第四章空间力系与重心

2Fr 4
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
平面解法：
z
z
z
F
Fz Fx
45 °
Fz
Fx
Fz Fy
2r
2
h
Fy
2r 2
30
x
O
°
O
y
O
y
x
解：1.将F沿坐标轴方向分解
Fx
6F 4
Fy
6F 4
Fz
F 2
2.在坐标平面分别取投影
yz平面
M x (F ) Fy h Fz
三、空间约束 1.轴承 FZ
FX
FZ FY
FX
2.空间固定端
z
MZ FZ
FY
y
MX
MY
x FX
向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。
约束力用上下和前后两正交分力 表示。
推力轴承：限制了轴端的上下、 前后、轴向的移动。
约束力用上下、前后、和轴向三 个正交分力表示。
既限制了轴端的上下、Baidu Nhomakorabea后、轴
(4 1)
Fzz Fxx
Fy
y
Fz F cos
x
2.二次投影法 已知力F与z轴的夹角为，
z
力与轴所确定平面与x轴的夹角为。
Fx F sin cos Fy F sin sin
(4 2)
Fz F cos
3.力沿坐标轴方向分解
FFzz
F
FFyy
y
xFFxx
Fxy
4.已知投影求作用力
F
y xi
yC
ΔGi G
yi
x
yi
zC
ΔGi G
zi
2.质心坐标和形心坐标
重心坐标 质心坐标 体心坐标
xC
ΔGi G
xi
Δmi xi m
ΔVi xi V
对于均质物体，若用ρ表示
其密度，则
yC
ΔGi G
yi
Δmi yi m
ΔVi yi V
ΔGi Δmi g ΔVi g G mg Vg
一、物体重心的概念
将物体分割为每个微重力△Gi，构成一个平行力系。此平行力
系的中心（即合力的作用点）即是物体的重心。 z
二、重心的坐标公式 1.重心坐标 由合力矩定理知： G xC ΔGi xi G yC ΔGi yi G z C ΔGi zi
C Gi
G1 G
xC
ΔGi G
xi
yy1c x1 xc
yi
四、求重心的方法
1.对称法 对于均质物体，若在几何体上具有对称面、对称轴或对 称点，则物体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。
2.实验法
悬挂法
称重法
3.分割法
积分法（无限分割法）
n
lim n
ΔAi xi
i1
x dA
A
n
lim n
ΔAi yi
i1
y dA
A
xC
ΔAi xi A
Fz F cos
Fx F sin cos
2.二次投影法 Fy F sin sin
Fz F cos
二、力对轴之矩
M z (F) MO (Fxy ) Fxy d
结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与
平面交点之矩。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M0
FR
=
O B
A C
( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
2.主矩M0 M0 [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 二、空间力系平衡方程
1.空间力系平衡条件：主矢FR=0, 主矩M0=0。
2.平衡方程
Fx 0 : Fy 0 :
Fz 0 : Mx(F) 0: My(F) 0: Mz(F) 0:
半径r=0.2m，轮重G1=1kN。其中AC=CB=l=0.4m，BD=0.2m，圆周 力Fτ=12kN，径向力Fr=1.5kN，轴向力Fa＝0.5kN，紧边拉力FT,松边
拉力Ft，FT=2Ft 。试求轴承Ａ、Ｂ两处的约束反力。
解：画受力图列平衡方程求解
M y (F) 0 : F r (FT Ft )R 0
第四章 空间力系和重心
◆ 课题4–1 空间力的投影 力对轴之矩 ◆ 课题4–2 空间力系平衡方程的应用 ◆ 课题4–3 重心 平面图形的形心
◆ 课题4–1 空间力的投影 力对轴之矩
一.力在空间直角坐标轴上的投影
z
1.一次投影法 已知力F与三个坐
F
标轴的夹角分别为、β、,
Fx F cos Fy F cos
向的移动，又限制了绕x、y、z轴的
转动。 约束端有三个约束力和三个约束
力偶矩。
应用举例
例4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为,轮间距为a、b。求齿轮圆周力,
径向力和轴承的约束力。
x FAx
z Fr FAZ
A
a
FFn
FBZ
M0 y
C bFBx B
zC
ΔGi G
zi
Δmi m
zi
ΔVi zi V
同样，可以对等厚板（面）、等截面杆（线）进行简化。
三、平面图形的形心坐标
对于均质薄平板，若δ表示其厚度， ΔA表示微体面积，厚度取 在ｚ轴方向，其ΔV =ΔAδ，代入可得其形心的坐标公式为：
z
y
x
yi Axii
xC
ΔAi xi A
yC
ΔAi A
FBZy
xy平面：
FAz
FAz
Fr
Fr b ab
F y
M z (F ) 0 : FBx (a b) F a 0
FBx
F a ab
O
FAx
FBx
x
Fx 0 :
FAx FBx F 0
FAx
FBx
F
Fb ab
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m，自重Ｇ2＝2kN；齿轮
用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分
别求力F对x、y、z轴之矩。
Fz
FxFxy
解：1.应用二次投影法，求得各分力 的大小为
Fy
6F Fx F cos 45sin 60 4
Fy F cos 45cos 60
2F 4
Fz F sin 45
2F 2
2.由合力矩定理求F对轴之矩
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0
yy
100
A1 解：1.将T型截面分割成两块矩形A1、A2 。
C1 C A2
20
2.建立图示的黑色坐标系，两矩形截面
的形心坐标分别为C1(50,110),C2(50,50）。
C2 x
100
xC
ΔAi xi A
A1xC1 A2 xC 2 A1 A2
O
x
100
20 100
二、空间力系平衡方程 平衡方程
三、空间约束
Fx 0 : Fy 0 :
Fz 0 : Mx(F) 0: My(F) 0: Mz(F) 0:
1.轴承 约束力用上下和前后两正交分力表示 2.空间固定端 约束端有三个约束力和三个约束力偶矩。
