新北师大版八年级上数学勾股定理知识点对应练习

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北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)

北师大版八年级数学上【1】勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cb+ D.+ C. ca<bba>a=+ B. c2c22+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121B．120C．90D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42 或 32 D．37 或 337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AE 重合， AC B你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，小汽车小汽车 B C 观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7．解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。

北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题【一定要看哟】

勾股定理 1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+, 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

4．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5．勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较: 若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bc c baED CBA形是直角三角形 6. 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CBA ADB CCB DA10.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版

AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
1
2
3
4
5
证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
1
2
3
4
5
证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点，所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，

BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .

2
2
2
2
在Rt△ DAF 中， DF ＝ AD ＋ AF ＝ a .

在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.

在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.

北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】

第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程＋等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（）.（A ）6 （B ）（C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。

初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)

.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2a b c 。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

2 2 23．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a b c ，那么这个三角形是2 2 2直角三角形。

满足a b c 的三个正整数称为勾股数。

第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 2x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。

（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②2a ＝a ；③ 2a a 。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若（2）性质：①33 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：33 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

a a5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。

a b a bb b第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

北师大版八年级上册数学认识勾股定理同步练习题

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为 1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m 高的树被风折断，树顶落在离树根3 m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.CF D A参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。

在他看来,他取得高分的最大秘诀就是:基础知识掌握得非常牢固。

在所有学科中,XX认为自己的理科和英语还算不错。

他说他最擅长的是用知识网络法来归纳知识,让零散的知识变得系统、有条理，具体如何做呢?以数学为例,XX会首先联想一个数学关键词比如说一元二次方程,然后围绕着这个关键词想一想,什么叫做一元次方程,一元二次方程有哪些解法,解答一元二次方程的步骤是什么等等,然后再将这些间题的答案写在笔记本中,这样知识就变得非常清晰了。

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版

三角形.在△ ABC 中，∠ A ，
∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c .设最大边为 c ，若 a2
＋ b2＝ c2，则△ ABC 是以
a2＋ b2＞ c2，则△ ABC 是
c2，则△ ABC 是
钝角
c
为斜边的直角三角形；若
锐角
三角形.
三角形；若 a2＋ b2＜
3. 勾股数：满足 x2＋ y2＝ z2的三个
正整
数，称为勾股
数，显然，以 x ， y ， z 为三边长的三角形一定是
角
三角形.
直
⁠
一、选择题(每题4分，共32分)
1. 直角三角形两直角边分别为5 cm和12 cm，则其斜边上的
高为(
D
)
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 13 cm
D.
1
2
3
4
5
6
7

cm

8
9
10
11
12
13
14
15
16
期末提分练案
复习1
1
勾股定理
考点梳理与达标训练
CONTENTS
目
录
01
考点梳理
02
达标训练
1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于
边 c 的平方
.(即 a2＋ b2＝ c2)
斜
⁠
2. 如果一个三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那
么这个三角形是
直角
始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 B 点.
(1)请问彩带的长度最短是多少？
1
2
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八年级数学上册第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版

第1章勾股定理一．知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c =b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比拟，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕； 2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕 2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕 7．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 8．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的结论． 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC = 题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，那么这个三角形的面积为 ⑶直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC =， 2.4AC BCCD AB⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，那么17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DECD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，那么6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD 答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c == ∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，那么以下结论中恒成立的是 ( )A 、2ab<c 2B 、2ab ≥c 2C 、2ab>c 2D 、2ab ≤c22、x 、y 为正数，且│x 2-4│+〔y 2-3〕2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔〕A 、5B 、25C 、7D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，那么满足要求的直角三角形共有〔〕A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个4、以下命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，〔a>b=c 〕，那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练

