数列递推公式

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数列的递推公式和通项公式

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式

数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式

线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式

非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式

数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。通项公式也常被称为数列的一般项公式。

递推公式求数列通项公式

求解数列的通项公式是数学中常见的问题。在进行数列的通项公式推

导时，有几种常见的方法可以使用，包括递归法、差分法、代数法、矩阵

法等。以下将针对这些方法进行详细阐述。

一、递归法

递归法是数列求解中最常见的方法之一、利用递归关系式，可以将数

列的第n项表示成前n-1项的表达式。常见的递归方法有等差、等比数列等。

1.1等差数列的通项公式

等差数列是指数列中每个相邻项之间的差值都相等的数列。设数列的

首项为 a1，公差为 d，则递推关系式为 an = a1 + (n-1)d，其中 n 表

示项数。首先求取数列的第一项和第二项的值，然后利用递推公式即可求

得数列的通项公式。

1.2等比数列的通项公式

等比数列是指数列中每个相邻项之间的比值都相等的数列。设数列的

首项为 a1，公比为 q，则递推关系式为 an = a1 * q^(n-1)。首先求取

数列的第一项和公比的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。二、差分法

差分法是通过找到数列的差分递推关系，进而进行推导。通过一次差、二次差等操作，可以将数列的通项公式转化为关于n的多项式。

2.1一次差的差分法

对于一个数列 {an}，定义一次差数列 {bn} = {an+1 - an}，即 b1 = a2 - a1，b2 = a3 - a2，以此类推。如果一次差数列 {bn} 满足等差数列的递推关系，即 bn = c，则原数列的通项公式为 an = c*n +d。其中 d 为首项的值。

2.2二次差的差分法

对于一个数列 {an}，定义二次差数列 {cn} = {bn+1 - bn}，即 c1 = b2 - b1，c2 = b3 - b2，以此类推。如果二次差数列 {cn} 满足等差数列的递推关系，即 cn = c，则原数列的通项公式为 bn = c*n^2 +d*n + e。其中 d 为二次差数列首项的值，e 为数列首项的值。

数列的递推公式与极限计算

数列是数学中一个重要的概念，它是一系列按照一定规律排列的数

的集合。而数列的递推公式及其极限计算是数列研究的核心内容之一。本文将从递推公式的定义、举例、极限计算的概念以及一些常见的数

列极限计算方法等方面进行探讨，带领读者深入了解数列的递推公式

与极限计算。

一、数列的递推公式

1.1 递推公式的定义

数列的递推公式是指通过前一项或前几项来确定后一项的关系式。

通常情况下，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ..., a1)，其中an表

示第n项，f表示关系函数，an-1, an-2, ..., a1表示前n-1项或更多项。

1.2 递推公式的举例

下面以斐波那契数列为例，来解释递推公式的概念：

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，我们可以一步步地计算出数列的每一项：a3 = a2 +

a1 = 2，a4 = a3 + a2 = 3，a5 = a4 + a3 = 5，以此类推。

通过递推公式，我们可以方便地计算任意项的数值，而无需逐个求解。

二、数列的极限计算

2.1 极限计算的概念

在数列中，极限是指当项数趋于无穷大时，数列中的数值逐渐趋近

于一个确定的值。极限的计算对于我们理解数列的性质和趋势非常重要。

2.2 常见的数列极限计算方法

2.2.1 等差数列的极限计算

等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变的数列。当数列的项

数趋于无穷大时，等差数列的极限为数列的首项。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，当n趋于无穷大时，数列的

最全的递推数列求通项公式方法

递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。下面将介绍最常用的几种方法。

1.等差数列通项公式

等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。这是等差数列的通项公式。

2.等比数列通项公式

等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。这是等比数列的通项公式。

3.斐波那契数列通项公式

斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。

4.龙贝尔数列通项公式

龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。这是龙贝尔数列的通项公式。

5.通项公式的递推法

有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。

总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。

数列的通项公式及递推公式

数列是按照一定的规律排列的一系列数字。在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。

一、通项公式

通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。

1.1等差数列的通项公式

等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。

1.2等比数列的通项公式

等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。

等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。

举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。

二、递推公式

递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。

2.1等差数列的递推公式

对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。

这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。

数列的递推公式与通项公式前n项和公式

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式

一、知识点回顾：

1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--1

1s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）

；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11

,(1),(2)

n n

n S n a S S n -==

-≥。一般地当已知条

件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)()

