灌南高级中学高二数学

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2022-2023学年江苏省连云港市灌南高二年级上册学期期中模拟数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期期中模拟数学试题一、单选题1．若圆22240x y kx +--=关于直线2x -y +3=0对称，则k 等于（） A ．32B ．-32C ．3D ．-3【答案】B【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解. 【详解】由题意知，圆22240x y kx +--=的圆心为(k ，0)，圆关于直线2x -y +3=0对称，即直线2x -y +3=0过圆心(k ，0)，所以2k +3=0，k =-32.答案：B【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题. 2．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直【答案】A【解析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 3．设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||2:1PF PF =，则12F PF △的面积等于( )A ．4B ．6C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆方程，求出a 及椭圆的焦点坐标．由椭圆的定义结合12||:||2:1PF PF =，得1||PF ，2||PF ，结合勾股定理的逆定理得12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形，由此不难得到12F PF △的面积．【详解】解：椭圆22194x y +=，3a ∴=，2b =，5c =，所以椭圆的焦点为()15,0F -，()25,0F ，12||||26PF PF a +==，且12||:||2:1PF PF =，1||4PF ∴=，2||2PF =可得2221212||||20||PF PF F F +==，因此12F PF △是以P 为直角顶点的直角三角形，所以12F PF △的面积121|||42S PF PF =⋅=，故选：A ．4．如图，已知1F 、2F 分别是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆上，四边形12AF F B 是梯形，12//AF BF ，且122AF BF =，则12BF F △的面积为（）A 14B 14C 2D 2【答案】A【分析】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，分析可知A 、1F 、E 三点共线，设点()11,A x y 、()22,E x y ，设直线AE 的方程为2x my =122y y =-，将直线AE 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出2m 的值，可得出22y 的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】设点B 关于原点的对称点为点E ，连接1EF 、2EF ，如下图所示：因为O 为12F F 、BE 的中点，则四边形12BF EF 为平行四边形，可得21//BF EF 且21BF EF =，因为12//AF BF ，故A 、1F 、E 三点共线，设()11,A x y 、()22,E x y ，易知点()12,0F -，()1112,AF x y =---，()1222,F E x y =+，由题意可知，112AF F E =，可得122y y =-，若直线AE 与x 轴重合，设122AF a c =+=+，122EF =-，则112AF EF ≠，不合乎题意；设直线AE 的方程为2x my =-，联立22224x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222220m y my +--=，由韦达定理可得1222221m y y y m +=-=+，得22222my m =-+， 21222222y y y m =-=-+，则()2222228122m y m m ==++，可得227m =，故2217216y m ==+，因此，122171422244BF F S c y =⨯⨯=⨯=△. 故选：A.5．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A 5B 3C ．2D 2【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =然后在2Rt PO F 和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==()2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴=故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【详解】圆22:4240M x y x y +-+-= 由题意可得()()22:219M x y -++= 最长弦为直径等于6，最短的弦由垂径定理可得4，则四边形ABCD 的面积为164122⨯⨯=.故选：D.【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.8．过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A、B ，则直线AB 的方程为（） A ．10x -+= B ．10x ++= C ．20x -+= D ．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在，设过点P 且与圆M 相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kxy k -=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB的斜率分别为1、1-，则11PAk ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-，所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点()0,2关于直线=+1y x 的对称点为()1,1C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AB【分析】对选项A ，分别令=0x 和=0y ，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B ，求出对称点坐标即可判断；对选项C 特殊情况不成立；对选项D ，缺少过原点的直线．【详解】A ．令=0x 得2y =-，令=0y 得=2x ，则直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积12222⨯⨯=，正确； B ．设(0,2)关于直线=+1y x 对称点坐标为(,)m n ，则2=1+2=+122n mn m -⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=1m n ⎧⎨⎩，正确；C ．两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，错误；D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线=y x ，错误．故选：AB ．10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点Р满足12PA PB =，设点Р所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得1AD =C ．在C 上存在点M ，使M 在直线20x y +-=上D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】AD【分析】通过设出点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 三个选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解】设点(,)P x y ，由12PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，故A 选项正确；对于B 选项，设00(,)D x y ，由1AD =1=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故B 选项错误；对于C 选项，设00(,)M x y ，由M 在直线20x y +-=上得0020x y +-=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知无解，故C 选项错误；对于D 选项，设00(,)N x y ，由224NO NA +=，得22220000(2)4x y x y ++++=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解，故D 选项正确. 故选：AD .11．（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断AB 选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C 选项；求出过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D 选项. 【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确；对于选项B ，线段PQ 的中点为1212,22x x y y T ++⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线的准线l 的方程为=1x -，点T 到直线l 的距离为1212211222x x x x PQ ++++==，所以，以PQ 为直径的圆与准线l 相切，B 对；对于选项C ，因为()1,0F ，所以12PM PP PM PF MF +=+≥=，当且仅当点M 、P 、F 三点共线，且点P 为线段MF 与抛物线的交点时，等号成立，故C 正确；对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点，设过M 且斜率不为零的直线为()10y kx k =+≠，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()222410k x k x +-+=，令()222440k k ∆=--=，则1k =，所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误. 故选：ABC.12．已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条【答案】BD【分析】设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+，当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m=，联立225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221691602560m y my -++=. 则()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确；对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32263AB a ==<，C 选项错误；对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠；当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122160169m y y m +=--，122256169y y m =-，由弦长公式可得()2122961169m AB y y m +=-=-()226161611169m m +==-，解得m =或m =故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.三、填空题13．双曲线22221x y a b -=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案；【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩， ∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.14．一束光线从点()2,3A 射出，经y 轴反射后，与圆22:64120C x y x y +-++=相交，则反射光线所在直线的斜率k 的取值范围是_______________．【答案】43,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】将圆写成标准式，求出圆心半径，求出()2,3A 关于y 轴的对称点A '，设出过A '的直线方程，结合圆心到直线距离公式即可求解.【详解】由22:64120C x y x y +-++=可得()()22321x y -++=，即圆心为()3,2-，半径为1，()2,3A 关于y 轴的对称点()2,3A '-，可设过()2,3A '-的直线方程为()23y k x =++，即230kx y k -++=，由反射光线与圆相交可得d r <，1d ，化简得()()34430k k ++<，即43,34k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：43,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．在椭圆22:153x y C +=中，以点(1,1)P -为中点的弦所在的直线方程______.【答案】3580x y --=【分析】先利用点差法求得直线的斜率k ，再利用点斜式即可求得所求直线方程.【详解】因为()2211153-+<，所以点(1,1)P -在椭圆22:153x y C +=内，设以点(1,1)P -为中点的弦的两端的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122,2x x y y +=+=-，22112222153153x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()12221112053x x y x x y y y -+-+=+，则()()2222111135x y y x y x y x --=++-，设以点(1,1)P -为中点的弦所在直线斜率为k ，则()2211323525y k x x y ⨯==----=⨯，所以所求直线方程为：()3115y x +=-，即3580x y --=. 故答案为：3580x y --=.四、双空题16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________. 【答案】 1-; 4【分析】设211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标()2,1P k -.因为12PABS AB d =，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值.【详解】解：抛物线方程为24x y =， ∴抛物线的焦点()0,1F由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，124x x k ∴+=，12·4x x =-，由24x y =，得24x y =，求导得2x y '=， ∴()21111:42x x l y x x -=-，即21124x x y x =-① 同理2222:24x x l y x =-② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112001242244x x x x x x x x y x +=-=-==-.()212141AB x k=-===+点P到直线AB的距离2d===()()322221141214122PABS AB d k k k∴==++=+，易知20k=，即0k=时，()min4PABS=，故PAB面积的最小值为4.故答案为：1-；4.【点睛】思路点睛：设出A，B两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB的距离，从而求得12PABS AB d=，进而易得面积的最小值.五、解答题17．设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,4)M，离心率为35．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(3,0)且斜率为45的直线l交椭圆C于A、B两点，求弦AB的中点坐标及AB．【答案】（1）2212516x y+=；（2）中点坐标为36,25⎛⎫-⎪⎝⎭，41||5AB=．【分析】（1）依题意求出b，再由离心率及222c a b=-，求出a，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线l的方程，设直线与C的交点为()11,A x y，()22,B x y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，再利用弦长公式求出弦长；【详解】解：（1）将点(0,4)代入椭圆C的方程得2161b=，所以4b=．又由35cea==，222c a b=-得222925a ba-=，即2169125a-=，所以5a=．所以椭圆C的方程为2212516x y+=．（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-，设直线与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程224(3)512516y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 得2380x x --=，得123x x +=，128x x =-．设线段AB 的中点坐标为()00,x y ，则120322x x x +==， ()12012266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭由弦长公式41||5AB ==18．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=. (1)求直线AC 的垂直平分线方程； (2)求△ABC 的面积. 【答案】(1)2410x y --= (2)8【分析】(1)先求出AC 直线方程，再联立直线CM 与AC ，得到交点坐标(4,3)C ，最后求出AC 的垂直平分线方程即可.(2)先求出AC (1,3)B --，再求△ABC 的AC ，最后由三角形面积公式求出面积即可.【详解】（1）BH 所在直线方程为250x y --=，∴12BH k =，直线BH 垂直于AC ， 1BH AC k k ∴⋅=-，2AC k ∴=-，∴AC 所在直线方程为2110x y +-=，联立直线CM 与AC 得25=02+11=0x y x y ---⎧⎨⎩，解得=4=3x y ⎧⎨⎩，∴直线CM 与AC 的交点坐标(4,3)C ，顶点1(5)A ，， ∴A C 、的中点坐标为9(,2)2,直线AC 的垂直平分线的斜率与AC 边上的高BH 的斜率相等， ∴直线AC 的垂直平分线的斜率为12，∴直线AC 的垂直平分线方程为2410x y --=. （2）由（1）可知||AC 设点(,),B m n 则点51(,)22m n M ++，点(,)B m n 在高线BH 上，M 在中线CM 上，25=0+5+12?5=022m n m n --∴--⎧⎪⎨⎪⎩，解得=1=3m n --⎧⎨⎩，故点(1,3)B --，由题意知AC 边上的高为BH ，||BH ∴=∴△ABC的面积为11||||822ABCSAC BH =⋅==. 19．已知抛物线2:2(0)E y px p =>经过点(P ． (1)求抛物线E 的方程；(2)若直线:(0)l y kx m km =+<与抛物线E 相交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=，证明：直线l 过定点．【答案】(1)23y x =(2)证明见解析【分析】（1）将抛物线上的点代入方程即可求解；（2）设出直线方程与抛物线联立，然后根据向量数量积建立等式求解.【详解】（1）∵抛物线22(>0)y px p =过点P ，222p ∴=⨯．32p ∴=． ∴动点C 的轨迹E 的方程为23y x =．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由23y kx m y x =+⎧⎨=⎩得222(23)0k x km x m +-+=， 12232km x x k -∴+=，2122m x x k=．4OA OB ⋅=，2221212121223(1)()4m kmx x y y k x x km x x m k +∴+=++++==．22340m km k ∴+-=，m k ∴=或4m k =-． 0km <，m k ∴=舍去．4m k ∴=-，满足1290km ∆=-+>．∴直线l 的方程为4(4)y kx k k x =-=-． ∴直线l 必经过定点(40)，． 20．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.【答案】(2)2)y x =-【分析】（1）先由点在双曲线上得到2202220y b x a a =-，再由QA ，QB 的斜率之积为1得到202201y x a =-，从而得到a b =，由此可求得双曲线的离心率；（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线l 与双曲线得到1212,x x x x +，又由3MP PN =得到()12232x x -=-，从而求得k 值，由此可得直线l 的方程.【详解】（1）因为()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，可得2200221x y a b-=，即为2202220y b x a a =-，由题意可得()(),0,,0A a B a -，2000220001QA QBy y y k k x a x a x a =⋅==+--，可得a b =，即有c e a ===（2）由题意可得c =1a b ==，则双曲线的方程为221x y -=，易知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()()2,0,1y k x k k =-≠≠±，联立直线l 与双曲线E 的方程，可得()222214140k x k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212241x k x k +--=，2122141k x x k +=--，①又3MP PN =，可得()12232x x -=-，② 由①②可得222421k x k -=-， 212421k x k --=-，代入①可得2315k =，解得k = 则直线l的方程为)2y x =-.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:240C x y x y F ++-+=，且圆C被直线30x y -++=截得的弦长为2.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；（3）若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足PM =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22(1)(2)2x y ++-=；（2）26yx 或26y x 或30x y +-=或10x y ++=；（3）24a -≤≤【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知5F <，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于F 的方程，解方程求得F ，从而得到标准方程；（2）分为直线l 过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设(),P x y ，根据222PM PO =且222PM PC r =-可整理出P 点轨迹方程为：()()22128x y -++=；根据P 在圆()()2212x a y -+-=上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22125x y F ++-=- 5F ∴<∴圆C 的圆心坐标为()1,2C -，半径r =∴圆心C 到直线30x y -+=的距离：1d ==∴截得的弦长为：2==，解得：3F = ∴圆C 的标准方程为：()()22122x y ++-=（2）①若直线l 过原点，可假设直线l 方程为：y kx =，即0kx y直线l 与圆相切 ∴圆心到直线距离d r ===2k =∴切线l 方程为：(2y x =②若直线l 不过原点，可假设直线l 方程为：1x ya a+=，即0x y a +-=∴圆心到直线距离d r ==1a =-或3∴切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=综上所述，切线l 方程为(2y x =或10x y ++=或30x y +-= （3）假设(),P x yPM =，即222PM PO =又直线PM 与圆C 相切，切点为M 2222222PM PC r PC PO ∴=-=-=即：()()()22222122x y x y +=++--，整理得：()()22128x y -++=P 又在圆()()2212x a y -+-=上 ∴两圆有公共点24a -≤≤即a 的取值范围为：[]2,4-【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.22．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 为短轴的两端点且离心率P 在第一象限且在双曲线上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1x 2＝1；(3)设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且10PA PB ⋅≤，求2212S S -的取值范围．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 (3)(0，1]【分析】（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），推出b ＝1，a 2，即可得出答案．（2）设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立椭圆的方程，解得x 2，同理可得21244k x k +=-，进而可得x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）得1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，由10PA PB ⋅≤，得11x ≤＜S 1，S 2，结合基本不等式得S 12﹣S 22的取值范围．【详解】（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），所以b ＝1，所以22222134c a e a a -===，即a 2＝4，所以椭圆方程为2214y x +=．（2）证明：设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立方程组()22114y k x y x ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝，整理，得（4+k 2）x 2+2k 2x +k 2﹣4＝0，解得x ＝﹣1或2244k x k -=+，所以22244k x k -=+，同理联立直线AP 和双曲线可得，21244k x k +=-，所以x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，因为10PA PB ⋅≤，所以()()21111110x x y ---+≤，即221111x y +≤，因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114411x x +-≤，即213x ≤，因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以11x ≤＜因为122211111222S AB y y S OB y y =⋅==⋅=，，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．由（2）知，x 1⋅x 2＝1，即211x x =，设21t x =，则1＜t ≤3，则221245S S t t-=--．设f （t ）＝5﹣t 4t -=5﹣（t 4t+）≤5﹣4＝1，当且仅当4t t=，即t ＝2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f （t ）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为()()423531033f f =--==，，所以f (1)＜f (3)，所以2212S S 的取值范围为（0，1]．。