北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练知识点一：利用勾股定理求边长1.求出下列直角三角形中未知边的长度.2. 2.求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积．3. 如果直角三角形的两直角边长是9，40，那么斜边长为多少？4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案．5. 如图，求等腰三角形ABC的面积．知识点二：利用勾股定理解决实际问题1. 1.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？2. 1876年，美国总统伽菲尔德利用右图验证了勾股定理．你能利用这个图形验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.3. 某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？知识点三:判定直角三角形1.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2－b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2. 如图，阴影长方形的面积是多少？3. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？4. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？5. 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？。

北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习

北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？A CB4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习（答案版）1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．解：①82+152=172，能；②72+122≠152，不能；③122+152≠202，不能；④72+242=252，能．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A 爬到了点D ，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）解：根据勾股定理分别求得AB=5cm ，BC=13cm ，CD=10cm ，222BF AE EF +=所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm ）．3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km ，然后向正北方向航行了120km ，这时它离出发点有多远？解：如图，A 为出发点，B 为正东方向航行了160km 的地点，C 为向正北方向航行了120km 的地点，故AB=160km ，BC=120km ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2= AB 2+BC 2=40000．所以AC=200km ．即这时它离出发点200km ．4. 小明从家出发向正北方向走了150m ，接着向正东方向走到离家250m 远的地方．小明向正东方向走了多远？解：如图,AB=150m ，AC=250m ，则BC 2= AC 2-BC 2=40000．所以BC=200 m ．答：小明向正东方向走了200m ．5. 如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积.解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=32+42=25，在Rt △ACF 中，FC 2=AC 2+AF 2=25+144=169，A CB故正方形CDEF的面积为169．6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？解：如图，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，即AE2+72=252，所以AE=24（m）.即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？解：梯子的底端在水平方向滑动了8m．理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．在Rt△A′ED′中，由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，所以D′E=15（m）.所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725.9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，∴BC≈3.06（米）；能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m 于点E,BD ⊥直线m 于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元练习

