湖北省武汉外国语学校10-11学年高二上学期期末考试(数学中澳)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．两个事件互斥是两个事件对立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义及必要不充分条件定义可得答案.【详解】互斥事件是指事件A 和B 的交集为空，也叫互不相容事件，也可叙述为：不可能同时发生的事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生； 对立事件是指AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称A 事件与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 和事件B 必有一个且仅有一个发生，不会同时发生. 所以对立一定互斥但互斥不一定对立． 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查必要不条件充分的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】A【分析】求出双曲线的右焦点坐标，根据抛物线22y px =的焦点(,0)2p与双曲线2213x y -=的右焦点重合可得4p =. 【详解】由双曲线2213x y -=得223,1a b ==，所以222314c a b =+=+=，2c =，所以双曲线的右焦点为(2,0)，因为抛物线22y px =的焦点(,0)2p 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以22p=，所以4p =. 故选：A 3．曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为（ ） A ．2πB ．2π-C ．-2πD ．24π【答案】B【分析】求出函数的导数，然后可得答案. 【详解】2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（ ） A ．38B ．316C ．516D ．58【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可.【详解】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A5．已知()()201f x x xf =-'-，则()2f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【分析】对函数()f x 求导，求出()0f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()2f 的值. 【详解】()()201f x x xf =-'-，()()20f x x f ''∴=-，()()00f f ''∴=-，可得()00f '=，()21f x x ∴=-，因此，()22213f =-=.故选：C.6．已知向量OA →=(1，0，1)，OB →=(0，1，1)，O 为坐标原点，则三角形OAB 的面积为（ ） A ．12B ．3C ．1D ．3 【答案】D【分析】利用向量的夹角公式可得cos AOB ∠，进而可求出sin AOB ∠，最后由三角形面积公式可得结果.【详解】∵()1,0,1OA =，()0,1,1OB =， ∴2OA =，2OB =，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==⋅， 由于0AOB π<∠<，所以3AOB π∠=，所以三角形OAB 的面积为1133sin 2223222OA OB π⨯=⨯⨯⨯=， 故选:D.7．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=，平方得：()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线. 故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)； (2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式． 8．过点P 32,4m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆C :224690x y x y +-++=作切线，切点分别为A ，B .则PA PB →→⋅的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．92【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，画出草图，设APC θ∠=，则()()22212sin P C B P P ACA θ→→⋅=--，又sin AC PCθ=，所以223212P PB PA PC C →→+-⋅=，利用平面直角坐标系下任意两点的距离公式及二次函数的性质得到216PC ≥，再根据对勾函数的性质计算可得；【详解】解：圆C :224690x y x y +-++=，即圆C :()()22234x y -++=，圆心为()2,3C -，半径2r如图，设APC θ∠=，由对称性BPC θ∠=且PA PB =，所以()()()222222cos 2cos 2cos 212sin PA PA P P PB PB A A A PC C CCθθθθ→→→→→⋅=⋅==-=--因为sin AC PCθ=，所以()222222321212AC PB ACPC PA PC PC PC →→⎛⎫ ⎪⋅=--+ ⎪⎭-=⎝ 因为32,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2222322522316164165m PC m m +⎛⎫⎛⎫=-++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令2t PC =，则[)16,t ∈+∞，所以3212P t PB A t →→=+-⋅，因为函数()3212f x x x+=-在)82,⎡+∞⎣上单调递增，(0,82上单调递减，因为[)16,x ∈+∞，所以()()min 166f x f ==故选：B【点睛】本题解答的关键是将PA PB →→⋅进行转化，转化为223212PC PC+-，再根据对勾函数的性质计算可得；二、多选题9．下列说法不正确的是（ ） A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．曲线的切线和曲线可能有无数个交点C ．已知ln 2y =，则12y '=D ．函数3()f x x =在原点处的切线为x 轴 【答案】AC【分析】对选项A 、B ，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项C ，这个错误很明显；对选项D ，利用导数的几何意义求切线即可.【详解】对选项A ，例如：cos y x =在(0,1)处的切线和cos y x =有无数个交点，故A 错误，从而也可知B 正确；对选项C ，2,0y ln y ='=，故C 错误；对选项D ，由3()f x x =，得2()3f x x '=，所以(0)0f '=.所以函数3()f x x =在原点处的切线方程是0y =，即为x 轴，故D 正确. 故选：AC.10．已知曲线22:1C mx ny +=，m 、n 为实数，则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 可能表示两条直线B ．若0m n >>，则C 是椭圆，长轴长为C ．若0m n =>，则CD ．若0m n ⋅<，则C 是双曲线，渐近线方程为y = 【答案】AC【分析】取0m >，0n =可判断A 选项的正误；将曲线C 的方程化为标准方程，可判断B 选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断C 选项的正误；分00m n >⎧⎨<⎩和0m n <⎧⎨>⎩两种情况讨论，将曲线C 的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0m >，0n =，则曲线C 的方程为21mx =，即x=， 此时，曲线C 表示两条直线，A 选项正确；对于B 选项，若0m n >>，则110n m>>，曲线C 的标准方程为22111x y m n+=，此时，曲线C 表示焦点在y，B 选项错误； 对于C 选项，若0m n =>，曲线C 的方程为221x y m+=， 此时，曲线CC 选项正确； 对于D 选项，若0m >，0n <，则曲线C 的方程为22111x y m n-=-， 曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则21a m=，21b n =-，此时，双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=； 当0m <，0n >时，则曲线C 的方程为22111y x n m-=-， 曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则21a n =，21b m=-， 所以，双曲线C的渐近线方程为a y x b =±=. 综上所述，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建c a的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 11．下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤⋅B ．2,,11a b R a b+∈≥+C ．,0a b c c >>>，则b b ca a c+<+D．,a b R +∈≥【答案】ACD【分析】根据向量的数量积和基本不等式判断各选项．【详解】因为cos ,1a b <>≤，所以cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，A 正确；0,0a b >>，11a b +≥211a b≤=+B 错；因为,0a b c c >>>，()0()b bc c b a a a c a a c +--=<++，C 正确； 22,,2a b R a b ab+∈+≥，222a b ab +≥≥D 正确．故选ACD ．12．已知函数()sin(cos )f x x =，下列关于该函数结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x的图象关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根【答案】ACD【分析】计算出()(2)f x f x π+=，可判断A ，由()()f x f x π-=-可判断B ，max ()sin1sin3f x π=<，即可判断C ，令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，利用单调性和零点存在定理可判断D.【详解】()()()()(2)sin cos 2sin cos f x x x f x ππ+=+==，故A 正确 因为()()()()()()sin cos sin cos sin cos fx x x x f x ππ-=-=-=-=-所以()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误 因为[]cos 1,1x ∈-，所以max ()sin1sin3f x π=<=C 正确令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭()()sin cos cos 10g x x x '=--<所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为()0sin10g =>，022g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭所以()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根，故D 正确故选：ACD三、填空题13．一组数据2，4，x ，8，10的平均值是6，则此组数据的方差是_______. 【答案】8【分析】由条件求得6x =，然后算出答案即可. 【详解】因为2481065x ++++=，解得6x =所以此组数据的方差是()()()()()2222226466686+106=85-+-+-+--故答案为：814．已知球的体积V 是关于半径r 的函数，34()3r V r π=，则r =2时，球的体积的瞬时变化率为________ 【答案】16π【分析】利用瞬时变化率的概念求解即可.【详解】3324(2)424[126()](2)(2)333r r r r V V r V πππ+∆⋅∆+∆+∆∆=+∆-=-=， 24[126()]3V r r r π∆∴=+∆+∆∆， 当r ∆趋于0时，Vr∆∆趋于16π.故答案为：16π.15．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),0A c -、(),0B c ，求出点C 的坐标，利用32AE EC =求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线方程，可得出关于e 的方程，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】2AB CD =，以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由于双曲线的焦点为A 、B ，可设(),0A c -、(),0B c ， 由于双曲线过C 、D 两点，且//CD AB ，由双曲线的对称性可知，点C 、D 关于y 轴对称，则12CD AB c ==， 将12x c =代入双曲线方程可得222214c y a b -=，可得22214ey b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2,124c e C ⎛- ⎝， 设点(),E x y ，由()322AE EC AC AE ==-可得25AE AC =， 即()223,,1524c e x c y ⎛+=- ⎝，可得2352154c x c b e y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2252154x c b e y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，点2221554c b e E ⎛-- ⎝，将点E 的坐标代入双曲线方程可得22441125254c e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2225144e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，可得27e =，1e >，解得e =..【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、双空题16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都为60，3AB AD ==，12AA =.则（1）对角线1AC =________；（2）三棱锥1A ABD -的外接球的体积为_________.【分析】（1）计算出()2211AC AB AD AA =++的值，即可求得对角线1AC 的长；（2）在射线1AA 上取点M ，使得3AM =，则三棱锥A BDM -为正四面体，可将正四面体A BDM -置于正方体APMQ EBFD -，以点A 为坐标原点，AP 、AQ 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。
湖北省武汉外国语学校高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞06．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P37．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．13010．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1411．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= ，y= ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．21．已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，∴￢p是假命题，￢q是真命题，∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，故选D．【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．29【考点】二项式定理；二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为： =29．故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0【考点】双曲线的标准方程；充要条件．【专题】计算题．【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．【解答】解：若方程表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0∴m＜﹣2或m＞﹣1∴要求“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可∵m＞0时，m＜﹣2或m＞﹣1，结论成立，反之不成立∴“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞0故选D．【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题．6．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．7．已知x与y之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【考点】线性回归方程．【专题】压轴题；概率与统计．【分析】由表格总的数据可得n，，，进而可得，和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6， ===， ==，故=91﹣6×=22， =58﹣6××=，故可得==， ==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选C【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题．8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．10．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．11．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．12．椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得AMB的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，运用直线的斜率公式，可得=2，由题设知y12=4（1﹣x12），y22=4（1﹣x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，由此可推导出k的值．【解答】解：由题意可得A（﹣1，0），B（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：y=kx+1，代入椭圆方程得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，k1=，k2=，k1：k2=2：1，所以=2，平方，结合x12+=1，所以y12=4（1﹣x12），同理y22=4（1﹣x22），代入上式，计算得=4，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2﹣10k+3=0，解得k=3或k=，因为=2，x1，x2∈（﹣1，1），所以y1，y2异号，故舍去k=，所以k=3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（2013台江区校级二模）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x= 1 ，y= 3 ；高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率= ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．【解答】解：由已知得，解得x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，∴这2人都来自高校C的概率：p=．故答案为：1，3，．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布列的合理运用．14．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n=，如果S n为数列{a n}的前n项之和，那么S7=3的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以只有两次摸到红球的概率是=．