格与布尔代数

定理11.1 定理11.1
(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。 (1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。 分别是{a,b} 的最小上界 由于{a,b} {b,a}，所以a∨b b∨a。 {a,b}＝ a∨b＝ 由于{a,b}＝{b,a}，所以a∨b＝b∨a。 由对偶原理，a∧b＝b∧a得证 得证。 由对偶原理，a∧b＝b∧a得证。 (2)由最小上界的定义有 (2)由最小上界的定义有 (a∨b)∨c≥a∨b≥a (13.1) (a∨b)∨c≥a∨b≥b (13.2) (a∨b)∨c≥c (13.3) 由式13.2 13.3有 13.2和 由式13.2和13.3有 (a∨b)∨c≥b∨c (13.4) 再由式13.1 13.4有 13.1和 再由式13.1和13.4有 (a∨b)∨c≥a∨(b∨c) 同理可证 同理可证 (a∨b)∨c≤a∨(b∨c) (a∨b)∨c＝ 根据偏序关系的反对称性有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) 由对偶原理，(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)得证 得证。 由对偶原理，(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)得证。
定理11.2 定理11.2
证明<S <S， 构成格。 即证明a∨b a∨b＝ a∧b＝ (3) 证明<S，≤>构成格。 即证明a∨b＝a°b，a∧b＝a*b 。 a,b∈S (a°b)＝(a°a)° ∀a,b∈S 有 a°(a°b)＝(a°a)°b＝a°b (a°b)＝ (b°b)＝ b°(a°b)＝a°(b°b)＝a°b 根据≤ a≤a° b≤a° 所以a {a,b}的上界 的上界。 根据≤的定义有 a≤a°b和b≤a°b， 所以a°b是{a,b}的上界。 {a,b}的上界 则有a 的上界， 假设 c为{a,b}的上界， 则有a°c＝c和b°c＝c，从而有 (a°b)° (b° (a°b)°c ＝ a°(b°c) ＝ a°c ＝ c 这就证明了a b≤c， 所以a {a,b}的最小上界 的最小上界， a∨b＝ 这就证明了a°b≤c，所以a°b是{a,b}的最小上界，即 a∨b＝a°b 为证a*b是{a,b}的最大下界， 先证 为证a*b是{a,b}的最大下界， a*b 的最大下界 a*b＝ a°b＝b ⇔ a*b＝a (13.7) 首先由a a*(a° 首先由a°b＝b 可知 a*b ＝a*(a°b) ＝a (a*b)° 反之由a*b＝a 可知 a°b ＝(a*b)°b ＝b°(b*a) ＝b 反之由a*b＝ a*b 再由式(13.7) (13.7)和 a*b＝ 依照前边的证明, 再由式(13.7)和≤的定义有 a≤b ⇔ a*b＝a， 依照前边的证明, 类似地可证 a*b是{a,b}的最大下界， 即 a∧b＝a*b。 a*b是{a,b}的最大下界， 的最大下界 a∧b＝a*b。
定理11.1 定理11.1
(3)显然a≤a∨a, (3)显然a≤a∨a, 显然 又由a≤a可得 又由a≤a可得 a≤a a∨a≤a。 a∨a≤a。 a∨a＝ 根据反对称性有 a∨a＝a， 由对偶原理，a∧a＝ 得证。 由对偶原理，a∧a＝a 得证。 (4)显然 (4)显然 a∨(a∧b)≥a a∨(a∧b)≤a 由式13.5和13.6可得 由式13.5和13.6可得 13.5 根据对偶原理，a∧(a∨b)＝ 得证。 根据对偶原理，a∧(a∨b)＝a 得证。 (13.5) (13.6) a≤a， 又由 a≤a，a∧b≤a 可得 a∨(a∧b)＝ a∨(a∧b)＝a，
例11.2
(1)是格 是格。 解答 (1)是格。 x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y。 就是x∪y 就是x∩y ∀x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y。 由于∪ 由于∪和∩运算在P(B)上是封闭的，所以x∪y，x∩y∈P(B)。 运算在P(B)上是封闭的，所以x∪y，x∩y∈P(B)。 P(B)上是封闭的 x∪y >,为 幂集格。 称<P(B), ⊆>,为B的幂集格。 (2)是格。 (2)是格。 是格 x,y∈Z,x∨y＝max(x,y)，x∧y＝min(x,y)，它们都是整数。 ∀x,y∈Z,x∨y＝max(x,y)，x∧y＝min(x,y)，它们都是整数。 (3)都不是格。 (3)都不是格。 都不是格 (a)中的{a,b}没有最大下界 中的{a,b}没有最大下界。 (a)中的{a,b}没有最大下界。 (b)中的{b,d}有两个上界 中的{b,d}有两个上界c e,但没有最小上界 但没有最小上界。 (b)中的{b,d}有两个上界c和e,但没有最小上界。 (c)中的{b,c}有三个上界d,e,f,但没有最小上界 中的{b,c}有三个上界d,e,f,但没有最小上界。 (c)中的{b,c}有三个上界d,e,f,但没有最小上界。 (d)中的{a,g}没有最大下界。 (d)中的{a,g}没有最大下界。 中的{a,g}没有最大下界
