数学实验13-树算法

主要内容
树图——直观形象的表示工具 引例：计算机网络的线路设计 生成树算法及MATLAB程序设计实现 范例1：制造系统设计的分组技术 范例2：通讯网络的最佳Steiner树 布置实验
树图——用来表示：
形象地表示家族； 行政组织机构； 可用树图来列举排列； 用树来分析游戏中的策略； 计算机用树来描述运算顺序，用树来组织 其拥有的资源以便于查找； 在编译程序中，用树来表示源程序语法结 构； 在数据库系统中，可用树来组织信息。
则w(1, 2)=0.5 i=2,j=8时，M2={2,7,8,11,12}, M8={4,10},
建模
构造加权图：以机器为顶点，作一个完全图， 每条边(i,j)被赋予权w(i, j)。 原问题的转化：加权图的最小生成树是由那 些相异度最小的边构成的连通图，或看成是 去掉了相异度相对比较大的边后余下的连通 图。 如果希望把机器分成k个组，就继续删去最 小生成树上权最大的k-1条边。于是得到k个 分离的子树，每棵树的顶点集就构成各机器 组。
Kruscal算法
Kruscal算法的粗略描述 ： ①将所有顶点涂成红色 ②在黑色边中，挑选一条权最小的边，使其与红色边 不形成圈，将该边涂红 ③重复直到有n-1条红色边，这些边构成了最小生成 树T的边集合 ①加入第1条边1; 3 a d 3 a d ②加入第2条边2; 2 4 2 4 e 9 7 e 9 7 ③加入第3条边2; 9 8 4 1 9 8 4 1 ④加入第4条边3; f g 5 f g 3 8 ⑤加入第5条边3; 5 3 8 b c b c ⑥加入第6条边4; 2 2 代价：15 (a)图G
更新边集、费 用及顶点编号
Prim算法
①任选一个顶点v1，将其涂红，其余顶点为白点； ②在一个端点为红色、另一个端点为白色的边中，找 一条权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； ③如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直到所 有顶点都成红色为止，最终的红色边和顶点便是最小 生成树。上面的描述就是最小生成树的逐步生长过程。 从a出发①连通e; 3 a d ②连通g； 3 a d 2 4 2 4 ③连通d； e 9 7 e 9 7 9 8 4 1 ④连通f； 9 8 4 1 f g 5 ⑤连通b； f g 3 8 5 3 8 ⑥连通c； b c b c 2 代价：15 2
贪婪法
求最小生成树的两个算法：Prim算法和Kruskal算法， 都蕴涵了贪婪法的思想。 贪婪法基本思想：把体或长远的角 度考虑，只是局部或当前的最好选择），求出的一 个个部件组合而作为最终的解。 注意： ①贪婪法可被用于各种各样问题的处理 ②贪婪法只是一种试探法，计算上简便、有效，可 提供正确解的一个近似．但一般情况下，不能保证 输出的解是正确的。其正确性需要证明，往往比较 困难。
5
2
b
c
b
c
b
c
(a)图G
(b)一棵深度优先生成树
(c)一棵广度优先生成树
生成树或支撑树(spanning tree)
生成树：G的是树的子图，其顶点集等于G 的顶点集。 或从连通图的任何一个顶点出发进行遍历， 遍历过程中经过的边加上原图的所有顶点 构成的子图称为图的生成树。 生成树的权(代价)：其上所有边权之和 一个简单连通图只要不是树，其生成树就 不唯一，甚至非常多。 n个顶点的完全图，其不同的生成树个数为 nn-2。
3、模型求解及结果
机器 1 加工 2,3,7, 零件 8,9,12 ,13 2 2,7, 8,11 ,12 3 4 1 3,5, , 10 6 5 6 7 8 9 3,7,8, 5 4,10 4,10 6 9,12, 13
i=1,j=2时，
M1={2,3,7,8,9,12,13}, M2={2,7,8,11,12}, M1 ⊕M2 ={3,9,11,13}, M1 ∪M2 ={2,3,7,8,9,11,12,13}
数学实验
第十三章 树算法及其应用
云南大学信息学院通信工程系 宗容
第十三章 树算法及其应用
§13.1 导言 §13.2 引例：计算机网络的线路设计 §13.3 最小生成树算法
Kruskal算法 Prim算法
§13.4 范例1：分组技术 §13.5 范例2：通讯网络的最佳 Steiner树 §13.6实 验
2 3 4 5 6 7 8 9 加工 2,3,7, 2,7, 1, 3, 3,7,8 5 4, 4, 6 零件 8,9,1 8,11 6 5, ,9,12 10 10 2,13 ,12 10 ,13
制造系统的分组技术
2、建模 设用Mi表示需由机器i加工的 零件集，对任意两台机器i, j, 定义i与j的相异度:
⊕——表示对称差; 分子——在机器i但不在机器j上加工，或在 机器j但不在机器i上加工的零件数。 w(i, j)=0——机器i与机器j加工的零件完全相同; 分母——或在机器i，或在机器j上加工的零 w(i, j)=1——机器i与机器j加工的零件没有一个 件数。 相同; 显然 0≤w≤1 w——两台不同机器加工零件的相异程度
Prim算法的MATLAB实现
