高考数学试题中的高等数学背景
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
以高等数学为背景的题型与高考走势
② Ｇ＝｛ 偶数 ｝０ 为整 数的乘法 ； ， ③ Ｇ 平 面向量 ｝ｏ 为平 面向量的加法 ； ＝｛ ， ④ Ｇ 二次 三项 式 ｝０ 为多项 式的加法 ； ＝｛ ， ⑤ Ｇ＝｛ 虚数 ｝０ 为复数的乘法． ，
其中 Ｇ关 于 运算 ① 为“ 洽集 ” 是— 融 的 “ 融洽集” 的序号 ） ． （ ０ ６年四川省数 学高考理科试题 ） ２０ — （ 出所 有 写
例 １ 非空集合 Ｇ关 于运算① 满足 ： １ 对 任意 口 ６ （） ，∈ Ｇ 都有 口 ∈Ｇ （ ） ， ①６ ；２ 存在 ｅ ∈Ｇ， 使得对一切 口 ， ∈Ｇ 都有口 ① ｅｅ ＝ ￣ａ＝ ， ｏ 则称 Ｇ关 于运算① 为“ 融洽集 ” 现给出下列 集 ． 合和运算 ：
① Ｇ＝｛ 负整数 ｝① 为整数 的加法 ； 非 ，
口一１ ４ 口一２ ， ｍ＝口一１ ＜ （ ）得 ．
综上所述 ， 所求函数的最小值 １ ， 一口 ０ ，
ｍ ＝
所以问题 可转化为 ｍ ＋￡ ｍ＋１ ≥３对任意 ｔ ∈［一１ １ 恒成 ，］ 立． （） ｔ ， ∈［一１ １ ， 记ｈ ｔ ＝ｍ ＋ｍ 一２ ｔ ， ］ 可知 函数 （） 图 ｔ的
） 似 ， ＝ 一 得
式（） ３ 成立 的充要条件是
ｆ （一１ 口一１ ； ， ｐ ）＝ ≤０
） ａ ＝（ 一． ＝ｘ ３ ２ ｘ ） 。
若口 ， ≥３ 在区间（ ， ） （ １２ 内， ）＞０ 从 而 ｆ ） 区间 ， （ 为 ［ ，］ １２ 上的增 函数 ， 由此得 ｍ＝ １ 口一 ． ）＝ １
｛ ２ ，＋－ － ｍ２ ≥ ｍ ２＞ ＋一。 ｔ
。
。；
解 得
ｍ≤ 一 ２或 ｍ≥２ ．
以 高 等 数 学 为 背 景 的 题 型 与 高 考 走 势
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高考数学试题主观题分类剖析
2009年高考数学试题主观题分类剖析马兴奎 （云南省文山州砚山一中，663100）在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。
其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。
考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。
纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.一、三角与三角函数的综合问题【例1】已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。
数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。
属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】（Ⅰ）)32sin(22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2π+=+=+-=x x x x x x f 所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最小值为2-（Ⅱ）列表：故画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象为评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan b aϕ=确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.二、概率与统计的综合问题【例2】如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。
高考数学试题的高等数学背景分析
行 式 列
Ｓ—的 是 Ｉ ｆ值 ｎｌ ６
— —
．
ｃｏｓ
试 题 ，学 生在 短 时 间 内要理 解 这 抽象 概 念 ，有 一定 的难 度 ，故作 为 填 空最 后 一题 ，具有 选 拔性 ．同类
题 型可见 ２ ０ ０ ６年高 考 四川卷 ・ １ ． 理 ６ 初 等数 学 的学 习多是 和 具体 的数字 打交道 ，而
高考数学试题 的高等数 学背景分析
郑 敏 龚梅 勇 陈清 华
１ 福建师范大学协和学院信息技术系 （５ １８ ３００ ） ２ 福建省福州第一中学 （５０ １ ３００ ） ３福建 师范大 学数 学与计 算机 科学 学 院（５ ０ ７ ３ ００） 高考数学命题强调“ 能力立意” 、追求“ 合理 区 分 ” 这就 必然地 要求 高考 数学命 题重视 “ ， 潜能考 查 ” ， 高 等数 学 （ 别 是分 析 学 、代数 学 等 ） 的一 些知 识 特 也就 极 为 自然 地成 了高考 数 学命 题设 置 以潜 能 考查