对偶原理
定义11.2 是含有格中元素以及符号＝、 ＝、≤ 定义11.2 设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和∧的 命题。 是将f中的≤替换成≥ 替换成≤ 命题。令f*是将f中的≤替换成≥，≥替换成≤，∨替换成 替换成∨所得到的命题。 对偶命题。 ∧，∧替换成∨所得到的命题。称f*为f的对偶命题。 在格中令f (a∨b)∧c≤c， (a∧b)∨c≥c。 例如 在格中令f是(a∨b)∧c≤c，则f*是(a∧b)∨c≥c。 是含有格中元素以及符号＝、 ＝、≤ 格的对偶原理 设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和 的命题。 对一切格为真， 的对偶命题f ∧的命题。若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也对一切格 为真。 为真。 对一切格L 例如 对一切格L都有 那么对一切格L 那么对一切格L都有 对一切格 ∀a,b∈L，a∧b≤a a,b∈L， ∀a,b∈L，a∨b≥a a,b∈L， (因为a和b的交是a的一个下界) 因为a 的交是a的一个下界) 说明 许多格的性质都是互为对偶命题的。 许多格的性质都是互为对偶命题的。 有了格的对偶原理，在证明格的性质时， 有了格的对偶原理，在证明格的性质时， 只须证明其中的一个命题即可。 只须证明其中的一个命题即可。
中国地质大学本科生课程
离散数学
第11章 格与布尔代数
本章内容
11.1 格的定义与性质 分配格、有补格与 11.2 分配格、有补格与布尔代数 本章总结 作业
11.1 格的定义与性质
定义11.1 <S,≤>是偏序集 如果∀ , ∈S 是偏序集， ∈S， , } 定义11.1 设<S,≤>是偏序集，如果∀x,y∈S，{x,y}都有最小 上界和最大下界，则称S关于偏序≤作成一个格 上界和最大下界，则称S关于偏序≤作成一个格(lattice)。 ) 说明：由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{ , } 说明：由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x,y}的最 小上界和最大下界看成x 的二元运算∨ 小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧。 x∨y：表示x与y的最小上界 ∨ ：表示x x∧y：表示x和y的最大下界。 ∧ ：表示x 的最大下界。 本章出现的∨ 本章出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的 符号只代表格中的运算， 含义。 含义。
定理11.2 定理11.2
∀a,b,c∈S 有 a,b,c∈S aRb且 aRb且bRc ⇒ a°b＝b 且 b°c＝c (b° ⇒ a°c＝a°(b°c) (a°b)° ⇒ a°c＝(a°b)°c ⇒ a°c＝b°c＝c ⇒ aRc 这就证明了R 这就证明了R在S上是传递的。 上是传递的。 综上所述， 综上所述，R为S上的偏序。 上的偏序。 以下把R记作≤ 以下把R记作≤。
定理11.2 源自文库理11.2
(1)证明在S (1)证明在S中*和°运算都适合幂等律。 证明在 运算都适合幂等律。 ∈S， a*( ∀a∈S，由吸收律得 a*a ＝ a*(a°(a*a)) ＝ a 同理有 a°a＝a。 a,b∈S (2)在 上定义二元关系R (2)在S上定义二元关系R， ∀a,b∈S 有 <a,b>∈R ⇔ a°b＝b 下面证明R 下面证明R在S上的偏序。 上的偏序。 <a,a>∈R， 根据幂等律， ∈S都有 都有a 根据幂等律， ∀a∈S都有a°a＝a， 即<a,a>∈R， 所以R 所以R在S上是自反的。 上是自反的。 ∀a,b∈S 有 aRb且 aRb且bRa ⇔ a°b＝b且b°a＝a (由于 b=b° 由于a ⇒ a＝b°a＝a°b＝b (由于a° b=b°a) 所以R 所以R在S上是反对称的。 上是反对称的。