第一章勾股定理一、选择题1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A.√3,√5,2B. 1,2,√7C. 1,√2,√3D. 4,5,62. 若Rt△ABC 的两边长为5和12,则第三边长为( )A. 13B. 26C.√ 119D. 13 或√1193. 下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是( )A. ∠A=30°B. ∠B+ ∠C=120°C. ∠A: ∠B: ∠C=1:1:2D.AB=AC=1,BC=√34. 如图，将一根长20cm 的铅笔放入底面直径为9cm, 高为12cm 的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm, 则x 的最小值是( )A. 5B.7C. 12D. 135. 如图，在直角△ABC 中，AB=9,BC=6, ∠B=90°, 将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为MN, 则线段AN 的长为( )A.6B. 5C. 4D.36. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB 的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米),且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为( )A.1 米B.√2米C.2 米D. 4 米7. 如图，长方体的高为9dm, 底面是边长为6dm 的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B, 那么它爬行的最短路程为( )A. 10dmB. 12dmC. 15dmD.20dm8. 如图，AB, BC, CD, DE 是四根长度为5cm 的火柴棒，点A,C,E 共线，CD ⊥BC, 若AC=6cm, 则线段CE 的长度是( )A. 6cmB. 8cmC.6√2cmD.8√2cm二、填空题9. 三角形的三边之比为3:4;5,周长为36,则它的面积是10. 如图，四边形ABCD, 连接BD,AB ⊥AD,CE ⊥BD,AB=CE,BD=CD. 若AD=5,CD=7, 则BE=11. 已知如图：小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得△ABC, 则△ABC的周长为·12. 如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省m 的路.13. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB=15,BC=9,AC=12, 则BD的长为·三、解答题14. 在△ABC中，D 是BC 上一点，AC=10,CD=6,AD=8,AB=17, 求BC的长.15. 如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米.求竹子折断处与根部的距离CB.16. 如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AC=9,BC=12,AB点E, 连结AE, 求BE 的长.的垂直平分线交AB 于点D, 交 BC 于17. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=9,BC=12,D使点B 恰好落在边AC上的点B 处，求DB 的长度.为BC上一点，连接AD, 将△ABC沿AD折叠，18. 已知，如图，在△ABC 中， D 是BC 的中点， DE⊥BC, 垂足为D, 交AB 于点E, 且BE²-EA²= AC²,(1)求证：∠A=90°, (2)若DE=3,BD=4,求AE 的长.参考答案1. C2. D3. C4. A5. B6.A7. C8.B9. 5410.211.2 √5+√212.213.14. 解：∵CD=6,AD=8,∴CD²+AD²=6²+8²=100,∵AC²=10²=100,∴CD²+AD²=AC²,∴∠ADC=90°,∴∠ADB=90°,∴BD=√AB²-AD2=√ 172-82=15,∴BC=BD+CD=15+6=21.15. 解：由题意知BC+AC=8, ∠CBA=90°,∴设BC 长为x 米，则AC长为 ( 8 -x) 米，∴在Rt△CBA 中，有BC²+AB²=AC²,即：x²+16=(8-x)²,解得：x =3,∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3 米. 16. 解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB=√AC²+BC2=√9²+122=15,∵DE 垂直平分线AB,∴AE=BE,设BE=AE=x, 则 CE=12-x, 在Rt △ACE 中，由勾股定理得， AE²=AC²+CE², 即x²=9²+(12-x)², 解得 ,即 BE 的长17. 解：由折叠的性质可得 AB′=AB=9,∴∠CB'D=180°- ∠AB'D=90°∵∠B=90°,AB=9,BC=12, ∴AC=√AB²+BC2=15,∴B'C=AC-AB′=6,DB′=DB=9,∠AB'D= ∠B=90°,设 DB'=DB=x,在直角三角形 B'CD ∴(12-x)²=x²+6²,解得 ,则 DC=BC-BD=12-x,中： CD²=DB²+B'c²,18. (1)证明：连接CE, 如图，∵D 是BC 的中点， DE ⊥BC,∴CE=BE, ∵BE²-EA²=AC²,∴CE²-EA²=AC²,∴EA²+AC²=CE²,∴△CAE是直角三角形，即∠A=90°;(2)解：∵DE=3,BD=4,∴BE=√DE2+BD2=5=CE,∴AC²=EC²-AE²=25-EA²,∵BC=2BD=8,∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC²-BA²=64-(5+EA)²=AC², :64- (5+AE)²=25-EA²,解得。

北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)

第一章勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理--动点问题练习(含答案)