故答案为：．【点评】本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定S7=3说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．15．俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3．试问，至少要几个臭皮匠能顶个诸葛亮？ 5 ．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】分别计算，3，4，5个臭皮匠都未解出的概率，再利用对立事件概率公式，即可求得结论．【解答】解：当有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）3=0.657＜0.8，当有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）4=0.7599＜0.8，当有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率1﹣（1﹣0.3）5=0.83193＞0.8，故至少要5个臭皮匠能顶个诸葛亮．故答案为：5．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；整体思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出l、m的方程，由圆系方程得到四点所共圆的方程，利用圆方程的特点得到直线l、m斜率的关系，消去参数，即可求得结论．【解答】解：如图，由题意可知，直线l和m的斜率存在且不为0，设l：y=k1（x﹣a），m：y=k2（x﹣b），即l：k1x﹣y﹣k1a=0，m：k2x﹣y﹣k2b=0，则两直线l、m可写为（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0，由圆系方程可得，过两曲线（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）=0与y2=x的交点的圆系方程为：（k1x﹣y﹣k1a）（k2x﹣y﹣k2b）+λ（y2﹣x）=0，即﹣（k1k2a+k1k2b+λ）x+（k1a+k2b）y+k1k2ab=0．由圆的方程可知，此方程中xy项必为0，故得k1=﹣k2，设k1=﹣k2=k≠0，于是l、m方程分别为y=k（x﹣a）与y=﹣k（x﹣b）．消去k，得2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．∴所求轨迹方程为2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．故答案为：2x﹣（a+b）=0，（y≠0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程，体现了整体运算思想方法，利用圆系是解题的关键，是中档题．三、解答题（共70分，共6题）17．已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】计算题．【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件，∴q⇒p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：（Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率；（Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）应聘者用方案一考试通过有四种情况，每种情况又需要分步进行，即两门通过，一门未通过，或三门均通过，分别根据三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，求出四种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．（II）应聘者用方案二考试通过，也包含三种情况，即选中两课均通过，每种情况又需要分步进行，即先选中，再逐门通过，求出三种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（C）=0.9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率p1=P（AB）+P（BC）+P（A C）+P（ABC）=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）应聘者用方案二考试通过的概率p2=P（AB）+P（BC）+P（AC）=×（0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9）=×1.29=0.43﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，解答相互独立事件的概率时，分清是分类事件还是分步事件，分几类，分几步，以选择对应的加法、乘法公式是解答此类问题的关键．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB 与平面PCD 所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos ＜，＞==，设1+2λ=t ，t ∈[1，3]，则cos 2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos ＜，＞|的最大值为，因为y=cosx 在（0，）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知圆C 1：x 2+y 2+6x ﹣4=0，圆C 2：x 2+y 2+6y ﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x ﹣y ﹣4=0上的圆的方程． 【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0，∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：6x﹣6y+24=0，即x﹣y+4=0．（2）两圆交点为A，B，解方程组，得或，∴A（﹣1，3），B（﹣6，﹣2），∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．由，解得x=，y=﹣，所求圆心C的坐标是（，﹣）．圆半径|CA|==，∴所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=，即x2+y2﹣x+7y﹣32=0．【点评】本题考查过两个圆的交点的直线方程的求法，考查满足条件的圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．22．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是。
湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
B． S5 S6
C． S9 , S18 S9 , S27 S18 成等比数列
D．Si i 1, 2,,999 中数值不同的有 995
个
7．已知 a,b R, ab 0 ，函数 f x ax2 b(x R) ．若 f (s t), f (s), f (s t) 依次成等
比数列，则平面 Oxy 上的点 s,t 的轨迹是（ ）
B．若 MP 2 2 ，则动点 P 的轨迹长度为 3
试卷第 2页，共 4页
C．若 MBP MBD1 ，则动点 P 的轨迹为双曲线的一部分
D．以 △BCB1 的一边 B1C 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，
三棱锥
B
ACD1
体积的取值范围为
4 3
2
2 3
,
4 3
2
2 3
三、填空题
13．已知函数
f
(x)
1 2
x2
2
，则函数在
(1,
3) 2
处的切线方程为
．
14．动点 M (x, y) 与定点 F (4, 0) 的距离和 M 到定直线 l ：x 25 的距离的比是常数 4 ，则
4
5
动点 M 的轨迹方程是
.
15．已知数列an 中，a1
4 ，an1
an an
1, n为奇数 3, n为偶数
D． 2, 1, 2
2．函数
f (x) 是定义在 R
上的可导函数，若 lim x0
f
(x0 +x) f x
( x0
2x)
1，则
f (x0 )=（
）
A．2
B．3
C． 1 3
D． 3
湖北武汉二中10-11学年高二数学上学期期末考试 理【会员独享】
6. 是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 的最大值是( )
A．4B．5C．2D．1
7.将参加夏令营的720名学生编号为：001，002···720，采用系统抽样方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的第一个号码为004.又这720名学生分住在三个营区，从001到360在第I营区，从361到640在第II营区，从641到720在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求 的分布列及期望E ；
18.(本小题满分12分)在每年的春节后，某市政府都会发
动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前，
为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从
甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如
下(单位：厘米)：
甲：37，21，31, 20, 29, 19, 32, 23, 25, 33；
乙：10, 30, 47, 27, 46, 14, 26, 10, 44, 46.
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”
表3：
小麦产量小于20kg
小麦产量不小于20kg
合计
施用新化肥
=
不施用新化肥
合计
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
21. (本小题满分14分)已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于 轴上方的动点，直线AP，BP与直线 分别交于M，N两点.
湖北省武汉外国语学校10-11学年高二上学期期末考试(数学文)
2010—2011学年度上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）限时：120分钟 满分：150分命题人：高二数学组A 卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，把你认为正确的选项填在题后的括号内．每小题5分，共50分）1．复数21i +的实部与虚部之和为（ ）A 1-B 0 C1 D 22．“2x >”是“2x ≠”的（ ）A 充分不必要条件 B必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3．命题0:1p x ∃>，使20230x x --=，则p ⌝为（ ）A 21,230x x x ∀>--=B21,230x x x ∀>--≠C 20001,230x x x ∃≤--= D20001,230x x x ∃≤--≠4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A aB b CcD 2b 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被点(,0)2b分成3:1的两段，则椭圆的离心率为（ ）A 12B 23C 13D 26．设复数z 满足1z =，则2z -的最小值为（ ）A 1B 2C3D 47．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，若12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF >，则12PF PF 的值为（ ） A 2B72C54D 2或728．复数z满足11z i z i +++--=则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是（ ）A 线段B 椭圆 C双曲线D 圆9．设P 是曲线22:142x y C +=上的动点，O 为坐标原点，则OP 的中点M 的轨迹方程为（ ）A 2222x y +=B 2222x y +=C2221x y +=D 2221x y +=10．已知12,F F 分别为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 是双曲线上的动点，过1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹为（ ）A 椭圆B 双曲线 C圆 D 线段 二、解答题（共50分）11．（本小题12分）已知函数()f x 是R 上的增函数，,a b R∈，证明：若()()(f a f b f a f b+>-+-，则0a b +>．12．（本小题12分）已知:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；:q 不等式244(2)10x m x +-+>恒成立．若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．13．（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上任意一点，求12PF PF ⋅的最大值．14．（本小题14分）双曲线与椭圆有公共焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．B 卷一、填空题（每小题5分，共30分）1．直线2y kx k =-与双曲线22134x y -=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．2．点(1,1)P 平分椭圆22142x y +=的一条弦，则这条弦所在直线的方程为______________． 3．不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是________．4． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且123PF PF =，则双曲线的离心率e 的最大值为_________．5． 已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．二、解答题（共25分）6． （本小题12分）已知复数212(4)(),2cos (2sin )()z m m i m R z i R θλθλ=+-∈=++∈，若12z z =，试求λ的取值范围．7． （本小题13分）已知椭圆1C 的方程是2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，2C 的左、右顶点分别为1C 的左、右焦点．⑴求双曲线2C 的方程；⑵若直线:l y kx =2C 恒有两个不同的交点,A B ，且2OA OB ⋅>（O 为原点），求k 的取值范围；⑶设12,P P 分别是2C 的两条渐近线上的点，点M 在2C 上，且121()2OM OP OP =+，求12POP ∆的面积．B卷得分＿＿＿一、填空题。
湖北省武汉外国语学校10-11学年高二上学期期末考试(数学文)
2010—2011学年度上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）限时：120分钟满分：150分命题人：高二数学组A 卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，把你认为正确的选项填在题后的括号内．每小题5分，共50分）1．复数21i+的实部与虚部之和为（）A 1-B 0C 1D 22．“2x>”是“2x≠”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3．命题:1p x∃>，使200230x x--=，则p⌝为（）A 21,230x x x∀>--= B 21,230x x x∀>--≠C 20001,230x x x∃≤--= D 20001,230x x x∃≤--≠4．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A aB bC c D2b5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，线段12F F被点(,0)2b分成3:1的两段，则椭圆的离心率为（）A12B23C13D26．设复数z满足1z=，则2z-的最小值为（）A 1B 2C 3D 47．设12,F F是椭圆22194x y+=的两个焦点，P是椭圆上的点，若12PF F∆是直角三角形，且12PF PF>，则12PFPF的值为（）A 2 B72C54D 2或728．复数z满足11z i z i+++--=z在复平面内对应的点的轨迹是（）A 线段B 椭圆C 双曲线D 圆9．设P是曲线22:142x yC+=上的动点，O为坐标原点，则OP的中点M的轨迹方程为（）A 2222x y+= B 2222x y+= C 2221x y+= D 2221x y+=10．已知12,F F分别为双曲线2214yx-=的左、右焦点，P是双曲线上的动点，过1F作12F PF∠的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（）A 椭圆B 双曲线C 圆D 线段二、解答题（共50分）11．（本小题12分）已知函数()f x是R上的增函数，,a b R∈，证明：若()()()()f a f b f a f b+>-+-，则0a b+>．12．（本小题12分）已知:p函数21y x m x=++在(1,)-+∞上单调递增；:q不等式244(2)10x m x+-+>恒成立．若p q∨为真，p q∧为假，求m的取值范围．13．（本小题12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，P是椭圆上任意一点，求12PF PF⋅的最大值．14．（本小题14分）双曲线与椭圆有公共焦点12(0,5),(0,5)F F-，点(3,4)P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．B 卷一、填空题（每小题5分，共30分）1． 直线2y kx k =-与双曲线22134x y -=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________． 2． 点(1,1)P 平分椭圆22142x y +=的一条弦，则这条弦所在直线的方程为______________． 3． 不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是________．4． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且123PF PF =，则双曲线的离心率e 的最大值为_________．5． 已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．二、解答题（共25分）6． （本小题12分）已知复数212(4)(),2cos (2sin )()z m m i m R z i R θλθλ=+-∈=++∈，若12z z =，试求λ的取值范围．7． （本小题13分）已知椭圆1C 的方程是2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，2C 的左、右顶点分别为1C 的左、右焦点．⑴求双曲线2C 的方程；⑵若直线:l y kx =2C 恒有两个不同的交点,A B ，且2OA OB ⋅>（O 为原点），求k 的取值范围；⑶设12,P P 分别是2C 的两条渐近线上的点，点M 在2C 上，且121()2OM OP OP =+，求12POP ∆的面积．13. 14.7.B卷得分＿＿＿一、填空题。
湖北省武昌区2010-2011学年高二上期末考试(数学文)无答案
