专题(原卷版)：五年高考(2016-2020)高考数学(理概率与统计综合 (学生版)
专题18 概率统计选择题(理科)(原卷版) -十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编
概率统计选择题
目录
题型一：计数原理与排列组合 (1)
题型二：二项式定理 (3)
题型三：简单的随机抽样 (4)
题型四：用样本估计总体 (5)
题型五：回归分析 (9)
题型六：独立性检验 (11)
题型七：事件与概率 (11)
题型八：离散型随机变量及其分布列 (14)
题型九：概率统计综合 (16)
2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有() A．120种B．90种
C．60种D．30种
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第6题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有() A．2种B．3种C．6种D．8种
4．(2022新高考全国II卷·第5题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有() A．12种B．24种C．36种D．48种
5．(2023年全国甲卷理科·第9题)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有() A．120B．60C．30D．20
6．(2014高考数学重庆理科·第9题)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则类节目不相邻的排法种数是() A．72B．120C．144D．3
压轴题08 概率与统计的综合运用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题08概率与统计的综合运用
概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
考向一：概率与其它知识的交汇问题
考向二：递推概率
考向三：与体育比赛规则有关的概率问题
考向四：决策型问题
考向五：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
（一）涉及的概率知识层面
主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，
1、离散型随机变量的期望与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
称1122()n n E X x p x p x p =+++ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称()2
1()()n
i i i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值
高考数学(理科)-概率与统计相结合问题-专题练习有答案
高考数学（理科）专题练习概率与统计相结合问题
一、练高考 1．【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A ．1
B ．1
C ．2
D ．3
160～180 cm （含160 cm ，不含180 cm ）的学生人数，那么在流程图中
C ．i ＜7?
D ．i ＜6?
次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”．依此，记35的“分裂”中的最小的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝__________．
．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题： 法抽取频数 频率 70.5 0.16
）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
y b x a ∧∧∧
=+；
个零件需要多少时间．
高考数学（理科）专题练习 概率与统计相结合问题
答 案一、练高考
1~2．BB 3．30 4．（1）编号为016； （2）
分组 频数 频率 60．5～70．5 8 0．16 70．5～80．5 10 0．20 80．5～90．5 18 0．36 90．5～100．5
14 0． 28 合计
50
1
（3）256（人） 5．（1）3（名）； （2）2（名）；
（3）有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关． 6．（1）散点图如下图所示：
概率与统计(解答题)(文科专用)(原卷版)五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题16 概率与统计（解答题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， P (K 2⩾k )
0.100 0.050 0.010 k 2.706
3.841
6.635
2．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：
m 2）和材积量（单位：m 3
）
，得到如下数据：
并计算得∑
x i 210i=1
=0.038,∑
y i 210i=1
=1.6158,∑x i y i
10i=1=0.2474． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =
i n i=1
i √∑(x i −x̅)2n
i=1∑(y i
−y ̅)2
n
概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率
；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲
的概率丙.并对三者进行比较即可解决
【详解】
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲
则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙
则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙
则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123
则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
专题10 概率与统计 原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题10 概率与统计
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4
11i i p ==∑，则下
面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====
D. 14230.3,0.2p p p p ====
2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种
D. 30种
3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%
D. 42%
4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：
[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）
A. 10
B. 18
C. 20
D. 36
5.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
1
2和13
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
2024年高考数学专题21 概率与统计的综合运用(13大题型)(练习)(原卷版)
专题21概率与统计的综合运用
目录
01 求概率及随机变量的分布列与期望 (2)
02 超几何分布与二项分布 (3)
03 概率与其它知识的交汇问题 (4)
04 期望与方差的实际应用 (6)
05 正态分布与标准正态分布 (8)
06 统计图表及数字特征 (10)
07 线性回归与非线性回归分析 (13)
08 独立性检验 (16)
09 与体育比赛规则有关的概率问题 (18)
10 决策型问题 (20)
11 递推型概率命题 (21)
12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 (23)
13 高等背景下的概统问题 (25)
01 求概率及随机变量的分布列与期望
1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
E X．
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望()
3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按50%,30%
和20%计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：
历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版
参考公式：
如果事件 A、B互斥，那么球的表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2
如果事件 A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径P(A B) P( A) P(B)球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V3R3
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率
4
其中 R 表示球的半径
P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2, n)
普通高等学校招生全国统一考试一、选择题
13i 1、复数
i =
1
A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i
2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m=
A0或3 B 0或3C1或3 D 1或3
3椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为
A x2y2
=1B
x2y2
=1 16
++
12128
C x2y2
=1D
x2y2
8
+
12
+=1 44
4已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为
A2B3C2D1
（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为
10099
(C)99101
(A)(B)(D)
100
101101100
（6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)
3
（7）已知α为第二象限角，sinα＋ sinβ =
((完整版))全国卷近五年高考真题汇总--1.集合(理),推荐文档
集合专题---五年全国卷高考题
【2017全国3，理1】已知集合，，则A ∩B 中{}22(,)1A x y x y =+={}(,)B x y y x ==元素的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【2017全国1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |}，则（ ）
31x <A ．B ．{|0}A B x x =< A B =R
C ．
D ．{|1}A B x x => A B =∅
【2017全国2，理】设集合，。若，{}1,2,4A ={}240x x x m B =-+={}1A B = 则（ ）
B =A. B. C. D.{}1,3-{}1,0{}1,3{}
1,5【2016全国1，理】设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （ ）
（A ）3
(3,)2--（B ）3
(3,)2-（C ）3(1,2（D ）3
(,3)
2【2016全国2，理】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）
（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}
-，，，，【2016全国3，理】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S∩ T=
（ ）
(A) [2，3] (B)（-∞2]U [3,+∞）
(C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞）
【2015全国2，文】已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则
2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)
专题11 概率与统计综合问题
【题型解读】
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．
【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】见解析
【解析】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人． (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4C 3－k
3
C 37(k ＝0,1,2,3)．
所以随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7
.