《勾股定理--动点问题》一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（）A ．14.8B ．15C ．15.2D ．162．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（）A ．4处B ．3处C ．2处D ．1处4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（）A ．5B ．8C ．13D ．4.85．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能是（）A ．9B ．12C ．14D ．16二、填空题6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为．7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝8，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB的长为．8．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．9．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是．三、解答题10．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C 点相遇，求BC的长度？11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s 的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）运动几秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）运动过程中，直线PQ能否平分△ABC的周长，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？15．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒1个单位，移动至拐角处调整方向需要0.5秒（即在B、A处拐弯时分别用时0.5秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在AC延长线上运动时，CP的长为；（用含t的代数式表示）②若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．（2）求斜边AB上的高．（3）①当点P在BC上时，PC的长为．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．答案一、单选题1．【思路点拨】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．【解题过程】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP=AB⋅BCAC =245= 4.8，∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，故选：A．2．【思路点拨】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解题过程】解：∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．①当BP＝BA＝25时，∴t=252．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，3．【思路点拨】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC 的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．【解题过程】解：∵∠CAD＝30°，CD＝2，∠D＝90°，∴AC＝4，AD=AC2−C D2=42−22=23，∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：AD⋅CDAC =23×24=3，∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝22，∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：BC⋅ABAC =22×224=2，∵3＜2，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为3，∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，即满足条件的点P有3处，故选：B．4．【思路点拨】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC＝S△ACD+S△DCB不难求得DE+DF的值．【解题过程】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，∵AC＝BC＝5，AB＝8，∴BG＝4，CG=BC2−B G2=52−42=3，∵S△ABC＝S△ACD+S△DCB，∴AB•CG＝AC•DE+BC•DF，∴8×3＝5×（DE+DF）∴DE+DF＝4.8．故选：D．5．【思路点拨】根据已知条件易求AB＝9，AD∥BC，再确定MN的最大值及最小值可求出MN的取值范围，进而可求解．【解题过程】解：∵AE＝4，EB＝5，∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，∵∠DAE＝∠B＝90°，∴∠DAE+∠B＝180°，∴AD∥BC，当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，∵∠B＝90°，BC＝12，∴MN=AB2+BC2=92+122=15；当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，MN＝AB＝9，∴9≤MN≤15，∴MN的长度不可能是16，故选：D．二、填空题6．【思路点拨】分三种情况，当OB＝AB，OA＝AB，OA＝OB时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解题过程】解：当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OB＝AB，∴∠O＝∠OAB，∵∠AOM＝45°，∴∠ABO＝90°，∴OB＝1；②如图，OA＝OB=2；③如图，OA＝AB，∴∠O＝∠ABO＝45°，∴∠A＝90°，∴OB=OA2+AB2=2+2=2．综上所述，OB的长为1或2或2．故答案为：1或2或2．7．【思路点拨】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．【解题过程】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝6，故PB＝2．②当AD＝PD时，∴∠PAD＝∠APD，∵∠B＝∠APD＝∠C，∴∠PAD＝∠C，∴PA＝PC，过A作AG⊥BC于G，∴CG＝4，∴AG=AC2−C G2=62−42=25，过P作PH⊥AC于H，∴CH＝3，设PC＝x，∴S△APC=12AG•PC=12AC•PH，∴5x＝3×PH，x，∴PH=53∵PC2＝PH2+CH2，∴x2＝（5x）2+9，3（负值舍去），解得：x=92∴PC=9，2∴PB=7；2③当AD＝AP时，点P与点B重合，不合题意．．综上所述，PB的长为2或72故答案为：2或7．28．【思路点拨】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．【解题过程】解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，{∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝4﹣x，在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP=7．8．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或78故答案为：1或7．89．【思路点拨】如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2=2 PA，求出PA的取值范围即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2，∵∠BAC＝45°，∴∠P1AP2是等腰直角三角形，∴P1P2=2AP2=2PA．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝DC＝6，∴AC＝62＞AB，∵AB＝8，∴BD＝2，BC=BD2+CD2=4+36=210，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，∴AH=8×6210=12510，∵12105≤PA≤62，∴2455≤P1P2≤12．