[VIP专享]用方程解答含两个未知数的问题

《用方程解答含两个未知数的问题》教学设计刘瑄教学内容：教科书第70页，练习十三第4～8题。

教学目标：1.理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。

2.初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。

3.培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。

教学过程：一、复习准备1.填空。

（1）学校科技组的男同学人数是女同学的3倍。

设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。

（2）学校航模组的男同学人数比女同学多18人。

设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。

比较两种设未知数的方法，选择哪个量设为x，另一个量就比较容易表示？（3）学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。

男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。

（4）2.5x＋x＝（）x；2.5x－x＝（）x。

运用了什么运算定律？2.口答。

根据下面的两个条件，你能提出什么数学问题？地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

通常，学生能提出的问题有：（1）海洋面积约有多少亿平方千米？（2）海洋面积约比陆地面积多多少亿平方千米？（3）地球的表面积是多少亿平方千米？让学生把第（3）个问题算出答案：地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2 4倍。

地球的表面积是多少亿平方千米？1.5＋1.5×2.4＝5.1（亿平方千米）二、教学例31.引入例题。

出示例3的条件：地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

教师：现在又能提出哪些数学问题？引出例题。

2.比较例题与求地球表面积的复习题，有什么区别。

引导学生回答：数量关系相同，条件与问题交换了位置。

请学生说出数量关系，教师板书：陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积5.1亿平方千米↓陆地面积×2.43.讨论：有两个未知数，怎么办？①怎样设未知数？②怎样列方程？学生分组讨论，教师巡视，酌情参与讨论。

4.交流各种解法。

引导学生从便于思考、便于解方程两方面进行比较。

5.重点讨论下列解法。

解：设陆地面积为x亿平方千米。

（设海洋面积为x可以吗？哪个更方便？）那么海洋面积为2.4x亿平方千米。

（这是用了哪个条件？）x＋2.4x＝5.1 （这是用了哪个条件？）(1＋2.4）x＝5.1 (这是用了什么运算定律？）让学生自己把方程解完，得x＝1.5。

提问：另一个未知数怎样求？根据是什么？5.1－1.5＝3.6（利用和的关系）2.4x＝1.5×2.4＝3.6（利用倍数关系）6.引导学生进行检验。

提问：除了代入方程检验之外，还可以怎样验算？验算陆地面积与海洋面积的和是否等于地球的表面积5.1亿平方千米：1.5＋3.6＝5.1验算海洋面积与陆地面积的倍数关系是否等于2.4：3.6÷1.5＝2.4三、巩固练习1.看图列方程（单位：棵）。

同桌互相口头说出方程。

2.课本练习十三第4、6、7题。

要求不抄题，用方程解。

独立完成，然后全班交流核对。

四、本课小结师：今天我们学习了用方程解决含两个未知数的问题，你认为解答时应注意什么？着重从以下几方面进行小结。

①两个未知数怎么办？②两个已知条件怎么用？③怎样验算？五、布置作业课本练习十三第5、8题。

稍复杂的方程这部分内容共有三道例题。

它们的共同点是每道例题都担负着教学列方程和教学解方程的双重任务。

这是本单元学习的难点。

编写意图例3的内容是关于地球表面海洋面积和陆地面积的计算。

它的特点是问题含有两个未知数，一般通常用两个已知条件说明两个未知数的关系。

如给出两个未知数的和与差，或给出两个未知数的倍数关系与两个未知数的和（或差）。

具有这种数量关系的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。

若用算术方法解，思路特殊，需要分别教学。

改用方程解，都可归结为解形如ax±bx=c的方程，思路统一，解法一致，学会其中之一的解法，其他几种就很容易类推解决。

在实际生活中，也常常会遇到一些具有这种数量关系的问题。

特别是当两个数的倍数关系用分数、百分数表示时，这样的问题就更常见了。

像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前，学生还没接触过。

但它与学生以前学过的不少内容有关。

比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的小学内容。

现在，从两数的和、差及倍数关系中选取两项作已知条件，反过来求两数各是多少，这就是我们在这里讨论的问题。

可见，所谓的“和差”、“和倍”、“差倍”问题，实际上是已知两数，求它们的逆思考问题。

在小学中年级，曾出现过只有两个已知条件，却要两步计算解决的实际问题。

如，舞蹈队有男生20人，女生人数是男生的2倍，舞蹈队共有学生多少人？女生比男生多多少人？这类问题的特点是选取两数之一作一个条件，再从两数的和、差及倍数关系这三个量中选取一个为另一个条件，然后求三个量中的其他两个量。

