数学人教版八年级上册15.3分式方程(第1课时).3分式方程(第1课时)教学设计

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人教版八年级数学上册教案：15.3分式方程

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是含有未知数的分式等于另一个分式或整式的方程。它在解决按比例分配、速度与距离等问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了分式方程在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调去分母法和换元法这两个重点。对于难点部分，如含有绝对值、不等式的分式方程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
举例：解方程如$\frac{x-1}{2} = \frac{3}{4}$，通过去分母法求解，强调分式方程解法的基本步骤和关键点。
（2）分式方程在实际问题中的应用：学会将现实问题抽象成分式方程，能够运用数学知识解决实际问题。
举例：速度、比例分配等实际问题的建模与求解。
2.教学难点
（1）分母的去除与转换：学生在解分式方程时，往往在去除分母这一步骤上遇到困难，如何正确地转换分母，避免解题错误。
1.讨论主题：学生将围绕“分式方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
举例：解方程$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x}$，如何找到合适的公共分母，并转化为整式方程。
（2）换元法的运用：在解决含有多项式的分式方程时，如何恰当选择换元，简化方程结构，是学生需要掌握的难点。

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版

第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。

[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。

[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。

1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。

1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。

[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。

[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。

3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。

在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。

（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。

从下一节起将开始分式方程的应用。

因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。

4 教学方法[1]分组讨论。

[2]类比推理。

[2]启发引导探索的教学方法。

5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。

同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。

2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案分式方程(第1课时)

第十五章分式15.3 分式方程第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【过程与方法】经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.【情感、态度与价值观】1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.【教学难点】产生增根的原因.五、课前准备教师:课件、直尺等。

学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程（一）导入新课一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少? （出示课件2）解:设江水的流速为v km/h，根据题意，得100 20+v =60 20−v这样的方程与以前学过的方程一样吗？（二）探索新知1.创设情境，探究分式方程的概念教师问1:为要解决导入中的问题，我们得到了方程10020+v =6020−v，仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4）教师问2:方程与上面的方程有什么共同特征？教师问3:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？学生回答:不是.教师问4:以前我们学过什么方程？试举例说明.学生回答:以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.教师问5:仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？学生回答:分母中都含有未知数．教师问6:像这种，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.，你能再写出几个分式方程吗？学生思考后，找学生回答。

八年级数学上册 15.3 分式方程说课稿1

《分式方程》说课稿（一）教材分析：《分式方程》第一课时本节内容是在学生把握了一元一次方程的解法和分式四那么运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。

通过经历实际问题→列分式方程→探讨解分式方程的进程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步进展学生分析问题和解决问题的能力，培育应用意识，渗透类比转化思想。

（二）、教学目标：知识技术：了解分式方程概念，明白得解分式方程的一样解法和分式方程可能产生增根的缘故，把握解分式方程验根的方式。

进程方式：通过经历实际问题→列分式方程→探讨解分式方程的进程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进展学生分析问题解决问题的能力，培育应用意识，渗透转化思想。

情感态度：强化用数学的意识，增进同窗之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成绩感，树立学好数学的自信心。

（三）教学重点：解分式方程的大体思路和解法。

（四）教学难点：明白得分式方程可能产生增根的缘故。

（五）学情分析：《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与一起进展的进程。

”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化进程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动进程是教师和学生之间互动的进程，是师生一起进展的进程，即要增进学生进展，也要增进教师成长。

教师作为教学主导，学生是主体作用咱们这学生基础知识较扎实，学生喜爱上数学课，学习数学的爱好较浓，具有必然探讨解决问题的能力，采纳的学习方式：１、类比学习的方式。

通过与分数的乘除法运算类比取得分式方程的解法。

２、探讨合作学习。

学生合作下进行学习。

（六）教学方式：教学方式是咱们实现教学目标的催化剂，好的教学方式常常使咱们事半功倍。

新课程改革中，教师应成为学生学习的引导者、合作者、增进者，踊跃探讨新的教学方式，引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。

人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)