故答案为2455≤P1P2≤12．三、解答题10．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．11．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC=AC2−A B2=24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=BP2+BQ2=13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，．解得 t=247秒，AP＝CQ．答：P、Q两点运动24712．解：（1）由勾股定理得，BC=AC2−A B2=252−72=24（cm）；（2）∵△PBQ是等腰三角形，∠B＝90°，∴BP＝BQ，则7﹣1×t＝6t，解得t＝1，∴运动1秒后，△PBQ是等腰三角形；（3）假设直线PQ能平分△ABC的周长，则BP+BQ=12(AB+BC+AC)=12(7+24+25)=28（cm），则7﹣1×t+6t＝28，解得t=215，当t=215时，点Q的运动路程为6×215=25.2＞24，∴直线PQ不能平分△ABC的周长．13．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AB2−A C2=102−62=8（cm）；（2）存在，理由如下：如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，在△AEP与△ACP中，{∠PAE=∠PAC∠AEP=∠C=90°AP=AP，∴△AEP≌△ACP（AAS），∴AE＝AC＝6cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，解得：t=52，即当t的值为52时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．14．解：（1）∵运动时间为4秒，∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ=BQ2+BP2=82+122=413（cm）；（2）设运动时间为t秒，则BQ＝2t（cm），BP＝（16﹣t）（cm），根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t=163，即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ=AB⋅BCAC =12×1620=485（cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=BC2−B Q2=122−(485)2=365（cm），（12+365）÷2＝9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2＝16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒钟后，△CQB能形成直角三角形．15．解：（1）△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AB＝5，BC＝3，∵52＝AC2+32，∴AC＝4，∴点C到AB边的距离=AC⋅BCAB =3×45= 2.4；故答案为：2.4；（2）存在，使△PBC为等腰三角形时，P在AB上或在AC上，当P在AB上时，①BC＝BP，如图1，∵BP＝t﹣0.5﹣3，∴t﹣0.5﹣3＝3，解得：t＝6.5；②CB＝CP，如图2，过点C作CD⊥AB于D，则BD＝PD，由（1）知：CD＝2.4，∵BC＝3，∴BD=32−2．42=1.8，∴BP＝3.6，∴t＝3.6+3+0.5＝7.1；③PB＝CP，如图3，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACP+∠PCB＝∠A+∠B＝90°，∴∠ACP＝∠A，∴AP＝CP＝BP＝2.5，∴t＝2.5+0.5+3＝6；当P在AC上，如图4，CB＝CP＝3，∴t＝3+5+0.5+0.5+4﹣3＝10．综上所述，t的值为6.5或7.1或6或10．16．解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25∴BC＝20，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD，∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠EDA＝∠ECA＝90°，∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10在Rt△BED中∴x2+102＝（20﹣x）2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5．（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形∵AC＝15，∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD，∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴CD＝BD＝DA＝12.5，③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图1中，作CH⊥BA于点H，则12•AB•CH=12•AC•BC，∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH=AC2−C H2=9，∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，∴AD＝18．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝210cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+210=（16+210）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，{PD=PCBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．18．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=AC2+PC2=164=241．答：AP的长为241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB=64+256=320=85若BA＝BP，则 2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵12AB•h=12AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②若点P在∠ABC的角平分线上，则：设PM＝PC＝y，则AP＝4﹣y，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+y2＝（4﹣y）2，解得y=32，(4−32)÷2=54，即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为54．故答案为：54．（3）当AB作为底边时，如图所示：∵APAM =AP2.5=54，∴AP＝3.125，此时t＝3.125÷2＝1.5625；当AB作为腰时，如图所示：AP1＝AB＝5，此时t＝5÷2＝2.5；AP2＝2AC＝8，此时t＝4，综上，t的值为1.5625或2.5或4．20．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=AB2−B C2=102−62=8；（2）设边AB上的高为h则S△ABC =12AC⋅BC=12AB⋅h，∴12×6×8=12×10⋅h，∴h=245，答：斜边AB上的高为245；（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，{AP=APPD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20．3．故答案为：①16﹣2t；②203（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=245，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=BC2−C H2=62−(245)2=185= 3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=12×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12×AC=12×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=BQ2+PQ2=32+42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题

