∑Y i j + ∑ Z i k
为合力在x轴的投影，
∑Xi
Rx = ∑ X i
R ymethod By using the theorem of resultant projection to determine the resultant force.
5
5-2 力对轴的矩
the moment of a force about an axis 一、力对轴的矩的概念与计算
the concepts and the calculation of the moment of a force about an axis

空间力系和重心.ppt

有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方

第五章空间力系和重心

课题: 第5章空间力系和重心一、教学目的：会计算空间力对轴之距，掌握空间力系平衡问题分解为三个平面的平面力系平衡问题求解，会利用组合法求解稍复杂图形的重心和形心。

二、教学重点：力对轴之距。

三、教学难点：空间利力系的平衡问题。

四、教学时数：4 学时，其中实践性教学4 学时。

五、习题：六、教学后记：教学内容：5．1 力在空间直角坐标系上的投影一．一次投影法已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。

⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos cos cos F Z F Y F X F Z F Y F X ===γβαcos ,cos ,cos二．二次投影法先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。

（Fxy 与x 夹角ϕ）F 与Z 夹角γ。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F XF 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。

5．2 力对轴之距一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。

表示力：()()d F F M F M S S O Z ⋅±===符号规定。

讨论：二．合力矩定理合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和，()()Fi M R M Z Z ∑=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒为负负向为正正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M ::⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==.,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M5．3 空间力系的平衡方程及应用一．空间力系向任一点消化结果主矢：F R ∑=0 主矩： ()F M m 00∑= 用投影表示（常用）⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=Z R YR X R z y x 000 ⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=mz M my M mx M Z Y X 000（三个坐标轴上的投影）（外力对轴之矩的代数和）二．空间一般力系的平衡条件()⎩⎨⎧=∑==∑=00000F M M F R即： ⎩⎨⎧=∑=∑=∑=∑=∑=∑000000z y x M M M Z Y X充分必要条件：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。

第5章空间力系与重心讲解

第5章空间力系与重心教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。

教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。

(1) 空间汇交力系的概念(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算(3) 空间力偶系(4) 空间力系的简化(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程(6) 物体的重心5.1力在直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即F x＝±ab符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。

已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。

过力的两端点A、B分别作平面Q的'称为力F在平面Q上的投影。

应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量BA'平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。

(a) (b)图5.1图5.2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。

如图5.2(a)所示，过力F的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。

设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαc o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。

一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。

设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。

第5章空间力系、重心和形心

r F2
)
工程力学电子教案
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
=
=
F2 F3 F3
工程力学电子教案
力偶矩矢是自由矢量力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
工程力学电子教案
300
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M4 sin 45o M5 sin 45o 193.1N m
工程力学电子教案
例5-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体为研究对象，主动力为两个力偶，由于力偶只能用力偶来平衡，轴承A、B处的约束力也应形成力偶，故受力图如图所示。

(rrA

rrB )
r F

r M
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（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
r M
r (FR
,
r FR