数学选修1-1

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人教A版高中数学选修1-1习题精选(含答案)

习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

高中数学选修内容复习讲义(选修1-1)

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

高中数学人教A版选修1-1课件1-2-1充分条件与必要条件3

∵p 是 q 的必要不充分条件， ∴11＋－mm≤≥1－02 ，∴m≤3，又∵m>0，∴0<m≤3.
[例 4] 已知方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个大于 2 的根，试求实数 m 的取值范围．
[错解] 由于方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个大于 2
的根，设这两个根为 x1，x2，则有
(1)s 是 q 的________条件？ (2)r 是 q 的________条件？ (3)p 是 q 的________条件？
[解析] 根据题意得关系图，如图所示． (1)由图知：∵q⇒s，s⇒r⇒q， ∴s 是 q 的充要条件． (2)∵r⇒q，q⇒s⇒r， ∴r 是 q 的充要条件． (3)∵q⇒s⇒r⇒p， ∴p 是 q 的必要条件．
4．A 是 B 的充分条件，是指 A⇒B； A 的充分条件是 B，是指 B⇒A； A 的充要条．件．是．B．·，充分性是指 B⇒A，必要性是 A⇒B，此语句应抓“条件是 B”． A· 是．B 的充要条．件．，此语句应抓“A 是条件”．
1．已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 的( )
①s 是 q 的充要条件； ②p 是 q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是 q 的必要条件而不是充分条件； ④r 是 s 的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
[答案] B
[解析] 由题意知，故①②正确；③④错误.
命题方向二：集合法
[例 2] 设 p，q 是两个命题，p：log12(|x|－3)>0，q：x2－56x ＋16>0，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

高二数学选修1-1知识点

高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系★1．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，★2、给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)0★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线知识点：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<准线方程2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>准线方程2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 9、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★1．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（）A ．214pB．2C．6p D ．1336p ★★2．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是．★★★3．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．5、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x '=．6、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 7、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．8、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．9、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．11、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（） A ．2 B. 3 C. 4 D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。

高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)

高中数学选修1-1知识点总结归纳（经典版）常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。

其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

高二数学选修1-1知识点

高二数学选修1－1知识点
一、方程式：
1、一元一次方程的解法
任意一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解可以用公式x=-b/a来求得；当a=0，则方程不是一元一次方程，此时可以通过代入数值来求解；当a=0，b=0时，方程有无数个解，即x任意取值。

二、平面向量
1、平面向量的加法和减法
平面上两个向量可以相加和相减。

如果向量A＝（x1,y1）、向量B＝（x2,y2），则向量A加B＝（x1＋x2,y1＋y2），向量A减B＝（x1－x2,y1－y2）。

2、夹角的余弦定理
夹角的余弦定理：证明两个向量A＝（x1,y1）、B＝（x2,y2）夹角α满足关系A•Bcosα=|A||B|，即向量的乘积cosα等于两个向量的模的乘积。

三、立体几何
2、平面和直线的表示方法
1）任一点加直线的法线向量的表示方法：若直线L上任一点P（x0,y0），其具有直线L的法向量N＝（a，b），则该直线可以用P（x0，y0）和N（a，b）来表示；
2）点斜式：若该直线上任一点P（x0，y0），则该直线可以写成x－x0/a＝y－y0/b ＝k，称为点斜式；
3）参数方程形式：若直线L上任一点A（at，bt），则这条直线可以用参数方程形式x＝at+r，y＝bt+s的形式表示；
2）用平面方程形式：若平面上任一点A（x1，y1，z1），则平面的方程可以写成
ax+by+cz+d=0。

2020最新人教版高二数学选修1-1电子课本课件【全册】

1.3 简单的逻辑联结词
2020最新人教版高二数学选修1－1 电子课本课件【全册】
阅读与思考 “且”“或”“非”与“ 交”“并”“补”
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2020最新人教版高二数学选修1 －1电子课本课件【全册】目录
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补” 小结第二章圆锥曲线与方程探究与发现为什么截口曲线是椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线小结第三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例小结
第一章常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
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(完整版)人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)(可编辑修改word版)