灌南县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

灌南县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2，当x=﹣2时，v1的值为（）A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣52．已知，，那么夹角的余弦值（）A．B．C．﹣2 D．﹣3．若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．24．已知集合，则A0或B0或3C1或D1或35．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）A．4 B．5 C．32D．336．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．7．函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（） A. B. C. D.8．单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一9．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．B ．（4+π）C ．D ．10．A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（）A ．（0，1）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（﹣2，0）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对12．如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=二、填空题13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．14．设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是． 15．已知集合(){}221A x y x y xy =∈+=R ，，，，(){}241B x y x y y x =∈=-R ，，，，则AB的元素个数是 .16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．17．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是．三、解答题19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其设计创意如下：在长4cm 、宽1cm 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上. （1）当点N 与点A 重合时，求NMF ∆面积；（2）经观察测量，发现当2NF MF -最小时，LOGO 最美观，试求此时LOGO 图案的面积.20．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．21．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P （K 2≥k ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：K 2=，其中n=a+b+c+d ）22．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>．23．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C 的方程为25sin ρθ=．Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P 的坐标为(3,5)，求PA PB +． 24．已知，且．（1）求sin α，cos α的值；（2）若，求sin β的值．灌南县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵f （x ）=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2 =（（（（（x ﹣5）x+6）x+0）x+2）x+0.3）x+2， ∴v 0=a 6=1，v 1=v 0x+a 5=1×（﹣2）﹣5=﹣7，故选C ．2．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos ＜＞===﹣，故选：A ．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．3．【答案】A【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0故选A【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．4．【答案】B 【解析】，，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。

灌南高级中学高二年级下学期数学导学案：直接证明

1.直接证明是直接从逐步推得命题成立的,其一般形式为
2.常用的直接证明的方法有与 .
3.综合法是从出发,以已知的、、为依据,逐步下推,直到推
出要证明的结论.简称 .
4.分析法是从出发,逐步寻求使它成立的 .简称
5.综合法与分析法有何联系?
6.你能利用多种方法证明基本不等式)0,0(,2
>>+≤
b a b a ab 吗?
例1．(1)设b a ,为互不相等的正数,且1=+b a ,证明
411>+b a
(2)当2≥a 时,求证:211---<
-+a a a a
(3)已知1,,,=++∈+c b a R c b a ,证明8111111≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-c b a .
例2．如图,已知AB,CD 相交于点O,,,BF AE BDO ACO =∆≅∆求证:.DF CE =
1、将课本P81上的练习2—4题写在书上.
2、R b a ∈,，下面成立的不等式是（只填序号）.
)1()1(222--≥+b a b a )2(224b ab a >+ (3)ab b a ab ->- (4)
11++<b a b a 3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，()b a Q lg lg 21+=，2
lg b a R += ，则R Q P ,,的大小关系为（按从小到大的顺序排列）
4、正三棱柱111C B A ABC -的棱长均为a ,E D ,分别为 1CC 与AB 的中点,B A 1交1AB 于点G ,求证: (1)AD BA ⊥1;(2)D
AB CE 1//平面。

