数列递推公式

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数列的递推关系与求和公式详细解析

数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。

数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。

本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。

其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。

举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。

斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。

可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。

2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。

非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。

例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。

等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。

又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。

等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。

根据不同的数列类型，有不同的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。

例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。

数列递推关系

数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。

数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。

线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。

比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。

非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。

线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。

这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。

非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。

比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。

这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。

数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。

比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。

在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。

在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。

总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。

数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。

数列的递推公式与通项公式前n项和公式

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

数列的递推公式和通项公式总结

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

数列的求和与递推公式

数列的求和与递推公式在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。

求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数列求和的方法以及递推公式的推导过程。

一、等差数列的求和与递推公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

1.1 求和公式对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。

等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = (n/2) * (a + an)其中，n为项数，a为首项，an为第n项。

1.2 递推公式递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。

根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：an = a + (n-1) * d其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。

二、等比数列的求和与递推公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。

2.1 求和公式对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。

等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为项数，a为首项，r为公比。

2.2 递推公式递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。

根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：an = a * r^(n-1)其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。

三、斐波那契数列的求和与递推公式斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。

斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。

3.1 求和公式斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：Sn = Fn+2 - 1其中，Fn为斐波那契数列的第n项。

3.2 递推公式递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。

根据斐波那契数列的定义和性质，可以得出递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。

数列递推公式

数列递推公式数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的数字。

数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一项之间的关系。

在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以及应用。

一、数列递推公式的定义数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。

数列中的每一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。

数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。

数列递推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。

递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。

二、数列递推公式的性质1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。

也就是说，每一项与前一项之差都是相等的。

2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。

3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。

三、数列递推公式的应用数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。

以下是数列递推公式的一些应用示例：1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。

它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。

2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。

等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。

2.1.2 数列的性质和递推公式

第2课时数列的性质和递推公式一、数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．二、数列的递推公式如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．1.数列的函数性质例1.已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．变式2.判断下列数列的单调性：(1)在数列{a n }中，a n ＝－2n ＋3；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n －5.2.数列的递推公式例2.设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．变式2.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．3.由数列的递推公式求数列的通项公式例3.(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项a n .变式3.已知数列{a n }满足a 1＝12，n n n n a a a a -=--11，求数列{a n }的通项公式．课堂练习：1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥22．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516 C.6116 D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．。