武昌区2010-2011学年度第一学期期末调研测试文科数学试卷本试卷共150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利 ★注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.4.非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在指定区域外无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.已知集合{,,},A a b c = 集合B 满足A B A = ，那么这样的集合B 有（ ） A ．5个 B ．6 个 C ．7 个 D ．8 个2.若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内，那么下列命题中正确的是（ ）. A ．函数()f x 在区间(0,1)内没有零点 B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C ．函数()f x 在区间(1,16)内有零点 D ．函数()f x 在区间(2,16)内没有零点3.如果一个等腰三角形的底边长是周长的15，那么它的一个底角的余弦值为（ ） A.43 B.14 C.23 D.1854.下列各数中最小的一个是（ ）A ．(2)111111B ．(6)210C ．(4)1000D ．(9)81 5.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．i +2 B ．i +-2 C ．2i -- D ．2i -6.若,A B 为互斥事件，则（ ）A ()()1P A PB +< B ()()1P A P B +>C ()()1P A P B +=D ()()1P A P B +≤7．在ABC ∆中，若 60=A ，16=b ，此三角形的面积3220=S ，则ABC ∆的AB 边的长为（ ）A ．55 B．．51 D ．498.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则12a b+的最小值是（ ）A．．3+．3+．19.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧><-=.0,log ,0,log 212x x x x x f 若()0f x -<，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()()1,01, -∞-B ．()()+∞-,10,1C ．()()+∞-∞-,11,D ．()()1,000,1 -10.圆C 的方程为222)4x y -+=（，圆M 的方程为2225sin )(5cos )1x y θθ--+-=（()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则⋅的最大值是( )A ．6B ．569 C ．7 D ．659二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写. 填错位置，书写不清，模凌两可均不得分. 11.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ．12.随机抽取某小学甲乙两班各6名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. 则甲班样本数据的众数和乙班样本数据的中位数分别是 , .13.对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程为 1.545y x =+，{1,5,7,13,14}x ∈，则y = .14.已知数列{}n a 的前n 项和为1322+-=n n S n ，则它的通项公式n a =_______________.甲班 乙班2 12 11 1 0 13 0 3 1 32 14 2 5（第12题图）15.如图，程序框图所进行的求和运算是_________.(填写以下正确算式 的序号)①201614121+⋅⋅⋅+++； ②19151311+⋅⋅⋅+++； ③18141211+⋅⋅⋅+++； ④103221212121+⋅⋅⋅+++.三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知1c o s ()c o s s i n ()s i n ,3αββαββ+++=且3(,2),2παπ∈求cos(2)4πα+的值.17．（本题共2小题，每小题6分，共12分）<；（Ⅱ）ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列，求证2B π<(第15题)18．(本小题满分12分)用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次， 每次还款数额相同，20个月还清,月利率为1%，按复利计息．若交付150元后的第一个月开始算分期 付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？（最后结果保．．．．． 留．4．个有效数字．．．．．） 参考数据．．．．：19(11%) 1.208+= ，20(11%) 1.220+= ，21(11%) 1.232+=.19．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面相互垂直，已知2AB =，AF =.（Ⅰ）求证：EO ⊥平面BDF ； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小.BCDEFO20．(本小题满分13分)已知三个正数,,a b c 满足a b c <<.(Ⅰ)若,,a b c 是从{}5,4,3,2,1中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率； (Ⅱ)若,,a b c 是从区间()1,0内任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.21．(本小题满分14分)已知直线l ：1y kx =-与圆C ：22(1)1x y -+=相交于P 、Q 两点，点(0,)M b 满足MP MQ ⊥． （Ⅰ）当0b =时，求实数k 的值；（Ⅱ）当1(,1)2b ∈-时，求实数k 的取值范围.。
数学-高二-湖北省武汉外国语学校高二10月月考数学试题
2016—2017学年度上学期 高二月考数学试卷（10月）满分：150 时间：120分钟一、选择题：1．直线x a yb221-=在y 轴上的截距是： A ．bB ． 2b -C ．b 2D ．±b2. 若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线对称，则的方程是（ ）A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x3. 已知空间直角坐标系xyz O -中有一点()1,1,2A --，点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是：AB C ．3D 4. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是：A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能5. 平面上到定点A （l ，2）距离为1且到定点B （5，5）距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范是： A ．（0，4）B ．（2，4）C ．（2，6）D ．（4，6）6. 设(,)P x y 是曲线:1C +=上的点，12(4,0),(4,0)F F -,则12PF PF +： A ．小于10B ．大于10C ．不大于10D ．不小于107. 设斜率为1的直线与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线共有：A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条8. 若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是： A．（）B．（，0）∪（0） C ．hslx3y3hhslx3y3h D ．（-∞，∪，+∞）9. 点P 在曲线C ：x 24＋y 2＝1上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：x ＝4于B点，满足|PA|＝|PB|或|PA|＝|AB|，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 上的所有点都是“H 点”B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点”C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H 点”10. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆122=+y x 上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OB OA OC μλ+=，则22)3(-+μλ的取值范围是( )A.[)+∞,2B.),1(∞+C.),2(∞+D.)2,(-∞二、填空题：11. 已知不等式组210,2,10x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥表示的平面区域为D ，若函数1y x m =-+的图像上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿．12. 已知点P 是椭圆22221x y a b+=(0,0)a b xy >>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆y xP AQB F 1O F 2对左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则OM 的取值范围是＿＿＿＿＿．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为＿＿＿＿＿；14. 已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>，过椭圆上一点M 作直线,MA MB交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为＿＿＿＿＿．15.已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8,a cac b d==，则点P 与直线：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为＿＿＿＿＿．三、解答题：16. (10分)已知两点)4,(),1,2(m B A ,求： （1）直线AB 的斜率和直线AB 的方程；（2）已知]332,32[+-∈m ，求直线AB 的倾斜角α的范围.17. (12分)已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,2πα⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线交椭圆C 于,AB 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若222BF AF AB =+，求直线PQ 的方程.18. (12分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？19. (13分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为113r =；圆弧C 2过点A （29，0）．（1）求圆弧C 2所在圆的方程；（2）曲线C 上是否存在点P ，满足30PA PO =？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）已知直线:140l x my --=与曲线C 交于E ，F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点o 到直线的距离．20. (14分)已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（文）(14分)已知斜率为(0)k k 的直线交椭圆22:14x C y 于1122(,),(,)M x y N x y 两点。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】B【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由24y x =，可得214x y =， 所以18p =，即焦点到准线的距离是18. 故选：B.2．若方程22216x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．2a <-C ．3a >或2a <-D ．20a -<<或0<<3a【答案】D【分析】根据椭圆焦点在y 轴上,可得226,0a a a +<≠,解出范围即可. 【详解】解:由题知22216x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆, 则有: 2260a a a ⎧<+⎨≠⎩, 解得:20a -<<或0<<3a . 故选:D3．已知直线1:(2)310l m x y ---=与直线2:(2)10l mx m y +++=相互平行，则实数m 的值是（ ） A ．4- B ．1C ．1-D ．6【答案】A【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算. 【详解】()11:(2)310,2,3l m x y n m ---=∴=--，()22:(2)10,,2,l mx m y n m m +++=∴=+ ()()12//,223,n n m m m ∴-+=-解之：4,1m =-经检验4m =- 故选：A.4．在正方体中，E 、F 、G 、H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E 、F 、G 、H 四点共面的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对于B ，证明//EH FG 即可；而对于BCD ，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项A ，如下图，点E 、F 、H 、M 确定一个平面，该平面与底面交于FM ，而点G 不在平面EHMF 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面；对于选项B ，连结底面对角线AC ，由中位线定理得//FG AC ，又//EH AC ，则//EH FG ，故E 、F 、G 、H 四点共面对于选项C ，显然E 、F 、H 所确定的平面为正方体的底面，而点G 不在该平面内，故E 、F 、G 、H 四点不共面；对于选项D ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E 、G 、H 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ ，而点F 不在直线PQ 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面．故选：B5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，则点A 到平面1EB C 的距离为（ ） A ．63B ．34C ．66D ．55【答案】A【分析】利用等体积法结合条件即得.【详解】由于E 是AB 的中点，所以A 到平面1EB C 的距离等于B 到平面1EB C 的距离，设这个距离为h ，由题可知2211215,22B E CE B C =+== 所以()()1221225262B CES =⨯-△由于11B BCE B B CE V V --=，所以1111226323h ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以6h =. 故选：A6．设等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=（ ） A ．16 B ．32 C ．12 D ．18【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可. 【详解】由题，3456123422a a a q a a a ++===++则933101112123()2()16a a a a a a q q ++=++=⨯=故选：A.7．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2023202220230,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质进行求解即可. 【详解】因为{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <， 所以{}n a 是递减数列， 又因为()2023202220230a a a +<，所以2022202320222023202220230,0,,0a a a a a a ><>+>， 所以()14045404520234045404502a a a S +==<，()()1404420222023404440244024022a a a a S ++==>，所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4044. 故选：B.8．已知中心在坐标原点的椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，C 1与C 2在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则122e e +的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，()m n >，由条件可得m ＝10，n ＝2c ，再由椭圆和双曲线的定义可得()125,55a c a c c =+=-<，运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，()m n >，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10， 则有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得12m n a +=， 由双曲线的定义可得22m n a -=， 即有()125,55a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>， 可得52c >，即有552c <<，由离心率公式可得()12122510225525555c c c c c c e e a a c c c c +--++=+=+=-+-+-105211155555c c c c ⎛⎫=--=-+ ⎪+-+-⎝⎭， 因为552c <<，所以155102c <+<，5502c -<-<，则11210515c <<+，1255c <--， 故2125515c c +<-+-，2125553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭，则21515553c c ⎛⎫-+> ⎪+-⎝⎭，即12325e e +>， 故122e e +的取值范围是5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B ．二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（ ） A ．若2b ac =，则,,a b c 成等比数列B ．若{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列C ．若21n S n =+，则数列{}n a 为等差数列D ．若31nn S =-，则数列{}n a 为等比数列【答案】BD【分析】根据等比数列的概念可判断AB ，利用n a 与n S 的关系结合等差数列等比数列的定义可判断CD.【详解】对于A ，当0a b c ===时，2b ac =，而,,a b c 不是等比数列，故A 错误；对于B ，若{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1122202n n n n a a a d a ++-==>，所以{}2n a为等比数列，故B 正确；对于C ，由21n S n =+，可得1232,3,5a a a ===，2132a a a ≠，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，由31nn S =-，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅，此时12a =，所以123n n a -=⋅，13n na a +=，{}n a 为等比数列，故D 正确. 故选：BD.10．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=交于,A B 两点，则（ ） A ．两圆的圆心距122OO = B ．直线AB 的方程为10x y -+= C．AB D ．圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2+【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两点间距离公式可求得圆心距，知A 错误；两圆方程作差即可求得AB 方程，知B 正确；利用垂径定理可求得C 错误；利用圆上点到定直线距离最大值为圆心到直线距离加半径可求得D 正确.【详解】由圆1O 的方程知：圆心()11,0O，半径1122r =；由圆2O 的方程知：圆心()20,1O，半径212r =对于A，圆心距12O O =A 错误；对于B ，两圆方程作差可得直线AB 方程为：2220x y -+-=，即10x y -+=，B 正确； 对于C ，圆心1O 到直线AB的距离d ==AB ∴=C 错误； 对于D ，圆1O 上的点到直线AB的最大距离为12r d +=，D 正确. 故选：BD.11．动点(,)M x y 分别到两定点()()5,05,0-，连线的斜率的乘积为1625-，设(,)M x y 的轨迹为曲线C ，12,F F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中正确的有（ ）A ．曲线C 的焦点坐标为()()12,,,0330F F -；B ．若1203F M F ∠=︒，则12F MF S =△；C ．12F MF △的内切圆的面积的面积的最大值为94π； D ．设()322A ，，则1MA MF +的最小值为152． 【答案】ACD【分析】根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小，当动点在上顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M 在A 的上方时有最大值.【详解】由题意可知:165525y y x x ⋅=-+-化解得221,(5)2516x y x +=≠±， A 项：22225169c a b =-=-=，3c =，即曲线C 的焦点坐标为()()12,,,0330F F -，故A 项正确； B 项：先推导焦点三角形面积公式：在12MF F ∆中，设12F MF α∠=，11MF r =，22MF r =，由余弦定理得 222121212cos 2MF MF F F MF MF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅22121212()242r r r r c r r +--=221212(2)242a r r c r r --=2212124()22a c r r r r --=212122b r r r r -=∴21212cos 2r r b r r α=-,即21221cos b r r α=+，∴12212112sin sin 221cos MF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos bαα=+=2tan 2αb ．123016tan 2F F S =⋅。