江苏省灌南高级中学高二数学数列专题复习学生版

等差数列、等比数列复习(一)一、熟记核心要点1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列1．若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列，其中m ，k 为常数．2．若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 仍为等比数列．3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝（a 2－a 1）qa 2－a 1＝q .4．(1)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k .(2)等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d .5．若A 2n －1，B 2n －1分别为等差数列{a n }，{b n }的前2n －1项的和，则a n b n ＝A 2n －1B 2n －1.三、澄清易错易混点1．应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．2．三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，而三个不为0的数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .3．应用等比数列前n 项和公式时应首先讨论公比q 是否等于1. 四、典型例题分析:例1.(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为(2)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝【题组演练】1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝b n a n ，则c 2 017＝2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________．例2. (1)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是(2)已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. ①求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；②将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【题组演练】1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，若S 10＝31，S 20＝122，则S 30＝2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．例 3 .(1)已知数列{a n }中,a 1＝2，a 2＝8，数列{a n ＋1－2a n }是公比为2的等比数列，a n = (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n＝8S n ＋1＋S n －1. ①求a 4的值；②证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；③求数列{a n }的通项公式．【题组演练】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1,其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．课后练习(1)一、填空题1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 6＝a 5＋2a 4，则a 6a 4的值为________．2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________．二、解答题4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．5．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .6．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求p 的值及a n ；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．等差数列、等比数列复习(二)一、熟记核心要点 1．分组求和法分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．3．错位相减法形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：① 巧拆分；② 构差式；③ 求和．二、掌握二级结论已知递推公式求通项公式的三种方法1．裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．2．求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为n ＋1，易错并且还易漏掉减数式的最后一项．四、典例分析 :例1 . 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .【题组演练】已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .例2 .已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【题组演练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 4和a 8的等差中项为11. (1)求a n 及S n ；(2)证明：当n ≥2时，有1S 1＋1S 2＋…＋1S n <74.例3.已知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q >0，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 3＋a 3，S 2＋a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和,若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．【题组演练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．例4.设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)． ①若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；②若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .【题组演练】1．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3.数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2·a nn＋1(其中S n 为数列{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．例5.已知数列{a n }为等差数列，其中a 1＝1，a 7＝13. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，当不等式λT n <n ＋8·(－1)n (n ∈N *)恒成立时，求实数λ的取值范围．【题组】设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5，n ∈N *.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .课后练习(2)一.填空题1．在等比数列{a n }中，已知S n =3n+b ，则b 的值为_______．2．S n =1－2+3－4+5－6+…+（－1）n +1·n ，则S 100+S 200+S 301等于3．正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4为 284.已知正项数列{}n a 中, ()()221110n n n n na a a n a n N +++--+=∈,11a =,则通项n a = 5.在数列{n a }中，1a = 1，122n n n a a a +=+ ( n ∈N *)，则5a = .6.设函数f （x ）满足(1)f n + =2()2f n n+（n ∈N *）且(1)2f =，则(20)f = ；二．解答题1．S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．2．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.4．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a nb n，求数列{b n }的前n 项和T n .。

江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知双曲线222288k x k y -=（0k ¹），则不因k 的变化而变化的是（）A ．顶点坐标B ．渐近线方程C ．焦距D ．离心率10．在平面直角坐标系中，两定点,A B 的坐标分别是()5,0-，()5,0，且动点C 满足AC ，BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ¹，则下列论断成立的有（）A ．若1m =-，则动点C 的轨迹是圆（A ，B两点除外）B ．若1m <-，则动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆（A ，B两点除外）C ．若10m -<<，则动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆（A ，B两点除外）D ．若0m >，则动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线（A ，B两点除外）11．设过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1.B 则下列结论正确的为（）A ．11A FB Ð是直角B ．以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切四、解答题17．设函数()21=-求：f x x（1）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；（2）函数在1x=处的导数．(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点.D①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.②求AOD△面积的最大值.（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

江苏省灌南高级中学2020-2021高二数学周练试卷(含答案)3.20

灌南高级中学2020—2021学年高二年级周练数学试卷（A ）一、单选题（每题5分，共40分）1．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为8的概率（） A ．536B ．16C ．23D ．192. 已知复数z 满足z ＝（1+2i ）（2+i ）（i 为虚数单位），则|z |＝（） A ．2B ．4C ．5D ．53.从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则(|)(P B A = ) A ．15B ．14C ．13D ．124．设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4x 的项为（）A ．－154xB ．154xC ．－204ixD ．204ix 5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A ．911 B ．811 C ．25 D ．896．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率和B 发生A 不发生的概率相同,则事件A 发生的概率P (A )等于( )A ．2 9B ．1 18C ． 13D ． 237．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（） A ．512625B ．256625C ．113625D ．16258.为响应国家“足球进校园”的号召，某校成立了足球队，假设在一次训练中，队员甲有10次的射门机会，且他每次射门踢进球的概率均为0.6，每次射门的结果相互独立，则他最有可能踢进球的个数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题（每题5分，全选对得满分，少选得2分，选错不得分）9．已知复数()13(z i i +-﹦其中i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（） A ．5z ﹦B ．12z i =+C ．复数z 的虚部为2-D ．234z i --﹦10．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（） A ．取出的最大号码X 服从超几何分布 B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布 C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为11411．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的是（）A ．他第3次击中目标的概率是0.9B ．他恰好击中目标3次的概率是0.93⨯0.1C ．他至少击中目标1次的概率是1-0.14D ．他恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.93⨯0.1 12．关于20201)及其展开式，下列说法正确的是（） A ．该二项展开式中二项式系数和是1- B ．该二项展开式中第七项为610072020C xC ．该二项展开式中不含有理项D ．当100x =时，)20201除以100的余数是1三、填空题13．设a Z ∈，且013a ≤<，若202151a +能被13整除，则a =_______.14. 从个正整数1，2，…，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则=________．15.二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______ 16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解答题n n 114n17. 已知二项式*(15)n n N n ∈<，若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列（1）求n 的值；（2）写出它展开式中的有理项.18.某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，女青年志愿者3人，分别记为1b ，2b ，3b 现从这8人中远4人参加某项公益活动．（1）求男青年志愿者1a 被选中的概率；（2）在男青年志愿者1a 被选中的情况下，求女青年志愿者1b 被也被选中的概率．19. 已知复数12z a i =-， 234z i =+（a R ∈， i 为虚数单位）. （1）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围20．在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若该同学制作4次，其中合格作品数为X ，求X 概率分布列；21. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是12，乙射击一次中靶概率是13. （1）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？22．若某一等差数列的首项为112225113nn nnCA----,公差为52mx ⎛- ⎝展开式中的常数项,其中m 是7777+4 除以 19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.。

江苏省灌南高级中学高二数学周练试卷(12.12)

江苏省灌南高级中学高二数学周练试卷（12.12）时间：120分钟满分：150分一、单选题（共40分） 1．函数1y x x=+的导数是（） A ．11x-B ．211x-C ．211x +D ．11x+2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（） AB ．2C．2D．3．已知0a >，0b >，且21a b +=，则11a b+的最小值为（） A．3+B．3+C．3+D．3+44．已知函数21()ln 2f x x x =-，则其单调增区间是（） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．[]0,15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 6．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（）ABC．D ．57．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为()3113s t t =+，设其在时间段[]1,2内的平均速度为1m/s v ，在2t =时的瞬时速度为2m/s v ，12v v =（） A ．13B ．712C ．56 D ．238．在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上，若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为（）A.1B.1C.1D.1二、多选题（共20分）9.在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上.若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为（） A. 1B. 2C. 3D. 410．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PO PF ⊥，则PFO △；C ．||PF 的最小值为2；D ．双曲线22148y x -=与C 的渐近线相同.11．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-12．下列各选项中，最大值是1的是（）A ．2214y x x =+B ．[0,1]y x =∈C ．2421x y x =+D ．4,(2,)2y x x x =+∈-+∞+三、填空题（共20分）13．()()2o ln 2,3,f x x x f x '=-=则0x =______．14．已知数列{}n a 满足12n n a a +=-，且n S 是{}n a 的前n 项和.若60S =，则3a =______.15．设点P 在曲线2()2ln f x x x =-上，Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值=________.16．已知正实数m ，n 满足3m n mn +=-，则mn 的最小值为_____．四、解答题（共70分）17.（1）求导：33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）求函数ln y x x =在1x =处的导数.18．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足213a b ==，5926a a += ，314b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值．20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，2,6AB AC ==,点D 在线段1BB 上，且113BD BB =,11A C AC E =.（1）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若cos θ，求1AA 的长；（2）在（1）的条件下，设平面1ADC ⋂平面=ABC l ，求直线l 与平面11ABA B 的所成角.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（1）求平面PAB 与平面PCB 夹角的余弦值；（2）在AP 上是否存在一点M ，使得DM 与PC 所成角为60︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．22．已知a R ∈，函数3211()(1)332f x x a x ax =----. （1）当1a =时，求函数()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围.参考答案1．B2．D3．A4．A5．A6．B7．B8．C9．ABC10．ABD 11．BD12．BC. 13．1414．1 15．1016．9 17. （1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）ln 1(1)1y x y ''=+⇒=；18．（1）21n a n =-，3nn b =；（2）()1313n n T n +=+-⋅.【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q >，由题知259326a a a =⎧⎨+=⎩，即11321226a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以，()1121n a a n d n =+-=-，又1314327b b a =⎧⎨==⎩，解得29q =，又0q >，所以3q =，113n n n b b q -∴=⋅=；（2）()213n n n a b n ⋅=-⋅，()23133353213n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅，①()()23131333233213n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②①-②得()()()()2123113132323332133221313n n n n n T n n -++--=++++--⋅=+⋅--⋅-()()1113392136223n n n n n +++=+---⋅=-+-⋅，所以()1313n n T n +=+-⋅.19．（1）22142x y +=；（Ⅱ）1. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的四个顶点围成的菱形面积为2ab =又椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，由2213122a b ab ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2242a b ⎧=⎨=⎩，因此椭圆C 的方程为22142x y +=；（Ⅱ）由22142x y +=可得其右焦点为)2F ，设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+，联立直线22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222224242Q Qmx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以()222222224144222Q Qm m OQ x y m m m +=+=+=+++；设()11,M x y 、()22,N x y ，由22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22220m y ++-=，则122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，因此()22412m MN m +===+，所以21MN OQ=.20.解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,设1AA h =，则(2,0,0)B ，(0,6,0)C ，2,0,3h D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0,0,)A h ，1(0,6,)C h ，0,3,2h E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）平面1ADC 的法向量2(,,)n x y z =，则212(,,)(0,6,)0(,,)(2,0,)03n AC x y z h hn AD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩取6z =-，则x y h ==，故2(,,6)n h h =-所以1212cos 72n n n n θ⋅===⋅ 解得1AA h ==（2）在平面11BCC B 内，分别延长1,CB C D ，交于点F ，连接AF ，则直线AF 是平面1ADC 与平面ABC 交线，1//BD CC ，111133BD BB CC ==113BF BD FC CC ∴== 12BF CB ∴=,11(2,0,0)(2,6,0)(3,3,0)22AF AB BF ABCB ∴=+=+=+-=-,23AF ∴==设直线l 与平面11ABA B 的所成的角是α，则3(0,1,0)n 为平面11ABA B 的一个法向量，()33031003AF n ∴=⨯+-⨯+⨯=-333sin cos ,232AF n AF n AF n α∴=<>===0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴直线l 与平面11ABA B 的所成角为4π21．（1）12-；（2）存在，点M 的坐标为(1，0，1). 【详解】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1G ，0，0)，(0P ，0，2)，A (2，0，0)，(2B ，2，0)，(0C ，2，0)，(1F ，1，1)，(2PB =，2，2)-，(0PC =，2，2)-，设平面PCB 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0{·0n PB n PC ==，即2220{220x y z y z +-=-=，令1y =，则0x =，1z =，∴(0n =，1，1)，同理可求得平面PAB 的法向量(1m =，0，1)，cos m ∴<，·12·2m n n m n >===⨯，由图可知，平面PAB 与平面PCB 的夹角为钝角，∴平面PAB 与平面PCB 夹角的余弦值为12-．（2）解：设AM AP λ=，则(22M λ-，0，2)λ，∴(22DM λ=-，0，2)λ，DM 与PC 所成角为60︒，(0PC =，2，2)-， cos 60|cos DM ∴︒=<，·|·(2DM PC PC DM PC>==，解得12λ=，故在AP 上存在一点M ，使得DM 与PC 所成角为60︒，点M 的坐标为(1，0，1)． 22．（1）8210x y --=；（2）4a ≥. 【详解】2()(1)f x x a x a '=---，（1）当1a =时，3211(3)3(11)3133332f =⨯--⨯-⨯-=， 2(3)3(11)318f '=--⨯-=，∴在点(3,(3))f 处的切线方程为38(3)y x -=-，即8210x y --=.（2）函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，2()(1)(1)()0f x x a x a x x a '∴=---=+-≤在(2,4)恒成立，而10x +>在(2,4)恒成立，0x a ∴-≤在(2,4)恒成立，这时4a ≥， ∴当函数()f x 在区间(2,4)上是减函数时，4a ≥。

