007推理与证明复习01

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推理与证明复习课(1)

第1课时推理复习课一、习■航自主预习，确立复习目标，检测复习效果◎掌握归纳、类比的概念及其特点•练习： 1.下面一组按规律排列的数：1，32，53，…，第n个数应是()八n f 2n _1 一 /只,、n °一.. 2n_1A.nB.nC.（2n「1）D.（2n「1）◎掌握三段论的一般模式练习: 2. （1）下列函数为增函数的是（2A.y=2x-1B.y=x -2x+11C.y=- —D.y=ta n xx(2)已知通项公式形如an =cq n(c,q = 0)的数列CaJ为等比数列，则数列-2,是等比数列，用的是推理.(填“归纳”或“类比”或“)绎”拨解疑，重在授之以渔.1例1设数列玄』的首项a =a ，且4-a n小为偶数，12务 1 一一1a n•一, n为奇数.L 41记b Pn4 ,n =1.2,3,川.4(1 )求a2，a3；(2)判断数列:b/f是否为等比数列，并证明你的结论分析：本题可以先求出4 1的前几项，根据规律归纳出 2 的通项公式探讨：本题以数列为载体考查运用归纳推理，归纳推理所得的结论是不是一定正确？1变式练习：已知正项数列\a n r的前n项和S n(a n1)2,试求出b i, b2, b3, b4,…并由此归纳出I a n4的通项公式.a + b例2若记“ * ”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=- b，则两边均含有运算符号2和“ +”，且对于任意3个实数a, b, c都能成立的一个等式可以是 _______________ .分析：由于本题是探索性和开放性问题，答案并不唯一，注意到题目的要求不仅是要类比到三个数，还要求两边都有“ * ”和+”探讨：类比推理的特点是什么？类比时应该针对什么进行推理？类比推理的结果一定是正确的吗？变式练习：已知数列a i,a2,…，a3o，其中a i,a2,…，a io是首项为1,公差为1的等差数列；a®, an,…，a?。

高考数学压轴专题南宁备战高考《推理与证明》知识点总复习含解析

新数学高考《推理与证明》复习资料一、选择题1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）A ．3 B ．23C ．6513D ．5 【答案】D 【解析】【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==，所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===，所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得c ==，所以c e a ==，故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.2．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.4．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ; 2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;,4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.13．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（）A．可能是国画B．可能是书法C．可能是排球D．一定是篮球【答案】B【解析】【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.14．已知()()()212f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（）A ．()21f x x =+B ．()422x f x =+C ．()11f x x =+D ．()221f x x =+ 【答案】A【解析】因为()()()212f x f x f x +=+,所以()()11112f x f x =++ ,因此()()()()()11112111221x x f x f x f x =+-=+⇒=+,选A.15．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班【答案】C 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C ．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（） A ．甲同学三个科目都达到优秀 B ．乙同学只有一个科目达到优秀 C ．丙同学只有一个科目达到优秀 D ．三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C 【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D.【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（）AB． CD．【答案】A【解析】【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-，由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =，由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

007推理与证明

数学科学案序号 007 高二年级 10、14 班教师周佳华学生推理与证明复习教学目标：通过复习，掌握推理与证明的方法教学重点综合法、分析法一、选择题1．在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15则第n 个三角形数为（）A.nB.)1(21+n nC.12-nD.)1(21-n n2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件 3．下面叙述正确的是（） A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（） A ．假设a b c ，，都是偶数 B ．假设a b c ，，都不是偶数 C ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 D ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 5．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定6．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法7.下面使用类比推理正确的是 ( ) A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 8.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误二、填空题9.已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的结论：10.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

专题07 推理与证明(4月)(期中复习热点题型)(理)(原卷版)