数列与等差数列的递推公式

数列是一系列有序排列的数，而等差数列是一种特殊的数列，其中

相邻两项之间的差值保持不变。在数学中，通过递推公式可以描述数

列的规律和性质。本文将重点介绍数列和等差数列的递推公式，以及

它们的应用。

一、数列的定义

数列可定义为按照一定顺序排列的一系列数的集合，通常用字母表示。一般地，数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中a₁, a₂,

a₃, ... , aₙ分别表示数列的第1、2、3、...、n项。

二、等差数列的定义

等差数列是一种特殊的数列，指数列中相邻两项之间的差值（公差）保持不变。一般地，等差数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中

a₁为首项，a₂为第二项，d为公差（相邻两项之差），n为项数。

三、数列的递推公式

数列的递推公式是通过前一项或前几项推导出下一项的公式。数列

的递推公式有两种形式，一种是通项公式，另一种是递推式。

1. 通项公式

通项公式是指通过给定数列的第n项来表示第n项的公式。通项公

式可以表示为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)是与n相关的

函数。通项公式可以方便地计算给定位置的项。

2. 递推式

递推式是通过给定数列的前一项或前几项来计算下一项的公式。递

推式可以表示为an = f(an-1, an-2, ..., an-k)，其中an表示数列的第n项，f(...)是与前一项或前几项相关的函数。

四、等差数列的递推公式

等差数列的递推公式是特定于等差数列的递推式。对于等差数列

{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其递推公式可以表示为：

数列递推公式

数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的

数字。数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一

项之间的关系。在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以

及应用。

一、数列递推公式的定义

数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。数列中的每

一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。数列可

以是有限的，也可以是无限的。对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。

数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。数列递

推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的

前几项，推导出后面的项。

二、数列递推公式的性质

1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中

d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。也就是说，每一项与前一项

之差都是相等的。

2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和

bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。

3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。

三、数列递推公式的应用

数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。以下是数列递推公式的一些应用示例：

1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。

数列的求和与递推公式

在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数

列求和的方法以及递推公式的推导过程。

一、等差数列的求和与递推公式

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。设等差

数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

1.1 求和公式

对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：

Sn = (n/2) * (a + an)

其中，n为项数，a为首项，an为第n项。

1.2 递推公式

递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：

an = a + (n-1) * d

其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。

二、等比数列的求和与递推公式

等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。

2.1 求和公式

对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

其中，n为项数，a为首项，r为公比。

2.2 递推公式

递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：

an = a * r^(n-1)

其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。

三、斐波那契数列的求和与递推公式

斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。

数列递推公式

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数学数列递推公式求An 数学数列递推公式求An
1. 形如A(n+1)=An+k[k为常数] 形如A(n+1)=An+k[k为常数]
【公式法】公式法】 2. 形如A(n+1)=An+f(n)[f(n)是变量] 形如A(n+1)=An+f(n)[f(n)是变量] 3. 形如A(n)=A(n-1)q[q为非零常熟] 形如A(n)=A(n-1)q[q为非零常熟] 【公式法】公式法】 4. 形如A(n+1)=An×f(n)[ f(n)是变量] 形如A(n+1)=An× f(n)是变量] 【叠乘法】叠乘法】 5. 形如An=BnCn，其中Bn为等差数形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列列，Cn为等比数列【错位相减法】错位相减法】