江苏省灌南高级中学2022-2023学年高二第一学期第(2)周周练数学试卷(提优班)(9.15)

2022-2023学年高二年级第一学期第（2）周周练数学试卷（提优班）（ 9.15）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知直线1l ：3470x y -+=与直线2l ：6(1)10x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则22(2)(2)a b -+-的最小值为( )A. 5B. 5C. 25D. 103. 已知椭圆的标准方程为22120x y m+=，并且焦距为4，则实数m 的值为( ) A. 4m =或26m = B. 16m =或24m = C. 2m =或6m =D. 4m =或36m =4. 已知直线(1)y k x =+与曲线24(2)y x =--有两个交点，则k 的取值范围为( )A. 25[0,)5B. 25(0,)5C. 5(0,)5D. 5[0,]55. 数学中，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)M x y 与点(,)N a b 的距离.结合上述观点，可得22()420210f x x x x x =+++++的最小值为( ) A. 25B. 52C. 4D. 86. 如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )A.33 B. 12C. 22D. 327. 已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1(y kx k =+为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是( )A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一的一组解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两组解D. 存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多组解8. 已知1F ，2F 是椭圆22221(b 0)x y a a b+=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q两点，1PQ PF ⊥，且11||2||QF PF =，则12PF F 与12QF F 的面积之比为( )A. 2B. 1C. 1D. 2+二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

灌南高级中学高二数学期末模拟试题

灌南高级中学高二理科数学期末模拟试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 高二（19）班有65名学生，某次数学考试的平均分是120分，标准差为S ，后来发现录分有误，甲同学的130分误记为150分，乙同学的120分误记为100分，更正后重新计算得标准差为S 1，则S 1与S 的大小关系是__ ___2.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点,则a 的值是 ▲ . 3.已知曲线C ：()sin xf x x e =+，则在x=0处切线方程为 .4．已知条件:|1|2,p x +>条件:,q x a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是 _____________.5．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x y 512=，则该双曲线的离心率为。

6．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ______． 7．关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料，若由资料知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为51ˆ+=bx y，则b =▲8．右上图是设计计算1017531⨯⨯⨯⨯⨯ 的流程图，那么，判断框中应补条件。

9.点M 到点F(0, –2)的距离比它到直线l ：y –3=0的距离小1, 则点M 的轨迹方程是．10.已知抛物线x y 42=上的任意一点P ，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点)5,4(A ，则d PA +||的最小值为 ________ ．11. 已知椭圆 x 225＋ y29 = 1的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________. 12．函数tx x x x f --=cos sin )(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增，则实数t 的取值范围是 x2 3 4 5 6 y24667第 8 题程序框图2+←I I 开始输出S 结束是否1←S1←I I S S ⨯←13．若对任意实数]1,1[-∈x ，不等式230x mx m ++<恒成立，则实数m 的取值范围是． 14．给出下列命题：①若0)(0='x f ，则函数)(x f 在0x x =处有极值； ②0>m 是方程1422=+y m x 表示椭圆的充要条件； ③若x e x x f )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-； ④)1,1(A 是椭圆13422=+y x 内一定点，F 是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点P ，使得PF PA 2+的最小值为3．其中为真命题的序号是 ▲ 。

江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期期
中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
11
3．已知
1
2
n
x
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系
数之和为（）
若相关变量x
和y 可拟合为非线性回归方程ˆ2bx a y +=，则当6x =时，y 的估计值为（）
3
二、多选题
9．下列说法正确的有（）
A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B ．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
C ．线性回归方程对应的直线$$ˆy bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点
D ．在回归分析中，决定系数2R 越大，模拟的效果越好
10．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（）
A ．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B ．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C ．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
三、填空题。

江苏省灌南高级中学高二数学(必修五)学案线性规划

一、新课导入
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
二、典型例题
例1、求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
例2、已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x
求1）y x z 2+=的最值
2）x
y z =的最大值 3）22y x z +=的最小值。

江苏省灌南高级中学高二数学上学期期中复习试题苏教版

一：填空题： 1．数列{}n a 的通项公式为n a kn b =+，（,k b 为常数）是该数列为等差数列的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”， “既不充分也不必要”中的一个）. 2．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .3．等比数列{an}中，an ＞0，且3694a a a =，则log2a2＋log2a4＋log2a8＋log2a10＝___________.4．数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，则该数列的前100项和为___________.5．等差数列{}n a 中，13a =-，58115a a =，则其前n 项和n S 的最小值为___________.6．设正项等比数列{}n a 前n 项和为nS ，且10302S ＋10S ＝1020(21)S +，则数列{}n a 公比为．7．若,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2()a b cd +∈(结果用区间形式表示)8．已知关于x 不等式2260kx kx -+<的解集为φ，则k 的取值范围为___________.9．已知{na }是公差不为0的等差数列，不等式2340x a x a -+≤的解集是{}12|x a x a ≤≤，则na ＝．10．设a>0,b>0,称2aba b +为a ，b 的调和平均数。

如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆。

过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。

连结OD ，AD ，BD 。

过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段CD 的长度是a,b 的几何平均数，那么a,b 的调和平均数是线段的长度.11.等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =-，20072005220072005S S -=，则s2013的值为___________.12．设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则32a b +的最小值为__13．设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则a2013=14．设数列{an}的前n 项和为Sn ．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n 项和等于．解答题16．已知}{n a 是等差数列，公差0>d ，前n 项和为n S 且满足22,1175243=+=⋅a a a a . 对于数列}{n b ，其通项公式C n S b nn +=，如果数列}{n b 也是等差数列。