专题07 推理与证明一、单选题 1．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 A ．8=24(8)4n n n n -+--- B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+- D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-2．有一个三段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列{}n a 是等比数列，所以0n a ≠”，这个推理 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的3．在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为A ．x ，y 都小于0B ．x ，y 至少有一个大于0C ．x ，y 都大于0D ．x ，y 至少有一个小于04<A ．22< B ．22<C ．22<D ．(22<5．用数学归纳法证明()224nn n ≥≥时，第二步应假设A ．2n k =≥时，22k k ≥B ．3n k =≥时，22k k ≥C ．4n k =≥时，22k k ≥D ．5n k =≥时，22k k ≥6．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”．已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是①cos y x =（x ∈R ）是三角函数：②三角函数是周期函数；③cos y x =（x ∈R ）是周期函数 A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①8．根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情况是A ．其中包括了100320081⨯+个○B ．其中包括了100320081⨯+个●C ．其中包括了10042008⨯个○D ．其中包括了10032008⨯个●9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的 A ．庚子年 B ．辛丑年 C ．己亥年D ．戊戌年10．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在号座位上．A ．1B ．2C ．3D ．411．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为351715131191921232527172931A ．1915B ．1917C ．1919D ．192112．某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码．丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1．”乙说：“我看到一个2和两个1．”丙说：“我看到三个2．”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有 A ．乙 B ．甲、乙 C ．丁D ．乙、丁13．已知函数()cos sin f x x x =-，()'f x 为() f x 的导函数，定义1()()f x f x '=，[]21()()f x f x '=，…，[]()1()()n n f x f x n *+'=∈N ，经计算，1()sin cos f x x x =--，2()cos sin f x x x =-+，3()sin cos f x x x =+，…，照此规律，则2021()f x =A ．cos sin x x -+B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --14．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(2,1)A -，且法向量为(1,2)n →=-的直线（点法式）方程为1(2)2(1)0x y -⨯-+⨯+=，化简得240x y --=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,1,2)B --，且法向量为(1,2,1)m →=-的平面的方程为 A ．210x y z +++= B ．210x y z ---= C ．210x y z ++-=D ．210x y z +--=15．在等差数列{}n a 中，若20200a =，则有等式12124039n na a a a a a -+++=+++（4039n <且n *∈N ）成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若20211b =，则有 A ．12124041n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅（4041n <且n *∈N ） B ．12124040n n b b b b b b -⋅=⋅⋅⋅⋅⋅（4040n <且n *∈N ）C ．12124041n n b b b b b b -+++=+++（4041n <且n *∈N ）D ．12124040n n b b b b b b -+++=+++（4040n <且n *∈N ）16．下列推理正确的是A ．如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖B ．若命题“0x ∃∈R ，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是(2,6)C ．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a ⋅>⋅，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q >，则4857b b b b +>+D ．如果m ，n 均为正实数，则lg lg m n +≥17．请阅读下列材料：若两个正实数1a ，2a ，满足22122a a +=，求证：122a a +．证明：构造函数()()2212()f x x a x a =-+-()212222x a a x =-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ，所以Δ0，即()2124160a a +-，所以122a a +．根据上述证明方法，若 n 个正实数1a ，2a ，，n a ，满足222122n a a a n +++=，你能得到的结论是 A ．12na a a n +++B ．1222nn a a a +++C ．12n a a a n +++D ．122na a a n +++18．设a ，b 两个实数，能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 A ．a +b >1 B ．a +b =2 C ．ab >1D ．a +b >219．实数x ，y ，0z >，4a x y =+，4b y z =+，4c z x=+，则a ，b ，c 三个数 A ．都小于4 B ．至少有一个不小于4 C ．都大于4D ．至少有一个不大于420．下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理：②归纳推理是由一般到一般的推理：③演绎推理是由一般到一般的推理：④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A ．②③④ B ．①③⑤ C ．②④⑤D ．①⑤21．下列推理形式正确的是A ．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者结论：所以老李是老虎B ．大前提：凡对顶角都相等小前提：A B ∠=∠ 结论：A ∠和B 是对顶角C ．大前提：白马是马小前提：白马有四条腿结论：马有四条腿D ．大前提：所有演说家都是骗子小前提：所有说谎者都是演说家结论：所有说谎者都是骗子22．高三上学期期末考试结束后，甲､乙､丙､丁四位同学不清楚自己的总分，仅打听到他们的总分在年级的位次(按总分由高到低的顺序排列且四人总分均不相同)是2､5､7､9中的某一个，他们向数学老师打听自己总分的具体位次，由于成绩暂时不能公布，老师只能给出如下答复：“命题p ：甲､丙总分的位次之和大于乙､丁总分的位次之和，命题q ：丁的总分最高，命题r ：四位同学中，甲的总分不是最低的，且()p q ⌝∧，()q r ⌝∨均为真命题．”据此，下列判断错误的是A ．甲､乙总分的位次之和一定小于丙､丁总分的位次之和B ．若丁总分的位次是7，则丙总分的位次一定是5C ．乙的成绩一定比其他三个都好D ．丙总分的位次可能是223．已知各项均大于1的数列{}n a 满足()1 2.71828a e e =≈，{}n a 中任意相邻两项具有差为2的关系．记n a 的所有可能值构成的集合为n A ，n A 中所有元素之和为n S ，*N n ∈，下列四个结论： ①2A 为单元素集； ②6312S e =+； ③2212n n S S n --=；④若将23n A +中所有元素按照从小到大的顺序排列得到数列{}n b ，则{}n b 是等差数列．其中所有正确结论的编号为 A ．①② B ．①③ C ．①③④D ．②③④24．关于x 的方程20x ax b -+=，有下列四个命题：甲：1x =是方程的一个根；乙：4x =是方程的一个根；丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则假命题是． A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁25．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18二、多选题1．