②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥． 由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝6
2016-2020年新课标1卷(文科 理科)高考数学知识点分布统计表
导数 三角函数 立体几何 （球） 数列
函数导数综合 平面向量
三角函数 解析几何
不等式 数列
立体几何
立体几何
概率统计（回 概率统计 归直线）
圆锥曲线
圆锥曲线
函数与导数综 函数与导数综合
合(ex)
(ex)
极坐标与参数 几何证明
方程 不等式选讲
极坐标与参数方 程
不等式选讲
题型 选择题 填空题 解答题
题号 1 2 3 4
5
6 7 8 9 10
11
12
13 14 15 16
17
18 19
文科
分值 （分）
20年
5 集合
5
复数
5 立体几何
19年
复数 集合 函数性质
18年
集合 复数
统计
5
概率（几何概 型）
数学文化
解析几何
统计（线性回 复杂函数图像 三视图
5 归）
性质
5 直线与圆
数列 三角函数
线性规划 解析几何
5 数列综合
立体几何（点 到面距离）
解三角形
12 概率统计
统计概率（独 数列 立性检验）
12 解三角形
数列（等比数 列综合）
立体几何
12 立体几何
立体几何
概率统计
20 12 函数与导数 函数导数综合 解析几何
2020年高考数学母题题源解密19 概率与统计综合(山东、海南原卷版)
专题19 概率与统计综合
【母题题文】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？
附：22
()()()()()
n
ad bc K a b c d a c b d -=++++，
【试题解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为
64
0.64100
=．
（3）根据（2）的列联表得2
2
100(64101610)7.48480207426
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯． 由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关． 【命题意图】
（1）了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题. （2）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
（3）考查阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养. 【命题方向】
从高考试题可以看出，本知识点注重对试题的理解以及数学建模能力的考查，综合性强，多为古典概型与茎叶图、频率分布直方图、回归分析、独立性检验等交汇考查.解题的关键是认真读题，读懂题意，才能利用所学数学知识来解决. 【方法总结】
2024年高考数学专题20 概率与统计常考小题归类(15大题型)(练习)(原卷版)
专题20 概率与统计常考小题归类
目录
01 抽样方法与随机数表 (2)
02 统计图表及其数字特征 (2)
03 传统线性拟合 (4)
04 非线性拟合处理 (5)
05 传统独立性检验 (6)
06 创新类定义统计 (7)
07 正态分布 (9)
08 超几何分布与二项分布 (10)
09 随机变量的分布列、期望、方差 (11)
10 古典概型 (11)
11 条件概率与全概率 (12)
12 概统结合问题 (12)
13 传统规则的概率问题 (14)
14 新赛制概率问题 (15)
15 递推型概率命题 (15)
01 抽样方法与随机数表
1．（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（）
A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18
2．（2024·广东·高三统考学业考试）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是（）
A．1，11，21，31，41，51B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56D．3，9，13，27，36，54
3．（2024·全国·高三专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 019名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 019名学生中剔除19名，再从剩下的2 000名学生中按分层抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（）
【高考数学复习 考点解密】专题13 概率与统计必考题型分类训练(原卷版)-高考数学二轮复习讲义
专题13概率与统计必考题型分类训练
【三年高考真题练】
一．填空题（共11小题）
1．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．2．（2022•上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝．3．（2022•上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为．4．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）
5．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．
6．（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，x2的系数为80，则a＝．7．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（2020•上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab ＝．
9．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．
10．（2020•上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．11．（2020•上海）已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为．
【三年自主招生练】
一．选择题（共1小题）
1．（2022•上海自主招生）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳
题型一:常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.
【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为2
3. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则
P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪
⎫
13i ⎝ ⎛⎭
⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪
⎫
132⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝8
27.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，
∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪
专题20统计概率(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)
统计概率（理科）解答题20题
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备
9.8
10.3 10.0 10.2
9.9
9.8
10.0 10.1 10.2
9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为2
1s 和
22s ．
（1）求x ，y ，21s ，2
2s ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
22
12
2
10
s s y x +-≥认为有显著提高）．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ ()2P K k ≥ 0.050 0.010
0.001
k 3.841 6.635 10.828
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
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专题16 概率与统计综合
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
1
2
， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率.
2.（2020·新课标Ⅱ）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
20
160i i
x
==∑，201
1200i i y ==∑，202
1
)80i i x x =-=∑（，20
21
)9000i i y y =-=∑
（，20
1
))800i
i i
x y x y =--=∑
（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r
))n
i
i
x y x y --∑
（（
=1.414.
3.（2020·新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
4.（2020·北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）
5.（2020·江苏卷）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1·
q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．
6.（2020·山东卷）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2
SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22
⨯列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2
SO 浓度有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
【2019年】
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用
某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．
3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
为2
3
．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
4．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用