高中数学选修 1-1 知识点总结第一章简单逻辑用语●命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．●“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．●原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”否命题：“若⌝p ，则⌝q ”逆否命题：“若⌝q ，则⌝p ”●四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．●若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若A ⊆B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若A=B，则 A 是 B 的充要条件；●逻辑联结词：⑴且：命题形式p ∧q ；⑵或：命题形式p ∨q ；⑶非：命题形式⌝p ．●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ ∀”表示．全称命题p：∀x ∈M , p(x) ；全称命题p 的否定⌝p：∃x ∈M , ⌝p(x) ．⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“ ∃”表示．特称命题p：∃x ∈M , p(x) ；特称命题p 的否定⌝p：∀x ∈M , ⌝p(x) ．第二章圆锥曲线●平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．即：| MF1 | + | MF2 |= 2a,(2a >| F1 F2 |) ．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．●椭圆的几何性质：x2 y2 y2 x2 ●平面内与两个定点F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于线．即：|| MF1 | - | MF2||= 2a,(2a <| F1F2|) ．F1F2）的点的轨迹称为双曲这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距●双曲线的几何性质：x2 y2 y2 x2●实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．●平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．p p●抛物线的几何性质：●过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即AB = 2 p ．● 焦半径公式：若点P ( x , y ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上，焦点为 F ，则 P F = x + ；2若点P( x , y ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 上，焦点为 F ，则 P F = y + ；2第三章导数及其应用●函数 f( x ) 从 x 到 x的平均变化率： f ( x 2 ) - f ( x 1 ) 1 2x - x210 ( ) ( ( ))0⎣ ⎦ ●导数定义： f( x ) 在点 x 0 处的导数记作 y '= f '(x ) = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) ．x = x 0∆x →0 ∆x ● 函数 y = f ( x ) 在点 x 处的导数的几何意义是曲线y = f x P x , f x 在点处的切线的斜率．●常见函数的导数公式：① C ' = 0 ；② (x n )' = nx n -1 ；③ (sin x )' = cos x ；④ (cos x )' = -sin x ；⑤ (a x )' = a x ln a ；⑥ (e x )' = e x ；⑦ (log ax )'=1 x ln a；⑧ (ln x )' = 1x●导数运算法则：(1) (2)⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦' = ⎡⎣ f ( x )⋅ g ( x )⎤⎦' = f '( x ) ± g '( x ) ；f '( x )g ( x ) + f ( x ) g '( x ) ；⎡ f ( x ) ⎤' =f '( x )g ( x ) - f ( x ) g '( x )(3) ⎢ g ( x ) ⎥ ⎡⎣ g ( x )⎤⎦2( g ( x ) ≠ 0) ．● 在某个区间(a , b ) 内，若 f '( x ) > 0 ，则函数 y = 若 f '( x ) < 0 ，则函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递增；f ( x ) 在这个区间内单调递减．●求函数 y = f( x ) 的极值的方法是：解方程 f '( x ) = 0 ．当 f '( x 0 ) = 0 时：(1) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) > 0 ，右侧 f '( x ) < 0 ，那么 f ( x 0 ) 是极大值； (2) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) < 0 ，右侧 f '( x ) > 0 ，那么 f ( x 0 ) 是极小值．●求函数 y = f( x ) 在[a , b ] 上的最大值与最小值的步骤是：(1) 求函数 y = (2) 将函数 y = f ( x ) 在(a , b ) 内的极值；f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) ， f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

数学选修1-1测试题

（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语一、选择题1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2．下列命题中的真命题是（）A ．3是有理数B ．C ．e 是有理数D ．{}|x x 是小数R3．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④4．设a R ∈，则1a >是11a < 的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠6．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )A ．1a b +≥B ．1a ≥C ．0.5,0.5a b ≥≥且D ．1b <-二、填空题1．有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④、命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题。