16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45次方程454341534594595364379545x x x x x x C -+-⋅⋅⋅+-+=的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当2sin C α=时，此方程的全部根为22sin(),(0,1,2,,44)45k x k πα+==⋅⋅⋅，根据以上信息可得方程4543415345945953643795450x x x x x x -+-⋅⋅⋅+-+=的根可以是A B ．1-C ．D ．22．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有 A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗3．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容A ．可能是家常菜青椒土豆丝B ．可能是川菜干烧大虾C ．可能是烹制西式点心D ．可能是烹制中式面食4．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{()|00}x y x y ≥≥，，内大面积植树造林，第1棵树在点1(01)A ，处，第2棵树在点11(1)B ，处，第3棵树在点1(10)C ，处，第4棵树在点2(20)C ，处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树，则．A ．第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则1935n = B ．第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则1936n = C ．第2021棵树所在点的坐标是(344)， D ．第2021棵树所在点的坐标是(443)，5．不等式()2(1)430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243=-+y x x 的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有()2(4)0--+≤ax x b 成立，则+a b 的值可以是 A ．0 B ．3- C ．15D ．2三、填空题1．观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n 个图中有____________小圆圈．2．用数学归纳法证明11151236n n n +++>++(n ＞1且n ∈N *)，第一步要证明的不等式是____________．3．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数()f x 在[]0,1上有意义，且()()01f f =，如果对于不同的1x 、[]20,1x ∈，都有()()1212f x f x x x -<-，求证：()()1212f x f x -<．那么他的反设应该是____________． 4．观察下列各式：211121122C -+=， 3122211211233C C -++=， 41233331112112344C C C -+++=， 512344444111121123455C C C C -++++=， ……照此规律，当*n N ∈时，121111231nn n n C C C n ++++=+____________． 5．甲、乙、丙三位同学是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C 城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过B 城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为____________．6．观察下列式子：2222221311511171,1,1,,222332344+<++<+++<根据以上式子可以猜想：2221111232021++++<_____________． 7．已知点(,ln )A a a ，(,ln )B b b 是函数ln y x =的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，因此有结论ln ln ln 22a b a b++<成立，运用类比思想方法可知，若点(),2aA a ，(),2bB b 是函数2xy =的图象上任意不同的两点，则类似地有结论____________成立． 8．观察下列不等式：111223++<，11113237++++<，111142315++++<，…，可归纳的一个不等式是11123++++____________n <（n *∈N 且1n >）．9．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =．在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =____________．10．如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（2n ≥）第2个数是____________．11．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____________．（1）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；（2）各面都是全等的正三角形，相邻两个面所成二面角都相等；（3）各面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．12．凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线条数(1)()f n f n +=+____________．13．2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=，2223sin 8sin 68sin 1282︒+︒+︒=．通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题____________．14．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积()12S r a b c =++，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则此四面体的体积V =____________．15．如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n 行第1个数是____________．四、双空题1．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域{()|00}x y x y ≥≥，，内大面积植树造林，第1棵树在点1(01)A ，处，第2棵树在点11(1)B ，处，第3棵树在点1(10)C ，处，第4棵树在点2(20)C ，处，根据此规律按图中箭头方向每隔1个单位种1棵树，那么：（1）第n 棵树所在点的坐标是(440)，，则n =____________；（2）第2021棵树所在点的坐标是____________．2．用数学归纳法证明“当n ∈N +时，1+2+22+23+…+25n -1是31的倍数”，当n=1时，原式为___________，从k 到k+1时需增添的项是___________． 3．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………………则2021在第____________行，从左向右第____________个数．4．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有___________个小正方形，第n 个图中有___________个小正方形．5．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．（1）n 级分形图中共有____________条线段；（2）n 级分形图中所有线段长度之和为____________．五、解答题1．双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），有下列性质：若AB 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则22OM ABb k k a⋅=为定值，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>也有类似的性质．若AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，猜想OM AB k k ⋅的值，并证明．2．对于正整数集合12{,,,}n A a a a =（n *∈N ，3n ≥），如果去掉其中任意一个元素ia （1,2,,i n =）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（2）求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；（3）若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值． 3．已知函()(01)1xxf x a a x =+<<-．（1）用导数法证明()f x 在(1,)+∞上为减函数；（2）用反证法证明方程()0f x =没有负数根．4．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n na S a =+-，且0n a >．（1）求1a 、2a 、3a ；（2）猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．5．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案