课后作业：《工程力学练习册》练习十二
◆ 课题4–3 重心 平面图形的形心
M0
0
FAx+FBxO x FAx
yz平面：
F
2M 0 D
Fr
F
tan
2M 0 D
tan
z Fr FAZ
FFn
FBZ
M0 y
A
a
C bFBx B
z
Fr
M x (F ) 0 : FBz (a b) Fr a 0
Fz 0 :
FAz FBz Fr 0
FBz
Fr a ab
FAZ O
F2 x
F2 y
F2 z
cos Fx ;cos Fy ;cos Fz
F
F
F
(4 3)
二、力对轴之矩
z
FO
d
Fz A
Fxy
y
d
x
x
y M z (F) MO (Fxy ) Fxy d
Fxy 结论 ： 力对轴之矩等于力在 垂直于轴的平面上的投影 对该轴与平面交点之矩。
力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
2r
2
y
O
2r
45 Fx
2
° Fy
xz平面
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
x
xy平面
M z (F ) Fx
2r 2
Fy
2r 2
3Fr 4
3Fr 4
3Fr 2
本课节小结
一.力在空间直角坐标轴上的投影
1.一次投影法
Fx F cos Fy F cos
Fy 0 :
FAy Fa 0 FAy Fa 0.5kN
本课节小结
一、空间力系的简化
1.主矢FR FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fz)2 ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
2.主矩M0 M0 [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2
五、平面解法
解：已知各分力
Fx
6F 4
Fy
2F 4
Fz
2F 2
z 50 Fz x
O C Fx
Fz
FxFxy
Fy
1.在yz平面取平面投影
z 40 20 Fz
M x (F) M0 (Fyz )
2
1000 2
0.06
42.4N
m
2.在xz平面取平面投影
O
Fy Fx
y
M y (F) M0 (Fxz )
2
1000 2
0.06
42.4N
m
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2
1000 2
0.05
35.4N
m
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
6
1000 4
0.06
2
1000 4
0.05
0
19.1N m
FAz 1.57 12 1 (5.66 2 2) 6.09 kN
M z (F ) 0 : FBx 2l F l Far (FT cos 45 Ft cos30) 2.5l 0
FBx
0.6 0.1 (5.66 3.46)1 2 0.4
12.03kN
Fx 0 :
FAx FBx Fr FT cos 45 Ft cos 30 0 FAx 12.03 1.5 5.66 3.46 1.41kN
Ft
F r R
12 0.2 0.6
4 kN
FT 2Ft 8kN
M x (F ) 0 : FBz 2l (F G1)l (FT sin 45 Ft sin 30 G2) 2.5l 0
FBz
(8 0.707
4 0.5 2
2)
2.5 12
1
1.57 kN
Fz 0 : FAz FBz F G1 (FT sin 45 Ft sin 30 G2) 0
解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 轴方向分解为圆周力F和径向力Fr。
2.画传动轴的约束力
3.列平衡方程求解
My(F) 0:
F
D 2
M0
0
M x (F ) 0 : FBz (a b) Fr a 0
Fz 0 :
FAz FBz Fr 0
M z (F ) 0 : FBx (a b) F a 0
量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，
规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。
三、合力矩定理
力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作
Fx 0 :
FAx FBx F 0
F
2M 0 D
Fr
F
tan
2M 0 D
tan
FBz FAz
Fra ab
FAz
Fr
Fr b ab
FBx
F a ab
FAx
FBx
F
Fb ab
平面解法：
解：取平面投影列平衡方程
xz平面：
x
z
Fr M0
F FAZ+FBZ
My(F) 0:
F
D 2
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz )
课后作业：《工程力学练习册》练习十一
◆ 课题4–2 空间力系平衡方程的应用
一、空间力系的简化(力对点之矩为矢量)
简化中心 F1
M1 F'1
M2
OA
F3 C
B
F2 =
O F3
M3
F'2
1.主矢FR FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fz)2
Fx F cos30sin 45
6F 4
h
6F
Fy F cos30cos 45
Fz
F sin 30
F 2
4
2.求F对x.y.z轴之矩
z F
45 °
Fz
Fx
Fy
30
°
O
y
x
M x (F ) Fy h Fz
2r 2
6Fh 4
2Fr 4
M y (F ) Fx h Fz
2r 2
6Fh 4
2
1000 2
0.05
35.4N
m
C Fy
50
3.在xy平面取平面投影
y
M z (F) MO (Fxy )
6
1000 4
0.06
2
1000 4
0.05
O 40 x
20
19.1N m
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为30半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。
解：1.将F沿坐标轴方向分解
A x dA A
组合法（有限分割法）
yC
ΔAi yi A
A y dA A
对于由简单形体(对称图形)构成的组合体，可将其分割成若干个
简单形状的物体，当各简单形体重心位置可知时，可利用公式求出
物体的重心位置。
圆
矩形
C
C
几种简单形体的重心（形心）坐标见表4-1
例4-5（加法）有一T字型截面如图所示，试求此截面的形心坐标。