数列的递推公式

数列的递推公式是数学中非常重要的概念之一，它用于描述数列中

每一项与前一项的关系。了解和掌握数列的递推公式对于数学学习和

应用领域都具有重要的意义。

首先，让我们回顾一下什么是数列。数列是一组按照一定规律排列

的数，每个数称为数列的项。数列可以有无穷多的项，其中每一项的

位置从1开始递增。例如，1, 2, 3, 4, ...就是一个自然数列。

在数列中，每一项与前一项之间的关系可以通过递推公式来表示。

递推公式可以是一个明确的表达式，也可以是一个递归定义。下面我

们分别来探讨这两种情况。

首先是明确的递推公式。这种公式能够直接给出每一项与前一项的

关系，从而可以计算出数列中的任意项。例如，在自然数列1, 2, 3, 4, ...中，递推公式可以写为an = an-1 + 1，其中an表示第n个项。我们可

以得到a2 = a1 + 1，a3 = a2 + 1，依次类推。因此，根据递推公式，我

们可以得到任意项的值。

其次是递归定义的递推公式。这种公式给出了第一项和后续项与前

一项的关系，可以通过迭代计算出数列中的每一项。例如，斐波那契

数列1, 1, 2, 3, 5, ...就是一个递归定义的数列。我们可以通过F(n) = F(n-1) + F(n-2)的递归定义来计算斐波那契数列中的每一项。根据递推公式，我们可以得到F(3) = F(2) + F(1)，F(4) = F(3) + F(2)，以此类推。

了解数列的递推公式有助于我们研究数列的性质和应用。通过递推

公式，我们可以预测数列的未来项，计算数列的和，评估数列的增长

高中数学数列的递推公式及推导过程

数列是高中数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成。

在数列中，递推公式是一种常见的描述数列规律的方式。本文将详细介绍数列的递推公式及其推导过程，并通过具体题目的分析，帮助读者理解数列的考点和解题技巧。

一、等差数列的递推公式及推导过程

等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都相等。对于等差数列，我们可以通过递推公式来描述其规律。假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：

aₙ = a₁ + (n-1)d

其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项a₁=1，公差d=3。我们

可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。例如，我们要求第10项a₁₀的值，

根据递推公式可以得到：

a₁₀ = a₁ + (10-1)×3 = 1 + 9×3 = 28

通过递推公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。

二、等比数列的递推公式及推导过程

等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之比都相等。对于等比数列，我们同样可以使用递推公式来描述其规律。假设等比数列的首项为a₁，公比

为q，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：

aₙ = a₁ × q^(n-1)

其中，a₁为首项，q为公比，n为项数。

例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项a₁=2，公比q=3。我

们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。例如，我们要求第6项a₆的值，

根据递推公式可以得到：

数列的递推公式

数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。

一、定义数列

数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。通常用字母{n}表示数列中的第n项。

二、等差数列的递推公式

等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：

aₙ = a₁ + (n-1)d

例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算：

aₙ = 2 + (n-1)3

三、等比数列的递推公式

等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的

递推公式为：

aₙ = a₁ * r^(n-1)

例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项

aₙ可以通过递推公式计算：

aₙ = 2 * 2^(n-1)

四、斐波那契数列的递推公式

斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。斐波那

契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。

设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐

波那契数列的递推公式为：

aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁

例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式

数列的递推公式

如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2

由递推公式写出数列的方法：

1、根据递推公式写出数列的前几项，依次代入计算即可；

2、若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。扩展资料

常见的递推公式，如等差数列。

等差数列从第二项开始每一项是前项和后项的算术平均数。

如果等差数列的公差是正数，则该等差数列是递增数列；如果等差数列的公差是负数，则该数列是递减数列；如果等差数列的公差等于零，则该数列是常数列。

对于一个数列al，a2，…，an，…，如果它的相邻两项之差a2-a1，a3-a2，…，an+1-an，…构成公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列。

运用递归的方法可以依次定义各阶等差数列：对于数列{an}，如果{an+1-an}是r 阶等差数列，则称数列{an}是r+1阶等差数列.二阶或二阶以上的等差数列称为高阶等差数列。

常见数列递推公式

数列求和常用公式:

1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2

2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6

3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2

=n^2*(n+1)^2÷4

4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)÷3

5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6）1+3+6+10+15+......

=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)

=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+......

=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2

=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6

8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)

=1-1/(n+1)=n÷(n+1)

9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)

=(n-1) ÷(n+1)

10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n

常见数列递推公式

数列求和常用公式:

1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2

2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6

3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2

=n^2*(n+1)^2÷4

4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)÷3

5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6）1+3+6+10+15+......

=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)

=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+......

=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2

=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6

8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)

=1-1/(n+1)=n÷(n+1)

9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)

=(n-1) ÷(n+1)

10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n