数学《推理与证明》复习知识要点一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+【答案】A 【解析】【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．2．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B 【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【分析】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.8．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》分类汇编含解析

新数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++=D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.7．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．8．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D ．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.9．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中，猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中，由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（） A ．d B ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

高考数学一轮总复习第七章推理与证明课时训练理

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. 一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝2＋622×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝2＋632×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．2. 已知f 1(x)＝sinx ＋cosx ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f′1(x)，f 3(x)＝f′2(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N *，则f 2 014(x)＝________．答案：cosx －sinx解析：f 2(x)＝f′1(x)＝cosx －sinx ；f 3(x)＝f′2(x)＝－sinx －cosx ；f 4(x)＝f′3(x)＝－cosx ＋sinx ；f 5(x)＝f′4(x)＝sinx ＋cosx ，则其周期为4，即f n (x)＝f n ＋4(x)．f 2014(x)＝f 2(x)＝cosx －sinx.3. 已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，…，3 2 014＋mn＝2 0143m n ，则n ＋1m 2＝__________．答案：2 014解析：由题意对于32＋27＝2327，此时n ＝7，m ＝2，所以n ＋1m 2＝7＋122＝2；对于33＋326＝33326，此时m ＝3，n ＝26，所以n ＋1m 2＝26＋132＝3；对于34＋463＝43463，此时m ＝4，n ＝63，所以n ＋1m 2＝63＋142＝4；发现：m 的值是等号左边根号下和式前面的数，而n ＋1m2化简后的结果就是m 的值，所以32 014＋m n ＝2 014·3m n 中的m 即为2014，所以此时n ＋1m2＝2 014.4. 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB⊥AC，点D 是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为__________．答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC解析：如图所示，依题意作出四面体ABCD.连结DO ，并延长交BC 于点E ，连结AO 、AE ，则易知AO⊥DE，BC ⊥AO.由DA⊥平面ABC ，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A ，所以BC⊥平面AED ，所以DE⊥BC，AE ⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO·ED.又S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC ·DE ，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC.由AE 2＝EO·ED，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC .5. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________________________________________________________________________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x2m2－y 2n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sinA －sinC|sinB ＝1e解析：由正弦定理和椭圆定义sinA ＋sinC sinB ＝AB ＋BC AC ＝2a 2c ，类比双曲线应有|AB －BC|AC＝|sinA －sinC|sinB ＝1e.6. 已知数列{a n }是正项等差数列，若b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{b n }也为等差数列．类比上述结论，已知数列{c n }是正项等比数列，若d n ＝________，则数列{d n }也为等比数列．答案：(c 1·c 22·c 33·…·c nn )11＋2＋3＋…＋n解析：由等差数列{a n }的a 1＋2a 2＋…＋na n 的和，则等比数列{c n }可类比为c 1·(c 2)2·…·(c n )n 的积；对a 1＋2a 2＋…＋na n 求算术平均值，所以对c 1·(c 2)2·…·(c n )n求几何平均值，所以类比结果为(c 1·c 22·c 33·…·c nn )11＋2＋3＋…＋n.7. 设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16，…. 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________．答案：x（2n －1）x ＋2n解析：观察知四个等式等号右边的分母为x ＋2，3x ＋4，7x ＋8，15x ＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x ＋4，(8－1)x ＋8，(16－1)x ＋16，所以归纳出f n (x)＝f(f n －1(x))的分母为(2n－1)x ＋2n，故当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝x （2n －1）x ＋2n .8. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为__________．答案：n 2－2n ＋3解析：第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －2）×2n2＝n 2－2n ＋3.9. (2014·新课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．答案：A解析：由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．10. 老师布置了一道作业题“已知圆C 的方程是x 2＋y 2＝r 2，求证：经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．解：小明的猜想正确．