5章 空间力系和重心
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5章空间力系(交)
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
工程力学——空间力系和重心
图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的 投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为 ， 和 ，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
第5章 空间力系和重心
第5章 空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
图 5.4 中 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。 分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道 和 ，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上 的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分 力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系 的合力投影定理。
工程力学第五章 空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
第5章重心和形心
h
h/3
x
A
O
C
a
Ayd 0 hA 2 a h 2 a y h y a 2 a 2yd x0 hy d ( y a hya )d y1 6a2h
yC
A
ydA
1h,
A3
xC 0
（1）组合法
y 50
当物体或平面图形由几个基本部分组
成时，而每个组成部分的重心或形心 10 的位置已知，可用组合法求整个物体 的重心（形心）。
Ai xi 或 A xC 称为图形对y轴的静矩；用符号Ｓx表示 Ai yi 或 A yC 称为图形对x轴的静矩；用符号Ｓy表示
§5-2 确定重心和形心位置的方法
一．对称图形 对称图形，形心在对称轴上．
三角形
y轴为对称轴，重心（形心） 在y轴上，
xc 0
yc ?
对质量均匀的物体，其重心和形心是重 合的．
在工程中，确定物体重心的位置有非常 重要的意义．
§5-1 重心和形心的坐标公式
一．重心坐标的一般公式
z
取固连在物体上的空间直
角坐标系Ｏxyz，以坐标
Ｃ1 △P1
O
Ｃi P
△Pi
y1 yC
x1 xC
yi
xi
xC， yC ，表示物体重心 Ｃ的位置．物体每个小块 所受的地心引力(分力） y 用△P1， △P２，﹒﹒﹒，
Ai A
yi
3.14 120 2 0 1 180 90 30
2
3.14 120 2 1 180 90
2
6.55
yC 0
y
x O
rr xC P P ixi V V ixi V V ixi
《工程力学》教学课件 第5章 空间力系
在平面力系中，力 F 与矩心 O 在同一个平面内，用代数量 MO (F ) 就足以概括力对点 O 之矩 的全部要素。但在空间力系中，由于各力与矩心 O 所决定的平面可能不同，导致各力使刚体绕同 一点转动的方位不同。当方位不同时，即使力矩的大小相同，作用效果也会完全不同。例如，作 用在飞机尾部垂直舵和水平舵上大小相同的力，对飞机产生的绕重心转动的效果却不同，前者使 飞机转弯，而后者则使飞机俯卧。
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
从实践中可知，如果推门时力的作用线与门的转轴平行或相交，无论力多大，门都不会发生 转动。如图 5-6（a）所示，当力 F 与门的转轴 z 共面时，力对轴不产生转动效应，即力对轴之矩 为零。
如图 5-6（b）所示，如果推门时力 F 在垂直于转轴 z 的平面内，此时就能把门推开。实践证 明，力 F 越大或其作用线与转轴间的垂直距离 d 越大，转动效果就越明显。因此，可以用力 F 的 大小与垂直距离 d 的乘积来度量力 F 对刚体绕定轴的转动效应，其转向可用正负号区分。若将力 F 对 z 轴之矩用 M z (F ) 表示，则
1.2 力在空间直角坐标轴上的投影
首先，将力 F 向 z 轴和 Oxy 平面上投影，得 Fz F cos γ Fxy F sin γ
然后再将 Fxy 向 x，y 轴上投影，得 即力 F 在 x，y，z 轴上的投影为
Fx Fxy cos φ F sin γ cos φ
Fy
Fxy
sin φ
F
MO (F ) Fd 2A△OAB
（5-9）
式中， A△OAB 表示三角形 OAB 的面积。 由以上定义可知，力矩矢 MO (F ) 的大小和方向
与矩心 O 的位置有关，即力矩矢 MO (F ) 是一个定位矢量。
图5-5
2.1 力对点之矩
第5章 空间任意力系
例5-8 已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
F F F
x y
0 0 0
物体的重心（形心）与静矩 1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （4–14） 对均质物体，均质板状物体，有
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
例5-2,有点问题？ 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE； 30 求：杆受力及绳拉力
0
，
解：画受力图如图， 列平衡方程
F F F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 结果： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
= =
+0
-
= =
则
+ 0
