上海初一下数学实数讲义

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七年级(下)数学同步讲义用数轴表示实数及运算

1、实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数a 的绝对值记作a ．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数a 的相反数是a -．2、两个实数的大小比较两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法： 1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法； 2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法． 4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a ，b 两数，若11a b <，则a b >；若11a b>，则a b <．知识结构知识精讲模块一：用数轴上的点表示实数用数轴上的点表示实数及实数的运算3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为 AB a b =-．【例1】下列各组数中互为相反数的是（）A ．22(2)--与B ．328--与C ．22(2)-与D ．22-与【例2】如图，在数轴上表示实数15的点可能是（）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N【例3】下列说法正确的是（）A ．一个有理数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．【例4】下列四个结论，中正确的是（） A .355222<< B .553422<<C .35222<< D .55124<<例题解析10PQMN【例5】填空：（1）若m ，n 互为相反数，则5m +5n -5=_________；（2）已知|x |=5，y =3，则x -y =_______________．【例6】实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．A ．n ＜mB ．n 2＜m 2C ．n 0＜m 0D ．| n |＜| m |．【例7】已知数轴上A 、B 、C 、D 四点所对应的实数分别为－2．5、2-、3、123．（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A 与D ，B 与C 两点间的距离．【例8】填空：（1）已知数轴上A ，B ，C 三点表示的数分别是-2，2，3，则A 与B ，A 与C 两点之间的距离分别是__________；（2）A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为________．【例9】比较下列各式的大小：① 3_____8___2-- ；②2________2(2)-；② 75-________53-；④20042003-_______20052004-．1 mn2b a【例10】（1）已知实数n <m <0，比较m 、|n |、m -n 的大小；（2）如果71a a <<+，求整数a 的值．【例11】已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简2()a b a b --+．【例12】如图，一辆小车从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示，设点B 所表示的数为m （1）求的值；（2）求的值.【例13】已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2||4321a b m cdm ++-+的值．实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数2-m 01(6)m m -++模块二：实数的运算-2-110AB知识精讲范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =；第二组：(00)ab ab a b =≥≥，；(00)a a a b b b=≥>，．【例14】化简：（1）36164-+；（2）34181627-+；（3）25(2)32-+；（4）3510.00832--．【例15】填空：（1）2(3)=_____________；（2）122÷_____________；（3）11()23-+=__________．【例16】填空：（1）490.0025400-________；（2）2(25)=_________．【例17】填空：（1）3625⨯=__________；（2）82⨯=_________．例题解析【例18】不用计算器，计算：（1（2）（3（4）02)( 3.14)π+-．【例19】化简求值：（1；（2）2(3-；（3；（4）05)．【例20】计算：（1）3111||(1)255--+；（2）⋅【例21】如果3()2x -有平方根，且满足|21|6x -=，试求3()2x -的平方根．【例22】求值：（1（24÷．【例23】计【例24】计算：（1）341011|5|2927916--++；（2）20131(2)2()892---++--．【例25】计算：（1）2277222288⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()201720171212-⋅+；（3）022(21)(53)(53)---⨯+．【例26】已知2510x x -+=，求2212x x +-的算术平方根．【例27】已知7210x =+，求654322232545x x x x x x ---+-+的值．一、填空题：随堂检测【习题1】和数轴上的点一一对应的是（）A．整数B．有理数C．无理数D．实数【习题2】（1）1____________；相反数是___________；（2的数是_________；数轴上离原点的距离等于π的是_______．【习题3】【习题4】求出下列各数的绝对值和相反数：（1）（23；（3；（4）3.15π-．【习题5】比较大小：（1）；（2）-4_______-（311；（4+2+【习题6】化简求值：（1）3π-（2）3（a＜-6）．【习题7】如果在数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是2，求数轴上所有到点A，点B的距离为3的点到原点的距离之和．【习题8】实数a ，b ，c 在数轴上所对应的点的位置如图所示：（1）24b ac -的值是正数还是负数?为什么．（2）化简：||||||||a a b b c a c -++---【习题9】求值：（1）5(52)-；（2）225(7)+；（3）2(52)-；（4）22(72)(72)-+．【习题10】计算：（1）22(13)(13)--+；（2）22(23)(23)+⨯-；（3）233232⨯÷；（4）22(56)(56)+⋅-．【习题11】计算：（1）233(6)46--+-；（2）203(7)(57)π-+-；（3）231553(2)8⨯÷+÷；（4）22(20162017)(20172016)+⋅-．【习题12】已知：21xa =+，求22x xx xa a a a----的值．bac． O【作业1】下列说法错误的是( )A ．数轴上的点和全体实数是一一对应的B ．a ，b 为实数，则0a b +>C ．实数中没有最小的数D ．实数中有绝对值最小的数【作业2】（1）________；相反数是________；（2________________．【作业3】下列计算正确的是（）A 5=±BC ．|3.13| 3.13ππ-=-D ．11736÷=【作业4】比较大小：（1）；（2）47-_______（3）（4）3-【作业5】实数a ，b 在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a _______0，a ＋b __________0，b a --________0，2a a b -+=________．【作业6】数轴上有点A 、B ，它们所对应的数分别为1，点C 也在此数轴上，且C 、B 两点关于A 点对称．（1）求点C 所对应的数；（2）若点D 也在此数轴上，且CD =23BC ，求点D 所对应的数以及AD 的长．【作业7】【作业8】化简：（1）34-；（2）()a b b c c a a b c -+---<<．【作业9】计算：（1；（2；（3）1143-- （4【作业10】【作业11】计算并化简：|3|x-【作业12】已知：x=y=求：（1）22+的值．x y353x xy y-+的值；（2）33。