例11.3
是群，L(G)是 的所有子群的集合。 例11.3 设G是群，L(G)是G的所有子群的集合。即 L(G)＝ L(G)＝{ H|H≤G } 对任意的H ∈L(G)， 也是G的子群， 对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2也是G的子群，而<H1∪H2>是由 生成的子群（即包含着H 的最小的子群）。 H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小的子群）。 在L(G)上定义包含关系⊆，则L(G)关于包含关系构成一个格， L(G)上定义包含关系⊆ 上定义包含关系 L(G)关于包含关系构成一个格， 关于包含关系构成一个格 称为G 子群格。 称为G的子群格。 易见在L(G)中 就是H 就是<H 易见在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2，H1∨H2就是<H1∪H2>。 L(G)
格的实例
例11.1 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合。D为整除关系， 是正整数， 的正因子的集合。 为整除关系， 则偏序集<S ,D>构成格 构成格。 则偏序集<Sn,D>构成格。∀x,y∈Sn， x∨y是lcm(x,y)， x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数。 的最小公倍数。 x∧y是gcd(x,y)， x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数。 的最大公约数。 下图给出了格<S ,D>， ,D>和 ,D>。 下图给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>。
格的运算性质
定理11.1 设<L,≤>是格，则运算∨和∧适合交换律、结合 定理11.1 <L,≤>是格，则运算∨ 适合交换律、 是格 交换律 幂等律和吸收律， 律、幂等律和吸收律，即 (1)交换律 (1)交换律 ∀a,b∈L 有 a∨b＝ a∨b＝b∨a (2)结合律 (2)结合律 ∀a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c＝ (a∨b)∨c＝a∨(b∨c) (3)幂等律 (3)幂等律 ∀a∈L 有 a∨a＝ a∨a＝a (4)吸收律 (4)吸收律 ∀a,b∈L 有 a∨(a∧b)＝ a∨(a∧b)＝a a∧(a∨b)＝ a∧(a∨b)＝a a∧a＝ a∧a＝a (a∧b)∧c＝ (a∧b)∧c＝a∧(b∧c) a∧b＝ a∧b＝b∧a
例11.2
例11.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。 <P(B),⊆ 其中P(B)是集合B的幂集。 P(B)是集合 (1) <P(B),⊆>，其中P(B)是集合B的幂集。 <Z,≤>，其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。 ,≤为小于或等于关系 (2) <Z,≤>，其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。 偏序集的哈斯图分别在下图给出。 (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出。
定理11.2 定理11.2
定理11.2 <S,*,° 是具有两个二元运算的代数系统， 定理11.2 设<S,*,°>是具有两个二元运算的代数系统，若对 交换律、 运算适合交换律 结合律、吸收律， 于*和°运算适合交换律、结合律、吸收律，则可以适当定 中的偏序≤ 使得<S,≤>构成一个格， a,b∈S有 <S,≤>构成一个格 义S中的偏序≤，使得<S,≤>构成一个格，且a,b∈S有 a∧b＝a*b，a∨b＝ a∧b＝a*b，a∨b＝a°b。 (1)证明在 证明在S 运算都适合幂等律。 思路 (1)证明在S中*和°运算都适合幂等律。 (2)在S上定义二元关系R，并证明R为偏序关系。 (2)在 上定义二元关系R 并证明R为偏序关系。 (3)证明<S,≤>构成格。 (3)证明<S,≤>构成格。 证明<S,≤>构成格 通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义。 说明 通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义。