利用数列递推公式解题的技巧

利用数列递推公式解题的技巧数列是数学中一个重要且常见的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

数列递推公式是指数列中每一项与前几项之间的关系式，通过递推公式，我们可以推导出数列中任意一项的数值。

在解题过程中，利用数列递推公式可以简化繁杂的计算，提高解题效率。

下面我们就来探讨一下利用数列递推公式解题的一些技巧。

一、理解数列递推公式的含义在利用数列递推公式解题之前，首先我们需要理解数列递推公式的含义。

数列递推公式是描述数列中每一项与前几项之间的关系式，通常表示为an = f(an-1, an-2, …)，其中an表示第n项，f表示关系函数。

理解递推公式的含义对于解题至关重要，可以帮助我们找准解题方向。

二、寻找规律，列出递推公式在实际解题中，对于给定的数列，我们需要寻找其中的规律，列出数列的递推公式。

通常可以通过观察前几项的数值，寻找它们之间的数学关系，从而推导出递推公式。

在列出递推公式的过程中，我们需要注意变量的选取，确保递推公式的表达准确、简洁。

四、注意递推公式中的边界条件在利用递推公式解题的过程中，我们需要特别注意递推公式中的边界条件。

因为递推公式是通过前几项的数值来计算下一项的数值，所以边界条件的选择会直接影响计算结果的准确性。

在列出递推公式时，需要特别关注边界条件，确保递推公式能够适用于数列中的每一项。

五、灵活运用递推公式解题在实际解题中，我们需要灵活运用递推公式来解决不同类型的题目。

有时候递推公式可以直接给出，我们只需要根据公式计算出数列中的任意一项即可；有时候需要我们根据数列的规律自行列出递推公式。

无论是哪种情况，我们都需要综合运用数学知识，灵活应用递推公式来解决实际问题。

六、举一反三，多练习利用数列递推公式解题是一个需要反复练习的过程。

通过不断练习，我们可以熟练掌握数列递推公式的使用技巧，提高解题的效率和准确度。

通过练习还可以锻炼我们的数学思维，提高解决实际问题的能力。

我们需要在日常学习中多加练习，举一反三，不断提升自己的解题能力。

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

数列的递推公式

等比数列的递推公式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 是公比，表示相邻两项的比。
递推公式的应用
通过递推公式可以快速地求出数列中任意一项的值，也可以用于证明数列的性质。
拓展延伸：非线性递推关系简介
非线性递推关系的
定义
如果数列的递推公式中包含了非线性运算（如乘法、除法、指数等），则称该递推关系为非线性递推关系。
02
CATALOGUE
常见数列递推公式类型
等差数列递推公式
01
一般形式
$a_n = a_{n-1} + d$，其中 $d$ 为公差。
初始条件
02
03
求解方法
给出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
通过递推关系逐步计算每一项的值。
等比数列递推公式
一Байду номын сангаас形式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 为公比。
非线性递推关系的
求解
对于非线性递推关系，通常没有通用的求解方法，需要根据具体情况进行分析和求解。常用的方法包括迭代法、数学归纳法、特征根法等。
非线性递推关系的
应用
非线性递推关系在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用，如分形、混沌、密码学等。
THANKS
感谢观看
方法求解。
03
CATALOGUE
递推公式求解方法
迭代法求解
初始条件确定
根据递推公式中的初始条件，确定数列的前几项。
结果输出
输出计算得到的数列各项。
迭代计算
从初始条件出发，利用递推公式逐项计算数列的后续项。
特征根法求解

六种常见数列递推公式

课题导入
已知a1=1/2, 3an+1-2an=an+公式求通项公式方法(2)
目标引领
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"数列递推公式求通项公式 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为 0,p为常数)的数列递推公式求通项公式。 • （3）可变型为‘‘pan+1-qan=an+1∙an’’ （p、q不相等，且均不为0的常数）的数列递推公式求通项公式。
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【必做题】
1 an an=_______. n
2 n
1.设｛an｝是首项为1的正项数列，且满足 2 2 (n 1)an na ,2,3) ，则 1 n an1an 0(n 1
2. 数列{an}中a1=1，当 n 2 时，其前n项和
1 Sn满足S an ( S n ), 求{an }的通项公式 . 21 (n 1) an 2 ( n 2) (2n 1)(2n 3)
( pq 0, p q, p、q为常数)
目标再现
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"(p不为0,p为常数)的数列递推公式求通项公式方法1：迭代方法2：累乘 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为0,p为常数)的数列递推公式求通项公式。 1 方法：两边同除pan+1an，则{ } 成等差.
1
(n 1)
强化补请
• 完成《全品》上的题目.（晚自习）
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• 【提高题】 • 设Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足
2bn b1=1， 1(n 2). 2 bn S n S n

数列的递推公式

[跟踪训练] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6 及 an； (2)若 Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又 a1 也适合此式，所以 an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2·3n－1＋2，由于 a1 不适合此式，所以 an＝62，·3nn－＝1＋12，，n≥2.
[规律方法] 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝an＋f(n)或 an＋1＝ g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋ (a2－a1)＋a1 求通项公式； (2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1 求通项公式．
[规律方法] 已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．

数列的递推公式范文

数列的递推公式范文数列是一种按照一定规律排列的数字序列。

数列中的每一个数字称为序列的项，项之间的规律决定了数列的递推公式。

线性递推公式是指数列中的每一项可以通过前面的一项或多项加减乘除等运算得到的公式。

其中最简单的线性递推公式是等差数列的递推公式。

等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差是一个常数。

设数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

其中 n 表示数列中的第 n 项。

等差数列的递推公式可以用来求等差数列的任意一项。

例如，已知一个等差数列的第一项为3，公差为2，要求数列的第10项的值，可以将递推公式带入计算：a10=3+(10-1)2=3+18=21除了等差数列，还有一种常见的数列叫做等比数列。

等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比是一个常数。

设数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的递推公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。

其中 n表示数列中的第 n 项。

和等差数列一样，等比数列的递推公式也可以用来求等比数列的任意一项。

例如，已知一个等比数列的第一项为2，公比为3，要求数列的第5项的值，可以将递推公式带入计算：a5=2*3^(5-1)=2*3^4=162除了线性递推公式，还有一类数列的递推公式是非线性的，即项与前面的项之间的关系无法用简单的运算来表示。