初中七年级下册数学讲义第4讲-实数的综合

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第4讲-实数综合学习目标1. 掌握分数指数幂运算；2. 复习实数的基本概念；3. 掌握实数的简单加、减、乘、除运算；4.掌握实数运算规律。

教学内容1. 分数指数幂(0)1(0)nm nma a a a=≥=>（其中m 、n 为整数，1>n ）.2. 小练习（1）22121)32(-（2）2212122121)32()32(-+（3）312121312121)32()32(-+（4）2212122121)32()32(--+【章节知识检测】 1．在ΛΛ3737737773.057226.114.382202134、、、、、、、、、π-，这十个数中，无理数有____个.2．16的平方根是，21(1)n +--的四次方根是（n 是正整数）． 3．4055000精确到万位；保留两个有效数字． 4．计算：()()201320143232+⨯-=________．5．已知23x <<，那么210x x -+-= ． 6．已知370x y ++-=,则y x +2的4次方根是 .7．如图，实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，试化简：2()||||a b c b a c +---+ = . 8．当x 时，31xx -+有意义. 9．计算下列各题：（1）02)625()625()23(-++⨯- （2）()()22122332-+-（3）22)3()36)(63()22(-++--10．设57+的小数部分为a ，57-的小数部分为b ，求5ab b +的值.知识点一：分数指数幂(0)1(0)nm nma a a a=≥=>（其中m 、n 为整数，1>n ）.cba O)0(1)0(>=≥=-aaaa a a n m nmn m nm （其中m 、n 为整数，n ＞1）.上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数. nma =nm a （a ≥0）,n ma1=nm a- (a >0), 其中m,n 为正整数，n >1.上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.1.有理数指数幂、整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.2.有理数指数幂的运算性质，设a>0,b>0,p,q 为有理数，那么（1）qp qpa a a +=⋅， qp q p aa a -=÷（2）()pq qpa a =（3） ()pp pb a ab =， .p p pb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛【例题精讲】例1. 将下列方根化成幂的形式15_____= 341_____2⎛⎫= ⎪⎝⎭675______=59_______25=例2. 将下列幂化成方根的形式122_____= 233_____= 345_____-= 5210_____-=例3．计算：])2()2(3[)1.08(81162321324-+---⨯-÷--【试一试】1. 将下列方根化成幂的形式1_____6= 321_______4=31_______14=2. 计算：20221(12)(21)(12)()2--+-÷-⨯知识点二：实数章节整理【考点1】实数概念及分类一、概念实数：有理数和无理数统称实数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