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
§5–2 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
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1
第 5章
空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的投影及分解 3.2 力对轴之矩 5.3 空间任意力系的简化与平衡 5.4 空间力系问题的平面解法 5.5 重心
思考题与习题
2
第5章
空间力系与重心
空间力系： 作用线不在同一平面内的力系 空间汇交力系 空间力系
按作用线的相对位置
空间力偶系 空间平行力系 空间任意力系
3.58 0.1 7.16 0.2 FNBx 0.3 0 FNBx 3.58kN
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx
3.58 7.16 3.58 0
20
5.5 重心
重心在工程实际中具有重要的意义
γ φ
（5.2）
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx F cos Fy F cos Fz F
（5.3）
5
例5-1 长方体上作用有三个力,F1=5O0N, F2=1000N,F3=1500N,方向与尺寸如图5-4所示 ,求各力在三坐标轴上的投影。 解:由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知, 可应用直接投影法,力,F3在Oxy平面上的投 影与坐标轴x的夹角 及仰角 ，已知, 可用二次技影法. F1x=500cos90o=0 F1y=500cos90o=0 F1z=500cos180o=-500N F2x=-1000sin60o=-866N F2y=1000cos60o=500N
M x ( Fn ) M x ( Ft )
计算方法与力对点之矩相同
(5.4)
Fa
单位为N．m
7
正负号: 从转轴的正向观察，若力使物体作逆时针向旋转，力矩 取正号；反之，则取负号 5.2.2 合力矩定理
合力矩定理是一个普遍定理，有合力的复杂力系，合力矩 定理仍然成立 合力矩定理
合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
Vi Ai h
z
O yC yi C
薄板平面内取直角坐标系oxy 重心是平面图形形心C
zC 0
xc yC
xC xi
y
x
Ai
A . x
i
i
A
A . y
i
i
(5.13)
A
注意： 有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，其重心 必在其物体的对称面、对称轴或对称中心上
24
简单形状物体的重心 图形 重心（形心）
3.58100 7.16 200 FNBx 300 0 FNBx 3.58 kN F x 0, FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0 FNAx 3.58 7.16 3.58 0
FNAx 0
16
M F 0
x
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
解：(1) 以轴AB连同轮C、D为研究对象，画受力图 ，建立坐标系 (2) 将所有外力投影在xAz平面内，组 成平面任意力系，列平衡方程: z Ft1 Ft2 Fr1 Fr2 FNAx FNBx FNAz x
M F 0,
A
Ft1 rC Ft 2 rD 0
Ft 2 Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05
M x (F ) M x (Fz ) M x Fy
F (l a) cos
Fy 0
M x (Fz ) FZ ( AB CD)
M y (F ) M y (Fz ) M y Fx M y (Fz ) FZ BC
Fl cos
M Z (F ) M Z (Fx ) M Z Fy
FNBz
19
3）将所有外力投影在yAz平面内
z FNAz A
Fr1 C
Fr2 D
M
FNBz B
y
A
(F ) 0
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
Fr1 0.1 Fr 2 0.2 FNBz 0.3 0 FNBz 2.17 kN
29
3 zC r 8
30
抛物线
xC
a
0
x kx2 dx
a 0 a
kx2 dx x dx x 2 dxa 3
0 a
y kx
2
M Z (Fx ) Fx ( AB CD)
F (l a) sin
9
5.3 空间任意力系的简化与平衡
5.3.1空间任意力系的简化
空间任意力系向任意一点简化得到一个空间主矢和一个空间 主矩
10
11
/ FR Fi ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
z
A
Fr1
Ft1 Fr2
Ft2
M F 0,
y
Ft1 rC Ft 2 rD 0
B
得： Ft 2
Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05 Mz F 0
y
x
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
在平面内的投影组成的平面任意力系平衡 空间问题的平面解法 空间问题的平面解法：
工程计算中常将一些空间任意力系的平衡问题 (如轮轴类零件): 按主视、俯视、侧视三个平面来投影，列出各平面内的平衡 方程，求解未知量。 这种方法称为空间问题的平面解法
18
例5-3 在图5—10a所示的传动轴上， 已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m ，rD＝0.05m。其上受力有圆周力 Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN， Fr2=2.6kN。AC＝CD=DB=0.1m。 求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的 反力。