2024-2025学年连云港市灌南县高二数学上学期10月考试卷及答案解析

灌南惠泽高级中学2024～2025学年第一学期第一次月考高二数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷总分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l 上一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率k 为（）A. 2 B.12C. 12-D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用平移思想和两直线重合来求解即可.【详解】根据直线l 的斜率k 可设直线l 的方程为：y kx b =+，由直线l 上一点向右平移2个单位长度得：()2y k x b =-+，再向下平移1个单位长度得：()2121y k x b kx k b =-+-=-+-，由于这与原直线重合，所以有21b k b =-+-，解得12k =-，故选：C.2. 若圆221x y +=与圆()()22416x y a -+-=有3条公切线，则a =（）A. 3- B. 3 C. 3或3- D. 5【答案】C 【解析】【分析】分析可知两圆外切，可得出关于实数a 的等式，解之即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()()22416x y a -+-=的圆心为()24,C a ，半径为24r =，因为两圆有3条公切线，则两圆外切，则1212C C r r =+5=，解得3a =±.故选：C.3. 已知(,0)F c 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，直线y =与椭圆E 交于A 、B 两点，若ABF △的周长等于4c ，则椭圆E 的离心率等于（）A.34B.23C.14D.【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义及条件求出a ,c 的关系，由椭圆离心率的定义可得结果.【详解】不妨设A在第一象限，由22221y x y a b ì=ïïíï+=ïî，得2a x =±，所以,22a a A B æöæö-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，所以||=AB a ，记椭圆E 的左焦点为C ，由对称性可知四边形ABCF 为等腰梯形，所以BF AC =,由椭圆定义知，2AF AC a +=，所以ABF △的周长等于234AF BF AB AF AC AB a a a c ++=++=+==，所以椭圆E 的离心率等于34c a =，故选：A ．4. 2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，2AB BC CD ===，视AD 所在直线为x 轴，则双曲线的方程为（）A. 22719y x -= B. 2221x y -= C. 22917y x -= D. 22314y x -=【答案】A 【解析】【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由2BC =，可得1a =，再代入点，求解即可.【详解】解：依题意，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为2BC =，则1a =，显然圆O 的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是21=，解得297b =，所以双曲线的方程为22719y x -=.故选：A5. 已知点()12P -，在圆222:410C x y kx y k +++++=外部，则k 的取值范围是（）A. 21k -<<-或12k << B. 12k << C. 2k <- D. 2<<2k -【答案】B 【解析】【分析】要利用圆的一般方程必须满足2240D E F +->，再结合点在圆外可得不等式，即可求解.【详解】由圆222:410C x y kx y k +++++=方程必须满足：()2216410k k +-+>，解得：2<<2k -，的由点()12P -，在圆222:410C x y kx y k +++++=的外部得:()()222124210k k +-++´-++>,解得：2k <-或1k >，综上可得k 的取值范围是12k <<，故选：B.6. 已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为22 1.x y -=若直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（）A. ()1-B. éëC. (1)-ÈD. (【答案】D 【解析】【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数k 的取值范围.【详解】由题设，有2211y kx x y =-ìí-=î，得()221220k x kx -+-=，因为直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故1−k 2≠04k 2+8(1−k 2)>0−2k 1−k 2>0−21−k 2>0，解得1k <<，故选：D .7.45q =°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（）A. 椭圆的长轴长为4B.C. 椭圆的方程可以为22142x y +=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2【答案】B 【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的,a b ，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，椭圆的长半轴长为b ，半焦距为c ，由图象可得2cos 45a =o ∴ 2a =，又b =，222c a b =-，∴ c =∴ 椭圆的长轴长为4，A 对，，B 错，圆的方程可以为22142x y +=，C 对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2，D 对，故选：B .8. 抛物线C ：2(0)y mx m =>的焦点为()40F ，，直线 l 经过点F ，交C 于A B ，两点，交y 轴于点P ，若2PB BF =，则错误的是（）A. 16m = B. 弦AB 的中点到y 轴的距离为133C. 503AB =D. 点B 的坐标为83æ±ççè，【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得m 的值；对于D ，由向量关系和抛物线定义可得点B 的横坐标，代入抛物线的方程可得点B 的纵坐标，从而判断D ；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B ，根据中点坐标公式，可求AB 中点到y 轴的距离；对于C ，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C ．【详解】对于A ，因为抛物线C ：2(0)y mx m =>的焦点为04m F æöç÷èø，，由题意，所以44m=，即16m =，故A 正确；对于D ，如图：过点B 作BB ¢垂直于y 轴，因为2PB BF =，所以23PB BB PF OF ¢==，因为4OF =，所以83BB ¢=，所以83B x =，代入216y x =可得8,3B æççè，故D 错误；不妨设点B 在x 轴下方，则l k ==l的方程为：)4y x =-，即y =-，由2y y ì=ïí=-ïî2326480x x -+=，所以263A B x x +=，对于B ，弦AB 的中点到y 轴的距离为26132323A B x x +==´，故B 正确；对于C ，2650833A B AB x x p =++=+=，故C 正确.故选：D二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，错选得0分，部分选对得部分分.9. 已知方程221x my +=表示的曲线为C ，则（）A. 当01m <<时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆B. 当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆C. 当10m -<<时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线D. 当1m <-时，曲线C 为焦点在x轴上的双曲线【答案】BCD 【解析】【分析】根据双曲线、椭圆的标准方程以及性质即可判断.【详解】根据题意知221x my +=，可化为2211y x m+=，对于A ，根据题意知221x my +=，可化为2211y x m+=，当01m <<时，则11m>，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，故A 错误；对于B ，根据题意知221x my +=，可化为2211y x m+=，当1m >时，101m<<，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；对于C ，根据题意知221x my +=，可化为2211y x m-=-，当10m -<<时，11m<-，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，根据题意知221x my +=，可化2211y x m-=-，当1m <-时，101m<-<，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确.故选：BCD10. 下列选项正确的是（）A. 过点()1,2-且和直线3270x y +-=垂直的直线方程是2380x y -+=B. 若直线l的斜率k éÎ-ë，则直线倾斜角a 的取值范围是πππ3π,,3224éöæùÈ÷çêúëøèûC. 若直线1:210l x y -+=与2:220l x ay +-=平行，则1l 与2lD. 已知圆()221:21C x y +-=，圆()()222:449C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P为为直线20x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为6【答案】ACD 【解析】【分析】设所求直线方程为230x y C -+=，将点()1,2-的坐标代入所求直线方程，可判断A 选项；根据直线倾斜角与斜率的关系可判断B 选项；利用平行线间的距离公式可判断C 选项；求出圆1C 关于直线20x y ++=的对称圆方程，数形结合可得出PM PN +的最小值.【详解】对于A 选项，设过()1,2-且和直线3270x y +-=垂直的直线方程为230x y C -+=，则260C --+=，可得8C =，所以，过点()1,2-且和直线3270x y +-=垂直的直线方程是2380x y -+=，A 对；对于B选项，若k éÎë，则π0,3a éùÎêúëû；若[)1,0k Î-，则3π,π4a éöÎ÷êëø.所以，直线倾斜角a 的取值范围是π3π0,,π34éùéöÈ÷êúêëûëø，B 错；对于C 选项，若直线1:210l x y -+=与2:220l x ay +-=平行，则22121a -=¹-，解得4a =-，则直线2l2420x y --=，即210x y --=，所以，1l 与2l 的距离为dC 对；对于D选项，圆心()10,2C ，圆1C 的半径为11r =，圆心()24,4C ，圆2C 的半径为23r =，圆心距为12C C ==，因为1212C C r r >+，所以，圆1C 与圆2C 外离，所以，圆心1C 关于直线20x y ++=的对称点为点(),A a b ，则线段1AC 的中点坐标为2,22a b +æöç÷èø，由题意可得()21122022b aa b -ì´-=-ïïí+ï++=ïî，即260a b a b =-ìí++=î，解得42a b =-ìí=-î，即点()4,2A --，所以，圆1C 关于直线20x y ++=的对称圆为圆()()22:421A x y +++=，则点M 关于直线20x y ++=的对称点E 在圆A 上，由对称性可知PM PE =，所以，21246PM PN PE PN AC r r +=+³--=-=，当且仅当点P 为线段2AC 与直线20x y ++=的交点时，PM PN +取最小值6，D 对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项考查与圆相关的最值问题，解题的关键在于作出圆1C 的对称圆，将位于直线同侧的两圆转化为位于直线异侧两圆上点的距离的最值，再结合三点共线取最小值来处理.11. 设,a b 为实数，已知圆22:16P x y +=，点(),Q a b 在圆P 外，以线段PQ 为直径作圆M ，与圆P 相交于,A B 两点．下列结论正确的是（）A. 直线QA 与圆P 相切 B. 当3QB =时，点Q 在圆2225x y +=上C. 直线16ax by +=与圆P 相离 D. 当2,4a b ==时，直线AB 方程为280x y +-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据AP AQ ^得到A 正确，确定5QP =得到B 正确，计算圆心到直线的距离得到C 错误，确定圆M 的方程，相减得到D 正确，得到答案.【详解】圆22:16P x y +=，圆心()0,0P ，半径4R =，点(),Q a b 在圆P 外，则2216a b +>，对选项A ：A 圆M 上，故AP AQ ^，故直线QA 与圆P 相切，正确；对选项B ：BP BQ ^，4BP =，3QB =，故5QP =，故点Q 在圆2225x y +=上，正确；对选项C ：16ax by +=到圆心()0,0P的距离为1644d =<=，故相交，错误；对选项D ：()1,2M，半径r ==，故圆M 的方程为：()()22125x y -+-=，两圆方程相减得到16240x y --=，即直线AB 方程为280x y +-=，正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12. 若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为2y x =±，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为____________．【答案】2214y x -=【解析】【分析】由若双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线标准方程可设为()222210,0x y a b a b-=>>，由虚轴长为4，可知2b =，再由渐近线方程为2y x =±，可知2,1ba a==，代入即可求解.【详解】由若双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线标准方程可设为：()222210,0x y a b a b-=>>，由虚轴长为4，可知2b =，再由渐近线方程为2y x =±，可知2,1ba a==，所以双曲线标准方程为：2214y x -=.在故答案为：2214y x -=.13. 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距_____m 时，小船不能通航．【答案】2．