七年级(下)数学同步讲义实数的概念及数的开方 (解析版)

知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，16，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【答案】2π、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【答案】一样．例题解析【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【答案】略．【解析】移项得：()()a c d b x -=-，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=，于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】 3为什么是无理数?请说明理由．【解析】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3p q=，又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．把3p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =，则2239q m =，同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，故3是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．x=±，1的平方根是1±．如21x=，1说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2=2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根号a a叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方．a叫做被开方数，n叫做根指数．2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．★注意：1）实数a a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a”表示，负n次方根用“0n=时，在中省略n）；a>，根指数n是正偶数（当23）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2）2(9)-．【答案】（1）311±；（2）3±．【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】写出下列各数的正平方根：（1）225；（2）9．【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15；（2）93=，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（4）81的平方根是9±．【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；（4）2π-错：819=，9的平方根是3±．例题解析【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1-；（4）3438-；（5）27．【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72-；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4-【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】求值：（1 （2）；（3）2；（4）2(．【解析】（1）12；（2）0.1- ；（3）4；（4）11．【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）4；（2）35-；（3）原式54=-；（4）原式2-．【总结】考查实数的立方根的运用．【例14】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）6 ；（2）3 ；（3）3- ；（4）2．【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】求值：（1（2）（3．【解析】（1）0.5 ；（2）原式=95；（3）原式60=．【总结】考查实数的立方根运算．【例16】小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=．【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．【例18】若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=．【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值．【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“>”把下列各式连接起来：=，-12-23【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2____________；（3≈_________；（4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【答案】略．【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（4 5.4770.10.5477≈⨯=；（5 1.7320.10.1732⨯=；（6 5.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．【例22】填写下表，并回答问题：a…0.000001 0.001 1 1000 1000000 …….3a……（1）数a与它的立方根3a的小数点的移动有何规律?（2）根据这个规律，若已知33，，求a的值．==a0.005250.1738 1.738【解析】（1）由题可知，被开方数a的小数点每向右或向左移动三位，立方根3a的小数点相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a=．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。

沪教版(五四制)七年级数学下册第九讲实数的概念及运算讲义(无答案)

一、实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数二、有理数的性质：⑴有理数的定义：可以写成两个整数p 与q （0q ≠）的比值的数.故所有的有理数都可以化成分数pq（0q ≠）的形式.⑵有理数进行加、减、乘、除四则运算的结果仍是有理数.即有理数集对于加减乘除四则运算具有封闭性.三、平方根和开平方：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数. 开平方与平方互为逆运算.在实数范围内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.正数a 的两个平方根可以用“a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a 的负平方根，读作“负根号a ”.=.,00,0,0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩四、立方根和开立方：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a a ”，其中a 叫做被开方数，“3”叫做根指数.2”第九讲实数的概念及运算a ”a ”. 求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.在实数范围内，任何一个数都有且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.实数的概念【例题1】将下列各数填入适当的括号内：220,0.23,,0.37377377737π∙∙---⑴整数：{ }；⑵非负数：{ }； ⑶有理数：{ }；⑷无理数：{ } ⑸正实数：{ }；⑹负实数：{ }【例题2】平方根等于它本身的数是，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是；平方根与立方根相等的数是 .①196的平方根是_____；②2( 2.5)-的平方根是；③2(的平方根是；______的相反数是；⑥的立方根是 .【例题3】求下列各式的值：（1_______= （2）________=（3）________= （4________=（5）________= （6）________=【例题4】求下列各式的值：（1_______= （2）________=（3）________= （4________=（5________= （6________=实数的性质【例题5】（1）已知a ，b ，c ，d 是有理数，a c +=+a c =，b d =.（2）已知x ，y 是有理数，且11()()402332x y πππ+++--=，求x y -的值.（3）已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛+--- ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．【例题6】（1）若a 为自然数，b 为整数，且满足2()7a =-a = ，b = .（2，求a ，b 的值.【例题7】（12(2)0ab -=，求111(1)(1)(2009)(2009)ab a b a b +++++++的值.（2）已知x ，y ，z 满足24402x y z z -+-++=，求()x y z +的值.【例题8】（1）已知关于x 1a =有三个整数解，求a 的值.（2）若m =试确定m 的值.【例题9】（1a ，小数部分是b ，求22a b a b-+的值.（2b ，求4321237620b b b b +++-的值.【例题10】（1）求最小的正整数m 是一个自然数。