-对本节课所学内容进行总结，巩固知识点
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。

人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程

分式方程（第1课时）教学设计
设计教师
工作单位
学科
数学
课型
新授课
所教内容
新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时
课程标准
讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.
教材分析
《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。
（师总结新的根的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，就不是原分式方程的解。
问：你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
观察分式方程的两种检验方法，你发现了什么？
学生自愿上讲台解题，其他学生在下面独立完成.
学生自愿举手评价板书学生的解题过程.
1、如何把它化成整式方程？
2、如何去分母？
3、在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
4、这样做的依据是什么？
师生共同分析解法，微视频展示系统地分析过程，师按照严格的格式板书详细的解方程过程）
再次展示规范的解题过程：
追问：x=6是原分式方程的解吗？怎样检验？
师总结道：在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（分式方程转化为整式方程----化分为整）。

人教版八年级上册数学精品教学课件第1课时分式方程及其解法3

8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨：此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同，这样一般可将各分式拆成：整式+分式的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复杂，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解法称为 ——通分法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种解法称为 —— 拆项法

人教版数学八年级上册教学设计15.3《分式方程》

人教版数学八年级上册教学设计15.3《分式方程》一. 教材分析《分式方程》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。

通过学习，学生能够理解和掌握分式方程的概念，能够熟练运用解法求解分式方程，并能够将分式方程应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分式的相关知识，对分式的概念、性质和运算有一定的了解。

但是，对于分式方程的概念和解法，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生复习和巩固分式的知识，并通过例题和练习题帮助学生理解和掌握分式方程的解法。

三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。

2.能够将分式方程应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义和解法。

2.将分式方程应用于实际问题中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习题，让学生理解和掌握分式方程的解法；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题和案例。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生复习和巩固分式的知识。

例如：“我们已经学习了分式的哪些知识？分式有哪些性质和运算规则？”2.呈现（15分钟）通过PPT课件展示分式方程的定义和解法，让学生理解和掌握。

同时，通过案例教学法，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些简单的分式方程问题。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些分式方程的练习题，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解和分析，解答学生的问题。

5.拓展（10分钟）让学生思考和探索分式方程在实际问题中的应用，提出一些实际问题，引导学生运用分式方程进行解决。

人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件

（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数，不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）

15.3分式方程(第1课时)-教学设计

15.3分式方程教学设计
第1课时
前言：
本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。

在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。

本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。

一、教学任务分析
二、教学流程安排
三、教学过程设计
活动二诱导尝试，探究新知
：如何解分式方程=
：如何解分式方程=
=
(2)
(3)-1=
的值比分式
为何值时，分式方程+k=无解。

四、板书设计。

人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计

人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》这一节主要介绍了分式方程的定义、性质以及解法。

分式方程是初中数学中的一种重要方程，它涉及到实数的运算、方程的转化和求解，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

本节内容为学生提供了分式方程的基本解法，为后续学习更复杂的方程打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的运算、方程的基本概念，具备了一定的数学基础。

但是，对于分式方程这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和练习来逐步理解和掌握。

在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学，提高学生的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义和性质，理解分式方程的意义。

2.学会分式方程的基本解法，提高解方程的能力。

3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。

2.分式方程的解法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，通过创设情境、设置问题、引导学生自主探究、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力、思考能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、案例和练习题。

2.准备黑板、粉笔等教学工具。

3.准备与教学内容相关的学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式方程的概念，让学生感受分式方程在实际生活中的应用。

例如：某商品打8折后的价格是120元，问原价是多少？2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义、性质和基本解法。

通过PPT展示相关的理论和案例，让学生理解和掌握分式方程的基本概念。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用所学的知识解分式方程。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。

