空间力系的受力解析

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力学第三章空间力系

第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。

Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。

熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。

对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。

了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。

能正确地画出各种常见空间的约束反力。

会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体的重心。

1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。

工程力学第五章空间力系

cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ，它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。

理论力学精品课程第六章空间力系

首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩的平衡条件，通过构建力矩平衡方程，可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平行且等效的力，这些力的作用线均在该点处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平衡条件的基本概念。然后，根据题目给出的条件，我们可以构建力矩平衡方程。通过解这个方程，我们可以求出未知的力和力矩。
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THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系用于研究航天器的运动轨迹和受力情况，以确保航天器的安全和有效运行。
卫星姿态控制

工程力学：第三章空间问题的受力分析

。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。由已知条件知：
列平衡方程解得
§3-3 力对轴的矩力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩，即
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量、是一个代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。令z轴与这些力平行，则
绝对值：该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

空间力系的受力分析

（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in

理论力学3—空间力系解析

以矩心O为原点建立坐标系，则
MO(F)
F
r xi y j zk F Fx i Fy j Fz k
kr Oj
ih x
A(x,y,z) y
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
i jk MMOO(F))(r FF) = (xxi yjy zk )z(iFxi jFy j kFzk )
M O (FF)x rFy F F=z x y z MO(F()yFz(rzFF)y )i(xi(zFyxj xzkF)z)F(jxFxi(xFFyFyy jFyzFFzxk))k
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
例3-4
已知： F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
3.2 力对点的矩和力对轴的矩
3 力对轴的矩的解析表达式
§3.3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。
§3.3 空间力偶 M rBA F
§3.3 空间力偶
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
3.1 空间汇交力系
2 空间汇交力系的合成与平衡（1）合成将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi 或 FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR

第六章空间力系

求力F在三个坐标轴上的
投影。
参见动画：例题1(1)
例题
空间力系
解：
例题 1
向x，y， z轴投影。
Fxy = Fcos30o
Fx=-Fcos30ocos45o
Fy = Fcos30osin45o
参见动画：例题1(2)
Fz =Fsin30o
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN· cm
作和y轴垂直的平面
M2 .
z
B
5cm
D
3cm 找出交点O. 确定力P在平面M2 y o A 内的分力Pxz=P=1kN. d2 在平面M2内确定 x 力Pxz到矩心O的距 P 离即力臂d2=3.464cm 计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩
结论：力对平行它的轴的
矩为零。即力F与轴共面
时，力对轴之矩为零。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
力对平行它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
2、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
Ry Rx Rz cos ,cos ,cosg R R R
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
三、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为： X 0 称为平衡方程 Y 0 空间汇交力系的平衡方程
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k

空间力系的受力分析精品课件(一)

空间力系的受力分析精品课件(一)空间力系的受力分析精品课件是一门非常重要的课程，因为在现实生活中，我们经常需要分析物体在空间中的受力情况。

下面我们将从以下几个方面来介绍这门精品课件。

一、课件介绍该课件主要包含了空间力系的基本概念、受力分析的方法、平衡条件的表达方式以及不平衡力的合成等内容。

通过这门课程，学生能够掌握空间力系的一些基本概念，具备分析受力情况的能力。

二、学习目标通过学习该课件，学生应该能够掌握以下目标：1、掌握平面力系分析的基本方法和原理。

2、掌握空间力系分析的基本方法和原理。

3、了解不平衡力的合成原理以及应用方法。

4、掌握空间力系的平衡条件表述。

5、能够解答与空间力系有关的真实问题。

三、课件内容该课件主要涵盖以下内容：1、空间力系的基本概念在本章节，学生将学习到空间力系的定义、空间点和力的分类、力的共面、力矩等内容。

2、空间力系的受力分析本章节主要是介绍在力的作用下物体的平衡条件的表述、空间力系的受力计算方法以及几何法与力学法的区别。

3、不平衡力的合成在本章节中，学生将学习到如何将不平衡力合成为一个力以及合成力的大小和方向的求法。

四、课程设计该课件采用了理论与实战相结合的教学方法，不仅给学生讲解了空间力系的基本概念和分析方法，还进行了一些实战演练，帮助学生掌握空间力系的实际应用方法。

通过学生的学习，他们将能在实际工作中应用所学的知识和技能。

总的来说，空间力系的受力分析精品课件是一门非常实用的课程，能够帮助学生掌握空间力系的基本概念和方法，提高他们的应用能力，在未来的工作中有更多的机会去应用所学的知识。

第2章空间力系的简化与物体的受力分析

FR
FR
o
MO

o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致右手力螺旋方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一点接触。此时的约束力是一集中力，这力的作用线必定通过接触点，且同时通过两个曲面对应接触点的曲率中心，也就是力的作用线为接触点的公法线方向。方向：接触面的公法线并指向被约束物体作用点：接触点
（2）平面柱铰