(证法1)若x 0≠a ，y 0≠b ，则因圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，M(x 0，y 0)是圆C 上一点，所以直线MC 的斜率为k 1＝y 0－bx 0－a.设过M(x 0，y 0)的切线斜率为k ，因为直线MC 与切线l 垂直，所以k ＝－1k 1＝－x 0－ay 0－b，所以过M(x 0，y 0)的切线l 方程为y －y 0＝－x 0－ay 0－b(x －x 0)，整理得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y－b)＝(x 0－a)2＋(y 0－b)2.又点M(x 0，y 0)在圆C 上，所以有(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，故此时过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.若x 0＝a 或y 0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y 0－b|＝r 或|x 0－a|＝r ，此时切线方程分别为y ＝y 0或x ＝x 0，适合(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.综上所述，过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.(证法2)设P(x ，y)为切线上任一点，则PM →＝(x 0－x ，y 0－y)，CM →＝(x 0－a ，y 0－b)．又PM →⊥CM →，所以PM →·CM →＝0，即(x 0－x)(x 0－a)＋(y 0－y)(y 0－b)＝0.又(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，化简得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2为所求切线． 11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求n≥2时1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1的值．解：(1) f(5)＝41.(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.f(n ＋1)－f(n)＝4n f(n ＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3) 当n≥2时，1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.第2课时直接证明与间接证明1. 在用反证法证明命题“已知a ，b ，c ∈(0，2)，求证a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于1”时，先假设__________________________．答案：假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1 解析：“不可能都大于1”的否定是“都大于1”．2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 、n 的大小关系是____________．答案：m<n解析：(分析法)a －b<a －b b ＋a －b>a a<b ＋2b a －b ＋a －b 2b ·a －b>0.3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2 a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1 a n (1＋q 2－2q)＝0 q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.4. 已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝________．答案：16解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2(n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2，故f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.5. 对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x 2－2) (x－x 2)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 解析：画出函数图象可知实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34. 6. 已知两个非零向量a 与b ，定义a b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＋b ＝(－3，6)，a －b ＝(－3，2)，则a b ＝________．答案：6解析：a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×2×cos θ＝8，cos θ＝45，所以sin θ＝35，a b ＝5×2×35＝6.7. 对于一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－2，＋∞)解析：当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a≥－⎝⎛⎭⎪⎫|x|＋1|x|(x≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴ a ≥－2.8. 如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是____________．答案：a≥0，b ≥0且a≠b解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a (a －b)2(a ＋b)＞0 a ≥0，b ≥0且a≠b.9. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：设f(x)＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＝－c.①∵ f(0)＝c ，f(1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴ a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na＋a ＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．10. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x ＜c 时，f(x)＞0.(1) 证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2) 试比较1a与c 的大小；(3) 证明：－2＜b ＜－1.(1) 证明：∵ f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点，∴ f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ f(c)＝0，∴ x 1＝c 是f(x)＝0的根．又x 1x 2＝c a ，∴ x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴ 1a是f(x)＝0的一个根．(2) 解：假设1a ＜c ，又1a ＞0，由0＜x ＜c 时，f(x)＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴ 1a ≥c.∵ 1a ≠c ，∴ 1a＞c. (3) 证明：由f(c)＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴ b ＝－1－ac. 又a ＞0，c ＞0，∴ b ＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a ＜1a.又a ＞0，∴ b ＞－2，∴ －2＜b ＜－1.11. 数列{a n }中，a 1＝32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1.(1) 求证：1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1；(2) 设S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，n>2，证明：S n <2.