不难看出，例3也是这类两步计算问题的逆思考问题。

解答例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。

学生已有的经验是“求什么设什么”。

现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示？这是必须突破的一个难点。

就数学本身来说，和差倍关系的两个未知数，任选一个设为x都是可行的。

同样，另一个未知数的表示方法也有两种，即选用两个已知条件中的任何一个都能表示。

比较而言，在各种解法中，把作为比较标准的未知数设为x，则用含x的式子表示另一个未知数就比较容易。

教材采用的就是这种方法。

设陆地面积为x亿平方千米，根据两个量的倍数关系这个条件表示海洋面积，再根据另一个已知条件（两部分面积的和即地球表面积），列出方程。

这里第一次出现了形如ax±bx=c的方程。

考虑到学生的知识水平和接受能力，教材没有出现合并同类项等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化为学生已会解的形式（a±b）x＝c。

这与合并同类项的方法实质上是一致的。

求出陆地面积后，接下去怎样求海洋面积？有两种选择。

即任选两个已知条件中的任何一个都可以。

教材以两个同学互相交流的形式，对两种算法都作了介绍。

教学建议（1）教学例3前，可以采用口答形式进行一些写出含有字母式子的填空练习。

如：学校科技组有女同学x人，男同学是女同学的3倍，男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。

还可以给出复习题：地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。

地球的表面积是多少亿平方千米？让学生列式计算出地球表面积是5.1亿平方千米，作为新授的铺垫和过渡。

（2）教学例3时，可以先让学生说出已知条件，并根据已知条件画出线段图（暂不标出“x” ）。

再让学生说出所求问题，明确要求的未知数有两个。

然后利用线段图启发学生思考，先设哪一个未知数为x，根据已知条件，另一个未知数该怎样用含有字母的式子来表示。

根据学生的回答在线段图上标注x和2.4x。

然后引导学生想：一个条件已经用来表示第二个未知数了，还可以根据哪个条件找出等量关系列方程？由此列出课本介绍的方程。

然后将方程和复习题的算式进行对比：1.5＋1.5×2.4＝5.1x＋2.4x＝5.1帮助学生沟通新旧知识的联系，进一步理解数量关系。

如果学生提出不同的方法，可酌情加以比较，如：让学生观察这些方程，容易看出解方程都比较麻烦。

如果学生求出陆地面积后，怎样求海洋面积，有两种方法。

学生喜欢用哪一种都可以，不必强求一律。

（3）例3的检验，应予以重视。

可以提出问题：除了代入方程检验之外，还有没有其他的验算方法？学生一般能够想到，验算两个得数的和与商，看是否等于已知数。

教师可以指出，在解决实际问题时，这样验算比先检查方程，再把x的值代入方程检验，更有效，也更简便。

（4）引导学生小结时，可以着重明确以下三点：第一，两个未知数怎么办？可以先选择其中一个设为x，列方程解，再求另一个；第二，两个已知条件怎么用？可以把其中一个用来写出含有字母的式子，表示另一个未知数，另一个用来列方程；第三，怎样验算？可以通过列式计算，检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。

第4题的数量关系仍为两积之和，但两个积都含未知因数x，所以列出的方程形如ax±bx=c。

把它作为例2与例3配套练习的过渡比较合适。

第5题，练习解形如ax±bx=c的方程。

熟练以后，允许学生简化解方程的书写过程。

如：解5.4x＋x＝12.86.4x＝12.8x＝2第6题，含两个未知数，已知条件是两数的和与差（两个相邻自然数的差是1），它与已知“和倍”、“差倍”关系的问题略有不同的是，设两个数中的任何一个为x都可以，不存在解方程时简便或麻烦的问题。

第7题，为鸡兔同笼问题的变式。

题中的隐蔽条件是鸡有2条腿，兔有4条腿。

由于鸡兔数量相同，所以列出的方程形如ax+bx=c。

第8题，含两个未知数，已知条件为两数之差与倍数关系。

可以让学生选用自己喜欢的方法，列出方程。

1.本单元的内容结构及其地位作用。

本单元的主要学习内容是用字母表示数和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。

这些内容是在学生学了一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用○、△或□表示数）的基础上，进行学习的。

一般地说，在小学教学简易方程有以下几方面的意义。

一是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。

因为对小学生来说，从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃。

而且，在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具，从列出算式解发展到列出方程解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。

二是有助于巩固和加深理解所学的算术知识。

通过用字母表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生加深对这些知识的理解。

同时，由于用字母表示比用文字表述更简明易记，所以便于学生巩固所学知识。

三是有利于加强中小学数学的衔接。

让学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性（逆向思考，未知数不参加运算，等于缺少一个条件，思维的步骤增加），为进一步学习代数知识做好认识的准备和铺垫。

本单元的内容分为两节，第一节的主要内容是用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系。

第二节的主要内容是方程的意义，等式的基本性质和解简易方程，以及列方程解决一些比较简单的实际问题。

这些内容的编排体系如下表。

从上表可以看出，两节教材的四部分内容具有内在的逻辑联系。

用“字母表示数”是学习方程的基础，“方程的意义”是学习“解方程”的基础，“稍复杂的方程”则是“解方程”的发展。