2017_2018版高中数学第一章统计8最小二乘估计课件北师大版必修3

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高中数学第一章统计8最小二乘估计ppt课件北师大版必修3

2．线性回归方程用 x 表示x1＋x2＋n …＋xn，用 y 表示y1＋y2＋n …＋yn，则用最小二乘法可求得
b＝x1－
x
y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋…＋xn－ x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
x
yn－
y
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y ＝_______x_21＋__x_22_＋__…__＋__x_2n－__n__x_2__________. a＝___y_－__b_x___.
解：(1)如图：
4
(2) x iyi ＝ 6×2 ＋ 8×3 ＋ 10×5 ＋ 12×6 ＝ 158 ， x ＝
i＝1
6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，i＝41x2i ＝62＋82＋102＋122
＝344，b＝15384－4－4×4×9×924＝1240＝0.7，a＝ y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为 y＝0.7x－2.3.
8
参考数据： x ＝77.5， y ≈85， (xi－ x )2＝1 050，
i＝1
8
8
(yi－ y )2≈457， (xi－ x )(yi－ y )≈688，
i＝1
i＝1
1 050≈32.4， 456≈21.4， 550≈23.5.
解：(1)应选女生 25×480＝5(人)，男生 15×480＝3(人)． (2)若以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标做散点图 (图略)，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关，设 y 与 x 线性回归方程 y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出 b＝1608580 ≈0.66，a＝85－0.66×77.5＝33.85，所以 y 与 x 的线性回归方程为 y＝0.66x＋33.85.

高中数学第一章统计最小二乘估计课件北师大版必修3

第七页，共14页。
3.
x
x1
x2
x3
x4
….
xn
y
y1
y2
y3
y4
….
yn
求线性回归方程的系数(xìshù):
n
b
x1 y1 xn yn nx y
x12
xn2
2
nx
xi yi nxy
i 1 n
xi2 n(x)2
i 1
a y bx
线性回归方程:
y bx a
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例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高(shēn ɡāo)和体重数据如下表：
回归方程预测值
2.050833333
第十二页，共14页。
课堂练习：
ห้องสมุดไป่ตู้
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量(biànliàng)x增加一个
单A位时
()
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，(3，
xi 2
1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61
4 4.41 24.92
xi yi
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
n
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
1.如何(rúhé)求线性回归方程（公式法）
2.线性回归方程系数(xìshù)的含义

北师大版高中数学必修3课件1.8最小二乘估计课件

求系数a和b。（2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直线 y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画: 2 2 2 y a bx y a bx y a bx 1 2 3 1 2 3 （※）即
42
44
46
x
（2）由（1）知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系,列表：
i xi yi xiyi 1 32.2 25.0 805 2 31.1 30.0 933 3 32.9 34.0 1118.6 4 35.8 37.0 1324.6 5 37.1 39.0 1446.9 6 38.0 41.0 1558 7 39.0 42.0 1638 8 43.0 44.0 1892 9 44.6 48.0 2140.8 10 46.0 51.0 2346
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第一章 · 统计
最小二乘估计
新课导入
高二某班学生每周用于数学学习的时间 x(单位:h)与数学成绩 y(单位:分)之间有如下数据: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 某同学每周用于数学学习的时间为18h, 试预测该生数学成绩。 100 y
x x, y y 2.线性回归方程必有解_______________
3.求线性回归方程时应先利用散点图进行线性相关判断。 4.利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。