七年级数学下册 6.2 实数精品课件(1) (新版)沪科版

合作(hézuò)探究
1、你能找出多少(duōshǎo)中面积不同的格点正方形？ 23、、有有面面积积(分mi别àn是jī1 、)是42、的9格的点格正点方正形方吗形？吗？
第三页，共15页。
任何(rènhé)一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何(rènhé)有限小数或无限循环小数也都即:是小有数理形数式.的有理数包括(bāokuò)有限小数或无限循环小数
5 , 0.3737737773
有理数集合 (jíhé)
第十三页，共15页。
无理数集合
随堂练习一、判断 (pànduàn)：
1.实数(shìshù)不是有理数就是无理数。（）2.无理数都是无限(wúxiàn)不循环小数。（） 3.无理数都是无限小数。（）
4.带根号的数都是无理数。（ ×）
6,
••
, 1.23,
22 , 36
2
7
1.232232223(两个3之间依次多一个2)
••
有理数是： 1.23 ,
, 36
无理数是：
6, 2 ,
1.232232223(两个3之间依次多一个2)
第十页，共15页。
有理数和无理数统称(tǒngchēng)为
实数。
有理数
实数
(shìs hù)
无理数
第十一页，共15页。
有理数和无理数统称(tǒngchēng)为
实数。
有理数实数(sh(无有ìs限h限ù循小) 环数小或数)
正有理数
整数
(zhěng
分sh数ù)
（无限无不理循数环小数）
正无理数
负无理数
正实数
实数
0
负实数

初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。

0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根；可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1；试一试：1.64的平方根是，64的立方根是 .2.16的平方根是，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32；【例题精讲】例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。

参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向移动位，则立方根的小数点相应地向移动位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算【例题精讲】例6. 计算：（1）38515；（2）327102--- ；（3）3387）（- ；（4）6356）（-；（5）312564-38+1001 ；（6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。

第十二章-实数-七年级(下)-知识点汇总-沪教版

第十二章实数12.1实数的概念1、有理数和无理数统称为实数。

2、实数按如下方式分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数3、实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点表示一个实数。

4、正数大于零，负数小于零，正数大于负数。

5、两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。

6、无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。

12.2平方根和开平方1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。

2、求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。

3、3.一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。

零的平方根是零；负数没有平方根。

4、正数a的两个平方根可以用“± ”表示，其中表示a的正的平方根(又叫算术平方根)，读作“根号a”；表示a的负平方根，读作“负根号a”。

零的平方根记作√0，√0 = 0（1）当a>0时，（a）²=a，（a）²=a（2）当a≥0时，2a=a当a≤0时，2a=－a12.3 立方根和开立方1、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“ ”表示，读作“三次根号a”。

中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。

3、正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

4、任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

12.4 n次方根1、如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为ɑ的偶次方根2、求一个数a的n次方跟的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。

3、实数a的奇次方根有且只有一个，用“n a”表示，其中被开方数a是任意一个实数,根指数n是大于1的奇数。

七年级数学下册第六章实数6.3实数讲义(新人教版)本.ppt

6.3 实数 (二)
1 …核…心…目…标…..
…
2…课…前…预…习…..
…
3 …课…堂…导…学…..
…
4 …课…后…巩…固…..
…
5 …培…优…学…案…..
…
1
核心目标
能熟练进行实数运算，会比较两个实数的大小，了解实数与数轴上的点一一对应的关系．
2
课前预习
1．实数与数轴上的点是_一___一__对__应__关系，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示___一__个__实__数_____．
A．3
B．－3
C. 1
3
10．3 27 的相反数是 ( B )
A．－3
B．3
C．±3
D．