证明：(1) (证法1)要证1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，只要证1a n ＋1－1＝1a n －1－1a n ＝1a n （a n －1），只要证a n ＋1－1＝a n (a n －1)，只要证a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，根据已知条件，得证．(证法2)∵ a n ＋1＝a 2n －a n ＋1＝a n (a n －1)＋1， ∴ a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴ 1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n . ∴ 1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1. (2) 由(1)知，1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，∴ S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1＝2－1a n ＋1－1. ∵ a n ＋1－a n ＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2≥0，且a 1＝32>1，∴ a n ＋1>a n >1，∴ 2－1a n ＋1－1<2，即S n <2.第3课时数学归纳法(理科专用)1. 利用数学归纳法证明“(n＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n＝k”变到 “n＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．答案：（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…(k＋1＋k ＋1); 从而增加两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，且减少一项为(k ＋1)．2. 凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f(n ＋1)为________．答案：f(n)＋n －1解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n ＋1)＝f(n)＋1＋n ＋1－3＝f(n)＋n －1.3. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1（n ＋1）2，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1、c 2、c 3的值，推测c n ＝________．答案：n ＋2n ＋1解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝54，由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1.4. 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n(n∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k(k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k.5. 用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由 n ＝k 的假设到证明 n ＝k ＋1 时，等式左边应添加的式子是________．答案：(k ＋1)2＋k 2解析：分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k ＋1)2＋k 2.6. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出____．答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1（2＋1）2<2×2＋12＋1，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *)．7. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n∈N *)成立，其初始值至少应取________．答案：8解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.8. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为____________．答案：a ＝12，b ＝c ＝14解析：∵ 等式对一切n∈N *均成立，∴ n ＝1、2、3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.9. (2014·陕西模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2) 猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明．解：(1) a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158.(2) 猜想a n ＝2n－12n －1，证明：① 当n ＝1时，a 1＝1猜想显然成立；② 假设当n ＝k(n≥1且n∈N *)时，猜想成立，即a k ＝2k－12，S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k －a k ，那么，n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－(2k －a k )，∴ a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， ∴ 当n ＝k ＋1时猜想成立．综合①②，当n∈N *时猜想成立．10. (2014·东城区期末)已知数列{a n}满足关系式a n＋1＝na n＋2，n∈N*，且a1＝2.求证：n＋1≤a n<n＋1＋1.证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2，满足1＋1≤a1<1＋1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，k＋1≤a k<k＋1＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ka k ＋2>kk＋1＋1＋2＝k＋1＋1，a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2.下面用分析法证明：kk＋1＋2<k＋2＋1.要证kk＋1＋2<k＋2＋1，只需证k＋k＋1<(k＋1)k＋2，只需证(k＋k＋1)2<[(k＋1)k＋2]2，只需证2k＋1>0，此式显然成立．所以kk＋1＋2<k＋2＋1.从而k＋1＋1<a k＋1＝ka k ＋2≤kk＋1＋2<k＋2＋1，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．由①②，知对一切n∈N*，n＋1≤a n<n＋1＋1.11. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．当n＝2、3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，并给出证明．解：由已知得a3＝70，a4＝180.所以n＝2时，a2n－a n－1a n＋1＝－500；当n＝3时，a2n－a n－1a n＋1＝－500.猜想：a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，结论成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即a2k－a k－1a k＋1＝－500，将a k－1＝3a k－a k＋1代入上式，可得a2k－3a k a k＋1＋a2k＋1＝－500.则当n＝k＋1时，a2k＋1－a k a k＋2＝a2k＋1－a k(3a k＋1－a k)＝a2k＋1－3a k a k＋1＋a2k＝－500.故当n＝k＋1时结论成立．根据①，②可得a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2)成立．。