如果三角形的三边长为 a,b,c ，满足 a 2 b 2 c ，那么，这个三角形是直角三角形．知识点一：勾股定理定义画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ ABC ，量 AB 的长；一个直角边为 5 和 12 的直角△ ABC ，量 AB 的长发现 32+42 与 52的关系， 52+122 和 132 的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。

（即： a 2+b 2＝ c 2） 1．如图，直角△ ABC 的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线； ⑶若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边：；（给出证明）⑷三边之间的关系：知识点五：勾股定理逆定理第一章勾股定理知识点二：验证勾股定理 B 、∠ C 的对边为A 、∠ 例 2 。

求证：证明：已知：在△ ABC 中，∠ C=90°，∠2 2 2 a ＋ b =c 。

知识点四：勾股定理简单应用在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°(1) 已知： a=6, b=8 ，求 c （2）已知： b=5，c=13，求 aa 、 b、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：①先找出最大边(如 c )②计算 c 2与 a 2 b 2 ，并验证是否相等。

2 2 2若 c 2=a 2 b 2 ，则△ ABC 是直角三角形。

2 2 2若 c 2≠ a 2 b 2 ，则△ ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以 a ，b ，c 为边的三角形不是 Rt △的是()知识点八：逆定理判断垂直1．在△ ABC 中，已知 AB 2－BC 2＝ CA 2，则△ ABC 的形状是 ( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ ABC ，若小方格边长为 1，则△ ABC 是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对知识点九：勾股定理应用题1. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面A. a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=102. 三角形的三边长为 (a b) 2 c 2 A. 等边三角形 B. 钝角三角形B. a=7,b=24,c=24 D.a=3,b=4,c=52ab , 则这个三角形是 ( )C.直角三角形 D. 锐角三角形3. 已知 x 6 y 8 (z 10)2 0 知识点六：勾股数则由此 x,y,z 为三边的三角形是三角形 .1)满足 a 2 b 2 c 2 的三个正整数，称为勾股数．2)勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如 3、4、5是勾股数， 6、8、10 也是勾股数．3)常见的勾股数有：① 3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 11、 60、 61；⑥ 9、40、41． 1.设a 、 b 、 c 是直角三角形的三边 ,则 a 、 b 、 c 不可能的是( ).A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151. 若线段 a ， b ，c 组成 A.2 ∶3∶4 B.3 Rt △，则它们的比可以是( C.5 )12∶13 知识点七：确定最短路线1. 一只长方体木箱如图所示，长、宽、有一只甲虫从 A 出发，2.如图, 一圆柱高 8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点D.4 ∶ 6∶ 7是5cm 、高分别为 C ，最近距离是多少？A是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2. ______________________________________________________________________ 如图为某楼梯 ,测得楼梯的长为 5米,高3米, 计划在楼梯表面铺地毯 , 地毯的长度至少需要 _______________ 米.3.一根直立的桅杆原长 25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多拉开 5 米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一、选择题3米2 2 2 1、下面几组数 : ①7,8,9; ②12,9,15; ③m2 +n2, m2 成直角三角形的三边长的是 ( )2– n 2, 2mn(m,n 均为正整数 ,mn); ④ a2, a21, a 22. 其中能组1 米，当他们把绳子的下端A. ①②;B. ①③;C. ②③ ;D. ③④ 2已知一个 Rt△的两边长分别为 3和 4，则第三边长的平方是(A.25B.14C.7D.7 或 253.三角形的三边长为 (a b)2 c 2 2ab , 则这个三角形是 ( )A. 等边三角形 ;B. 钝角三角形 ;C. 直角三角形 ;D. 锐角三角形24. △ABC 的三边为 a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则 ( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D. 是斜三角形5. 以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有( ) ①6、7、8，②8、15、17，③ 7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4个 6. 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不是直角三角形二、填空题1. 在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，①若 a=5， b=12，则 c= ______ ；②若 a=15，c=25 ，则 b= _________ ；③若 c=61 ，b=60，则 a= _________ ；④若 a ∶b=3∶ 4，c=10 则 S Rt △ ABC = _________2. 现有长度分别为 2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3. 勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明2 2 2 22. 在△ ABC 中， BC=m-n ， AC=2m ，n AB=m +n （m>n ）。

北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)