【解析】【详解】试题分析：先建立直角坐标系，设抛物线的标准方程，将点（4，﹣5）代入求得p ，得到抛物线方程．再把点（2，y 1）求得y 1，进而求得+|y 1|得到答案．解：建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=﹣2py （p ＞0）．将点（4，﹣5）代入求得p=．∴x 2=﹣y ．将点（2，y 1）代入方程求得y 1=﹣．∴+|y 1|=+=2（m ），故答案为2．点评：本题主要考查了抛物线的应用．在实际应用中常需要先建立直角坐标系，设出标准方程，根据题设条件求得方程，达到解决问题的目的．14. 已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为12F F P ，，为椭圆C 上位于第一象限的一个动点．若直线2F M OP ^(O 为坐标原点)，交线段1F P 于点M ，则11F M F P 的取值范围为_____【答案】()0,2-【解析】【分析】设点11(,),,F MP m n y F P =由向量关系11F M F P y = 表示出()()11,M y m ny +-，再结合由直线2F M OP ^,则20F M OP ×=，化简出(24,22m y m m m =Î++，由函数的单调性求解出范围即可.【详解】设点11(,),0,0,,F MP m n m n y F P >>=由题，()()()1211,01,01,F F F P m n -=+ ，，，设()()1,,1,M M M M M x y F M x y =+ ,则11F M F P y = ，可得()()11,M y m ny +-，则()()212,F M y m ny =+- ，由直线2F M OP ^,则20F M OP ×= ，可得：()2222120,m my m m n y y m m n +-+==++，又P 在椭圆上，则2212m n =-，所以(24,22m y m m m =Î++，4,22y m m=++且2m m +在(单调递减且恒正，所以422y m m =++在(单调递增，0m ®时，0y ®，m =时，)212y ===-=-，故()0,2y Î-，故答案为：()0,2.四、解答题：本题共5小题，共77分15. （1）已知直线l 过点()4,1M ，它在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求此直线方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知射线1l ：()200x y x l -=³，：()200x y x +=³，过点()1,0P 作直线分别交射线12l l ，于点,A B ，当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程.【答案】（1）40x y -=或260x y +-=（2）7470x y --=【解析】【分析】（1）通过讨论截距是否为0，结合直线的截距式即可得解；（2）设(,)A a a ，(,2)B b b -，求出线段AB 的中点坐标，根据题意列方程组求出a 、b ，即可求得直线的方程；【详解】（1）当截距为0时，易得直线方程为40x y -=；当截距不为0时，由题意设直线方程12x y a a +=，代入点()4,1M 可得：4112a a +=，解得3a =，此时直线方程为163x y +=，即260x y +-=；故直线方程为40x y -=或260x y +-=.（2）设(,)A a a ，(,2)B b b -，则线段AB 的中点为2(,)22a b a b C +-，所以2202202011a b a b a b a b +-ì-´=ïïí---ï=ï--î，解得73a =，715b =或0a b ==（舍去）；所以直线AB 的方程为：730(1)713y x -=--，化为：7470x y --=.16. 已知圆心为C 的圆经过()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线:10l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）已知点()x y ，在圆C 上．求x y +的最大值；（3）线段PQ 的端点P 的坐标是()5,0，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．【答案】（1）()()223225x y +++=（2）5-（3）()()2225114x y -++=【解析】【分析】（1）由A 和B 的坐标，确定AB 的斜率，进而得到 AB 垂直平分线的方程，解得圆心C 的坐标，再由C 和A 的坐标，利用两点间的距离公式求出AC 的值，即为圆C 的半径，由圆心和半径写出圆C 的标准方程即可.（2）通过三角换元即可求解；（3）设出Q 和M 的坐标，由中点坐标公式把Q 的坐标用M 的坐标表示，然后代入圆()()223225x y +++=即可得到答案．【小问1详解】因为()1,1A ，()2,2B -，所以()12312AB k --==--，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为13，又弦AB 的中点坐标为31,22æö-ç÷èø，所以弦AB 的垂直平分线的方程为113232y x æö+=-ç÷èø，即330x y --=，与直线10：-+=l x y 联立解得：3x =-，2y =-，所以圆心C 坐标为()3,2--所以圆的半径5r AC ==，则圆C 的方程为：()()223225x y +++=；【小问2详解】由（1）设()35cos ,25sin [0,2πx y q q q +=+=Î，所以π5cos 5sin 554x y q q q æö+=+-=+-ç÷èø，所以当π4q =时，x y +取到最大值5.【小问3详解】设()11,Q x y ，线段PQ 的中点M 为,x y （），()5,0P ，M 为PQ 中点，所以152x x +=，102y y +=则125x x =-，12y y =①；因为端点Q 在圆()()223225x y +++=上运动，所以()()22113225x y +++=，把①代入得：222532225x y +-++=（）（），所以线段PQ 的中点M 的轨迹方程是()()2225114x y -++=.17. 如图，已知直线与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A B ，两点，且OA OB ^， OD AB ^交AB 于点D ，点D 的坐标为()11，，（1）求p 的值．（2）若线段AB 的垂直平分线于抛物线C 交于E ，F 两点，求OEF V 的面积.【答案】（1）1p =（2）12【解析】【分析】（1）由两直线垂直得到直线AB ，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可；（2）设线段AB 的中点为()00,M x y ，由中点坐标公式得到EF l 方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可；【小问1详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为OD AB ^交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,1，所以直线AB 的方程为()11y x -=--，联立y 2=2px(p >0)y−1=−(x−1)，消去y 可得2240y py p +-=，24160p p D =+>，则12122,4y y p y y p +=-=-，因为OA OB ^，所以12120x x y y +=，即()12124220y y y y -++=，即4480p p +-=，解得1p =，【小问2详解】设线段AB 中点为()00,M x y ，由（1）知12012y y y p +==-=-，所以0023x y =-=，所以:13EF l y x +=-，即4y x =-，联立224y x x y ì=í=+î，消去x 可得2280y y --=，432360D =+=>，设()()3344,,,E x y F x y ，则34342,8y y y y +==-，所以EF ===又点O 到直线EF所以OEF V的面积为1122´=.18. 已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点.（1，焦距为2，求线段AB 的长；（2）若OA OB ^ （其中O 为坐标原点），当椭圆离心率13e éÎêë时，求椭圆的长轴长的最大值.【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据椭圆中基本量的关系计算可得椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得线段AB 的长即可；（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据OA OB ^，可得12120x x y y +=，再联立方程利用韦达定理表示的的12120x x y y +=关于基本量a ，b 的关系，可转化为2211121a e æö=+ç÷-èø，因为1[3e Î，可得a Î，从而可得长轴长得最大值.【小问1详解】e =22c =，a \=，1c =，则b ==\椭圆的方为22132x y +=，联立221,321,x y y x ì+=ïíï=-+î消去y 得：25630x x --=，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则1265x x +=，12x x==【小问2详解】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，OA OB ^ Q ，0OA OB \×= ，即12120x x y y +=，由222211x y a b y x ì+=ïíï=-+î，消去y 得()()222222210a b x a x a b +-+-=，由Δ=(−2a 2)2−4a 2(a 2+b 2)(1−b 2)>0，整理得221a b +>，又212222a x x a b +=+，()2212221a b x x a b-=+，()()()12121212111y y x x x x x x \=-+-+=-++，由12120x x y y +=，得：()1212210x x x x -++=，()222222221210a b a a b a b -\-+=++，整理得：222220a b a b +-=，222222b a c a a e =-=-Q ，代入上式得221211a e=+-，2211121a e æö\=+ç÷-èø，1[3e ÎQ ，则218(1)[,]49e -Î，则2211175[1][,]21162a e =+Î-，a Î，则2a £.19. 已知双曲线C 的离心率为2，右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为第二象限内的动点，过点M 作双曲线C 左支的两条切线，分别与双曲线C 的左支相切于两点P ，Q ，已知MA ，MB 的斜率之比为()3:1-.（1）求双曲线C 的方程；（2）直线PQ 是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.（3）设APQ △和BPQ V 的面积分别为1S 和2S ，求21S S -的取值范围.参考结论：点()00,R x y 为双曲线22221x y a b-=上一点，则过点R 的双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=.【答案】（1）2213y x -= （2）过定点，定点坐标为()2,0-（3）()6,+¥【解析】【分析】（1）由条件确定双曲线的焦点位置，设其方程，再列出关于,,a b c 的方程，解方程可得双曲线方程，（2）设()(),0,0M x y x y <>，由条件MA ，MB 的斜率之比为()3:1-可得12x =-，设1,2M m æö-ç÷èø，()11,P x y ，()22,Q x y ，结合所给结论求切线MP ，MQ 方程，由此可得直线PQ 的方程，由此判断结论；（3）先证明213S S =，设:2PQ x ty =-，结合设而不求法表示21S S -，再通过换元，利用函数的单调性求其取值范围.【小问1详解】由已知双曲线C 为焦点在x 轴上，中心为原点的双曲线，设其方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，因为双曲线C所以2c e a ==，b a ==，又双曲线C 的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，所以2c =，所以1,a b ==双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】知()1,0A -，()10B ,，设()(),0,0M x y x y <>，所以1MA y k x =+，1MB y k x =-，因为MA ，MB 的斜率之比为3:1-，即()()311x x +=--，解得12x =-，所以点M 在直线12x =-上，设1,2M m æö-ç÷èø，()11,P x y ，()22,Q x y ，则切线MP 方程为：1113yy xx -=，则切线MQ 方程为：2213yy xx -=，因为点M 既在直线MP 上又在直线MQ 上，即：111123my x --=，221123my x --=，所以直线PQ 的方程为：1123my x --=，化简可得()1232my x =-+，所以直线PQ 过定点()2,0-；【小问3详解】由（2）得直线PQ 过定点()2,0N -，所以，1AN =，3BN =，所以，点B 到直线PQ 的距离为点A 到直线PQ 的距离的3倍，所以，213S S =，因为11212S AN y y =×-，所以，211122S S S y y -==-，若直线PQ 的斜率为0，则直线PQ 与双曲线的左支的交点为()1,0-与已知矛盾，若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为2x =-，直线2x =-与双曲线2213y x -=的交点坐标为()()2,3,2,3Q P ---，故切线MP 的方程为()21x y --=，切线MQ 的方程为()21x y -+=，此时点M 的坐标为102æö-ç÷èø，，与点M 在第二象限矛盾，设:2PQ x ty =-()0t ¹，将:2PQ x ty =-代入双曲线22:13y C x -=中得()22311290t y ty --+=，由已知2310t -¹，方程()22311290t y ty --+=的判别式()222144363136360t t t D =--=+>，所以，1221231t y y t +=-，122931y y t =-，由已知12120,0x x x x +<>，所以124ty ty +<，()()12220ty ty -->，所以2212431t t <-，2229122403131t t t t t ´-´+>--，化简可得213t <，又0t ¹，所以0t <<或0t <<，所以t的取值范围为æöæç÷çç÷çèøèU 所以2112S S y y -=-==令n =n æÎççè，221t n =-所以21122664433n S S y y n n n -=-==--函数643y n n=-在n æÎççè上单调递增，所以216S S <-<+¥，所以，21S S -的取值范围为()6,+¥.【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