程序运行结果
程序运行结果： 因此，图13.2的最小 生成树的边集合为 T； {(1，4)，(4．5)，(5， 1 4 5 2 2)，(2，3)}，费用为 4 5 2 3 17． 1 3 7 6 C= 17
Kluscal与Prim算法比较
1)两种算法都是贪婪法 2)两种算法最终输出的必定是最小生 成树， Prim算法是精确解， Kruskal 算法是最优解。 3)时间复杂度：Prim算法的为O(n2); Kruskal算法为O(m1og 2 m) 4)Prim算法优于Kruskal算法之处是 Prim算法一次处理的数据不超过n，因 此Prim算法所需的存储量要比Kruskal 算法小。
最经济的网络不应该 有任何封闭的回路
最小生成树可以实 现最经济的连接 线路图
图的遍历
遍历：访问图中的每一个顶点，每个顶点只 访问一次 遍历图方法： 深度优先搜索遍历：结果不唯一 广度优先搜索遍历：结果不唯一
a 2 e 9 8 f 3 4 1 g 8 f g f g 3 4 9 7 e e d a d a d
最小生成树的MST性质
构造带权连通图的最小生成树方法有多种， 大多利用了最小生成树的以下性质（简称 MST性质）： 设图G=(V,E)是一个网络，U是顶点集合V的 真子集。如果边(u,v)的顶点uU,v V-U, 且边(u,v)是图G中所有一个端点在U里，另 28 30个顶点的完全图就有3028个生成树，30 一个端点在V-U里的边中权值最小的边，则 有42位，即使应用最现代的计算机，在我们 一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。 有生之年也是无法穷举的，穷举法是无效算 法，坏算法。 构造最小生成树的方法就是利用MST性质， 逐条选择将要加入的边。最常用的算法是 Kruscal和Prim算法，而不是穷举法。
范例1：制造系统的分组技术
1、问题
分组技术是设计制造系统的一种方法，它把生产零 件的机器分组，相应地把需生产的零件分类，使零 件跨组加工的情形尽量少，最理想的情况是使每个 零件的加工，都在组内完成。 假设有13种零件，需在9台机器上加工。在各台机器 上加工的零件号在表中给出。 将这9台机器分为3组，使零件跨组加工的情形尽量 少，并给出相应的零件分类。 机器 1
Kluscal算法
变量说明： c：生成树的费用；T：生成树的边集合； t：顶点标记 j：迭代次数； k：记录已经被选入生成树的边数 Kruskal算法： 输入加权连通图G的边权矩阵[b( i, j )]m×3，顶点数n。 1)整理边权矩阵 将 [b( i, j )]m×3按第三行由小到大的次序重新排列，得到 每个顶点各 新的边权矩阵[B( i, j )]m×3 ； 编一个号 2)初始化 j←0，T←Ф，c←0，k←0；对所有i，t(i) ←i; 3)更新T，c，t(i) j←j+1，若t( B (1,j) )=t(B(2,j))．则转4)；否则，若t( B (1,j) )≠t(B(2,j))，则T←T∪ (B(1,j)，B(2,j))，c←c+B(3,j)， k←k+1，对所有i，t(i) ←min{t(B(1,j))，t(B(2,j))； 4)若k＝n-1或j=n，则终止，输出T，c；否则返回3)。
二、引例：计算机网络的线路设计
城市电信局有许多业务，如收费、营业、 112、114等，希望在全市范围实现计算机 联网服务，共享各种资源，比如，数据库 资源。一个主要关心的问题是：用数据通 讯线把一组站点联结起来，而不允许通讯 线在非站点处连接 如何连接可使通讯线的花费最少? 【任意两个站点可经过若干中介站点取得联 系。】
Kluscal算法
变量说明： c：生成树的费用； T：生成树的边集合； t：顶点标记 j：迭代次数； k：记录已经被选入生成树的边数 3)更新T，c，t(i) j←j+1，若t( B (1,j) )=t(B(2,j))．则转4)； %若两个顶点的编号相同，在同一子树中，则转入4) 否则，若t(B(1,j) )≠t(B(2,j))， %若两个顶点的编号不同，不在同一子树中 则T←T∪ (B(1,j)，B(2,j))， %则该边加入，统一编号 c←c+B(3,j)， %费用加入计算 k←k+1， %边数加1 对所有i，t(i) ←min{t(B(1,j))，t(B(2,j))； 4)若k＝n-1或j=n，则终止，输出T，c；否则返回3)。 %选入生成树的边数为n-1，或顶点数为n，终止程序，输出结 果，否则返回3)
如：10个顶点的完全图，其不同的生成树就有 一亿棵．
生成树或支撑树(spanning tree)
最小生成树(minimum –weight spanning tree)： 在一个加权连通图G中，权最小的那棵生成树称为 G的最小生成树。 最大生成树(maximum –weight spanning tree)： 在一个加权连通图G中，权最大的那棵生成树称为 G的最大生成树。 问：他们唯一吗？ 不唯一 在计算机网络的线路设计引例中，确定应在哪些 站点之间铺设通讯线路，就可看作是在相应的加 权图中构造最小费用的生成树的问题。