1 3
D．2 3
10
课后巩固
11．下列运算正确的是
A. 9 ＝±3 C. 3 (3)3＝3
(D )
B. (2)2＝－2
D. ︱－π︱＝π
12．下列各组数中，互为相反数的是 ( D )
A．－3与 1
3
则、运算律相同．
7
课堂导学
对点训练二 6．计算： (1)3 3＋5 3 ＝___8___3____； (2) 5－( 5－2)＝____2_____；
(3)(3 2 － 3 )＋ 3 ＝___3__2____；
(4)︱3－ 5︱＋3 5 ＝__3__2__5__．
8
课堂导学
7．计算：
(1)
1 3
C．－3与 3 27
B．－5与 25 D．︱－6︱与－6
11
课后巩固
13．化简︱2－ 3︱＋ 3 ＝
(A )
A．2

沪教版七年级下册 12.3 实数的概念和运算(基础)知识讲解讲义

实数的概念和运算（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,,10.1010010001 (73)π- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有222,0,,73-,10.1010010001π【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，1.举一反三：【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较20.5的大小．【答案与解析】解：作商，得20.5=1>，即210.5>，所以0.52>．【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1a b<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--4__3 2 03___- |___(7)---【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ，∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误；B 、∵a ＜b ，∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误；C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误；D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确．故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1) 1.4| (2)4|| (3)|12|【答案与解析】解： 1.4| 1.4=4|| 4-|12|121=+=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|(4)0a c --=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.类型四、近似数和有效数字6、下列各数有几个有效数字，分别是什么？（1）0.01020 ；（2）1.50万；（3）15000；（4）42.3010-⨯【答案与解析】解：由有效数字的定义可得：（1）0.01020有4个有效数字，分别为：1，0，2，0；（2）1.50万有3个有效数字，分别为：1，5，0；（3）15000有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0；（4）42.3010-⨯有3个有效数字，分别是：2，3，0【总结升华】带有文字单位或用科学记数法10n a ⨯表示的数，有效数字的个数与文字单位或10n 没有关系.。

沪教版七年级下册-实数的概念与开方-教师讲义

负数的偶次方根不存在。

零的n 次方根等于零，表示为n 0=0。

热身练习1、一个正数的平方等于100，则这个数为 10 。

2、一个负数的平方等于64，则这个数是 -8 。

3、一个数的平方等于144，则这个数为 ±12 。

4、49±= ±7 ；16的算术平方根是 4 ；29的平方根是 ±9 ；169= 13 。

5、下列各数中无理数有（2)(5)(7) （填序号）⑴711- ⑵ 14 ⑶3.97 ⑷9 ⑸π ⑹3.14159265 ⑺ 1.7272272227……（相邻两个7之间2的个数逐次加1）6、2(4)-= 4 ；()264= 64 ；169-= 1 ；3274-+= -1 。

7、已知四个命题，正确的有（ A ）⑴有理数与无理数之和是无理数； ⑵有理数与无理数之积是无理数；⑶无理数与无理数之和是无理数； ⑷无理数与无理数之积是无理数。

A. 1个B. 2个C. 3个D.4个8、下列说法中正确的是（ B ）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是±4C.6的平方根是6D.a -有平方根9、下列各式中错误的是（ B ）A.6.036.0±=±B.6.036.0=±C.2.144.1-=-D.2.144.1= 10、若()227.0-=x ，则=x （ B ）A.-0.7B.±0.7C.0.7D.0.49精解名题例1、下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中1.010010001…，3π，是无理数，故选C例2、若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。

参考：0或1【变式】下列说法中正确的是（ A ）A 、的平方根是±3B 、1的立方根是±1C 、=±1D 、是5的平方根的相反数例3、判断下列说法是否正确，并说明理由。