其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）。

2．已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 ______条件，r 是q 的条件，p 是s 的条件.3．“△ABC 中,若090C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”的否命题为；4．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q ，则q p 是的条件。

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-2椭圆的几何性质

人教 B 版数学
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 将椭圆方程变形为＋＝1. 1 1 4 9
1 1 ∴a＝2，b＝3， ∴c＝ 1 1 5 4－9＝ 6 .
人教 B 版数学
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝1， 5 c 5 5 2c＝ 3 ，离心率 e＝a＝ 3 ，焦点坐标为 F1(－ 6 ，0)， 5 1 1 1 F2( 6 ，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－3)， 1 B2(0，3).
[说明] 已知直线的斜率，常设直线的斜截式方程，已知弦的长度，考虑弦长公式列方程，求参数．
人教 B 版数学
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例 7] 的值．
x2 y2 1 已知椭圆 2 ＋m＝1(m>0)的离心率为2，求 m
人教 B 版数学
[误解]
∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
4b2 ∴|PF1|· 2|＝， |PF 3
|PF1|＋|PF2| 2 又∵|PF1|· 2|≤ |PF ＝a2， 2
人教 B 版数学
c 1 1 ∴3a ≥4(a －c )，∴a≥2，∴e≥2.
2 2 2
又∵椭圆中 0<e<1，∴所求椭圆的离心率的取值范围 1 是2≤e<1.
(选修1-1)
x2 y2 方法二：设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 2 则 M(c，3b) c2 4b2 代入椭圆方程，得a2＋9b2＝1， c2 5 所以 2＝， a 9 c 5 5 所以＝，即 e＝ . a 3 3

人教版高中数学选修一目录

人教版高中数学选修一目录
人教版高中数学选修一知识有充分条件与必要条件、导数在研究函数中的应用、独立性检验的基本思想及其初步应用、数系的扩充和复数的概念、圆锥曲线与方程等。

人教版选修一目录数学
高中数学选修1-1目录
第一章、常用逻辑用语
1.1、命题及其关系
1.2、充分条件与必要条件
1.3、简单的逻辑联结词
1.4、全称量词与存在量词
第二章、圆锥曲线与方程
2.1、椭圆
2.2、双曲线
2.3、抛物线
第三章、导数及其应用
3.1、变化率与导数
3.2、导数的计算
3.3、导数在研究函数中的应用
3.4、生活中的优化问题举例
高中数学选修1-2目录
第一章、统计案例
1.1、回归分析的基本思想及其初步应用
1.2、独立性检验的基本思想及其初步应用
第二章、推理与证明
2.1、合情推理与演绎推理
2.2、直接证明与间接证明
第三章、数系的扩充与复数的引入
3.1、数系的扩充和复数的概念
3.2、复数代数形式的四则运算
第四章、框图
4.1、流程图
4.2、结构图
必修1-5、选修1-1、1-2什么意思
人教版必修一、二、三、四、五是所有学生都要学的，不论文理科，将作为学业水平考试的测试内容，也是高考的必考内容。

1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。

此外，还有选修二系列，理科生必学内容，高考的必考内容。

选修三、四系列是选考系列，根据各省情况选择学习，高考时，选学的每本书都会出一道题，你从中选一道即可。

必修系列和选修一系列的区别是：学业水平考试只考必修，高考则都考。

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-1-1平均变化率、瞬时速度与导数

第三章导数及其应用
(选修1-1)
[例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋
2
数在各点的导数．
[解析] (Δx)2，
Δf 2xΔx－2Δx＋(Δx) 所以Δx＝＝2x－2＋Δx， Δx Δf 所以 f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x－2＋Δx)＝2x－2， m Δx 所以 f′(0)＝2· 0－2＝－2，f′(2)＝2· 2－2＝2，因此 f′(x)＝2x－2，f′(0)＝－2，f′(2)＝2.
第三章导数及其应用
(选修1-1)
某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y 表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为( A．－4 C．6 B．－8 D．－6 )
人教 B 版数学
[解析]
令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时
的平均速度为
2 2 Δy f(2)－f(1) [－2×2 ＋1]－[－2×1 ＋1] v＝＝＝ Δx 2－1 2－1
第三章导数及其应用
(选修1-1)
人教 B 版数学
第三章导数及其应用
(选修1-1)
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第三章导数及其应用
(选修1-1)
人教 B 版数学
第三章导数及其应用
(选修1-1)
4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导
数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数
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第三章导数及其应用
(选修1-1)