F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心的合力 FR 未知量：2 个约束力的大小和方向都随主动力而改变表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中的一个带圆孔部件与基础或静止的结构物固连，就成为铰链支座，也称固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节约束与约束力
自由体与非自由体
自由体非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力确定约束力指向的原则：约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运动趋势方向相反。

力学第四章空间力系

例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零；各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，其大小等于力对垂直于某轴平面内力对O点（即某轴在该面的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴正向一致的就取正号；反之，就取负号。

理论力学第4章-空间力系

mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x

0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同一轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz

l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡

x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时大小: 方向: 作用线 : 由空间作用线函数方程确定 ; 或简单地在 L 作用面内 , 以 d=| L R | 及 L 转向来确定作用线位于 R 左侧或右侧的位置 . R=R 可合为一合力

03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系

F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin

工程力学_05空间力系

0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）

理论力学第四章空间力系

第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。

工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。

设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。

与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。

§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。

在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。

解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。

理学空间力系

Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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8
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶

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FRz FR
2、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
由于
n
FR
Fi 0
i 1
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
空间汇交力系的平衡条件：
Fx Fy
0 0
Fz 0
例题：已知： CE EB ED, 300 , F 10kN
求：起重杆AB及绳子的拉力.
M z F M z Fx M z Fy
M z Fz
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
F Fz
2、力与轴线平行
Fy Fx
力对轴之矩代数量的正负号
（按照右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
按照以下公式进行计算。
FR FRxi FRy j FRz k
合力的大小： FR FRx 2 FRy 2 FRz 2
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
合力的方向：
COS( FR ,i )
FRx FR
COS( FR , j )
FRy FR
COS( FR , k )
F1
F2
B
αP
Ay
FA
§3-2 力对轴的矩
一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于：
（1）力矩的大小
z
（2）力矩作用面的方位
MO
F
B
（3）力矩在作用面内的转向
F
这三个因素可以用一个矢量来表示，记为：
MO
F
x
rA
O
y
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
MO F F h 2OAB
1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作
用点（线）通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn
Fi
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于
力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
n
FRx
Fx i
i 1
n
FRy
Fy i
i 1
n
FRz
Fz i
i 1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可
z D
E
α
C B
α
F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象
建坐标系如图，
C
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
y
x FA
列平衡方程：
Fx 0
F1 sin 45 0 F2 sin 45 0 0
C
Fy 0
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300
F2 cos 450 cos 300 0
3 866 N 2
2. 5m
y 3m
对F3 应采用直接投影法
Fx F sin c os
Fy F sin sin
A
Fz F c os
sin BC
AB
42 32
F1
0.8944
42 32 2.52
cos 0.4472
C
sin CD
4
0.8
x
BC
42 32
cos BD
M z F M O Fxy
方法一 :
将力向垂直于该轴的平面投影 , 力对轴的矩等于力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二:
将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。
α
Fx
x
γ Fy
y
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin
Fz F c os
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos Fy Fxy sin
φ
Fy y
最后得：
Fx
F sin
c os x
Fx
Fxy
Fy F sin sin
3
0.6
BC
42 32
z
600
φ
4m
F2
2. 5m
F3 γ
B y
3m D
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073 N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
二、空间汇交力系的合成和平衡
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。空间力系包括：空间汇交力系空间力偶系空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解
1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标轴的夹角，则该力在三个轴上的投影为
z
Fz
βF
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fz F c os
例题已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
Fx F cos Fy F cos
Fz F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
4m
600 F2
F3
Fx2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
（2）力矩矢通过O点
（3）力矩矢的方向：垂直
于OAB平面，指向由右手
螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
MO
F
r
F
MO
F
x
z Oh r
B
F
A y
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
MO
F
r
F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
Fz 0
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 x
FA cos 300 P 0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
z D
E
α F2
F1 α B
P
A
y
FA
空间汇交力系在任一平面上的投 z D
影 →平面汇交力系
空间汇交力系平衡，投影得到的平面汇交力系也必然平衡。
C E α F2
F1 α B
P
z
Fy 0,
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300 F2 cos 450 cos 300 0
A x FA
Fz 0,
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 FA cos 300 P 0
yE
2 2
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx
k
Fz F
Fx
r
Байду номын сангаас
Fy
二、力对轴之矩
1、定义:
力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.
F Fz
2、力对轴之矩实例 Fx
Fy
Fxy
3、力对轴之矩的计算
力F对z轴的矩等于该力在通过O点垂直于z轴的平面上的分量对于O点的矩。