2024-2025学年湖北省武汉外国语学校高三上学期10月月考数学试题及答案
武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,22. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i 5 C. i- D. i3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π64. 已知π(0,)2αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114B. 120C. 126D. 1327. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）.A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．13. 已知函数()()sin ,0,2π2cos xf x x x=∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3fθθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭值域．16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．17. 已知函数f(x)=a e x−2+ln ax (a >0)（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．的的的的武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A ，即可得交集.【详解】由题意可得：{}(][)2|230,31,A x x x =+-≥=-∞-+∞U ，且{}|22B x x =-≤<，所以A B = [)1,2.故选：D.2. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i5C. i -D. i【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()()2i 12i 2i5i i 12i 12i 12i 5----===-++-，所以其共轭复数是i .故选：D.3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4. 已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C. ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos30αβ+=︒=，sin15︒====，sin sin sin15sin15αβ+=︒+︒=>C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】反向思考，求出边长为a 的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.【详解】反向思考，边长为a 的正方体，其最大内接正四面体的体积为33311141323a a a -⨯⨯⨯==，得到33a =，解得a =故选：C.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114 B. 120 C. 126 D. 132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A7. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C, 根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.的对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()N P NM P P M =，即()()()N P NM P P M =，所以M 与N 相互独立，故D 正确；故选：ABD.10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A ：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A 错误；对于选项C ：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与,A B 两点，则OA OB =，再以A 圆心，OA 为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点C ，此时可得OA OB OC ==，符合题意，故C 正确；对于选项B ：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于,A B 和,C D ，此时AB CD ≠，即ABCD 为梯形，故C 正确；对于选项D ：如图，以AC 为直径作圆，与抛物线交于,,,A B C D ，此时90ABC ADC ∠=∠=︒，符合题意，故D 正确；故选：BCD.11 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，.要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()3220000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()2320000066231y x ax x x x ax =--+-+，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()323220000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()2220000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02a x ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02a x ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数y =f (x )的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．【答案】50【解析】【分析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题，则111503320993690109a a d a d d ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩.则6161550S a d =+=.故答案为：5013. 已知函数()()sin ,0,2π2cos x f x x x =∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．【答案】2π4π33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可.【详解】()()()()222cos 2cos sin 2cos 12cos 2cos x x xx f x x x +++'==++，()0,2πx ∈，令()()22cos 102cos x f x x +'==+，即2cos 10x +=，解得2π3x =或4π3x =.当2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当4π,2π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可知，函数()f x 的单调递减区间为2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】 ①. 1327 ②. 13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于21023********C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得tan θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，【可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到tan θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭21cos (sin cos 2θθθθ=⋅+21sin 24θθ=+11cos 2sin 242θθ+=-1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4的菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）作出四棱锥P ABCD -的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥P ABCD -的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角A PB C --的余弦值，进而计算出正弦值.【小问1详解】过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，又PB AD ⊥，又,,PO PB P PO PB =⊂ 平面POB ，所以AD ⊥平面POB ，因为,PE BE ⊂平面POB ，所以AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PA PD =，所以E 为AD 得中点，所以4BD BA ==，因为侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒，即有120PEB ∠=︒，所以60PEO ∠=︒，因为侧面PAD 为正三角形，所以4sin 60PE =⋅︒=sin 603PO PE =⋅︒==，所以1144333P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⋅⋅=.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作OB 的垂线Ox ，依题可得,,OP OB Ox两两垂直，为以,,OP OB Ox 为z 轴，y 轴，x 轴建立空间直角坐标系，可得()A ，()0,0,3P，()B，()C -，取PB 得中点为N，则32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB =，所以AN PB ⊥，由（1）AD ⊥平面POB ，//BC AD ，知⊥BC 平面POB ，PB ⊂平面POB ，所以BC PB ⊥，可得,BC NA 所成角即为二面角A PB C --的平面角，记为θ，求得32,2NA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()4,0,0BC =-，则cos ,NA BC NA BC NA BC ⋅===⋅则sin θ==17. 已知函数()()2e ln 0x a f x a a x-=+>（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =（2）ea ≥【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；（2）首先根据指对公式，变形不等式为e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，再构造函数()e x g x x =+，结合函数的单调性，转化为不等式ln 2ln a x x +-≥恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.【小问1详解】当e a =时，()1e e ln x f x x -=+，()01e ln e 2f =+=，()()11e ,10x f x f x-=-'='，所求切线方程为：20(1)y x -=-，即2y =；【小问2详解】()2f x ≥转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增，所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增，故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()0,∞+恒成立，令()ln 2h x x x =-+，()110h x x-'==，得到1x =，可得()0,1x ∈时，ℎ′(x )>0；()1,x ∞∈+时，()0h x '<，所以ℎ(x )在1x =时取最大值，所以()ln 11a h ≥=，得到e a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【答案】（1）22195x y += （2）9680x y --=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E 的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点A 处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段BC 中点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出65OM k =，联立直线方程可得点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，不合题意，可得结论.【小问1详解】椭圆E 经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23e =可得222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此可得椭圆E 的方程为22195x y +=；【小问2详解】由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意可知1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =，如下图所示：设角平分线上任意一点为P (x,y )，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=又易知其斜率为正，∴12F AF ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，12F AF ∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，所以12F AF ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-，即9680x y --=【小问3详解】思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，设2:3BC l y x m =-+，联立2219523x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得229129450x mx m -+-=，∴线段BC 中点为25,39m m M ⎛⎫⎪⎝⎭在12F AF ∠的角平分线上，即106803m m --=，解得3m =；因此52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，线段BC 中点()00,M x y ，由点差法可得22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22221212095x x y y --+=；∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，因此0065OM y k x ==，联立:96806:5AM OM l x y l y x --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件相异的两点．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．的（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析（2）01m <<【解析】【分析】(1)①对()f x 求导，可得ℎ(x)=1x (x +1)2>0恒成立，即可函数()f x 具有性质()P b ；②设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，f ′(x )与()u x 符号相等，对b 讨论，可知f ′(x )符号，即可得出函数()f x 的单调区间；(2)对()g x 求导，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，分析可知()g x '其在(1,)+∞恒成立，对m 讨论，再根据αβ，与12,x x 大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解m 的取值范围.【小问1详解】① ()()()()222121111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，所以1x >，ℎ(x )=1x (x +1)2>0恒成立，则函数()f x 具有性质()P b ；② 设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，(i) 当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；(ii) 当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，1211x x ==<=>，，所以x ⎛∈ ⎝时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x 在⎛ ⎝上递减；x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增；当2b >时，()f x 在⎛ ⎝上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.【小问2详解】由题意，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，又()h x 对任意的,(1)x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的,(1)x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增. 所以12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，因为()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<所以1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<所以12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，所以12x x αβ≤<≤所以12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，则12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去综上所述，01m <<。
湖北省武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
