高中物理必修2教学案变力做功问题的讨论 新课标

【学习目标】掌握变力做功的几种常用方法【案例剖析】公式cos W Fs θ=适用于恒力做功的计算。

对于变力做功，一般有以下几种方法: 1.微元法对于变力做功，不能直接用cos W Fs θ=进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用cos W Fs θ=求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普通的适用性。

在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题。

例1.用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道匀速运动一周，如图5－14－1。

已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

求此过程中摩擦力所做的功。

【解析】物块受的摩擦力在整个运动过程中大小为f F =mg μ不变，但方向时刻变化，是变力，不能直接用cos W Fs θ=求解。

但是我们可以把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

(答案:2mgR πμ-)2.平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，再利用功的定义式求功。

例2. 一辆汽车质量为1×105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离是线性关系，满足F=103x +f ，f 是车所受阻力，当该车前进100m 时，牵引力做了多少功？【解析】由于车的牵引力和位移的关系为F=103x +f ，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F 所做的功。

由题意可知4510f N =⨯,所以前进100米过程中的平均牵引力为4455510(51010)1102F N N ⨯+⨯+==⨯；所以5711010010w Fs J J ==⨯⨯=3.利用功能关系求变力做功求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能原理等规律，用能量的变化量等效代换变力所做的功。

这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向变化的细节，只考虑变力做功的效果―――能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法。

（1）用动能定理求功如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能变化量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

例3.如图5－14－2所示，AB 为四分之一圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长3m ，BC 处的动摩擦因数为115μ=。

现有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。

求：物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

【解析】物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，mgR W G =，BC mg W BC ⋅-=μ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

设物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功为fAB W ，从A 到C ，根据动能定理：，即：R5-14-1图R A5142图－－00-=⋅-+BC mg W mgR fAB μ，代入数据得J W fAB 6-=。

（2）用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。

如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例4.如图5－14－3所示，质量2m kg =的物体，从光滑斜面的顶端A 点以05/v m s =的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度差5h m =，求弹簧的弹力对物体所做的功。

【解析】由于斜面光滑，故物体和弹簧构成的系统机械能守恒。

但被研究的过程中，弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。

取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A ：2012A E mgh mv =+；状态B ：0B p E E =弹＋从A 到B 点，由机械能守恒定律：E 125J P 弹＝，则弹簧的弹力对物体所做的功为w=-125J 。

（3）用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量。

如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。

例5.质量为2m kg =的均匀链条长为2L m =，自然堆放在光滑的水平面上，用力竖直向上极缓慢提起此链条，，求该链条全部被提起时拉力所做的功。

【解析】链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持极小速度上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。

根据功能原理，上提过程拉力F 做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。

当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了112l L m ∆==，故机械能的变化量为：202LE mg J ∆=⨯=，则拉力所做的功为20J 。

【目标达成】1.将一质量为m 的物体以初速度0v 竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为v ，已知空气阻力大小与速率成正比。

则从抛出点到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为多少？2.长度为L 的均匀链条，单位长度的质量为ρ，把链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的14垂在桌边，如图5－14－4，松手后链条从静止开始沿桌面下滑，求从开始下滑到链条刚刚离开桌边的过程中重力所做的功。

3.在水平地面上平铺着n 块相同的砖，每块砖的质量都为m ，厚度为d ，若将这n 块砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？5-14-4图0v A Bh •D5143图－－4.汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由1v增至最大速度2v，假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为多少？5.子弹以速度v射入墙壁，入射深度为h。

若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的入射速度应增大到多少？6.如图5－14－5，有一劲度系数500/k N m=的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量2m kg=的物块，物块与水平面间的动摩擦因数0.4μ=。

现缓慢推动物块，使弹簧压缩10cm到A处，然后由静止释放物块。

求：（1）弹簧恢复原长时，物块的动能为多大？（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大？【拓展提高】7.用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？8. 如图5－14－6，定滑轮（尺寸可忽略）至滑块的高度为h米，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

专题一：变力做功的相关问题αβA Bhs5145图－－•【目标达成】1.2201122mv mv - 2.重力做的功等于重力势能增量的负值：所以重力做的功为 2215()32G p p w E E gL ρ=--=3.人做的功等于将砖叠放起来时砖增加的总的重力势能： 211(1)2p p w E E n n mgd =-=- 4.汽车加速阶段的牵引力是变力，但由于功率是恒定的，所以可 用pt 表示牵引力做的功，由动能定理：222121122p pt s mv mv v -=-，得22212()2m v v s t p v -=+5.设阻力与深度间的比例系数为k ，则f ks =，由于F 随位移是线性变化，所以F 的平均值为1(0)2F ks =+，由动能定理：2011(0)022kh h mv -+=-―――①；211(02)2022k h h mv -+⨯=-――― ②，由①②联列得02v v = 6.（1）从A 到B 的过程，对物块用动能定理：摩弹W W E kB +=， 其中mgs W μ-=摩，w 弹可用平均力法求。

211w kx 2弹＝，所以2kB 1E =5000.1-0.420100.1=1.7J 2⨯⨯⨯⨯⨯；放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力大小等于摩擦力时，物体有最大的动能。

设此时弹簧的压缩量为2x ，由2kx =mg μ，得2mgx ==0.016m kμ。

物体的位移212s =x -x =0.084m 。

在这一过程中弹力的功在数值上为122kx +kx )S w 2⨯'弹（＝，所以物块的最大动能为km 12221E =w w =k(x +x )s -mgs =1.764J 2μ''弹摩－。

7.从铁索在井底开始算起，拉力随深度h 的变化关系是mgF=Mg+(10-h)=250-5h 10⨯，可用平均力法求拉力做的功：250+200w=10=2250J 2⨯。

8.绳对物块的拉力是变力，不能直接套用功的计算式。

使用机械不省功，故绳对物块的拉力做的功可转化为恒力F 对绳做的功：h hw=F (-)sin sin αβ⨯。