江苏省连云港市灌南高级中学 2022-2023 学年高二下学期第二次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 r
1．已知直线 l 经过点 A(1,1,2), B(0,1,0) ，平面的一个法向量为 n (2,0, 4) ，则（）
所成角的正弦值为（）
A． 2 2
B． 3 4
C． 3 6
D． 3 2
二、多选题 9．某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了 200 人.统计过程中发现随机从这 200 人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为 0.1.在制定 2 2 列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的 2 2 列联表，下列结论正确的是（）
已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为
$y 1.2x a$，预测该人工智能公司第 6 年的利润约为____亿元.
14．已知甲罐中有 3 个红球、 2 个黑球，乙罐中有 2 个红球、 2 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”， B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则 P(B | A) __________．
B．200 人中患肺气肿的人数为 10 人 D．按 99.9%的可靠性要求，可以认为“吸
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烟与肺气肿有关系” 10．如图，在一广场两侧设置 6 只彩灯，现有 4 种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）
A．共有 46 种不同方案 B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1､ 4）也不同色，且 4 种颜色的彩灯均要使用，则共有 186 种不同方案 C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1､ 4）也不同色，且只能使用 3 种颜色的彩灯，则共有 192 种不同方案 D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1､ 4）也不同色，且只能使用 2 种颜色的彩灯，则共有 12 种不同方案 11．如图，AB 为圆柱的母线，BD 为圆柱底面圆的直径且 AB BD 4 ，O 为 AD 中点， C 在底面圆周上滑动（不与 B，D 重合）.则下列结论中正确的为（）