推理与证明复习用

由特殊到特殊的推理 .
3. 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
二、演绎推理
1.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 .
2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：返回目录
（1）大前提
（2）小前提（3）结论况做出的判断.
——已知的一般原理； ——所研究的特殊情况； ——根据一般原理，对特殊情
三、直接证明
1.一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
返回目录
在数列{an}中，a1=1,an+1= 数列的通项公式.
考2 a点n 分析(n∈N+),猜想这个 2 an
考点一归纳推理
【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项
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【解析】
{an}中，a1=1,a2=
2a1
2 =,
2 + a1 3
a3=
函数，则g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
2．(2010年高考陕西卷)观察下列等式是：13＋23＝ (1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1 ＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．

推理与证明复习课

（结论）
（大前提）（小前提）
函数y 2x 5的图象是一条直线
（结论）
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概念综分合析法法
直接证明
分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；
综合法条理清晰，易于表述。
通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地
表述解题过程
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直接证明
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
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类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果；具有发现的功能; 结论不一定成立.
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推理案例2
可能存在生命
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类比推理的一般步骤：
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大前提小前提结论
大前提小前提结论
大前提小前提结论
演绎推理（练习）
（1）一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形（大前提）
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32 （小前提）
ABC是直角三角形（2）
一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线函数y 2x 5是一次函数
综合法和分析法的推证过程如下：综合法
已知条件结论
分析法结论已知条件
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综合法 (顺推证法、由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。
条件
条件定义定理公理推理论证
结论
P Q1
Q1 Q2

(整理版)回顾《推理与证明》

回忆《推理与证明》一、本章知识结构图二、知识要点1．归纳推理〔1〕归纳推理：由某类事物的局部对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由局部到整体，由个别到一般地推理．．〔2〕归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②．2．类比推理〔1〕类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，类比的结论不一定真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠．〔2〕类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②．3．演绎推理〔1〕从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做_______，它的一般模式为三段论．〔2〕“三段论〞是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：__________；②小前提：__________；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．4．综合法一般地，利用条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．5．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕，这种证明的方法叫做分析法．6．反证法．三、考前须知1．归纳和类比都是____________．前者是由特殊到一般，局部到整体的推理，后者是由___________到特殊的推理，但二者都能由推测未知，都能用于猜测，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由______到特殊的推理，是数学证明的根本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．______和_______是数学证明的两类根本证明方法．直接证明的两类根本方法是_______和_______，_________是从条件推导出结论的证明方法；_________是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证法的一种根本方法是__________，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．。

推理与证明复习课课件

赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆
成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1
堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层
（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，
从第二层开始，每层的小球自然垒放在下
一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，
以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，1则0
f(3)= n(n 1);(n 2)
(n≥2)第2个数是
1 (n2 n 2) 2
.
设第n行第2个数为an, a3 a2 2
a4 a3 3
1
2
2
3
4

a5 a4 4
4
7
7
4
5 11 14 11 5
an an1 n 16 16 2 25 16 6
迭加可得an
5 ……… ……
(06广东,14)在德国不来梅举行的第48届世乒
由 (1, 2) ( p, q) (5,0)
得
p 2q 5 p 1 2 p q 0 q 2
(1, 2) ( p, q) (1, 2) (1, 2) (2,0)
运算“ ”为(a：,b) (c,d) (ac bd,bc ad);
运算“ ”为(：a,b) (c,d) (a c,b d),
设p,q∈R，若 (1,2) ( p,q) (5,0) ，则
(1,2) ( p,q) ( B )
A.(4，0) B.(2，0) C. (0，2) D.(0，-4)
推理与证明(复习课)
课时安排：两课时
课型：复习课
教学目标: 一、知识与技能:
了解合情推理和演绎推理的含义,两者的联系与区别; 了解直接证明的两种方法----分析法与综合法;了解间接证明的一种基本方法---反证法; 二、过程与方法:

初中数学复习要点：推理与证明

初中数学复习要点：推理与证明初中数学温习要点：推理与证明一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。

2.其他真命题的正确性都经过推理的方法证明，经过证明的真命题称为定理。

3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

4.假设一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。

二、类比推理：一道数学题是由条件、处置方法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。

假设两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相反或相似的属性。

三、证明：1.对某个命题停止推理的进程称为证明，证明的进程包括、求证、证明2.证明的普通步骤：(1)审清题意，明白条件和结论;(2)依据题意，画出图形;(3)依据条件、结论，结合图形，写出求证;(4)对条件与结论停止剖析;(5)依据剖析，写出证明进程3.证明常用的方法：综合法、剖析法和反证法。

四、辅佐线在证明中的运用：在几何题的证明中，有时了为证明需求，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅佐线，常用虚线表示。