2017_2018学年高中数学第1章统计8最小二乘估计教学案北师大版必修3

8 最小二乘估计[核心必知]1．回归直线如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．2．最小二乘法求线性回归方程y ＝bx ＋a 时，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法．其中a ，b 的值由以下公式给出：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －－b x －.a ，b 是线性回归方程的系数．[问题思考]1．任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．2．线性回归方程是否经过一定点？提示：线性回归方程恒过定点(x －，y －)．讲一讲1.下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：[尝试解答] x －＝706＝353，y －＝2306＝1153，x 21＋x 22＋…＋x 26＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6－6x －y －x 21＋x 22＋…＋x 26－6x －2＝3 474－6×353×11531 286－6×3532≈1.68，a ＝y －－b x －≈18.73，即所求的线性回归方程为y ＝1.68x ＋18.73.求线性回归方程的步骤(1)画出散点图，判断其具有相关关系； (2)计算x －，y －，∑ni ＝1x 2i ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ， ∑n i ＝1x i y i ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n .(3)代入公式b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －；(4)写出线性回归方程y ＝bx ＋a . 练一练1．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：已知记忆力x 和判断力y 是线性相关的，求线性回归方程．解：x －＝6＋8＋10＋124＝9，y －＝2＋3＋5＋64＝4，a ＝y －－b x －＝4－0.7×9＝－2.3.则所求的线性回归方程为y ＝0.7x －2.3.讲一讲2.某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为7百万元时的销售额． [尝试解答] (1)(2)从散点图可以发现，y 与x 具有线性相关关系，利用计算器求得： x －＝5，y －＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1x i y i ＝1 380，设回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x － 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，故所求线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝7时，y ＝6.5×7＋17.5＝63.所以，当广告费支出为7百万元时，销售额约为6 300万元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a 、b 并写出线性回归方程； (3)根据线性回归方程对总体进行估计．练一练2．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：若由资料知y (1)回归方程y ＝bx ＋a 的系数a ，b ；(2)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．解：(1)列表如下：b ＝∑5i ＝1x i y i ＝－5x － y －∑5i ＝1x 2i －5 x －2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)回归方程是y ＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元. 【解题高手】【易错题】有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：(1)(2)通过计算可得两个变量的线性回归方程为y ＝23.25x ＋102.25，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？[错解] (1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ＝23.25x ＋102.25，得y ＝23.25×12＋102.25＝381.25>380，所以上述断言是正确的．[错因] 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.[正解] (1)根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)将x ＝12代入y ＝23.25x ＋102.25，得y ＝23.25×12＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．1．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y A ．(2,2) B ．(1.5,0) C ．(1,2) D ．(1.5,4) 解析：选D x ＝1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4.2．工人工资y (元)随劳动生产率x (千元)变化的回归直线方程为y ＝80x ＋50，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资约提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资约提高130元D ．当月工资210元时，劳动生产率为2 000元解析：选B 回归直线的斜率为80，所以x 每增加1个单位，y 约增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高约80元．3．(福建高考改编)已知x 与y 之间的几组数据如下表：据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b >b ′，a >a ′ B．b >b ′，a <a ′ C ．b <b ′，a >a ′ D．b <b ′，a <a ′解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ＝6i ＝1x i y i －6x －·y －6i ＝1x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ＝y －－b x －＝136－57×72＝－13，所以b <b ′，a >a ′. 4．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y (单位：元)的对应数据如下：则x －＝________，y －＝________，＝________，＝________，回归方程为________．解析：根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得x －＝6.5，y －＝8，＝327，＝396，回归方程为y ＝1.14x ＋0.59.答案：6.5 8 327 396 y ＝1.14x ＋0.595．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，则a ＝y －b x ＝40＋2×10＝60，则y ＝－2x ＋60，则当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：686．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表中数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：∑4i ＝1x 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5. 又已知∑4i ＝1x i y i ＝66.5， ∴b ＝∑4i ＝1x i y i －4x － y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －－b x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. (3)90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．一、选择题1．设有一个回归方程y ＝2－1.5x ，当x 增加1个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均减少1.5个单位 C ．y 平均增加2个单位 D ．y 平均减少2个单位解析：选B y ′＝2－1.5(x ＋1)＝2－1.5x －1.5＝y －1.5，即x 增加1个单位，y 平均减少1.5个单位．2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．只能大于0 C ．只能等于0 D ．只能小于0 解析：选A ∵b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n －n x －y－x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x－2，∴b 的取值是任意的． 3．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不．正确的是( ) A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x ，y )B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为D ．直线y ＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的接近程度[y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线解析：选B 直线y ＝bx ＋a 一定过点(x ，y )，但不一定要过样本点．4．(湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确．5．(山东高考)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 容易计算得x －＝3.5，y －＝42，故a ＝y －－b x －＝42－9.4×3.5＝9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．二、填空题6．(辽宁高考改编)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)．调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由回归直线方程的意义知，x 每增加1万元，y 平均增加0.254万元．答案：0.2547．对一质点的运动过程观测了4次，得到如表所示的数据，则刻画y 与x 的关系的线性回归方程为________.解析：x －＝2.5，y －＝3.75，∑4i ＝1x i y i ＝46，∑4i ＝1x 2i ＝30， b ＝46－4×2.5×3.7530－4×2.52＝1.7，a ＝y －－b x －＝－0.5，所以所求的线性回归方程为：y ＝1.7x －0.5. 答案：y ＝1.7x －0.58．(广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：小李这5天的平均投篮命中率为(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)÷5＝0.5. 又x －＝3，y －＝0.5，由表中数据，得b ＝0.01，a ＝y －－b x －＝0.47，故回归直线方程为y ＝0.01x ＋0.47. 令x ＝6，则有y ＝0.01×6＋0.47＝0.53.答案：0.5 0.53 三、解答题9．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量(单位：千克)影响的试验，得到如下一组数据：(1)作出这些数据的散点图；(2)由(1)分析两变量关系得出什么结论？ (3)求出回归直线方程．解：(1)如图所示．(2)由(1)可看出，各点散布在从左下角到右上角的区域内，为正相关，也可以说在适量限制范围内水稻产量随施肥量的增大而增大，但不是直线递增．(3)用科学计算器可求得x －＝30，y －＝399.3，∑7i ＝1x 2i ＝7 000，∑7i ＝1x i y i ＝87 175.于是b ＝∑7i ＝1x i y i －7x － y －∑7i ＝1x 2i －7x －2＝87 175－7×30×399.37 000－7×302≈4.75.a ＝y －－b x －＝399.3－4.75×30≈257.因此所求回归直线方程为y ＝4.75x ＋257. 10．(福建高考改编)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，- 11 - y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋（－20）×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.。