高中数学选修1_1全册习题(答案详解)

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

高中数学选修1-1知识点及课本例题

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。

2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。

（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。

（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。

3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。

>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。

例4证明：若022=x，则0=+yx。

-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。

这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。

高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程

2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是不存在． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线一支．
第二章圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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本节重点：双曲线的定义及其标准方程．本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章圆锥曲线与方程
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第二章圆锥曲线与方程
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1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章圆锥曲线与方程
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1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章圆锥曲线与方程
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2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
第二章圆锥曲线与方程
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[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
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k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2

高中数学选修1-1知识与题型章章清

高中数学选修1-1知识与题型章章清第一章常用逻辑用语一、知识要点1．命题：可以判断真假的陈述句。

真命题、假命题；“若…，则…”的形式；命题的条件、结论。

2．四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；原命题⇔逆否命题；反证法（反设、推理、矛盾）。

3．四个条件：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

4．三个逻辑联结词：且（p ∧q ）、或（p ∨q ）、非（┒p ）。

简单命题、复合命题。

5．两个量词：全称量词、存在量词；全称命题、特称命题；全称（特称）命题的否定是特称（全称）命题。

二、重点题型1．判断命题的真假——①反例法；②逆否法；③推导法。

命题“若x 2-1≠0，则x ≠1且x ≠-1”是命题。

2．充分条件与必要条件——①大小法；②推导法。

1<x 是11>x的条件。

3．判断复合命题的真假——①真值表法；②逆否法。

命题“5＞3或5=3”是命题。

4．含有一个量词的命题的否定——①化量词法；②加不法。

所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是。

三、思维训练1．有下列四个命题，其中是真命题的是 (填上你认为正确的所有命题的序号)。

①命题“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题:“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实根”的逆否命题；④命题:“若A ∩B =B ,则A ⊆ B ”的逆否命题。

2．命题“若ab 不为零,则a 、b 都不为零”的逆否命题是。

3．“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的条件。

4．p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的条件。

5．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}；q ：函数y =lg (ax 2-x +a )的定义域为R 。

若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是。

6．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2-a ≥0”；命题q ；“∃x 0∈R ，20x +2ax 0+2-a =0”。

(人教版)数学高中选修1-1同步练习 (全书完整版)