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期9月期初检测数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二上学期9月期初检测数学试题一、单选题1．直线20y +=的倾斜角和斜率分别是（） A ．4π，1 B ．0，0 C ．2π，不存在 D ．不存在，不存在【答案】B【分析】由倾斜角和斜率的定义求直线20y +=的倾斜角和斜率. 【详解】由倾斜角定义可得直线20y +=的倾斜角为0， ∴直线20y +=的斜率为0，故选：B.2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（）． A ．(2,0)-，2 B ．(2,0)，2 C ．(2,0)-，4 D ．(2,0)，4【答案】B【详解】2240x y x +-=，即222(2)42x y -+==，故圆心为(2,0)，半径为2．故选B ．3．直线l 过点P （2，﹣1）且在两坐标轴上的戴距之和为0，则直线l 的方程为（） A ．x ﹣y ﹣3＝0 B ．x +2y ＝0或x ﹣y ﹣3＝0 C ．x +2y ＝0 D ．x +2y ＝0或x +y ﹣1＝0【答案】B【分析】根据直线l 是否过原点进行分类讨论，由此求得正确结论. 【详解】当直线l 过原点时，直线方程为1202y x x y -=⇒+=符合题意. 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=-，将P 点坐标代入得2113a a a +=⇒=，13033x yx y -=⇒--=.所以直线l 的方程为20x y +=或30x y --=. 故选：B4．“m =2”是“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直的等价条件，再结合已知借助充分条件、必要条件的定义即可判断作答.【详解】“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”等价于：1[(2)]0m m m ⋅+⋅-+=⇔2201m m m --=⇔=-或2m =，于是有：当m =2时，直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直，当直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直时，m 值可以是-1，即2m =不一定成立，所以“m =2”是“直线mx -(m +2)y +3＝0和直线mx +y +1=0垂直”的充分不必要条件. 故选：A5．若点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <- B ．3a >- C ．32a -<< D ．23a -<<【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件. 【详解】因为点()1,2R -在圆C ：22220x y x y a +--+=的外部，所以14240a ++-+>，解得3a >-，又方程22220x y x y a +--+=表示圆，所以22(2)(2)40a -+-->，解得2a <，故实数a 的取值范围为32a -<<．故选：C6．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0，所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-，所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.7．直线22(1)10ax a y -++=的倾斜角的取值范围是（）A ．[-,]44ππB ．5[,]66ππC ．3[0,][,)44πππ⋃D ．5[0,][,)66πππ⋃ 【答案】C【分析】设直线22(1)10ax a y -+-=的倾斜角为θ，可得22tan 1aa θ=+，根据正切函数的性质可得结果.【详解】直线22(1)10ax a y -++=，所以直线的斜率22tan 1ak a θ==+，又2120aa ，所以1tan 1θ-，又[0,),θπ∈所以3[0,][,).44ππθπ∈⋃故选：C .8．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有（）个. A ．2 B ．3 C ．5 D ．7【答案】D【分析】根据已知两圆相离，根据圆与圆相切的定义利用待定系数法求出满足条件的圆即可.【详解】圆1O ：22(2)1x y ++=的圆心为1(2,0)O -，半径11r =，圆2O ：22(2)1x y -+=的圆心为1(2,0)O ，半径11r =，设圆3O ：()22()9x a y b -+-=与圆1O ，圆2O 都相切，当圆3O 与圆1O ，圆2O 都外切时，则313231O O O O ，所以22216ab ，22216a b ，所以0a =，b =±所以圆3O 的方程为22(9x y ++=或22(9x y +-=，当圆3O 与圆1O ，圆2O 都内切时，则313231O O O O ，所以2224ab ，()2224a b -+=，所以0a =，0b =，所以圆3O 的方程为229x y +=，当圆3O 与圆1O 外切，与圆2O 内切时，则31323131O O O O ，，所以22216ab ，()2224a b -+=，所以32a =，152b ，所以圆3O 的方程为22392x y ⎛⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭或22392x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当圆3O 与圆1O 内切，与圆2O 外切时，则31323131O O O O ，，所以2224ab ，22216a b ，所以32a =-，152b，所以圆3O 的方程为22392x y ⎛⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎝⎭或22392x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以满足条件的圆共7个，故选：D .二、多选题9．已知直线1:230l ax y a ++=和直线()2:3170l x a y a +-+-=，下列说法正确的是（） A ．当3a =时，12l l // B ．当2a =-时，12l l //C ．当25a =时，12l l ⊥ D ．直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()2,1-【答案】ACD【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述过程中注意区分a 等于1和不等于1的情况. 【详解】对A 和B ，如果12l l //，则1l 和2l 的斜率相等，1a ≠时321a a -=--，26a a -=，解得3a =或2a =-.当1a =时，1:230l x y ++=，2:2l x =-，两直线既不平行也不垂直. 当3a =时，1:3290l x y ++=，2:3240l x y ++=，，A 对. 当2a =-时，1:30l x y -+-=，2:30l x y -+-=，，B 错.对C ，当25a =时，121525k =-=-，235215k =-=-，221k k ⋅=-，所以 12l l ⊥，C 对.对D ，1:230l ax y a ++=转化为斜截式为()32a y x =--，即()032ay x -=--，所以1l 过定点()3,0-.同理，()2:3170l x a y a +-+-=，1a ≠时转化为斜截式为()3211y x a =--+-，即()3121y x a -=---，2l 过定点()2,1-；1a =时，2l 为2x =-，也过定点()2,1-，D 对. 故选：ACD.10．下列说法正确的有（）A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αB ．点()1,2-关于直线1y x =+的对称点为()1,0C ．圆()()()222130x y r r -+-=>与圆2216x y +=可能内含、内切或相交D ．若圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y r r -++=>相离，则04r <<【答案】BC【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A ，设对称点的坐标为(),a b ，依题意得到方程组，解得a 、b ，即可判断B ，求出两圆心之间的距离，即可判断C 、D ；【详解】解：对于A ：当直线的倾斜角90α=︒时，直线的斜率不存在，tan90︒无意义，故A 错误；对于B ：设点1,2关于直线1y x =+对称的点的坐标为(),a b ，则211121122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，故对称的点的坐标为()1,0，故B 正确；对于C ：圆()()()222130x y r r -+-=>的圆心为()1,3，半径为r ，圆2216x y +=的圆心为()0,0，半径为4，所以圆心之间的距离4d r <+，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C 正确；对于D ：圆221:1C x y +=圆心()10,0C ，半径为1，圆()()()2222:340C x y r r -++=>圆心()23,4C -，半径为r ，若两圆相离，因为125C C ==，所以121C C r >+或121C C r <-，所以04r <<或6r >，故D 错误. 故选：BC11．圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1+ 【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB ==C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d =，又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确. 故选：ABD.12．平面直角坐标系xOy 中，点()3,6P ，圆22:9O x y +=与x 轴的正半轴交于点Q ，则（）A ．点P 到圆O 上的点的距离最大值为3B ．过点P 且斜率为1的直线被圆O 截得的弦长为C ．过点P 与圆O 相切的直线方程为34150x y -+=D ．过点P 的直线与圆O 交于不同的两点A ，B ，则直线QA ，QB 的斜率之和为定值-1 【答案】ABD【分析】对于A ，点P 到圆心O 的距离与半径之和即为点到圆上点的最大值，求出即可；对于B ，利用圆的弦长公式求得即可；对于C ，过点(3,6)P 的直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况，其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于D ，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入化简121233QA QB yk k x x y +=+--，验证是否是定值-1即可. 【详解】对于选项A ，点P 到圆O 上的点的距离最大值为P 到O 的距离与圆O 的半径33= ，故选项A 正确；对于选项B ，过点P 且斜率为1的直线为30x y -+=，则圆心O 到该直线的距离为d =B 正确；对于选项C ，圆心坐标为()0,0，半径3r =，则圆心()0,0到直线3x =的距离为303r -==，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程为6(3)y k x -=-，即360kx y k --+=，则圆心()0,0到直线的距离为3d r ==，解得34k =，则直线方程为34150x y -+=，综上，过点P 与圆O 相切的直线方程为3x =和34150x y -+=.故选项C 不正确；对于选项D ，由题意知点(3,0)Q ，联立226(3)9y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得()22216(2)936270k xk k x k k +--+-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221226(2)19362710k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪-+⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩，所以()()1212121236363333QA QB k x k x yk k x x x x y -+-++=+=+---- ()()121212216666223339x x k k x x x x x x +-=++=+---++222236276(2)66122(21)196(2)3911k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⋅-⎢⎥+⎣⎦=+=+--=---⋅++-++.故选项D 正确.故选：ABD三、填空题13．以点()0,4A ，()4,6B 为直径的两个端点的圆的标准方程是___．【答案】()()22255x y -+-=.【分析】求出AB 中点坐标为圆心，求出线段AB 长的一半即为半径，进而可得圆的方程.【详解】由点()0,4A ，()4,6B 可得AB 中点坐标为()2,5，AB =所以所求圆的圆心坐标为()2,5 所以所求圆的标准方程为：()()22255x y -+-=，故答案为：()()22255x y -+-=.14．一条光线从点()2,3射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y -++=相切，则反射光线所在直线的斜率为________. 【答案】34-或43-【解析】由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，利用直线与圆的相切的性质即可得出.【详解】由题意可知点(2,3)-在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=. 圆()()22321x y -++=的圆心(3,2)-，半径为1， 1=，解得34k =-或43-.故答案为：34-或43-15．已知圆()()22:684-+-=C x y 和两点()0,A m -，()()0,0B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为______.【答案】12【分析】根据圆C 上存在点P 使得90APB ∠=，则以AB 为直径的圆O 与圆C 有交点，从而得到圆O 与圆C 内切时，m 取得最大值，再求最大值即可. 【详解】圆22:(6)(8)4C x y -+-=，圆心()6,8C ，半径2r =，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则以AB 为直径、半径长为m 的圆O 与圆C 有交点，如图所示：当圆C 内切于圆O 时，m 取得最大值，22max 268212m CO =++=. 故答案为：12.16．设,m n R ∈,若直线 :10l mx ny +-=与 x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆 224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ∆面积的最小值为 _____．【答案】3.【分析】由点到直线的距离公式和弦长公式求得,m n 的关系，利用基本不等式即可求解即可.【详解】如图所示,取CD 中点E ,连接OE ,则OE ⊥CD , ∵l 与圆相交所得弦的长为2,1DE ∴=,又∵圆的半径2OD =, 直线l 的方程为10mx ny +-=, 由点到直线的距离公式得OE =22m n +41-∴m 2＋n 2=13≥2|mn |,∴|mn |≤16,当且仅当66m n ==时取等号,mn ∴的最大值为16.l 与x 轴交点A (1m ,0),与y 轴交点B (0,1n ), AOB S ∴=12·|1m ||1n |=12·1mn ,AOB ∴的面积的最小值为16=32⨯.故答案为：3.四、解答题17．已知直线1:230l x y +-=.(1)若直线2l 与直线1l 垂直，且过点(1，1)，求直线l 2的方程. (2)若直线1l 与直线:210l ax y -+=平行，求直线1l 与l 的距离；【答案】(1)210x y -+= 5【分析】（1）由直线2l 与直线1l 垂直，求得212k =，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由直线1l 与直线l 平行，求得4a =-，得到4210x y +-=，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】(1)解：由直线1:230l x y +-=，可得12k =-，因为直线2l 与直线1l 垂直，所以121k k ，可得212k =，又因为直线2l 过点(1,1)，可直线2l 的方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=，所以直线2l 的方程为210x y -+=.(2)解：因为直线1l 与直线:210l ax y -+=平行，可得21213a -=≠-，解得4a =-，即直线l 与直线4210x y --+=，即4210x y +-=，又由直线1:230l x y +-=，可化为4260x y +-=，所以直线1l 与l 的距离d ==1l 与l .18．已知ABC 的三个顶点分别为(0,1)A ，(2,1)B ，(0,5)C ，求： (1)BC 边上中线所在直线的方程（D 为BC 中点）； (2)BC 边的垂直平分线的方程； (3)求ABC 的外接圆方程. 【答案】(1)210x y -+= (2)250x y -+= (3)()()22135x y -+-=【分析】（1）计算线段BC 的中点D 坐标，然后得到中线的斜率，最后利用点斜式计算即可.（2）计算直线BC 的斜率，得到中垂线的斜率，然后利用点斜式计算即可.（3）计算AC 中垂线的方程，然后与（2）中方程联立可得圆心，进一步得到半径，可得结果.【详解】(1)线段BC 的中点()13D ，，所以直线AD 的斜率为31210-=-，所以中线的方程为：()120y x -=-，即210x y -+= (2)直线BC 的斜率51202-=--，所以中垂线的斜率为12所以中垂线的方程为：()1312y x -=-，即250x y -+= (3)线段AC 中垂线的方程3y =，所以312503y x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以该外接圆的圆心为()1,3=所以该三角形的外接圆方程为：()()22135x y -+-= 19．已知圆M ：2226290x y mx y m +--++=. (1)求m 的取值范围；(2)已知点()2,1A 在圆M 上，若圆N 过点(1,P ，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程.【答案】(1)()(),02,-∞+∞(2)()2212x y -+=【分析】(1)将圆M 的一般方程化成标准方程，然后利用半径大于0求解即可；(2)结合已知条件求出圆M 的方程，求出圆心和半径，设出圆N 的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆N 的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆N 半径相等即可求解. 【详解】(1)将2226290x y mx y m +--++=变形为()()22232x m y m m -+-=-，由220m m ->，得0m <或2m >，所以m 的取值范围是()(),02,-∞+∞.(2)将点()2,1A 代入圆22:26290M x y mx y m +--++=，可得4m =，所以圆M 的方程为2286170x y x y +--+=，化为标准方程可得()()22438x y -+-=，故圆M 的圆心为(4,3)，半径为设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),N a b ，因为圆N 与圆M 相切于点A ，所以A 、M 、N 三点共线，故直线AM 的方程为123142y x --=--，即1y x =-，把(),N a b 代入得1b a =- ①，又由||||AN PN r ==可得，()()()(22222211a b r b a -+-=-+= ②，联立①②，解得1a =，0b =，所以r ==故圆N 的标准方程为()2212x y -+=.20．已知圆E 经过点(0,0)A ，(2,2)B ，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y 轴相切；②圆E 恒被直线20(R)mx y m m --=∈平分；③过直线440x y +-=与直线240x y --=的交点.C (1)求圆E 的方程；(2)求过点(4,3)P 的圆E 的切线方程，并求切线长. 【答案】(1)22(2)4x y -+=(2)切线方程为4x =或512160x y -+=，切线长3【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P 在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可. 【详解】(1)选①，设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=，由题意可得222222(2)(2)a r a b r a b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为22(2)4;x y -+= 选②，直线20mx y m --=恒过(2,0)，而圆E 恒被直线20(R)mx y m m --=∈平分，所以20mx y m --=恒过圆心，因为直线20mx y m --=过定点(2,0)，所以圆心为(2,0)，可设圆的标准方程为222(2)x y r -+=，由圆E 经过点(0,0)A ，得24r =，则圆E 的方程为22(2) 4.-+=x y 选③，由条件易知(4,0)C ，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，由题意可得082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2240x y x +-=，即22(2) 4.-+=x y (2)因为22(42)3134-+=>，所以点P 在圆E 外，若直线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为3(4)y k x -=-，即430.kx y k --+=2==，解得512k =所以切线方程为512160x y -+=，若直线斜率不存在，直线方程为4x =，满足题意.综上过点(4,3)P 的圆E 的切线方程为4x =或512160x y -+=，切线长|30| 3.-=21．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值.22．如图，已知圆22:1O x y +=，点(),4P t 为直线4y =上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为,M N .（Ⅰ）已知1t =，求切线的方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；（Ⅲ）若1t >，两条切线分别交y 轴于点,A B ，记四边形PMON 面积为1S ，三角形PAB 面积为2S ，求12S S ⋅的最小值. 【答案】（Ⅰ）1x =或151788y x =+；（Ⅱ）是，104⎛⎫⎪⎝⎭，；（Ⅲ）25. 【解析】（Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程；（Ⅱ）由题意求出以P 为圆心，以||PM 为半径的圆的方程，与圆O 联立可得弦MN 所在的直线的方程，可得直线恒过定点；（Ⅲ）由题意求出面积1S ，2S 的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值．【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线1x = 情况2.设切线：()41y k x -=-，即40kx y k --+=.由d r =2411k k -=+，解得158k =，切线为151788y x =+综上：切线为1517188x y x ==+, （Ⅱ）,M N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上，即在圆P ：()()222415x t y t -+-=+上联立()()22222415{1x t y t x y -+-=++= 得410tx y +-=所以:410MN l tx y +-=过定点104⎛⎫⎪⎝⎭，(Ⅲ)21122152PMO S S PM OM t ∆==⨯⋅=+设()()12:4,:4PM PN l y k x t l y k x t -=--=-；得()()120,4,0,4A k t B k t --，12AB k k t ∴=-，2121122PABSAB t k k t =⋅=-⋅ 切线统一记为()4y k x t -=-，即40kx y kt --+=由d r =1=，得()2218150t k tk --+=两根为12,k k所以12k k -=所以2S =()()221221511t t S S t t +⋅=>- 记()()2116161,17m m m t y m mm++=-==++当4m =，即t =()12min 25S S ⋅=【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.。