北师大版高中数学必修三第1章统计1.8最小二乘估计课件

2
,
�� = ��-�� .
a,b是线性回归方程
目标导航
知识梳理知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做1】在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( ) A.|yi−��| B. (�� − ��)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
-4-
§8 最小二乘估计
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随堂演练
2.线性回归方程 (1)线性回归方程的概念
设 n 个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则�� =
��1 +��2 +…+�� ,则 ��
b=
��1 +��2+…+�� , �� (��1 -��)(��1 -��)+(��2 -��)(��2 -��)+…+(�� -��)(�� -��) (��1 -��) +(��2 -��) +…+(�� -��)
-6-

北师大版高中数学必修3课件1.8最小二乘估计课件(数学北师大必修3)

销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
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经典回放
特别提醒
（1）函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是
自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系
是非随机变量与随机变量的关系。
（2）不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
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第一章 · 统计
§8 最小二乘估计
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1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积
S与其边长之间的函数关系（确定关系）；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点所以将(176,176)代入A,B,C,D中检验知选C.
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小：
ˆ bx a ，其中a、b是待定系数。设所求的直线方程为 y
ˆi bxi a(i 1,2, , n) ，于是得到各个偏差。则y
北京师范大学出版社高二 | 必修3
典例1
已知x与y之间的几组数据，如表:

高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距的估计值,往往因计算不准导致错误.

1.8最小二乘估计课件ppt(北师大版必修三)

我们就要利用其他的工具进行拟合．
2．线性回归方程
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a＝______．
这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是
线性回归方程的_____系数．
想一想：回归直线通过样本点的中心，比照平均数与
量描述两个变量间依存的数量关系．
(2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的
范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车
流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
的NO的浓度．
(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作
样本数据之间的关系，你能说说回归直线与散点图中
各点之间的关系吗？
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名师点睛
1．回归直线方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定
出散点图，确定合适的拟合模型．
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自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近
程度：
2 2 2
_________________________________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____________.[y1－(a＋bx1)] ＋[y2－(a＋bx2)] ＋…＋[yn－(a＋bxn)]
使得上式达到_______最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直
线，这种方法称为___________最小二乘法．
§8 最小二乘估计
【课标要求】
1．了解最小二乘法．

高中北师大版数学课件必修三第1章 §8 最小二乘估计

1．本题中正确求出回归直线方程后，可预测使用年限为 5 年、10 年、15 年、20 年等时总支出费用的值，当然这仅是一种分析预测，事实上，可能因其他因素会产生偏差，我们认为 12.38 万元仅是一种估计． 2．利用线性回归方程进行回归分析，在实际问题中，应先正确求出回归直线方程，然后才能准确求解．当一个变量确定时，另一变量的值，也才能准确分析和预测．
3．若转速为 10 转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】方程后可预测．可以．根据散点图作出一条直线，求出直线
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．
●重点难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程. 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归直线方程．学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用．要找准学生知识的切入点．
线性回归方程
求线性回归方程
下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
平均气温(℃) 数量(百个) －1 20 4 24 10 34 13 38 18 50 26 64
试判断游客数量与平均气温对应两个变量是否线性相关，若线性相关，求出其回归直线方程．
【思路探究】
确定横、纵轴的意义画出散点图，若样
最小二乘法
【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

「精品」北师大版高中数学必修三课件第一章《统计》最小二乘估计-精品课件

2
判断下列变量之间的关系：
1. 圆锥的体积与底面积。 2. 人的健康状况与年龄。 3. 角度和它的正弦值。 4. 身高和体重。 5. 高一一班的学生身高和二班
的学生身高。
3
一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都近。最小二乘法就是基于这种想法。
4
5
这条直线叫做回归直线。
此过程不做要求
6
如果样本点只有两个，最小二乘法得到的直线与两点式求出的一致吗？
10
步骤
求线性回归方程的步骤: 1.列表、计算（x，y，xi ，yi ，xi2，xiyi ） 2.代入公式求a,b。 3.写出直线方程。
11
注意
利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好。即使选取相同的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成的样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系。
12
13
从题目中可看出提供的
数据满足
，图
像应为曲线方程，而用
最小二乘法进行估计时
得出是线性方程。
14
精心制作，敬请观赏
概括
小结：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。课后作业：第84页，习题2-3A第1、2题, 教后反思：
北师大版高中数学必修3《统计》
法门高中姚连省制1作
一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。三、教学方法：动手操作，合作交流。四、教学过程：