1.3100 2.6 200 FNBz 300 0 FNBz 2.17 kN
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
17
5.4空间力系问题的平面解法 空间任意力系平衡
Ft1 A FNAx C
Ft2 D B y FNBx
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
x
(4) 将所有外力投影在xAy平面内
M
A
(F ) 0
F
x
0
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
yi yC x
xi
xC
y
Gi .xi
xc
G i . x i
G . y
i
G
对x轴取矩: yC
i
G
物体和坐标系Oxyz一起绕x轴顺 时针转90o,对z轴取矩
22
i 得： zC G 重心公式：
xc yC
G .zi
z
ΔGi
G . x
i
i
G
i i
C
ΔG ΔG1 2
3.轴销铰链
4.固定端
15
例5-3 在图5—10a所示的传动轴上，已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m，rD ＝0.05m。其上受力有圆周力Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN，Fr2=2.6kN。 AC＝CD=DB=0.1m。求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的反力。 解： 以传动轴AB为研究对象，受力 图如图, 列平衡方程并求解:
F3x 1500cos cos 850N
F3 y 1500cos sin 1073 N
F3z 1500sin 671N
F2z=100cos90o=0
F3用二次投影法
6
5.2 力对轴之矩
5.2.1力对轴之矩的概念
Fn 刚体绕定轴转动的情况 Fn对x轴的矩 Fr Ft
G . y G G .z
i
zi zC
zC
i
(5.11)
G gV , Gi gVi
yi yC
xi
xC
y
G
均质，密度 重心是体积形心
xc
x
V . x
i
i
V
yC zC
V . y
i
i
V
V .z
i
i
(5.12)
V
23
均质等厚的平薄板:面积为A，则薄板的 总体积为V＝Ah, 每一微小体积为
（5.6）
12
Mi 0
F 0 F 0 F 0 M F 0 M F 0 M F 0
x y z x y z
（5.7）
5.3.3空间特殊力系的平衡方程 1.空间汇交力系
F F F
x y
0 0 0
（5.8）
13
z
2.空间平行力系 F 0 M F 0 M F 0
力对轴之矩应用合力矩定理
M z F M z Fx M z Fy M z Fz M x F M x Fy M x Fz M y F M y Fx M y Fz Mz F Mz Fx Mz Fy
□汽车的重心偏高会影响汽车的加速性能
重心位置的不当 会影响物体的平 衡和稳定
□飞机的重心超前会增加起飞和着陆的困难
□船舶的重心偏离对称线，船身要发生倾斜等 □转动构件的重心不在回转轴线上会引起振动
第 5章
空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的投影及分解 3.2 力对轴之矩 5.3 空间任意力系的简化与平衡 5.4 空间力系问题的平面解法 5.5 重心
思考题与习题
2
第5章
空间力系与重心
空间力系： 作用线不在同一平面内的力系 空间汇交力系 空间力系
按作用线的相对位置
空间力偶系 空间平行力系 空间任意力系
3.58 0.1 7.16 0.2 FNBx 0.3 0 FNBx 3.58kN
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0
FNAx Ft1 Ft 2 FNBx
3.58 7.16 3.58 0
20
5.5 重心
重心在工程实际中具有重要的意义
γ φ
（5.2）
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx F cos Fy F cos Fz F
（5.3）
5
例5-1 长方体上作用有三个力,F1=5O0N, F2=1000N,F3=1500N,方向与尺寸如图5-4所示 ,求各力在三坐标轴上的投影。 解:由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知, 可应用直接投影法,力,F3在Oxy平面上的投 影与坐标轴x的夹角 及仰角 ，已知, 可用二次技影法. F1x=500cos90o=0 F1y=500cos90o=0 F1z=500cos180o=-500N F2x=-1000sin60o=-866N F2y=1000cos60o=500N
M x ( Fn ) M x ( Ft )
计算方法与力对点之矩相同
(5.4)
Fa
单位为N．m
7
正负号: 从转轴的正向观察，若力使物体作逆时针向旋转，力矩 取正号；反之，则取负号 5.2.2 合力矩定理
合力矩定理是一个普遍定理，有合力的复杂力系，合力矩 定理仍然成立 合力矩定理
合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
Vi Ai h
z
O yC yi C
薄板平面内取直角坐标系oxy 重心是平面图形形心C
zC 0
xc yC
xC xi
y
x
Ai
A . x
i
i
A
A . y
i
i
(5.13)
A
注意： 有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，其重心 必在其物体的对称面、对称轴或对称中心上
24
简单形状物体的重心 图形 重心（形心）