２
福 建 中学数 学
２ １ 第 １ 期 ０ ０年 １
的 ，我们 从高 中数学新 课程 的选修 模 块 的设 置上 ，
已经 可 以看 出这 种联 系是“ 泛而深 刻” ． 广 的 展 望 对 “ 系” 联 ，绝不 能乐观 ．基于 中 国的 国情 ，基于
真真 正正 地实 验 或实践 起来 ．尽管 课改 专家在 呼吁 ，
ｂ ～ ａ；
近 世代 数 的 内容 多 是 用集合 符 号 等表 示抽 象概 念 ，这 些概 念 其实 是 初 等数 学 中许 多 同类 知识 的抽
象升华 ，若是能注意到这点 ，以所熟悉 的初等数学 知识为为例子 ，来学 习 近世代数 ，将会事半功 倍 ．事实上 ，这种学习方式对高等数学许多其他 方 面知识的学 习同样十分有效 ．高考试题中的此类题 型不仅 考 查 了学 生 的学 习理 解 能力 ，更对 学 生未 来 学 习高 等数 学有 很好 的启 发作 用 ． 例 ２ （００年 高考 山东卷 ・ ）定义 平 面 向量 ２１ 理 之 间的一 种运 算“ 如 下 ，对任 意 的 ａ ， ， ｏ” ＝（ ）
08年高考数学试卷分析(高县中学)
四川省2008年高考数学试卷分析高县中学数学组一、对试卷的整体认识与特点分析1.1．整体认识数学试题全面考查中学数学的基础知识，考查考生的思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，同时也十分重视对函数与方程、数形结合、分类与整合、或然与必然等重要数学思想的考查。
2008年数学试题同去年相比较为稳定，难易程度随着试题的顺序由简入繁，选择、填空相对容易，考查内容多为基础知识，问答大题前两个为中等难度题，后四个题目对于考生来说都存在一定的障碍，难易程度与去年相持平。
而每一道题考生都能拿到一定的分数，但如果要拿满分则相对不容易。
试卷立足于平衡过渡，在稳定中求创新。
今年的数学试卷仍分文科、理科两份试卷。
这两份试卷在题型结构、题量、各题型分值与内容分布等方面均与近年全国试题类似，两份试卷均由12个选择题，每题5分菜60分；4个填空题，每题4分共16分；6个解答题共74分组成。
稳定这一结构有利于实现由全国命制试题到四川自主命题的平衡过渡，有利于全省高校招生和高中教学的正常进行。
试卷注意了知识点的覆盖，无偏题、怪题，并注入了一些具有新意的试题，如填空题理科第1 6题及解答题中的理科数列题（第20题）都具有新意，对中学教学教育具有良好的导向。
试题知识点覆盖全今年的理科数学试题除“机械”的部分没有设置试题外，其余高中数学重点知识几乎全部覆盖。
函数中重点考查指数对数函数，解析几何中对直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆全部进行考查，不等式、数列、立体几何、三角、排列组合二项式定理概率等基础知识点也一个没落。
注重基础知识的考查在更多注重考查学生对基础知识、基本技能和基本方法掌握情况的基础上，淡化了特殊的技巧和方法的考查，重在检测考生对中学数学中所蕴涵的基本技能和常用方法能否做到融会贯通。
如将立体几何中线线、线面、面面位置关系及角度和距离的考查融于一题之中。
重点考查重点知识点试题在对高中数学知识点进行全面覆盖的基础上，更加注重对高中重点知识的考查。
数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法
近年来，高考数学试题命制以学科素养为导向，以关键数学能力考查为重点[1]。
压轴题立足科学前沿，从科研期刊、博士论文和专业书籍中选择合适素材，把部分高等数学知识融入到高考人才选拔中，考查学生运用新知识解决问题的能力[2,3]。
同时，也兼顾初等数学方法，从而达到一题多解，并较好地甄别学生的数学能力，实现数学竞赛、自主招生、高考人才选拔三者衔接的目的[4]。
本文分析了近年来全国高考压轴题所涉及的知识点，梳理出了全国高考压轴题中高频出现的高等数学知识，并对这些知识点进行了解析。
同时，结合全国高考数学卷真题，分析研究了运用高等数学知识解答高考压轴题的方法，以期帮助学生增强数学思维能力，培养运用高等数学知识解决初等数学问题的能力。
一、压轴题中高频出现的高等数学知识1.洛必达法则grange 中值定理（微分中值定理）3.泰勒级数4.仿射（坐标）变换5.极值点偏移、“二元”问题6.柯西不等式7.特征根方程二、全国卷题目解法研究1.洛必达法则高考真题及解析2011年全国新课标理科卷第22题是应用洛必达法则考查极值的经典案例，其题干为：已知函数曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方收稿日期：2020-07-13基金项目：贵州省教育厅高考综合改革研究专项课题（黔财教181号）作者简介：苏明刚，男，四川泸州人，遵义天立学校副校长、课程质量部部长，高级教师，主要从事数学科教学及学校教学管理。