4.巩固（5分钟）挑选几道典型的练习题，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。

《分式方程(1)》教案

第十五章分式15.3分式方程第1课时一、教学目标（一）学习目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．（二）学习重点解分式方程的基本思路和解法．（三）学习难点解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．2．预习自测（1）在下列方程中，关于x的分式方程有()①215x＝3＋216x，②xp＝xp，③2(1)1xx--＝1，④xm－nm＝xn(m，n为非零常数)，⑤7x＋+19x，⑥xm＋yn＝1(m，n为非零常数)．A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】分式方程的定义【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程【答案】B．（2）若x＝3是分式方程2ax-－12x-＝0的根，则a的值是()A．5 B．－5 C．3 D．－3【知识点】分式方程的有关概念【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．【思路点拨】利用分式方程的解求a．【答案】A．（3）把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)【知识点】分式方程的解法．【数学思想】化归思想【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．【答案】D．（4）方程211xx-+＝0的解是()A．x＝1或－1 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝1【知识点】分式方程的解法．【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.【思路点拨】先去分母，化为整式求解.【答案】D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．如何解一元一次方程：211 3332x xx-++=-.解：去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.合并同类项，得25x＝17.系数化为1，得x ＝1725.2．问题探究探究一分式方程的概念.●活动① 整合旧知，探究分式方程的概念.问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设水流的速度为v 千米/时.(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；(3)根据题意可列方程为______________________________.师生活动: (1) 20+v 20-v ；(2) v +20100 v -2060；(3)v +20100=v -2060 追问1：所列方程与方程2157146x x ---=相比有什么不同？归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.师生活动：分母、整式.追问3：你能再写出几个分式方程吗？【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.探究二探索分式方程的解法●活动① 大胆操作，探究新知识问题2：你能尝试解分式方程：100602020v v =+- 吗？师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．●活动② 集思广益，得出分式方程的解法问题3：这些解法有什么共同特点？师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．教师再次提问：思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.●活动③追问你得到的解v =5 是分式方程的100602020v v=+-解吗？【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.探究三分析增根产生的原因 ●活动① 增根产生的原因例1 解分式方程：2110525x x =-- 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)，转化为整式方程．【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x +5）(x -5)得x ＋5 ＝10解得x ＝5，问题：x =5是原分式方程2110525x x =--的解吗？该如何验证呢？小结：x ＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．检验：当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，因此x ＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解．师生总结：基本思路：将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．练习：解分式方程：233x x=-．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母x (x －3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：两边都乘x (x －3)，得2x ＝3x －9解得x ＝9检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.所以，原分式方程的解为x ＝9【答案】x ＝9【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.●活动2例2 解分式方程：()()31112x x x x -=--+ 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x －1)(x ＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．【解题过程】解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3. 解得x ＝1，检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解.【答案】无解练习：解方程：-2++2x x 24=14x - 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．【解题过程】解：方程的两边同乘x 2－4，得(x －2)2＋4＝x 2－4，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x 2－4≠0，所以x ＝3是原方程的解．【答案】x ＝3.【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.●活动3例3 当m 为何值时，关于x 的方程223+242mx x x x =--+的解小于零．【知识点】分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)，得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，整理，得(1－m )x ＝10，解得x ＝101-m. ∵方程的解小于零，∴101-m <0且101-m ≠－2. 解得m >1且m ≠6.【答案】m >1且m ≠6.练习：已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是___________．【知识点】分式方程的解法，不等式的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数，所以转化为不等式，解不等式得结果.【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.依题意，得12121kk＜0ì-ïí-贡ïî, 解得k＞12且k≠1.【答案】k＞12且k≠1.【设计意图】解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件.3. 课堂总结知识梳理（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解. （3）解分式方程的方法及一般步骤：①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整②解这个整式方程；——解整③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根重难点归纳（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步骤；（3）解分式方程过程中产生增根的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．（三）课后作业基础型自主突破1．下列方程是分式方程的是()A. x－15＋34＝1 B.3p＋2x＝3 C.1x－1＝2 D.x＋2x－x＋33【知识点】分式方程的定义【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．【答案】C．2．解分式方程1101x+=-，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，故选A【答案】A.3．将分式方程231-11xx x=--去分母，得到正确的整式方程是()A.1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C.1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以(x－1)．【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B【答案】B.4．当a＝________时，关于x的方程12325x ax a+-=-+的解为x＝0.【知识点】分式方程的解【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解．【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得0123025aa+-=-+，则a+5= -2(2a-3), 得a＝15【答案】1 5 .5．若式子12x-和32+1x的值相等，则x＝________．【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得．【解题过程】解：12x-=32+1x，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.【答案】76．解分式方程413x x-= -【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可．【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．【答案】x=﹣1．能力型师生共研7．若关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m ≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【知识点】分式方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想.【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，∵关于x的方程3333x m mx x++=--的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，故m的取值范围是：m＜92且m≠32．故选B．【答案】B．8．若关于x的方程2222x mx x++=--无解，则m的值是______.【知识点】分式方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案．【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.【答案】0．探究型多维突破9．小明解方程121xx x--=的过程如下：解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①去括号得1－x－2＝1，②合并同类项得－x－1＝1，③移项得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案．【解题过程】解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－2－1，合并同类项，得－2x＝－3，两边同除以－2，得x＝3 2.经检验，x＝32是原方程的解．所以原方程的解是x＝3 2.10．请你仔细观察下述材料：方程1111123x x x x-=-+--的解为x＝1；方程1111134x x x x-=----的解为x＝2；方程11111245x x x x-=-----的解为x＝3；….(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．【解题过程】解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，即1111(2)(1)(1)(2)x n x n x n x n-=------+-+，方程的解是x＝n(n为整数)．方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：1111(1)(3)(4)x n x n x n x n-=---+-+-+，此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为11117+6+4+3 x x x x-=-+.自助餐1．下列关于x 的方程中,是分式方程的是( ) A. 23356x x ++-= B. 137x x a -=-+ C. x a b x a b a b-=- D. 2(1)11x x -=- 【知识点】分式方程的定义【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x ，是分式方程.故选D.【答案】D ．2．分式方程21221-93+3x x x -=-的解为( ) A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．【解题过程】去分母得12－2(x ＋3)＝x －3，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，x 2－9＝0，即x ＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C .【答案】C .3．当a ＝________时，关于x 的方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同．【知识点】方程的解、分式方程解法.【数学思想】化归思想【思路点拨】先解分式方程43x x -=，再把它的解代入另一个分式方程可得结果．【解题过程】解：由方程43x x -=得x －4＝3x ，解得x ＝－2.当x ＝－2时，x ≠0，所以x ＝－2是方程43x x -=的解．又因为方程2111ax a x -=--的解与方程43x x-=的解相同，因此x ＝－2也是方程2111ax a x -=--的解．这时221121a a --=---，解得a ＝17. 当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．【答案】17. 4．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为_______. 【知识点】方程的解、分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．【解题过程】解：方程两边都乘x －3，得x －2(x －3)＝m 2.∵原方程无解，∴x ＝3.把x ＝3代入x －2(x －3)＝m 2，得m ＝±3.【答案】±3.5. 解分式方程：21344-12142x x x x +=-+- 【知识点】分式方程解法【数学思想】化归思想【思路点拨】方程两边同时乘以（2x +1）（2x -1），即可化成整式方程，解方程求得x 的值，然后进行检验，确定方程的解．【解题过程】解：原方程即132(21)(21)2121x x x x x +=-+-+-，两边同时乘以(2x +1)(2x −1)得：x +1=3(2x −1)−2(2x +1)，x+1=6x −3−4x −2，解得：x =6.经检验：x =6是原分式方程的解。