（人教版）高中数学选修1-1（全册）同步练习汇总►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R3．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题． 4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)．解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________．答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时，Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)．答案：①④►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是(A)A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是(B)A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是(D)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：若a≠1或b≠14．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．下列说法中正确的是(D)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个5．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________．解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题．答案：否命题 7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠0 8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1 9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题； ②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a 1b”的逆否命题；④“若1a <1b <0，则ab bc ，则a >b ”，这是一个假命题． ③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．⑤逆命题为“若a ab”．若a －b >0，1b <1a<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a >0，故a b >b a . 故这是一个假命题．答案：②⑤10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是(A ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 4．命题“若p 则q ”的逆命题是(A )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4►基础梳理1．充分条件和必要条件．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sinA >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”． 2．(2014·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列；但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”．答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件．解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.1．(2013·深圳二模)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N )”的(D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.4．(2013·东莞二模)已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线a 、b 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ⊥α，b ⊥αC ．a ∥α，b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B ) A ．k ∈(－2， 2) B ．k ∈(－3， 3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3，3)．7．已知命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1，命题q 相当于：0<a <1.所以，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分条件8．已知条件p ：x 2＋x －2>0，条件q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，∵p 是q 的充分不必要条件，∴B ?A ，∴a ≥1.答案：a ≥19．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a 0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.当B ⊆A 时，即－p4≤－1.即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．11．已知p ：－2≤－1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p 和綈q ，然后，由綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解．解析：方法一由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}．由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ，且q ⇒/ p ，即p 是q 的充分不必要条件．结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}∴C ?D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验高考 1．(2014·安徽卷)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0，故选B. 2．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B . 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2014·北京卷)设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的(D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件►基础梳理 1．且(and )．(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q .读作“p 且q ”．(2)当p ，q 两个命题都为真命题时，p ∧q 就为真命题；当p ，q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，p ∧q 就为假命题．2．或(or )．(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q .读作“p 或q ”．(2)当p ，q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p ∨q 就为真命题；当p ，q 两个命题都为假命题时，p ∨q 就为假命题．3．非(not )． (1)定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p .读作“非p ”或“p 的否定”．(2)若p 为真命题时，则綈p 必为假命题；若p 为假命题，则綈p 为真命题．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：p q 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”．6．常用词语及其否定．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2<x<3”，使用的逻辑联结词的情况是(B)A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”2．命题p与非p(C)A．可能都是真命题B．可能都是假命题C．一个是真命题，另一个是假命题D．只有p是真命题3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C)A．非pB．p且qC．p或qD．非p且非q4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．1．以下判断正确的是(B)A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B)A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a .命题q ：不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x 1；(2)p ：平行四边形对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线互相垂直．解析：(1)p ∧q ：3是无理数且3>1；真命题． p ∨q ：3是无理数或3>1；真命题．綈p ：3不是无理数；假命题．(2)p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题．綈p ：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．5．(1)已知命题p ：2x 2－3x ＋1≤0和命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；(2)已知命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数．若s ∨t 为真命题，求实数m 的取值范围．解析：(1)对于命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，解得12≤x ≤1.对于命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p 且綈pD /⇒綈q ，得p ⇒q 且q ⇒/ p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≥0即0≤9 ≤12所以实数的取值范围是0≤a ≤12.(2)对于命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内，设g (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）＜0，g （2）＜0，g （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m －3＋m <0，4＋2m －6＋m <0，9＋3m －9＋m >0.解得0<m <23.对于命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4－4m <0，解得m >1.又s ∨t 为真命题，即s 为真命题或t 为真命题．故所求实数m 的取值范围为0<m <23或m >1.1．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”和“綈p ”形式的命题中，真命题有(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论中正确的是(A ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“綈p ”为假 D ．“綈q ”为真 3．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么(D ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可能是真命题也可能是假命题解析：因为“非p ”是真命题，所以命题p 为假，所以无论q 是真或是假“p 且q ”都是假命题．所以应选D.4．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，m ⊂α，n ⊂β，有两个命题：p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若n ⊥α，则α⊥β，那么(D )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：由已知得，p 是假命题，q 是真命题，则非p 是真命题，故“p 或q ”是真命题，A 错；“p 且q ”是假命题，B 错；“非p 或q ”是真命题，C 错；“非p 且q ”为真命题，D 正确．6．(2013·江门一模)设命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y ＝|3x －1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D ) A ．p 为假 B ．綈q 为真 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y 轴对称，故p 是假命题；函数y ＝|3x －1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q 也是假命题．綈q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 也是假命题，故D 是不正确的．7．命题p ：菱形的对角线互相垂直，则p 的否命题是________________________________________________________________________，綈p 是________________________________________________________________________．答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p ：(x ＋2)(x －6)≤0，命题q ：－3≤x ≤7，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析：由题条件可知p 与q 一真一假，p 为真命题时，x 满足－2≤x ≤6，∴满足条件的x 的范围是[－3，－2)∪(6，7]．答案：[－3，－2)∪(6，7]9．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解析：对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．10．设p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；q ：关于x 的不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围解析：若p 为真，即ax 2－x ＋14a >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a 2<0，∴a >1. 令y ＝3x －9x＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14，由x >0得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域是(－∞，0)．∴若q 为真，则a ≥0.由“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0，1]． ►体验高考 1(2014·湖南卷)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是(C ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是(C )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真。