例1. (1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm ),计算两圆孔中心A 和B 的距离为(2)如图2,直线I 上有二个正方形a, b, 的面积分别为5和11,则b 的面积为( C . 16D . 55点评：以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边，求第第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析:勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB 2=902+1202=22500,所以 AB=150 (mm )(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,故选C .60]15060c)图2三边时，往往要借助于勾股定理来解决.例2.如图3,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,试求Z AE2A2 Z A4E2C4 Z A4E5C4 的度数.、图3解：连A3E2. Q A3A2A]A2, A2E2A2E2,A3A2E2 AA2E2 90o,Rt △ A3A2E2如Rt △ A1A2E2(SAS).5 A-I E2A3 E2 A2由勾股定理，得：C4E5 22 12 ,5 C3E2 , A4E5 、42 12 ,17 A3E2 ,2Q A4C4AC B 2 , △ A4C4E5◎△ A3C3E2 (SSS).A3 E2C3A4 E5C4A1E2 A2A4E2C4 A4 E5C4 A3E2C4 A4 E2C4 A3E2C3 A2E2C4 •由图可知△ E2C2C4为等腰直角三角形. A2E2C4 45o.即A,E2A2A4E2C4 A4E5C4 45° .点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：(1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得.(2)利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如45°、90°、135°, 便一目了然.以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力.专练一：〔、△ ABC 中，/ A :/ B:/ C=2 : 1: 1, a，b，c分别是/ A、/ B、/ C 的对边，则下列各等式中成立的是( )(A) a2b2c2; (B) a22b2; (C) c22a2; (D) b22a22、若直角三角形的三边长分别为2, 4, X，则x的可能值有( )(A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3个；(D) 4 个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为( )(A) 10.5 米; ( B) 7.5 米; (C) 12 米; (D) 8 米4、下列说法中正确的有( )(1)如果/ A+ / B+Z C=3: 4: 5,则厶ABC是直角三角形；(2) 如果/ A+Z B= Z C,那么△ ABC是直角三角形；(3)如果三角形三边之比为6: 8:10,则ABC是直角三角形；(4)如果三边长分别是n21,2n,n21(n 1)，则ABC是直角三角形。

勾股定理的应用知识点练习北师大版八年级数学上册

考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题【例1】如图，一架25m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙上．(1)若梯子底端B 距墙角7m ，求梯子的顶端A 距地面多高；(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑4m 至点A '，那么梯子的底端B 向外移至点B '，求BB '的长．【变式1】如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，90C ∠=︒，这时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为1m ．(1)求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ．(2)如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 外移0.5m 吗？通过计算说明你的结论．考点二：应用勾股定理解决旗杆高度【例2】如图，要从电线杆离地面5米处向地面拉一条长为7米的钢缆．求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离．【变式2-1】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求秋千的长度．【变式2-2】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．10B．13C．15D．17考点三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离【例3】有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【变式3-1】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是．变式3-1图变式3-2图【变式3-2】在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行()A．12米B．13米C．9米D．17米考点四：应用勾股定理解决大树折断前的高度【例4】折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，BC=尺，求竹子折断后，留在原处的竹子AC的长为多少尺?（1丈103=尺）．【变式4-1】我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少尺？（1丈10=尺）【变式4-2】海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m变式4-2图变式4-3图【变式4-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=，3BC =，求AC 的长，如果设AC x =，则可列方程为．考点五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题【例5】如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．【变式5-1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（10AB =尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P 是AB 的中点)，它高出水面1尺(1MP =尺)．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN BN =)．水的深度PN 与这根芦苇MN 的长度分别是多少？【变式5-2】如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是cm．考点六：应用勾股定理解决航海问题【例6】甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东33︒航行，乙船向南偏东57︒航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式6-1】如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，求1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距多少海里．【变式6-2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西50︒方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东40︒方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（）A．12海里B．16海里C．20海里D．24海里考点七：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题【例7】如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得P A+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【变式7】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．考点八：平面图形-最短路径问题【例8】如图，一个圆柱体的底面周长为12cm，高AC为8cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧表面爬行到点B的最短路程为．例8图变式8-1图变式8-2图【变式8-1】如图所示，一圆柱高6cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱体外面底部点A处，爬到圆柱正对面的外侧点B处吃食，已知点B距离圆柱体上口1cm，则蚂蚁要爬行的最短路程（取3）是．【变式8-2】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离（杯壁厚度不计）为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm【例9】如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（）A．5cm B．43cm C．6cm D．7cm例9图变式9图【变式9】如图，有一个棱长为1m的正方体纸盒，一只昆虫在盒子表面从顶点A爬到顶点B，这只昆虫爬行的最短路线的长是（）A．2m B．3m C．2m D．5m【例10】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【变式10】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．。

2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版

2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）．故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。