武汉外国语学校2018—2019学年度上学期期中考试高二数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，求出即可得结果.【详解】整理抛物线方程得，焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.2.下列命题中错误．．的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题是真命题B. 命题“”的否定是“”C. 若为真命题，则为真命题D. 在中，“”是“”的充要条件【答案】C【解析】【分析】根据原命题与逆否命题的等价性判断；根据特称命题的否定是全称命题判断；根据特殊值判断；由正弦定理判断.【详解】命题“若，则”是真命题，所以其逆否命题是真命题，对；由特称命题的否定是全称命题可得，命题“”的否定是“”正确，对；当时，为真命题，为假命题，错；因为“”与“”等价，由正弦定理可得“”与“”等价，所以“”是“”的充要条件，对,故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查原命题与逆否命题的等价性、特称命题的否定、特殊值的应用以及由正弦定理的应用，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件。
【考点定位】本题考查充分必要条件的判断，通过等价命题的转化化难为易，本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单，也渗透了转化思想的考查.4.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得所以椭圆的离心率故选【考点】椭圆的几何性质.5.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出交点坐标，代入双曲线方程，结合，得到关于的方程，化简即可得双曲线的离心率.【详解】两条曲线交点的连线过点，两条曲线交点为，代入双曲线方程得，又，，，化简得，，，，故选A.【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．6.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】输出；；；；；，退出循环，输出，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵圆：，圆：，动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为，由题意得∴则的轨迹是以（为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为因为，即为圆的切线，要的最小，只要最小，设，则，选A.8.若坐标原点和分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为设点P（x0，y0），则有(x0≥)，解得y02=(x0≥)，因为=(x0+2，y0)，=(x0，y0)，所以=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+=+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥，所以当x0=时，取得最小值=，故的取值范围是[，+∞)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．视频9.过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设过双曲线的右焦点与渐近线垂直的直线为,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率,由此建立关于的不等式，解之可得，从而可得双曲线的离心率的取值范围 .【详解】过双曲线的右焦点作渐近线垂线，设垂足为，直线为与双曲线左右两支都相交，直线与渐近线必定有交点，因此，直线的斜率要小于直线的斜率，渐近线的斜率为，直线的斜率，可得，即，可得，两边都除以，得，解得，双曲线离心率的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.10.双曲线，分别为双曲线的左右焦点，过点作直线与双曲线的右半支交于点，使，则的内切圆半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的，设的内切圆的半径为，设，运用双曲线的定义和勾股定理求出，由三角形的面积公式和面积相等，解方程即可得到所求半径.【详解】双曲线的，，可得为直角三角形，设的内切圆的半径为，设，由双曲线的定义可得，，又，在直角三角形中，可得，解得，三角形，，的面积，解得，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程与几何性质，属于中档题.解答与双曲线的焦点有关的三角形问题时，往往考虑应用：（1）双曲线的定义；(2)余弦定理；（3）勾股定理.11.已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长.【详解】如图，取点，连接，，，，，，，在中，的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.12.已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质,即可求得面积的最大值. 【详解】设椭圆的方程，设直线的方程为，联立，整理得，由椭圆的离心率，则，代入整理，，①由与的面积之比为，则，②则，面积，当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉外国语学校2011～2012学年度上学期期中考试高二文科数学试卷
武汉外国语学校2011～2012学年度上学期期中考试高二数学试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、抛物线2y x =的焦点坐标为( )A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知命题P ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．q p ∨⌝)(B ．q p ∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．)()(q p ⌝∨⌝3、人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面距离分别为2R 、52R ，则卫星轨迹的长轴长为( )A ．5RB ．4RC ．3RD ． 2R 4、“0b =”是“函数c bx ax x f ++=2)(为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个充分不必要条件是( ) A ．21m -<<- B ．2m <-或1m >- C ．0m < D ．0m > 6、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形球盘,点,A B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,小球(半径忽略不计)从点A 沿着不与AB 重合的直线出发,经椭圆球盘壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是( )A ．4cB ．4aC ．22a c -D ．22a c +7．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为( )A ．030B ．045C ．060D ．0908、已知正方形ABCD ，则以,A B 为焦点，且过,C D 两点的双曲线的离心率为( )A 1BC 1D ． 2+9、由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是( ) A ．2π+ B ．22π+ C ．12π+D ． π10、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0， 则FA FB FC ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、若命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则p ⌝： ．12、双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．13、圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为 ．14、点(,)P x y 在函数y =的图象上运动，则2x y -的最大值与最小值之比为 ．15、已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆所在平面内一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列图形中的： ．（填写所有可能图形的序号）①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．三、解答题：本大题共5小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本题12分）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，,a b R ∈，现有命题：“若()()()()f a f b f a f b +≥-+-，则0a b +≥”.（1）写出其逆命题，判断其真假，并说明理由； （2）写出其否命题，判断其真假，并说明理由.17、（本题12分）已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=. （1）求证：直线l 恒过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时m 的值.18、（本题12分）已知双曲线C 的一条渐近线为12y x =，且与椭圆2216y x +=有公共焦点. （1）求双曲线C 的方程；（2）直线:20l x --=与双曲线C 相交于,A B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否过原点，并说明理由.19、（本题13分）已知双曲线22:14x C y -=和定点12,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求过点P 且与双曲线C 只有一个公共点的直线方程； （2）双曲线C 上是否存在,A B 两点，使得1()2OP OA OB =+成立？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，说明理由.20、（本题13分）动点M 的坐标(,)x y 在其运动过程中总满足关系式6=.（1）点M 的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；（2）已知定点(,0)T t (03)t <<，若||MT 的最小值为1，求t 的值.21、（本题13分）已知直线:l y kx b =+，曲线2:|2|.M y x =-（1）若1k =，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b 的值；（2）若1b =，直线与曲线M 的交点依次为,,,A B C D 四点，求()()AB CD AD BC +⋅+的取值范围.武汉外国语学校2011—2012学年度上学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题：D D A C D B C C A B二、填空题： ,sin 1x R x ∀∈≤；(1,2)；221204x y x y +--+=；45-；①③⑤⑥ 三、解答题：16、（1）（6分）逆命题：若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-，真命题，直接证明；（2）（6分）否命题：若()()()()f a f b f a f b +<-+-，则0a b +<，真命题，反证法证明。
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性诊断考试数学试卷
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性诊断考试数学试卷一、单选题1．已知直线1:12y l x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．4- 2．已知复数z 满足1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，则线段1AC 的长度是（ ）A B C ．3 D 4．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ）A B C ．2 D 5．一条经过点()4,2A -的入射光线l 的斜率为2-，若入射光线l 经x 轴反射后与y 轴交于点B ，O 为坐标原点，则AOB V 的面积为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．66．如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）AB C D 7．A 、B 两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是（ ）A ．116B ．332C ．18D ．3168．如图，在三棱锥A BCD -中，45ABC ∠=︒，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD 所成最大角的正弦值是4时，PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100人中随机抽取10人，每个人被抽到的可能性不相等B ．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为300颗C ．一组数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，()50m m >.已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m 百分位数为79D ．数据1x ，2x ，3x 的方差为22212393x x x ++-，则121x +，221x +，321x +的平均数为7 10．已知集合{S =直线sin cos |1l x y m nθθ+=，其中,m n 是正常数，[)0,2}θπ∈，下列结论中正确的是（ ）A ．当π4θ=时，S 中直线的斜率为n m - B ．S 中所有直线均经过同一个定点C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2nD ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面11．如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ，点P 为半圆弧»AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合），下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P ABD -的体积最大值为1254C ．异面直线PA 与BC 的距离是定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积为4三、填空题12．已知圆C 的圆心在直线310x y --=上，且过点()2,3A -，()2,5B ，则圆C 的一般方程为．13．ABC V 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，BC 边上的高长为3a ，则()2b c bc+的取值范围为.14．若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,5上存在零点，则22a b +的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()2,3B ，()4,6C .(1)求BC 边上的高AD 的直线方程；(2)求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.16．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===4BC =，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；(2)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的正弦值.17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin 1cos cos A A B B C-=-.(1)若c a b +=AB 上的角平分线CD 长；(2)若ABC V 为锐角三角形，点F 为ABC V 的垂心，6CF =的取值范围. 18．（1）甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.甲抛掷()1n +次，乙抛掷n 次，*n ∈N ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.（2）某单位进行招聘面试，已知参加面试的50名学生全都来自A ，B ，C 三所学校，其中来自A 校的学生人数为10.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码()1,2,3,,50k k =L ，按面试号码k 由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.若B ，C 两所学校参加面试的学生人数比为1：3，求A 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A 校所有参加面试的学生完成面试后，B ，C 两校都还有学生未完成面试）的概率.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =r ，点()0000,,P x y z .若平面α以u r 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=.(1)若平面1:210x y α--=，平面1:310y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；(2)已知集合(){},,|1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,|2Q x y z x y z =++≤，(){},,|2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W .（ⅰ）求1V 和2V 的值； （ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。
湖北省武汉外国语学校高二上学期期末考试(数学理)缺答案.doc