数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法苏明刚1，陈明2（1.遵义天立学校，贵州遵义563000；2.遵义师范学院数学学院，贵州遵义563006）摘要：高考数学压轴题以部分高等数学基础性定理、性质作为命题方向或命题背景，同时也兼顾纯初等数学方法，从而达到一题多解。
本文总结了近年来高考数学卷中高频出现的高等数学知识点，分析了解题思路，通过高考真题演示了解题方法。
关键词：高考；数学卷；压轴题；高等数学；解题方法中图分类法：G634文献标识码：A 文章编号：1009-3583（2020）-0105-03The Knowledge Points and oblem-solving Methods of Higher Mathematics Which Appear Frequently in the Finale ofMathematics College Entrance ExaminationSU Ming-gang 1,CHEN Ming 2（1.Zunyi Tianli School,Zunyi 563000,China;2.School of Mathematics,Zunyi Normal University,Zunyi 563006,China)The mathematical finale of the college entrance examination takes part of the basic theorems and properties of higher mathe-matics as the proposition direction or background,as well as pure elementary mathematical methods,so as to achieve multiple solutions to one problem.This paper summarizes the knowledge points of higher mathematics which appear frequently in the mathematics papers of college entrance examination in recent years,analyzes the ideas of solving problems,and demonstrates the methods of solving prob-lems through the demonstration of real questions in college entranceexamination.college entrance examination;mathematics paper;final problem;higher mathematics;problem-solving method第22卷第6期2020年12月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityV ol.22,No.6Dec.2020第22卷第6期遵义师范学院学报2020年12月程为.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当x ＞0，且时x ≠1求k 的取值范围。
例析高考题中的高等数学背景
２ ０・
中 学
生
理
科
应
试
２１． ， ０ １５６
例 析 高考题 中 的高 等数 学 背景
福建 省石狮 石光 华侨 联合 中学
１ 以“ 限”的定义 为背景 ． 极
（６７０ ３２０ ）
林建森
马 雪波
例 １ （ ０ ０年福建 高考题 ） 于具有相 同定义 ２１ 对
极限是 高 等数 学 中微 积分 的 基础 概 念 ， 它包 括
ｇ ） ０ （ 一 ；
对 于集 合 Ｓ： ｛ ， 然满足 素有 条 件 ， Ｓ是 ０｝显 但
对 ）ｇ ） 于③ 一（ ÷一 设Ａ ） 志， （ ：
＜１选 Ａ．
，
种办法靠直觉思维 ， “ 并非 信手拈来”直觉是建立在积 ．
累之上所养成的习惯 ， 积淀既深便是一种“ 自然行为 ” ．
六 、 用 极 限 采
例 ７ 一个 正 四棱 台上 、 下底 面边 长分 别 为 ａ ， ｂ 高为 ｈ， ， 且侧 面积等 于两底 面积 之 和 ， 下列 关 系 则 中正确 的是 （ ） ．
Ｄ， 使 得 当 ∈ Ｄ 且 ＞ ‰ 时 ， 总 有
ｆ ＜厂 ０ （ ）一ｈ ） ＜ ｍ （
设 ｛ 为一 个数列 ， 为一确 定 的常数 ， ａ｝ ａ 若对任 意 ｓ＞０ 存在 正整数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， Ｉ ａ ＜ ， 当 有 Ⅱ 一 Ｉ
，
ｔ ＜ （ ０ ）一ｇ ）＜ ｍ （
极 限思想方法 是变 量 数学 的基本 思 想 方法 ， 运
