第5章扭转应力(1,2,3)

出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW.
试做扭矩图. Me1 Me2
Me3
n
Me4
B
C
A
D
Me1
Me2 Me3 n Me4
B 解: 计算外力偶矩
C
A
D
M e1 15915 N m M e 4 6366 N m
pkw M e 9 549 nr / min
扭转超静定问题 的解题方法
利用扭转应变能 计算变形的方法
回顾：材料力学研究问题的基本方法
截面法 几何变形、物理
计 算 杆 件 的
外 力
工 作 应 力
内 力
关系、静力平衡
应 力
危 险 应 力
设计构件的 截面尺寸
杆件
危险应力 ≤许用应力
应用于
校核构件的 安全性
测 量 材 料 的
力 学 性 能
计算构件的 许用荷载 极 限 应 力 许 用 应 力
T m( l x )
画出扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
§5-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒扭转 （一）薄壁圆筒扭转横截面的应力 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为 ，壁厚 <<r
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或者说：
r0 薄壁圆筒——通常指 的圆筒 10
当其两端面上作用有 外力偶矩时，任一横截面 上的内力偶矩——扭矩 (torque) T M e
N .m
N M e 7024 n
N PS n r/min mN m
(5-1)
M
三、 扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面的内力是扭矩，即横截面上的内力 偶矩，用T 表示，单位是：N· m或kN· m，可利用截面法 来计算，其平衡方程是：
x
包 括 外 力 偶 矩 和 扭 矩 0，即 所 取 研 究 对 象 上 的偶 力矢 量
行，表示轴的横截面位置，纵轴表示横截面扭矩的大小，规定正扭
矩画在横坐标轴的上方，负扭矩画在横坐标轴的下方。 （2）竖直轴扭矩图的画法：取纵横坐标轴，纵轴与轴线平行，
表示横截面位置，水平轴表示横截面扭矩的大小，至于正负扭矩画
在纵轴那一侧，自己规定。
注意：画扭矩图要标图名、控制点数值、正负号和单位。
例5-1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输

y


x


x
思考：对于图示单元 体，切应力、 ' 、、 是否互等？
y
三、剪切胡克定律
在纯剪状态 下，单元体相对两 侧面将发生微小的 相对错动，原来互 相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个 微量。 直角改变量—剪 应变 。



由
T 2πr 2
扭转的定义 ——一对大小相等、转向相反的外力偶 作用在杆的横截面上，杆的各横截 面产生相对转动的变形形式，简称 为扭转。
圆轴扭转变形动画
圆轴扭转动画
工程实例
1.钻床的钻杆
2.机器的传动轴
3.机器中的传动轴
4.直升机的旋转轴
5.汽车的传动轴
6.雨棚梁
7.汽车的方向盘
二、外力偶矩的计算
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N Baidu Nhomakorabeam
r l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系，即剪切胡克定律，在线弹性范 围成立.
G
式中 G –剪切弹性模量
O


O

薄壁圆筒的实验, 证明剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪 应力不超过材料剪切比例极限τ p,即当p时 剪应力与剪应变成正比。
薄壁圆筒的扭转动画
1.几何方面：
受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成方格,然 后加载，观察方格变形情况。
n
m


r
观察现象
Me
n
m
l
Me
(1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面nn，mm仍保持平行）。 (2) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(3)方格变为斜棱形。设想:mm相对nn转动,方格两边发 生相对错动，但两对边之间距离不变，圆筒半径尺寸不变。


剪应力互等定理 : 在相互垂直的两 个平面上,剪应力一定成对出现，其 d y 数值相等，方向同时指向或背离两 平面的交线。 剪应力正负号规定：顺为正，逆为 负。

dx


例题

试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。

10 kN 20 kN 30kN 50kN 10 kN 20 kN 50kN 30kN 30kN
G
该式称为剪切胡克定律。 剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
E G 2(1 )
思考题：指出下面图形的切应变

切应变为
2
切应变为
0
Thank Everybody !
A
T
d A
T 2 r 2
r
dA
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不超 过4.52%,是足够精确的。 n m （二）薄壁圆筒的扭转角
T 2 A0

l r
φ γl/r

n m
二、剪应力互等定理 纯剪切：单元体上只 有剪应力而无正应力。
微元体（单元体）
(d y)dx ( d x)dy
设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
P(kW) 的功率相当于每分钟作 功
W = P kW ×1000 ×60 (1)
外力偶矩M e所作的功：
W = 2nMe (2) (1) = (2) 得 P kW ×1000 ×60 = 2n M e
N M e 9549 n N kW n r/min m N m
在x轴 上 投 影 的 代 数 和 等零 于。
T m
扭矩
T m
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭 矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
注意：在用截面法计算扭矩时，假设所求截面上的扭矩为正，即 背离截面，其目的是便于画出正确的扭矩图。 扭矩图的画法： （1）水平轴的扭矩图画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与轴线平
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
B Me2
T1 M e 2 4774.5 N m
T1
x
同理,在 BC 段内 在 AD 段内
Me2 1 Me3
B 1 C T1
Me1 3 Me4 A T3 3 D Me4
T1 M e 2 4774.5 N m T3 M e4 6366 N m
结论：横截面上各点的剪应变都相等。
2.物理方面
根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上只有剪应力，而无 正应力。由于壁很簿，可认为剪应 力沿簿壁均匀分布，方向垂直于 半径与周线相切。 结论：剪应力在截面上均匀分布，方向 垂直于半径与周线相切。
n m


n m
3. 静力学方面
Me
Me
?
T T
rdA T r 2 r T
扭转的应力（ 薄壁圆筒和圆 轴的应力公式）
圆轴扭转的变形 概念（计算公式 和计算方法）
扭转应变能的 公式、非圆形 截面杆扭转概 念（应力、变 形公式）
扭矩的求法和 扭矩图的画法
剪应力胡克定 律和剪应力互 等定理的概念 （公式、范围）
圆轴扭转的的 强度条件及其 计算三问题
圆轴扭转的刚 度条件及其计算 三问题
注意：若假设扭矩为正值,
Me2
则扭矩的实际符号与计算符号相同. 作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内. _
4774.5 N· m
9549 N· m
6366 N· m
+
Tmax 9549 N m
例5-2 试画轴的扭矩图 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx Tmax ml
第五章 扭转
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念、外力偶矩、扭矩和扭矩图
§5-2 薄壁圆筒的扭转 §5-3 等直圆杆扭转时的应力.强度条件 §5-4 圆轴的扭转变形·刚度条件 §5-5 等直圆杆的扭转应变能 §5-6 简单的扭转超静定问题 §5-7 非圆截面等直杆扭转的概念
比较—分类法
第5章知识点
扭转的概念与 内力（扭矩符 号规定、外力 偶矩计算）
实验测定
引入安全系数
回顾： 空间力偶矢量右手法则表示：即首先任作一 法
线垂直于力偶作用面，该法线的方位就表示力偶矩矢 的方位，然后沿着这条法线按一定比例尺取一段长度 表示力偶矩的大小，力偶矩矢的指向可按右手法则确 定，即以右手握住这条法线，四个手指表示力偶矩的 转向，大拇指向表示力偶矩矢的指向。
§5-1 扭转的概念、外力偶矩、扭矩和扭矩图
一、扭转的概念和实例
传动轴
螺旋桨轴
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心或空心圆截面)杆为主要研究对 象，称为轴。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内 工作的情况。
杆扭转的计算简图
Me Me


受力特征：杆横截面上受转向相反的力偶矩作用。 变形特征：横截面绕轴线相对转动。