这类数列的递推公式往往需要根据数列的特点进行推导。

例如，斐波那契数列是一种非线性递推数列，其每一项都是前面两项的和。

即 an = an-1 + an-2、首项和第二项都给定的情况下，根据递推公式可以计算出数列的后续项。

数列的递推公式在数学和实际问题中都有广泛的应用。

通过递推公式，我们可以根据已知的条件来推导出数列的后续项，从而求解问题。

在数学中，数列的递推公式是研究数列性质和数列求和等问题的基础。

在实际问题中，数列的递推公式可以用来描述变化规律，预测未来的值，或者解决与数列相关的实际问题。

数列求和递推公式

数列求和递推公式数列是数学中的一个重要概念，它是指按照一定规律排列的一串数。

数列可以分为等差数列和等比数列两大类。

在实际应用中，求和和递推公式是数列研究的重要内容。

一、等差数列求和等差数列是指数列中的相邻两项之差都是一个常数d，这个常数就是等差数列的公差。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的第一项。

等差数列求和的公式是数列前n项和Sn = (a1 + an) × n / 2、下面通过一个例子来说明等差数列求和的方法。

例1：求等差数列1,3,5,7,9的前10项和。

解：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可以求出第10项a10 = 1 + (10-1)2 = 19利用等差数列求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，可以得出前10项和Sn = (1+19) × 10 / 2 = 100。

二、等比数列求和等比数列是指数列中的相邻两项之比都是一个常数q，这个常数就是等比数列的公比。

等比数列的通项公式为：an = a1 × q^(n-1)，其中an是数列的第n项，a1是数列的第一项。

等比数列的求和公式是Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是前n项和。

例2：求等比数列2,4,8,16,32的前5项和。

解：根据等比数列的通项公式an = a1 × q^(n-1)，可以求出第5项a5 = 2 × 2^(5-1) = 32利用等比数列求和公式Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)，可以得出前5项和Sn=2×(1-2^5)/(1-2)=62递推公式是数列中的一项通过前面的一项或多项来给出。

递推公式可以分为线性递推公式和非线性递推公式两种。

线性递推公式的一般形式是an = a(n-1) + c，其中c是常数。

非线性递推公式的一般形式是an = f(a(n-1), a(n-2), ...)，其中f是一个函数。

递推数列的概念与性质

递推数列的概念与性质数列是数学中重要的概念之一，而递推数列是数列中常见的一种形式。

本文将介绍递推数列的概念与性质，并通过例子来说明其应用。

一、递推数列的概念递推数列是一种由前一项或前多项推出后一项的数列。

其基本形式可以表示为：给定数列的首项$a_1$和递推关系$f(n)$，则数列的通项公式可以表示为：\[ a_n = f(a_{n-1}) \]其中$n$表示数列的位置。

递推数列常见的表示方法有三种：显式表示、隐式表示和递归定义。

显式表示是通过给定递推公式得到数列项的直接表达式，而隐式表示是通过给定递推公式得到数列项的关系式。

递归定义则是通过给定数列的首项和递推关系逐步推导后一项。

二、递推数列的性质1. 有界性：递推数列可以是有界或无界的。

有界数列是指存在一个实数$M>0$，使得对于所有的$n\in\mathbb{N}$，都有$|a_n|\leq M$。

无界数列则是相反的情况。

2. 单调性：递推数列可以是单调递增或单调递减的。

单调递增数列是指对于所有$n\in\mathbb{N}$，都有$a_n\leq a_{n+1}$。

单调递减数列则是相反的情况。

3. 整体性：递推数列可以是整体有序或整体无序的。

整体有序数列是指对于所有的$m,n\in\mathbb{N}$，如果$m<n$，则有$a_m\leq a_n$。

整体无序数列则是相反的情况。

4. 极限性：递推数列可以是收敛或发散的。

收敛数列是指存在一个有限的实数$L$，使得数列中的所有项都无限接近$L$。

发散数列则是相反的情况。

三、递推数列的应用举例1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推数列，其前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。

其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \]2. 几何数列几何数列是一个常见的递推数列，其首项$a_1$和公比$q$确定后，每一项都是前一项乘以公比。

其显式表示为：\[ a_n = a_{n-1} \cdot q \]递推数列在数学中有着广泛的应用，例如在金融领域的复利计算、物理学中的运动学问题等。