用极 限观点 、 思想 、 方法分析 问题 ， 问题 ， 解决 不但 能
激发 学 习数 学的兴趣 ， 而且解决某 些 问题十分 简单．
浅析高考题中的高等数学背景
浅析高考题中的高等数学背景湖南省株洲市茶陵一中有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：一．以抽象代数中的运算系统为背景例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、c 都成立的一个等式是 .解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )二．以矩阵知识为背景例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++(C). 2122211211k k a a a a a a +++(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).三．以区间套定理为背景例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x四．以凹凸函数概念为背景例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.A. )(1x f 与)(3x fB. )(2x fC. )(2x f 与)(3x fD.)(4x f解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。
高考数学中的高等数学背景探究
例 ２ 非 空集合 Ｇ关 于运算。 满足 ： １对任 意 ０ ｂ Ｇ， （） 、 都有 ｎ ① ｂ∈Ｇ；２ 存在 ｃ∈Ｇ， 得对一切 ａ 都有 。 ＝ ①ａ ａ 则称 Ｇ关 （） 使 ＥＧ， ④Ｃ Ｃ ＝ ，
于运 算 ④ 为 “ 恰 集 ”现 给 出下 列 集 合 和 运 算 ： 融 ．
科技信息
。高 校 讲 坛 ０
Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ＆ Ｔ Ｃ Ｎ Ｏ Ｆ ＭＡＴ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ ＯＬ ＧＹＩ ＯＲ Ｎ ＩＮ
２１ ０ ０年
第３ ５期
高考数学中的高等数学背景探究
王亚雄
（ Ｆ ｏ 范 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 四 川 内 江 内 ｒ￥
６ １０ ４ ０） １
①Ｇ＝ 非负整数 ｝①为整数的加 法． ｛ ， ②Ｇ 偶数 ｝① 为整数的乘法． ＝｛ ， ③ Ｇ 平 面 向量 ｝① 为 平 面 向 量 的加 法 ． ＝｛ ， ④Ｇ 二次三项式 ｝① 为多项式 的加法 ． ＝｛ ， ⑤ Ｇ 虚 数 ｝① 为 复数 的乘 法 ． ＝｛ ，
３ 来 自数 学 数 学 命 题 体 现 能 力 立 意 的 策 略 ．随 着 新 课 程 标 准 的实 ２ 施 ， 近 年 来 的 高考 中 出 现 了一 些 以 高 等 数 学 为 背 景 的题 目 ， 种 题 在 这
目形 式 新 颖 ． 能 开 阔 数 学 视 野 ， 利 于完 成 高 等 数 学 与 初 等 数 学 的 既 有
“ 力 立 意 ” 一 词 自 １９ 能 ９ ９年 教 育 关 于 高 考 内 容 改 革 文 件 下 达 以
。 ，
一，ｋ确 定 （ １表 示 同 意 ， ０表 示 不 同意 或 弃 权 ） 是 否 同 ａ。 ％＝ ％＝ ，
以数学思想为背景的高观点试题探析
些探究 ，希望 能起 到抛砖 引玉的作用 ．
１ 极 限 的 思 想 为 背 景 的 高观 点 试 题 ．以
题 人手 ，把握学 科 的整体 意义 ，用统 一 的数学 观点 组织 材料 ， 侧 重体现对知识 的理解 和应用 ，尤其是综 合和 灵活 的应 用 ，以
极 限思想作 为反 映客观事 物在运 动 、变 化过程 中 由量变转
学交会是高考命 题 的六大交会 之一 ，是现代数 学新 高考创新题
的 重 要题 源 ．
Ａ（ ） Ⅱ
二、以数 学思想为 背景 的高观点试题
数学思想是 数学 知识 在更 高层次上 的抽象 和概括 ，是数学 知识 的精髓 ，是 分析 和解 决数 学问题 的基 本原则 ，也是 数学素 养的重要 内涵 ，它蕴含在数学 知识 发生 、发展和应用 的过 程中 ，
此来检 测考生将 知识迁移 到不 同情 境 中去 的能力 ，从而检 测 出 化 为质 变时 的数 量关 系或空 间形 式 ，能够通过 旧质 的量 的变化 考生个体理性 思维 的广度 和深度 ，以及进一步 学习 的潜能 ．“ 以 规律，去计算新质 的量．因此 ，它具有 由此达彼 的重大创新作用． 能力立意命题 ” ，正是为 了更 好地考查数学思想 ，促进 考生数学 极 限思 想是高等 数学知识 最基础 的一块 ，也是 高等数学教 学 的