3.58100 7.16 200 FNBx 300 0 FNBx 3.58 kN F x 0, FNAx Ft1 Ft 2 FNBx 0 FNAx 3.58 7.16 3.58 0
FNAx 0
16
M F 0
x
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
解：(1) 以轴AB连同轮C、D为研究对象，画受力图 ，建立坐标系 (2) 将所有外力投影在xAz平面内，组 成平面任意力系，列平衡方程: z Ft1 Ft2 Fr1 Fr2 FNAx FNBx FNAz x
M F 0,
A
Ft1 rC Ft 2 rD 0
Ft 2 Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05
M x (F ) M x (Fz ) M x Fy
F (l a) cos
Fy 0
M x (Fz ) FZ ( AB CD)
M y (F ) M y (Fz ) M y Fx M y (Fz ) FZ BC
Fl cos
M Z (F ) M Z (Fx ) M Z Fy
FNBz
19
3）将所有外力投影在yAz平面内
z FNAz A
Fr1 C
Fr2 D
M
FNBz B
y
A
(F ) 0
Fr1 AC Fr 2 AD FNBz AB 0
Fr1 0.1 Fr 2 0.2 FNBz 0.3 0 FNBz 2.17 kN
29
3 zC r 8
30
抛物线
xC
a
0
x kx2 dx
a 0 a
kx2 dx x dx x 2 dxa 3
0 a
y kx
2
M Z (Fx ) Fx ( AB CD)
F (l a) sin
9
5.3 空间任意力系的简化与平衡
5.3.1空间任意力系的简化
空间任意力系向任意一点简化得到一个空间主矢和一个空间 主矩
10
11
/ FR Fi ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
z
A
Fr1
Ft1 Fr2
Ft2
M F 0,
y
Ft1 rC Ft 2 rD 0
B
得： Ft 2
Ft1 rC 3.58 0.1 7.16 kN rD 0.05 Mz F 0
y
x
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
在平面内的投影组成的平面任意力系平衡 空间问题的平面解法 空间问题的平面解法：
工程计算中常将一些空间任意力系的平衡问题 (如轮轴类零件): 按主视、俯视、侧视三个平面来投影，列出各平面内的平衡 方程，求解未知量。 这种方法称为空间问题的平面解法
18
例5-3 在图5—10a所示的传动轴上， 已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m ，rD＝0.05m。其上受力有圆周力 Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN， Fr2=2.6kN。AC＝CD=DB=0.1m。 求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的 反力。
1.3100 2.6 200 FNBz 300 0 FNBz 2.17 kN
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
17
5.4空间力系问题的平面解法 空间任意力系平衡
Ft1 A FNAx C
Ft2 D B y FNBx
F
z
0,
FNAz Fr1 Fr 2 FNBz 0
FNAz 1.3 2.6 2.17 0
FNAz 1.73 kN
x
(4) 将所有外力投影在xAy平面内
M
A
(F ) 0
F
x
0
Ft1 AC Ft 2 AD FNBx AB 0
yi yC x
xi
xC
y
Gi .xi
xc
G i . x i
G . y
i
G
对x轴取矩: yC
i
G
物体和坐标系Oxyz一起绕x轴顺 时针转90o,对z轴取矩
22
i 得： zC G 重心公式：
xc yC
G .zi
z
ΔGi
G . x
i
i
G
i i
C
ΔG ΔG1 2
3.轴销铰链
4.固定端
15
例5-3 在图5—10a所示的传动轴上，已知两齿轮的半径分别为rC＝0.1m，rD ＝0.05m。其上受力有圆周力Ft1=3.58kN，径向力Fr1＝1.3kN，Fr2=2.6kN。 AC＝CD=DB=0.1m。求D轮的圆周力Ft2及A、B两轴承的反力。 解： 以传动轴AB为研究对象，受力 图如图, 列平衡方程并求解:
F3x 1500cos cos 850N
F3 y 1500cos sin 1073 N
F3z 1500sin 671N
F2z=100cos90o=0
F3用二次投影法
6
5.2 力对轴之矩
5.2.1力对轴之矩的概念
Fn 刚体绕定轴转动的情况 Fn对x轴的矩 Fr Ft
G . y G G .z
i
zi zC
zC
i
(5.11)
G gV , Gi gVi
yi yC
xi
xC
y
G
均质，密度 重心是体积形心
xc
x
V . x
i
i
V
yC zC
V . y
i
i
V
V .z
i
i
(5.12)
V
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均质等厚的平薄板:面积为A，则薄板的 总体积为V＝Ah, 每一微小体积为
（5.6）
12
Mi 0
F 0 F 0 F 0 M F 0 M F 0 M F 0
x y z x y z
（5.7）
5.3.3空间特殊力系的平衡方程 1.空间汇交力系
F F F
x y
0 0 0
（5.8）
13
z
2.空间平行力系 F 0 M F 0 M F 0
力对轴之矩应用合力矩定理
M z F M z Fx M z Fy M z Fz M x F M x Fy M x Fz M y F M y Fx M y Fz Mz F Mz Fx Mz Fy
□汽车的重心偏高会影响汽车的加速性能
重心位置的不当 会影响物体的平 衡和稳定
□飞机的重心超前会增加起飞和着陆的困难
□船舶的重心偏离对称线，船身要发生倾斜等 □转动构件的重心不在回转轴线上会引起振动