沪科版数学七年级下册实数课件

-2A 0 B C__DE__4_、____.
3
1.5 2 5
实数中相反数和绝对值的意义讲授新课
思考： 2 的相反数是-__2_．－π的相反数
是____．0的相反数是__0__；
∣ 2 ∣=____2，∣－π∣= ____
∣0∣=___0_．
结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样合适于实数：
5、学习反思：收获 ___________________反思__________________
能力提升
已知 7 的整数部分是 x，小数部分是 y，则 x(y+2)2＝__________.
解：
因为2< 7 <3,
所以x=2, y= 7 -2
x(y+2)2＝ 2( 7-2+2) 2 =2( 7 )2
巩固训练 1、填表（求出下列各数的相反数与绝对值）：
- 2.5 7 2 2 - 3 0
2.5 7
2
2- 3 0
2、求下列各式中的实数x。
（1）x
2 3
解：（1）x 2（3）x
3
10解：x 10
（2）x 0 解：（2）x 0（4）x 解：x
实数的运算
例1 计算：（结果保留小数点后两位）：
1、数a的相反数是__-a__，这里a表示
任意一个_实__数___. 2、一个正实数的绝对值_它__本__身___；一个负实数的绝对值是_它__的_相__反_数_；0
的绝对值是 __0__．即: _a__,当a 0时；
a _0__,当a 0时； _-a__,当a 0时。
知识应用
例1： (1)分别写出 6， - 3.14 的相反数；
所以 - 5,1 - 3 3分别是 5，3 3 - 1的相反数

上海七年级数学(下)有关概念和知识点梳理

七年级数学（下）有关概念和知识点梳理第十二章实数1、无限不循环小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数。

2、平方根和开平方：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（偶次方根同）0 = 0开平方和平方互为逆运算：当 a＞0时（ a ）2= a （－ a ）2= a(平方根等于本身的只有0 ) 当 a≥0时a2 = a (-a)2 = a当 a＜0时a2 = －a3、立方根和开立方：任意一个数都有一个立方根，而且只有一个立方根。

（奇次方根同）30 =0 ( 3a )3= a3a3 = a4、实数轴：数轴上的每一个点都对应唯一的实数。

数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，那么两点距离：AB=|a－b|5、实数的运算性质：设 a＞0 , b＞0 则ab = a · b ab=ab6、分数指数幂规定: na m =a (a≥0)1na m=a (a＞0)（m、n为正整数,n＞1）7、精确度：对近似程度的要求叫精确度。

（精确到哪一位，保留几个有效数字）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。

第十三章相交线平行线平行线的判定：1同位角相等, 两直线平行2内错角相等, 两直线平行3同旁内角互补,两直线平行平行线的性质：1两直线平行, 同位角相等2两直线平行; 内错角相等3两直线平行,同旁内角互补（平行的传递性）∵ a∥b b∥c ∴ a∥c第十四章三角形1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。

（三角形任意两边之差小于第三边）2、从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

联结一个顶点及中点的线段叫做三角形的中线。

三角形一个内角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3、三角形按角分：锐角三角形、直角三角形（Rt△、斜边、直角边）、钝角三角形。

按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。

沪科版七年级数学下册第一章实数PPT课件全套

如何估算一个正数的算术平方根在哪两个整数之间？
估算能力是一种重要的数学运算能力，对一个正数的算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.
课堂练习
1.求下列各数的算术平方根:
(1) 100; (2) 1; (3) 0 ; (4) 49 ; (5) -4
解: (1)因为 102 =100，所以100的算术平方根为10，
①二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个；
②存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
③0的平方根和算术平方根都是0.
探究点二求一个非负数的平方根
例1 求下列各数的平方根：
（1）100 ；（2） 9 ; （3）0.25 ; （4）2 1 ; （5）0 .
16
练习：快速填空
４的算术平方根是 2 ；４的平方根是 2 ；
2
2
的算术平方根是 3 ；的平方根是 3 ．
0.25的算术平方根是 0.5 ；0.25的平方根是 0.5 ；
０的算术平方根是 0 ；０的平方根是 0 ．
－４的算术平方根不存在；－４的平方不存在．
一般地，如果一个正数的平方等于 a ，即
即 100 =10. (5) 所以-4没有算术平方根.
因为没有一个数的平方可能是负数,
a aa ｝对于 :
≥0 ≥0
算术平方根的非负双重性.
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们的值吗?
25 =5
1 4
=
1 2
0.81 =0.9
0 =0
3、下列各式是否有意义，为什么？
（1）4 ；（2） 4 ；（3）32；（4） 1 ．