人教版数学八年级上册 15.3 分式方程课件(共26张PPT)

这种数学思想方法把它叫做 “转化” 数学思想。
今
日课本P154习题15.3 作第1题。
业
15.3.分式方程（第2课时）
下面我们再讨论一个分式方程：
1 10
x 5 x2 25
解：方程②两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，
15.3分式方程（第1课时）
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
90 60 30 v 30 v
分母中含未知数的方程叫做？.
90 60 30 v 30 v
）D
A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
2. 解分式方程
x 8 5x 8 时，去分母后得
x 7 14 2x
到的整式方程是（ A ）
A.2（x-8)+5x=16(x-7)
B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”.
尝试应用
1、关x的方程 axx1 =4
的解是x=
1 2
,
则a= 2 .
2、如果
1 x2
3
1 x 2x
有
增根，那么增根为 x=2 .
温馨提示:使最简公分母的值为零解叫做增根
3、若分式方程
a 4 0 x2 x24

人教版八年级数学上册分式方程第一课时可化为一元一次方程的分式方程教学课件

x 1 x 1
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程 1
x2 1
2（xx1）
1 化为整式方程时， 4（x 1）
两边应同时乘以8（x2 1）（x 1）（x 1）。
做一做当堂练习
1.方程 3-x2的解是 x___ 1___.
x 2.函数 y
x
中，自变量x的取值范围
分母，得80(x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
探究分式方程的解法
2、概括上述解分式方程的过程，实质上是将
方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
请你动手做一做：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.
提问：你还能举出一个类似的例子吗？上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
•分式方程的主要特征：
（1）含有分式；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个分式方程的吗？
例题讲解与练习
辨析：判断下列各式，哪个是分式方程？
(1)