并在证明的末尾，写出添加进程，在证明中添加的辅佐线可作为条件参与证明。

罕见考法(1)灵敏运用基础知识停止推理，运用综合法、剖析法，从条件和结论两方面动身停止证明;(2)在中考中，考察类比推理，先设计一个条件、结论明白的效果，以此作为类比对象，然后再对其改造。

比如，图形的变式，添加某些新的属性或改动某些属性，经过与原有效果的比拟，推测新效果的结论与处置方法。

误区提示(1)不能准确掌握几何公理、定理的内容;(2)数学言语、符号言语、文字言语在相互转化中出现表述错误。

高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》知识点训练含答案

【最新】数学高考《推理与证明》复习资料一、选择题1．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．2．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②D．①④【答案】D【解析】由图形可得：a1=1,a2=1+2，…∴()1 122nn na n+ =++⋯+= .所以①a5=15；正确；②an−a n−1= n,所以数列{a n}不是一个等差数列；故②错误；③数列{an}不是一个等比数列；③错误；④数列{a n}的递推关系是a n+1=a n+n+1(n∈N∗).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B，则该班（）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人），表格变为：对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生，因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.13．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算．【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．14．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．15．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.16．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D 【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V13=（S1+S2+S3+S4）r.故选：D．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.17．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A．②④ B．①③ C．①④ D．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.18．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a中，k a=（）A．n - B．n -C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----⋅=故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.19．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.【详解】张毅同学不同的选课方法如下:()1物理A 层1班，生物B 层3班,政治3班;()2物理A 层1班,生物B 层3班,政治2班;()3物理A 层1班,生物B 层2班,政治3班;()4物理A 层3班,生物B 层2班,政治3班;()5物理A 层3班,生物B 层2班,政治1班;()6物理A 层2班,生物B 层3班,政治1班;()7物理A 层2班,生物B 层3班,政治3班;()8物理A 层4班,生物B 层3班,政治2班;()9物理A 层4班,生物B 层3班,政治1班;()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班;共10种.故选:B【点睛】本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题.20．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.。

高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》知识点总复习

数学《推理与证明》复习资料一、选择题1．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（）A ．都不可能使3枚全部正面朝上B ．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C ．都不可能使3枚全部反面朝上D ．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上【答案】C【解析】【分析】先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可.【详解】对A ，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A 错误；对B ，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C 选项的证明，发现此种情况不可能，故B 错误；对C ，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C 正确；对D ，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D 错误；故选：C.【点睛】本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.2．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（）A ．228617430x x ++=B ．4227841630x x x +++=C ．2174328610x x ++=D ．43163842710x x x +++=【答案】C【解析】【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果.【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C.【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.3．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.4．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论.【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.5．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.6．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.7．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案

新数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．数列{}1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（） A ．33 B ．34C ．49D ．50【答案】B 【解析】【分析】根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．4．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 6561216 15 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几 A ．二 B ．三C ．四D ．五【答案】C 【解析】分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C ．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．8．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可．【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤，故选：D ．【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-11．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习附答案

数学《推理与证明》复习知识点一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134xf x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -，首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

《推理与证明》全章复习与巩固_知识讲解

《推理与证明》全章复习与巩固【知识网络】【考点梳理】要点一：归纳与类比数学推理．．．．是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程．一般包括合情推理和演绎推理，而归纳和类比是合情推理的两种主要形式.归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理.一般步骤观察特例发现相似性推广为明确表述的一般命题（猜想）检验类比推理概念两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理．一般步骤（1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想．要点诠释：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.（2）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的；类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果.（3）归纳和类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．（4）注意合情推理和演绎推理的区别．演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理．演绎推理的特征是前提为真，结论必为真．要点二：综合法与分析法 1.综合法定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是这样一种思维方法：从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．综合法是一种执因索果的证明方法，又叫顺推法．思维框图：用P 表示已知条件，Q 表示要证明的结论，123...i Q i n =（，，，，）为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒ （已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论） 2. 分析法定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.，分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法．思维框图：用123i P i =L （，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）要点诠释：（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P则Q”的推演过程可表示为：要点三：反证法中学阶段反正法是最常见的间接证法.定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．（2）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 要点四：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（2）假设当n k =0(*,)k N k n ∈≥时结论正确，证明1n k =+时结论也正确，由（1）（2）确定对0*,n N n n ∈≥时结论都正确。