湖北省武汉外国语学校高二上学期期末考试（数学理）限时：1 满分：150分 命题人：高二数学组A 卷一．选择题（每小题5分，共50分）1. 方程22(2)(2)0x y -++=表示的曲线是（ ）A 圆B 两条直线C 一个点D 两个点2. 为研究两个变量y 与x 的相关关系，选择了4个不同的回归模型，其中拟合效果最好的模型是（ ）A 相关指数2R 为0.86的模型1B 相关指数2R 为0.96的模型2C 相关指数2R 为0.73的模型3D 相关指数2R 为0.66的模型43. 甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次，那么至少1人射中目标的概率为（ ） A 21P P + B 21P P ⋅C 211P P -D )1)(1(121P P ---4. 设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若56M N -=，则展开式中常数项为（ ） A 15- B 15 C 10 D 10-5. 五项不同的工程，由三个工程队全部承包下来，每队至少承包一项工程．则不同的承包方案有（ ）A 30B 60C 150D 180 6. “0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7. 随机变量ξ的分布列为(),1,2,3,4(1)cP k k k k ξ===+，其中c 为常数，则(2)P ξ≥=（ ）A 32B54C83D658. 已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线交作椭圆于,A B 两点，若1AF B∆的周长为16，椭圆的离心率2e =，则椭圆的方程是（ ） A 22143x y += B221163x y += C2211612x y += D221164x y +=9. 若AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且,AM BM 与坐标轴不平行，,AM BM k k 分别表示直线,AM BM 的斜率，则AM BM k k ⋅=（ ）A 22c a-B 22b a-C 22c b-D 22a b-10. 设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，若12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF >，则12PF PF 的值为（ ）A 2 B72C54D 2或72二．解答题（共50分）11. （本小题12分）已知:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；:q 不等式244(2)10x m x +-+>恒成立．若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．12. （本小题12分）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）.若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13. 现已赛完两局，乙暂时以2:0领先.⑴求甲获得这次比赛胜利的概率；⑵设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.13. （本小题12分）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，所得数据如下表所示（1）估计员工积极支持企业改革人数的比例；（2）能否有99.9%的把握说员工对待企业改革的态度与工作积极性有关？（3）根据（2）的结论能否提出更好的调查方法来估计该企业中赞成改革的员工的比例？说明理由. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++14. （本小题14分）椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若AB OC =的斜率为2，求椭圆的方程． B 卷一．填空题（每小题5分，共30分）1． 已知随机变量2(0,)N ξσ，已知(2)0.023P ξ>=，则(2)P ξ≤=__________.2． 设随机变量(2,),(3,)XB p Y B p .若7(1)16P X ≥=，则(2)P Y ==________. 3． 在下列说法中：① 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ② 命题“若0>m ，则02=-+m x x 有实数根”的逆否命题是假命题；③ 已知命题0:1p x ∃>，使200230x x --=，则p ⌝为：21,230x x x ∀>--≠；④ 不等式()(1)0x a x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<-，则实数a 的取值范围是2a ≥ 不正确．．．的是____________.（填上你认为不正确．．．的所有序号）4． 若直线1y kx =+与曲线x =k 的取值范围是______________.5． 已知函数1,()()0,()x a f x x a ≥⎧=⎨<⎩，函数2()1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零点的充要条件是_________________．6. 已知2()2,()2f x x x g x mx =-=+，对10[1,2],[1,2]x x ∀∈-∃∈-，使10()()g x f x =，则m 的取值范围是____________.二．解答题（共7. （本小题10分）袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．⑴求袋中各色球的个数；⑵从袋中任意摸出3个球，记得到的白球个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及()E ξ和()D ξ； ⑶若,()11,()21a b E D ηξηη=+==，试求,a b 的值．8. （本小题10分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -．⑴求椭圆的标准方程；⑵设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．。
湖北高二高中数学期末考试带答案解析
湖北高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，其中i 为虚数单位，则a+b=( )A ．﹣1B ．1C ．2D ．32.把二进制数化为十进制数为（ ）A ．20B ．12C ．11D ．103.用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的4.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．5.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点 (4,5)，则回归直线的方程为( ) A ．y ＝1.23x ＋4 B ．y ＝1.23x ＋5 C ．y ＝1.23x ＋0.08 D ．y ＝0.08x ＋1.236.若z 1，z 2∈R ，则|z 1z 2|=|z 1||z 2|，某学生由此得出结论：若z 1，z 2∈C ，则|z 1z 2|=|z 1||z 2|，该学生的推理是( ) A ．演绎推理 B ．逻辑推理 C ．归纳推理 D ．类比推理7.设i 为虚数单位，则复数z=i （1﹣i ）对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥事件但不是对立事件 D ．以上答案都不对9.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1610.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．1411.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A ． B ． C ．D ．12.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA 、OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A ．1﹣B ．﹣C ．+D ．二、填空题1.将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．2.设五个数值31，38，34，35，x 的平均数是34，则这组数据的标准差是 ．3.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为4.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n 个等式为三、解答题1.（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数。
湖北高二高中数学期末考试带答案解析
湖北高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．2.如图是某学校一名篮球运动员在场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这场比赛中得分的中位数为（）A．15B．15．5C．16D．16．53.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（）名学生．A．10B．15C．20D．254.设函数的定义域为R，则是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．6.已知某种产品的支出广告额与利润额（单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（）A．B．C．D．7.已知双曲线C ：－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知函数，任取一个使的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9.已知函数，则其导函数的图象大致是（ ）10.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（ ） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或11.在平面直角坐标系中，两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）间的“L距离”定义为：||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L距离”之和等于定值（大于||F 1F 2||）的点的轨迹可以是（ ）12.设函数，．若存在零点，则在区间上有（ ）个零点A ．0B ．1C ．2D ．不确定二、填空题1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落人区间[481,720]的人数为 ．2.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为．3.点是抛物线的焦点，是双曲线的右焦点，若线段的中点恰为抛物线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线的离心率的值为．4.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为；……；依此规律得到级分形图．（1）4级分形图中共有______条线段；（2）级分形图中所有线段长度之和为______．三、解答题1.设命题实数满足,其中；命题实数满足．（1）当时，若为真，求范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．2.年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（/）分成六段：，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求这辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在的车辆中任抽取辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率．3.（1）在区间和上分别任取一个整数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?（2）在区间和上分别任取一个实数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?4.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．5.已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围．湖北高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，所以复数的共轭复数为，故选D．【考点】复数的运算；共轭复数的概念．2.如图是某学校一名篮球运动员在场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这场比赛中得分的中位数为（）A．15B．15．5C．16D．16．5【答案】A【解析】根据中位数的概念可知，该运动员在这场比赛中得分的中位数为，故选A．【考点】茎叶图及中位数的概念．3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取（）名学生．A．10B．15C．20D．25【答案】B【解析】用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取容量为的样本，则从高二年级抽取，故选B．【考点】分层抽样．4.设函数的定义域为R，则是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据奇函数的定义可知，若函数为奇函数，则，但函数满足，函数不一定为奇函数，所以是“函数为奇函数”的必要而不充分条件，故选B．【考点】必要不充分条件．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据给定的程序框图可知，，第次循环：；第次循环：；第次循环：，此时跳出循环，输出的值为，所以判断框中填写的内容可以是，故选C．【考点】程序框图．6.已知某种产品的支出广告额与利润额（单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据回归直线方程可知，回归直线方程经过样本的中心点，此时，，故选A．【考点】回归直线方程．7.已知双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，即，所以，所以双曲线的双曲线的渐近线的方程为，故选C．【考点】双曲线的简单的几何性质．8.已知函数，任取一个使的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得总的基本事件涉及的区间长度为，由对数函数的性质解，可得，所以使得的区间为，长度为，所求概率，故选D．【考点】几何概型．9.已知函数，则其导函数的图象大致是（）【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以导函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除，当时，，故排除D，故选C．【考点】利用导数研究函数的单调性．10.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，故圆心纵坐标为，则点纵坐标为，即，代入抛物线的方程得，所以或．所以抛物线的方程为或． 【考点】抛物线的标准方程．11.在平面直角坐标系中，两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）间的“L距离”定义为：||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L距离”之和等于定值（大于||F 1F 2||）的点的轨迹可以是（ ）【答案】A 【解析】设，再设动点，动点到定点的“L距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 【考点】轨迹方程．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，属于中档试题，本题的解答中设出设和动点的坐标，根据题设条件列出关系式后，分类讨论去掉绝对值号，从而确定动点的轨迹方程，结合本题的选项可得动点的轨迹，得到答案．12.设函数，．若存在零点，则在区间上有（ ）个零点A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】由题意得，，因为，所以或（舍去）当时，；当时，，所以函数的递减区间是，递增区间为，因为存在零点，所以，当时，在上单调递减，且，所以时函数在上有唯一的零点；当时，在上单调递减，且，所以在区间上有唯一的零点，综上所述，若存在零点，则函数在区间上有唯一的零点．【考点】利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了求导公式、导数的运算法则，导数与函数单调性的关系，以及函数零点的转化，着重考查了分类讨论的数学思想、化简、变形能力，属于中档试题，本题的解答中，先求解函数的导数，判定函数的单调性，确定函数的单调区间，求解函数的最小值，由条件列出不等式求解实数的取值范围，对进行分类讨论，并分别判断在区间上的单调性，求出和，判断符号，即可能证明结论．二、填空题1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落人区间[481,720]的人数为．【答案】12【解析】使用系统抽样方法，从人中抽取人，即从人中抽取人，所以从编号的人中，恰好抽取人，接着从编号共人抽取人，故答案为．【考点】系统抽样．2.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为．【答案】①④【解析】根据茎叶图的数据，可得甲地该月时的平均气温：，乙地该月时平均气温：，故甲地该月的平均气温低于乙地该月时的平均气温；甲地该月时温度的方差为：，乙地该月时温度的方差为：，所以，所以甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的期望标准差．【考点】用样本估计总体．3.点是抛物线的焦点，是双曲线的右焦点，若线段的中点恰为抛物线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线的离心率的值为．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程，代入，可得，因为，所以线段的中点，所以，所以，所以，所以．【考点】抛物线的简单性质．【方法点晴】本题考查双曲线的标准方程及其简单的几何性质，同时考查了抛物线的几何性质和考生的运算能力，其中确定的坐标是解答的关键，本题的解答中，确定双曲线的渐近线的方程，代入，得到点，利用点是线段的中点，可得，确定的关系，由此即可得出双曲线的离心率．4.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为；……；依此规律得到级分形图．（1）4级分形图中共有______条线段；（2）级分形图中所有线段长度之和为______．【答案】（1）45；（2）【解析】（1）当时，共有条线段；当时，共有条线段；当时，共有条线段；当时，共有条线段．（2）由（1）可得：级分形图中所有线段的长度之和．【考点】归纳推理；数列求和．【方法点晴】本题主要考查了通过观察、方向、猜想、归纳数列通项公式的方法，着重了等比数列的前项函数公式，考查了推理能力和计算能力，属于难度较大题，本题的解答中得到当时，线段的条数，第2问中，从1问中，得到线段条数的通项公式，，利用等比数列的前项和公式即可得出．三、解答题1.设命题实数满足,其中；命题实数满足．（1）当时，若为真，求范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】先分别求解分别为真命题时，的取值范围，（1）在根据为真，求解的取值范围；（2）由是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，从而求解的取值范围．试题解析：（1）真，则；真，则,因为为真,则真且真,故范围为;（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，因为真，有,所以，故．【考点】命题真假的判定与应用．2.年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（/）分成六段：，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求这辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；（2）若从车速在的车辆中任抽取辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率．【答案】（1）众数与中位数的估计值均等于，平均值为；（2）．【解析】（1）利用频率分布直方图能求出这辆小型车的众数和为中位数的估计值；（2）从频率分布直方图中知，车速在的车辆由辆，车速在的车辆有辆，由此能求出从车速在的车辆中任意抽取辆，抽出辆车中至少有一辆的车速在的概率．试题解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得，即中位数的估计值为平均数的估计值为：（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为：（辆）设车速在的车辆设为，，车速在的车辆设为，，，，则所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共种其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：，，，，，，，共种所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为【考点】古典概型及其概率的计算公式，频率分布直方图中众数、中位数、平均数．3.（1）在区间和上分别任取一个整数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?（2）在区间和上分别任取一个实数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为多少?【答案】（1）；（2）．【解析】（1）确定实数可取中的，可构成个曲线，在确定方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆个数，利用古典概型求解概率；（2）表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆时，点对应的平面图象的面积大小和区间和分别各取一个数点对应的平面区域的面积大小，并将他们一起代入几何概型计算概率即可．试题解析：（1）可取1,2,3,4,5,可取2,3,4,故可以构成15个曲线方程,又即,则,故P=;（2）如图，可构成矩形，又，即，即阴影区域，则【考点】古典概型和几何概型的概率的计算公式．4.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意求出，即可得到椭圆的方程；（2）把直线方程代入椭圆的方程，得出关于的一元二次方程，运用韦达定理得出，求解，求解的面积，求解的值，从而得到圆的半径，即可求解圆的标准方程．试题解析：（1）椭圆C的方程为（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不合题意．②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】椭圆的几何性质及圆的标准方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、直线的圆锥曲线的综合应用和圆的标准方程的求解，运算量较大，属于中档试题，本题第2问的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，得出关于的一元二次方程，运用韦达定理得出，求解，求解的面积，求解的值，从而得到圆的半径，即可求解圆的标准方程，其中准确计算、仔细化简是解答本题的关键，也是一个易错点．5.已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，单调递增区间是；当时，单调递增区间为，，递减区间为；当时，单调递增区间为：，；递减区间为：；（2）．【解析】（1）求解函数的导数，分类讨论求解函数的单调区间；（2）把曲线与直线只有一个交点转化为关于的方程只有一个根，设，利用函数的单调性和最值转化为方程只有一个根等价于且或者且，再转化为，利用的性质，求解实数的取值范围．试题解析：（1）当时,R上单调递增;当时,, 为增区间, 为减区间;当,, 为增区间,为减区间;（2）由题得方程只有一个根，设，则，因为所以有两个零点，即（），且，，不妨设，所以在单调递增，在单调递减，为极大值，为极小值，方程只有一个根等价于且，或者且，又，设，所以，所以为减函数，又，所以时，时，所以大于或小于，由知，只能小于，所以由二次函数性质可得，所以．【考点】利用导数求解函数的单调区间；利用导数研究函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间即利用导数研究函数的最值的应用，体现了利用导数研究函数的综合应用，同时着重考查了数学转化的思想和分类讨论的解题思想方法的应用，试题南段较大，属于难题，本题第2问的解答中，把曲线与直线只有一个交点转化为关于的方程只有一个根，设出，利用函数的单调性和最值转化为方程只有一个根等价于且或者且，再转化为，利用的性质，求解实数的取值范围，其中步步转化为函数的性质是解答本题的一大难点，需要平时注意总结和积累．。
湖北省武汉市高二上学期期末联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知数列{an }中的首项a 1＝2，且满足，则此数列的第三项是（ ） 11122n n a a n+=+A ．1 B ．C ．D ．123458【答案】A【分析】根据递推公式直接求解即可. 【详解】因为，且， 12a =11122n n a a n+=+令，得，1n =21132222a =´+=令可得,2n =3211131124224a a =+=+=故此数列第三项为. 1故选：A2．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则O ABC -M N AB OC OA a = OB b = OC c =（ ）MN =A ．B ．C ．D ．()12b c a +- ()12a b c ++ ()12a b c -+ ()12c a b -- 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.MN{},,a b c 【详解】，()()111222OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+所以，. ()()111222MN ON OM OC OA OB c a b =-=-+=-- 故选：D.3．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 210PF PF ⋅= 的面积为9，则（ ） 12PF F △b =A ．1 B ．2C D ．3【答案】D【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得. 210PF PF ⋅=,,a b c b 【详解】解：；① 2221212122,24PF PF a PF PF PF PF a +=∴++⋅= 又，②2222121212,4PF PF PF PF F F c ⊥∴+== ①-②得：， ∴()222212121244,2PF PF a c b PF PF b ⋅=-=∴⋅=的面积为， 12PF F △1221219,9,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==>A . 3b ∴=故选：D4．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满{}n F 足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在121F F ==*21()n n n F F F n N ++=+∈该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A ．672 B ．674 C ．1348 D ．2022【答案】C【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】，故，，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 121F F ==32F =4563,5,8F F F ===且周期为3，因为，故奇数的个数为， 20223674=⨯67421348⨯=故选：C.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB 的距离为（ ） ()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ABCD【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，，，()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ，，∴()2,1,1AB =-- ()1,1,0AP=-在上的投影为 AP AB||AP AB AB ⋅则点到直线P AB =故选：D ．6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为()A ．B ．C ．D ．23121334【答案】A【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可． 【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 4263=故选：A ．7．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，…，{}n a n S n a n 200S <210S >11S a 22S a ，中，最大项和最小项分别为（ ） 2020S a 2121S a A ．； B ．； C ．；D ．；2121S a 2020S a 2121S a 1111S a 1100S a 1111S a 1100S a 2020S a 【答案】C【分析】先判断出，从而得到最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小10110,0a a ><10S 项.【详解】因为为等差数列，故，， {}n a ()20101110S a a =+211121S a =故，，故，公差，10110a a +<110a >100a <0d >，，10910S S S <<<< 101120210,0S S S S <<<<>而，121011210a a a a a <<<<<<< 故，，10910S S S ->->>-> 1120210,0S S S ->>->> 121011210,0a a a a a ->>>><<< 由不等式性质可得即 10122122100S S S S a a a a ----<<<<<----L 101221221001S S S S a a a a <=<<<<L 同理，故， 2011121112200S S S a a a -->>>-> 2011121112200S S S a a a <<<< 而， 20212021212121011S a S S a a a +<==+<故，，…，，中最大项和最小项分别为；. 11S a 22S a 2020S a 2121S a 1100S a 1111S a 故选：C. 【点睛】，本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前和的符号转化为中间项的n 符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲C ()222210,0x y a b a b -=>>F 线的左、右两支上，，，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） 0AF FB ⋅=3BF FC =A BC D【答案】B【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，F ',,AF BF CF '''AFBF '||BF m =||3FC m =，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，||2BF a m '=+||32CF m a '=+CBF 'BFF 'm a =且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，F ',,AF BF CF '''因为A 、B 关于原点对称且，所以为矩形，0AF FB ⋅=AFBF '设，则，，，||BF m =||3FC m =||2BF a m '=+||32CF m a '=+在直角△中，即， CBF '222||||||BC BF CF ''+=22216(2)(32)m a m m a ++=+所以，m a =在直角△中，即， BFF '222||||||BF BF FF ''+=2222(2)104m a m a c ++==所以e 故选：B二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下A =B =列结论中正确的是（ ）A ．该试验样本空间共有个样本点B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.10．等差数列的前n 项和分别为，则下列说法正确的有（ ） {}{},n n a b *21,,,1N n n n n a n S T n b n +=∈+A ．数列是递增数列B ．n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭3353S T =C ．D ．553536S T =121222(1)n n S S S n T T T n ⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅+ 【答案】AB【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.n 【详解】，所以是递增数列，A 选项正确.()2112112111n n n a n b n n n +-+===-+++n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()()121121211211212121221221212n n n n n n n n a a n a a a Sn b b b b b T n n ------+⋅-++====+++⋅-所以，B 选项正确. 332215213S T ⨯+==+，C 选项错误. 552317314S T ⨯+==+当时，，D 选项错误. 1n =()11113122211S a T b +==≠⨯+故选：AB11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的,A B ()1λλ≠轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足(4,2)A -(2,2)B P ，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） ||2PA PB=P C A ．圆的方程是C ()()224216x y -+-=B ．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C 5440x y -+=C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 A l C l 2D ．过直线上的一点向圆引切线、，则四边形的面积的最小值为3460x y+=P C PA PB PACB 【答案】AD【分析】对于A ，利用求动点的轨迹方程的步骤即可求解；对于B ，利用圆的直径式方程及两圆的方程直接相减即可求解两圆相交公共弦所在的直线； 对于C ，根据已知条件及直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式即可求解；对于D ，将求四边形的面积转化为求三角形的面积，利用勾股定理及点到直线间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，因为，点满足，设(4,2),(2,2)A B -P ||2||PA PB =(),P x y 2=，化简得，即，故A 正确；228440x y x y +--+=()()224216x y -+-=对于B ，以为直径的圆的方程为，即，,A B ()()()()42220x x y y +-+--=222440x y x y ++--=所以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C ,即，故B 错误；()22222484440x x y x x y y y ++---+--=+540x -=对于C ，易知直线的斜率存在，设直线l 的方程为，即，()24y k x -=+420kx y k -++=因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离C l 2d =，解得，故C 错误； k =对于D ，由题意可得四边形的最小值即S PACB 1242=⨯⨯=PO可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形PO O 3460x y +=1d PACB的面积的最小值为D 正确. =故选：AD.12．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物F P 线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点P ()220y px p =>处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两()00,P x y ()00y y p x x =+l ()11,A x y ()22,B x y A B 点处的切线相交于点．下列说法正确的是（ ） Q A ．直线方程为l ()121220px y y y y y -+-=B ．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 AB M QM x x C ．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 QA y FQ D ． AFQ QFB ∠=∠【答案】BCD【分析】设为，与抛物线联立，根据韦达定理用表示出，即可判断A 项；根l x my b =+12,y y ,m b 据已知可推出，是一元二次方程的两组解，又直线方程为()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+l ，两式比较可得，，即可判断B 项；通过()121220px y y y y y -++=122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-求出、点坐标，推导以及，即可判断C 项；根据抛物线的光学性质，结合C D FC QA ⊥FD QB ⊥已知条件，可推出∽，进而推得.AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠【详解】设为，，与抛物线联立得，必有，l x my b =+0b >2220y pmy pb --=0∆>122y y pm+=，，∴，，代回方程整理得：，A 项错122y y pb =-122y y m p +=122y y b p=-l ()121220px y y y y y -++=误；由已知，抛物线在点处的切线切线：，在两点处的切线A QA l ()11y y p x x =+B ，设点，则满足方程组，()22:QB y y p x x l =+(),Q Q Q x y ()()1122Q Q Q Q y y p x x y y p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则可知，是一元二次方程的两组解，由经过两点，的直线()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+A B l 有且仅有一条，故方程为，变形为， l ()Q Q yy p x x =+0Q Q px y y px -+=又直线方程为， l ()121220px y y y y y -++=两式对应系数得，，所以平行轴或与轴重合，B 项正确；122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-QM x x 如图，记切线与轴的交点，()11:x Q y y p x A =+y 110,px C y ⎛⎫⎪⎝⎭，，112FC x k y =-1QA pk y =∴，∴， 12121FC QA px k k y ⋅==--FC QA ⊥同理切线与轴的交点，亦有，故， QB y D FD QB ⊥180FCQ FDQ ∠+∠=o 所以，，，四点共圆，且为直径，C 项正确；F C Q D FQ 如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，QA x S A x AN FSA FAS ∠=∠由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角SFA A SCF △F C QD α相等；同理，五个角相等．β则∽，∴，D 项正确．AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠故选：BCD.三、填空题13．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.22221(0,0)x y a b a b-=>>(5,0)F =a【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得. ,a b 5c =a 【详解】依题意，5c =由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，22221,,b b b a b a b a a a ⎛⎫⨯-=-=-== ⎪⎝⎭由于，所以222+=a b c 2225,a a ==14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜35的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 25【答案】78625【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 13233545555625P =⨯⨯⨯=（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 12322245555625P =⨯⨯⨯=所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 12542478625625625P P +=+=故答案为：78625【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在直三棱柱中，，，M 是的中点，以为坐111ABC A B C -CA =4CB =90BCA ∠=︒11A B C 标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦C xyz -11A B CB ⊥CM 1A B 值为__________.【分析】根据题意结合，求，再利用空间向量求异面直线夹角. 1212120a b x x y y z z ⊥⇔++=1AA 【详解】设，则，，，，，1AA a =()0,4,0B ()1Aa ()10,4,B a ()0,0,0C ()2,M a 可得：，，()14,A B a =-- ()10,4,CB a = ∵，则，得， 11A B CB ⊥ 211160A B CB a ⋅=-=4a =故，，()2,4CM = ()14,4A B =--∴1cos ,CM A =故异面直线与CM 1A B 16．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且:C 22221(0)x y a b a b +=>>122F M 222x y b +=M在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的M 222x y b +=P Q 2PF Q △4C 方程为____．【答案】22143x y +=【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算的周长后求解2PF Q △【详解】椭圆的离心率为 ,则，椭圆方程为 122,a c b ==2222143x y c c+=设， ()()1122,,,P x y Q x y 2222222111111||()24(4)44PF x c y x cx c x c =-+=-+=- 211||22PF c x =-连接OM ，OP ，由相切条件知：，， 222211||||||4PM OP OM x =-=11||2PM x =，同理得，2||||2PF PM c +=2||||2QF QM c +=由题意得PF 2Q 的周长为A 44,1c c ==∴椭圆C 的方程为 . 22143x y +=故答案为： 22143x y +=四、解答题17．已知公差大于零的等差数列的前n 项和为,且满足，． {}n a n S 34117a a ⋅=2522a a +=（1）求和；n a n S （2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ． {}n b n n S b n c=+【答案】（1），；（2）. 43n a n =-22n S n n =-12-【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而34,a a 2221170x x -+=求出； 再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；34,a a 11a =4d =n a n S （2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出22n n S n n b n c n c-==++1b 2b 3b {}n b 2132b b b =+的值.c 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，{}n a 342522a a a a +=+=34117a a ⋅=所以是方程的两实根，34,a a 2221170x x -+=又公差，所以，所以，0d >34a a <349,13a a ==所以，，所以，d =434a a -=129a d +=11a =所以，. 43n a n =-()1222n n n a a S n n +==-（2）由（1）知，所以， 22n S n n =-22n n S n n b n c n c-==++所以，，， 111b c=+262b c =+3153b c =+因为数列是等差数列，所以，即， {}n b 2132b b b =+61152213c c c⨯=++++所以，解得或(舍)，所以. 220c c +=12c =-0c =12c =-18．已知两直线，1:310l x y --=2:250l x y +-=（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.3:430l x ay a -+-=1l 2l a 【答案】（1），；（2）. 2y x =30x y +-=1,2,13-【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.【详解】（1）联立直线方程解得，交点坐标， 310250x y x y --=⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩(1,2)当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，2y x =当直线不过原点时，设其方程为，过得，0x y b ++=(1,2)120,3b b ++==-所以直线方程30x y +-=综上：满足题意的直线方程为，2y x =30x y +-=（2）直线与，不能构成三角形3:430l x ay a -+-=1l 2l 当与平行时： 1l 3l 131,3a a ==当与平行时：2l 3l 2,2a a -==-当三条直线交于一点，即过点，则3l (1,2)12430,1a a a -+-==综上所述实数的值为 a 1,2,13-【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.19．如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重(2,8)A 11(,)B x y 22(,)C x y 22y px =F ABC A 心，为的中点.M BC(1)求抛物线的方程和点的坐标；F (2)求点的坐标及所在的直线方程.M BC 【答案】(1)；232y x =(8,0)F (2)；M (11,4)-4400+-=x y【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；(2,8)A 22y px =p F (2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；M ()00,x y 2AF FM = BC M 由得,再求出直线所在直线的方程. 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩4BC k =-BC 【详解】（1）由点在抛物线上，有，解得.(2,8)A 22y px =2822p =⨯16p =所以抛物线方程为，焦点的坐标为.232y x =F (8,0)（2）由于是的重心，是线段的中点，F ABC A M BC 所以，设点的坐标为，2AF FM = M ()00,x y 则，()00(6,8),8,AF FM x y =-=- ，解得，所以点的坐标为， ()0062882x y ⎧=-∴⎨-=⎩0011,4x y ==-M (11,4)-由得， 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩()()()21212132y y y y x x +-=-因为为为的中点，故，M (11,4)-BC 128y y +=-所以， 21214BC y y k x x -=-=-因此所在直线的方程为，BC (4)4(11)y x --=--即.4400+-=x y 20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD M N 为，的中点．BC PA(1)取的中点，连接，若平面平面，求证：；PB H AH AHC ⊥PAB PB AC ⊥(2)已知，与平面与平1AB AC ==AD =ACPBC PBC 面的夹角的余弦值．ABCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得.AC ⊥PAB PB AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.PBC ABCD 【详解】（1）平面平面，且交线为，AHC ⊥PAB AH 过点作的垂线，垂足记为，B AH K 由于平面，所以平面，BK ⊂PAB BK ⊥HAC 由于平面，所以，AC ⊂HAC BK AC ⊥又平面，平面，所以，PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD PA AC ⊥由于是平面内的相交直线，,BK PA PAB 所以平面， AC ⊥PAB由于平面，所以.PB ⊂PAB AC PB ⊥（2）由于，，所以，1AB AC ==AD BC ==222AB AC BC +=所以，由于平面，平面，AC AB ⊥AP ⊥ABCD ,AB AC ⊂ABCD 所以，即两两垂直.,AP AB AP AC ⊥⊥,,AB AC AP 以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系．A AB AC AP x y z 设，则，，，(0)PA h h =>()0,0,P h ()1,0,0B ()0,1,0C 故，， ()1,0,PB h =- ()1,1,0BC =-u u u r 设平面的一个法向量为，则， PBC ()222,,m x y z = 00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，，故，2x h =2y h =21z =(),,1m h h = 易得平面的一个法向量为，又，ABCD ()00,0,1n = ()0,1,0AC = 设直线与平面所成角为，AC PBC α则， sin α=1h =设平面与平面的夹角为，PBC ABCDβ则cos β==所以平面与平面 PBC ABCD21．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：，直线l 过点N ．221x y +=(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：为12k k +定值．【答案】(1)或1x =4350x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先判断直线l 不存在斜率时符合题意；再设直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l 的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及x 直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为，1x =此时直线l 与圆C 相切，故符合条件；1x =若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为，()13y k x =-+即，30kx y k --+=由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，，解得， 43k =所以直线l 的方程为， ()4133y x =-+即， 4350x y -+=综上所述，直线l 的方程为或；1x =4350x y -+=（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为，30kx y k --+=联立， 22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩得，()()2222126680k x k k x k k --+++=-则 ，()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞解得， 43k >设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，（1） 2122261k k x x k -+=+2122681k k x x k -+=+所以， ()()12121212121331111k x k x y y k k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++将（1）代入上式整理得， 121862293--+=+=-k k k k 故为定值． 12k k +23-22．已知点为坐标原点，，，为线段AB 上一点，点满足平分，O (1,0)A -(1,0)B M C CM ACB ∠.2BC BM =(1)求点的轨迹的方程；C E (2)设直线与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值.CM E D C OCD A 【答案】(1) 221(0)43x y y +=≠(2) 2449【分析】（1）根据角平分线定理得，又，所以，结合椭圆的AC BC AM BM =2BC BM =2AC AM =定义即可求得轨迹的方程；E （2）设直线直线，，，由可得，结合椭():0CD x ny t n =+≠()11,C x y ()22,D x y 2BC BM =14x t =圆方程可得，根据直线与椭圆相交得，由面积22243n t n =+21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++得，结合基本不等式求最值即可. 1212OCD S OM y y =⋅-A OCD S =△21121121n n n n +=++【详解】（1）解：因为平分，所以由角平分线定理得， CM ACB ∠AC BC AM BM=又，所以，2BC BM =2AC AM =于是，2224AC BC AM BM AB +=+==所以点的轨迹是以A ，B 为焦点，4为长轴长的椭圆，且点不在轴上，C E C y 故点C 的轨迹的方程为. E 221(0)43x y y +=≠（2）解：设，，直线，则，()11,C x y ()22,D x y ():0CD x ny t n =+≠(,0)Mt点在椭圆上，则， ()11,C x y 2211143x y +=1122x ===-因为，，所以，故. 1BM t =-2BC BM =()112212x t -=-14x t =又，所以，可得，故； 11x ny t =+13t y n =222341t t n+=22243n t n =+则，整理可得：， 22143x ny t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224363120n y nty t +++-=所以 21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++于是 1y-=所以1212OCD S OM y y =⋅-==A()()()222211212143431121n n n nn n n n ++==++++又，当且仅当时等号成立. 112n n n n+=+≥1n =±设，，又，当且仅当时12m n n =+≥21212112112OCD m S m m m==++△112m m +≥=m =等号成立，故 min 11451212222m m ⎛⎫+=⨯+= ⎪⎝⎭故当时，的面积最大，且最大值为. 1n =±OCD A 2449【点睛】方法点睛：与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法（1）利用数形结合，椭圆的定义､性质求最值或取值范围；（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围；（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.。
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2010—2011学年度上学期高二中澳班期末考试
数学试卷
限时：120分钟 满分：100分 命题人：汪家硕
PART 1 Multiple-choice questions ( 315´ 分)
1．The function :[,)f a R ∞→with rule 2()2(3)1f x x =-+will have an inverse function if （ ） A.3a ? B.3a ? C.3a £ D.3a ³
2．The function f has the property that ()()()()f x f y x y f xy +=+for all non-zero real numbers
x and y .A possible rule for f is ( )
A.()2f x x =
B.1
()f x x
=
C.()x f x e =
D.()log e f x x = 3．Under the transformation 22:T R R →of the plane defined by 0.502()010x x T y y ⎛-⎫
⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭
,the
image of the curve with equation 3y x =has equation ( )
A.31(2)2y x =
- B.38(2)y x =+ C.3(2)2
x
y =- D.3(22)y x =+ 4．The graph of 2
3
x y x -=+has two asymptotes with equations （ ）
A.3,1x y ==
B. 3,2x y ==-
C.3,1x y =-=
D.3,2x y =-=
5．The average rate of change between 0x =and 1x =of the function with rule 2()x f x x e =+is （ ）
A. 0
B. 1
C.e
D.1e + 6．If cos()y x =,the rate of change of y with respect to x at 3,
,22x k k π
π
=<<
is （ ）
A. sin()k -
B. sin()k
C. cos()k -
D.sin(1)-
7．The equation of the normal to the graph of 4324y x x =-at the point where 2x =is （ ） A. 116y =-
B. 1
(2)16
y x =-- C. 16y = D. 16(2)y x =- 8．The graph with equation 2y x =is translated 3 units down and 2 units to the right.The resulting Graph has equation （ ）
A.2(2)3y x =-+
B.2(3)2y x =-+
C.2(2)3y x =--
D.2(2)3y x =++
9．If 23x y a b =+,then x is equal to （ ）
A.1log ()6a y b -
B.1log (
)2
3a y b - C.13log ()2a y b D.21
log ()3a y b - 10．The range of the function :[0,),()3sin(2)123
f R f x x p
?-+is （ ）
A.[2,5)
B.[2,5]
C.[52-
D. [5,5]2
-
11. Which one of the following is not true about the function :,()24f R R f x x →=+( ) A.The graph of f is continuous everywhere B. ()0f x ≥for all values of x C.The graph of 'f is continuous everywhere D.'()2f x =-for all 2x <-
12.The graph of 3y kx =-intersects the graph of 28y x x =+at two distinct points fo ( ) A.11k =
B.8k >+
8k <- C.56k
＃
D.88k -<+13.The tangent at the point (1,5)on the graph of the curve ()y f x =has equation 32.y x =+The tangent at the point (3,8)on the curve (2)3y f x =-+has equation ( ) A.24y x =- B.5y x =+ C.24y x =+ D.22y x =+
14.The number of solutions for x of the equation cos(2),a x a =where [2,2]x ππ∈-and a is a non-zero constant, is( )
A.9
B.4
C.5
D.7
15.A cubic function has the rule ().y f x =The graph of the derivative function 'f crosses the x-axis
at (2,0)-and (3,0).The maximum value of the derivative function is 10.The value of x for which the
graph of ()y f x =has a local maximum is ( )
A.2-
B.2
C.3-
D.3
If
32
16
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,
41
22
B
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
and
34
26
C
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
, find:
.a X such that AX B C += .b Y such that YA B C +=
Question 17( 8 marks )
Find the general solution of each of the following:
a. 1cos 2()3
2x π
+
=
b. 2tan 2()4
x π
+=
Question 20 ( 12 marks )
a.Let ()()
cos 2x f x e
=. Find 6f π⎛⎫'
⎪⎝⎭
b. Differentiate ()()()
22cos 33sin 3x
e
x x --
Question 21(11 marks )
Let :(0,)f R π→with ()sin f x x = and :[1,)g R ∞→and 1()g x x
= a. Find the range of f . b. Find the range of g. c. Give a sufficient reason why f g is defined and find f g . d. State, with sufficient reason, whether g f is defined. e. Find 1g -,giving its domain and range.
f. Give a sufficient reason why 1g f - is defined and find 1()g f x - .Also state the domain and
range of this function.。