＠ ⑥ ⑤
⑨
郭丽 云 （ 江省 温岭 中学） 浙
⑨ ⑥
⑧
２０ ０ ８年浙江省 《 高考数学科 考试说 明》 提出 ：对 数学能力 就 以高等数 学的数学 思想 为背景 的高观点试 题为例 对其解法作
的考查 ，强调 “ 以能力为立 意” ，就是 以数学 知识 为载体 ，从 问
一
以高等数学为背景的高考数学试题的研究
以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。
浅析高考题中的高等数学背景
即Ａ Ｊ ｖ． Ｍ．＿ １ Ｊ （ ）略 ． ２
由ｉ 口去 可 ２ｙ ０ ｛＝＋消 得ｚｍ一 ：， ｌ ｙ 一ｐ ２
从 有【 — 巧 设 相 关方 程 ．本题 （ ） １
巧 设 过 点 Ａ的直 线 删 的直 线 方程 为 ｘ＝ｍ ＋ａ，而 ｙ
（） 略 ； １ （ ）设 函数 ｈｘ ：ｆ ｘ 一 （） 当 ｈｘ 存 在最 小 ２ （） （） ｇ ｘ ， （）
育的基本 目标之一” ．近年来 ，随着高考命题改革的 逐 步 深入 ， 自主命 题 的省 市越 来 越 多 ，主 要 由 中学 教 学一 线 的教 师 和高 校 的教 授参 加 命 题 ，而 且 高 校 教 师 占绝 对 优 势 ．关注 近 几 年 的高 考 ，为 了渗 透 新 课程理念 ，命 题者常受到 自身学术和研究方向的影 响 ，往 往 考 查 一 些 有着 高 等 数 学背 景 的问题 ．此 类
福建 省福 州 第八 中 学 （５０４ ３ ００ ）
数 的 重要 性质 ， 自从 导 数进 入 中学数 学 教材 后 ，使
得 函数 凹 凸性 问题 作 为 导数 的重 要应 用 成 为高 考 命 题 的热 点 ．下面 以 ２ １ 陕西 高考 理科 第 ２ ０ ０年 １题 为 例 ，对 高 考题 中 出现 的 以 函数 凹凸性 为 背 景 的试 题
２ １ 第 ８期 ００年
＝
一
Ｉ４ ｂ…③ ｎａ
故 由① ，② ，③ 得
类比推理能力 ，运用所给的信息分析问题 ，然后才 能顺利 解决 问题 ．
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ａ＋ｂ
２ 以高等数学的定理为背景命题 ． ３ 随着 课 标 课程 改 革 的深 入 ，部 分省 市新教 材 中
试题研究·以数学思想为背景的高观点试题探析
以数学思想为背景的高观点试题探析郭丽云（浙江省温岭中学）2008年浙江省《高考数学科考试说明》提出：对数学能力的考查，强调“以能力为立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。
“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。
高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，高考数学考试大纲也明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为学生进入高校学习作准备。
因此近几年高考数学试题中出现了一些与高等数学衔接紧密的高观点试题，为高考命题提供了新的背景和新的思路。
一、高观点试题的内涵所谓高观点试题，是指与高等数学相联系的问题。
这样的问题或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。
它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能，还能实现高等数学与初等数学的接轨。
高等数学与初等数学交会是高考命题的六大交会之一，是现代数学新高考创新题的重要题源。
二、以数学思想为背景的高观点试题数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学知识的精髓，是分析和解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。
中学数学中向学生渗透数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想。
高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。
初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。
例析高等数学背景下的高考数学题
②在 ｅｐ，若 １－９０Ｐ，￣，ＪｌＡｑｌ ＋１￣１ ＝Ｉ
③在 曰ｃ中．１ＩＡｃｌｌ＋ｌＩ∞ｌｌ＞ＩＩＡｓＩ｛．
其 中真命题的个数为 （ ）
Ａ． ０
Ｂ． １
Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 析 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点
Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），定义它们之 间的一种“距离”：
２
福 建 中 学数 学
２００９年第 ｌ０期
｛ｆＡＢＩｆ＝？ ！～ ｆ＋ —ｊ ｝．①若点Ｃ在线段ＡＢ上．
设 Ｃ点坐标为 （ 【】＇ ）．Ｘ。在 Ｘ．、 ：之间 ．Ｙ。在 、
Ｙ 之间，则ｌＩＡＣｌｌ＋ＩＣ８ １ｌ
＝ Ｉ ０一 ｌ ｌ＋ｊ）’ｔ）一 ’ｉ ｌ＋ｉ ２～ ｊ：＋｛ ：一 ０｛
高等数学背景下的高考数 学题也 叫“高观点题”． “高观点题”指与高等数学相联 系的问题 ．这样 的问题 或以高等数 学知识 为背景 。或体现高等数 学 中常用 的数学思想 方法 ，本文将例 析这类 问题 的基本类型 和 相 应 解 法 ．
１． 以高等数学运算为背景 例 １（２００６年高考四川卷 ） 非空集合 Ｇ关 于运算 ０满足 ：（１）对任 意的 口。 ｂ∈Ｇ 。都 有 ａ０ｂ∈Ｇ ；（２）存 在 ｅ∈Ｇ ，都 有 ａ０ｅ＝ｅ０ａ＝ａ ， 则 称 Ｇ 关 于 运 算 ０ 为 “融 洽 集 ”．现 给出下列集合和运算 ： ① Ｇ＝｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法 ； ② Ｇ＝｛偶数 ｝，０ 为整数 的乘法 ； ③ Ｇ＝｛平面 向量 ｝，０ 为平面向量 的加 法； ④ Ｇ＝｛二次三项式 ｝，０ 为多项式 的加 法； ⑤ Ｇ＝｛虚数 ｝，０ 为复数 的乘 法． 其 中 Ｇ关于运算 ０ 为“融洽集”的是 （写 出所有“融洽集 ”的序 号 ） 解析 本 题 源 自大学 数学 专业 课 中的 《近 世代 数 》，给 出了一个新 的概念“融洽集”，考查学生理解 并且会运用此概念 来判断 以下给出的条件 是否满足 成 为“融洽集”的能力． ① Ｇ：｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法。满足任 意 ａ，ｂ∈Ｇ都 有 口庄 ∈Ｇ，且令 ｅ－－０，有 ａ＠０＝０＠ａ＝ａ， 所以① 符合要求． ② Ｇ＝｛偶 数 ｝， ０ 为 整数 的 乘 法 ，若 存 在 ｅ∈Ｇ。ａ０ｅ＝ａｘｅ＝ａ，则 ｅ＝１，矛盾 。．·．② 不符 合要 求． ③ Ｇ＝ｆ平面 向量 ｝，０ 为平 面向量 的加 法，取
聚焦高等数学知识背景 审视高考数学创新题型
Ｊ
１ ５
≤
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，
Ｉ
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解 得
Ｖ
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午一 １ ｓＨ ，曲 午：且 ＝一 双 线
２
图 １ １
渐 近线斜 率 为 ｋ ＝ ， 。 直线 系斜 率为 １如 图 ｌ． ， １ 当
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．
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０
函数 ） —ｎ ＋ ） ｅ 一 １ ］ ＝ Ｉ（ ｍ 在［ ～ ｍ， 一 上为
连续 减 函数 ， 因此 ｅ 一ｍ）：ｅ 一 — ｎ ｅ 一 一 ～ ｍ ｌ（ 一 ｍ＋ｍ）：
ｅ～ ＞０．
（） ２ 定理 ： 函数 ｇ ） ［ ， ］ 若 （ 在 。 ｂ 上连续 ， 且
ｇ 口 与 ｇ（） 号 ， 至少 存在 一点 ． ∈（ ，） 使 （） ｂ异 则 １ ５ ａｂ ， 。
・
４ ０・
中学教研 （ 学） 数
２１ ０ ０卑
即 ：． 萼 当线＋＝通点÷ ）， 一， 直 Ｓ ２ 过 （， ＝手 Ｕｖ 。 时
即 一 ５≤ｙ
一
此 一， 一 ， ） 于是 ｙ ≥ ≤ ．
侈 求 Ｙ ＝ ＋２ 一 ４３ ｖｌ ＋ ＋ 的值 域． ２ ４ ３ 解 由 ２ ＋ ＋ ０ ４ ４ ３ 另 式 为 Ａ ＜ ， 函数 定义 域为 Ｒ． ０得 令 ｕ∈Ｒ， ＞０ 则 双 曲线 方 程 为 ，
类似地 ，
由 １（ 。 ）＞１ （２ ） ２ ２ ； ： ＋ ｘ ＋ ＋２ ｌ２ ｘ ］：
１ ｍ ＋ ＝ ２ ＋ ＝ 兰 一３ ． ｍ ＞ ， ０
厂 ｅ 一ｍ）＝ 一３ ＞（ ＋１ 一 ｍ＞ （ ｅ ｍ １ ） ３
高考数学创新型试题的类型及特点分析——以近三年高考数学全国卷理科试题为例
2020年6月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯基金项目:重庆市教育科学“十三五”规划课题《高中数学资优生培养模式及跟踪评价研究》,课题编号:2018-00-478.作者简介:胡琳(1996-),在读研究生,主要从事高考数学研究,曾荣获国家励志奖学金,A 级证书;熊丙章(1979-),博士,中学高级教师,主要从事中学数学教育的理论及实践研究;童莉(1976-),博士,教授,从事数学教育测评、数学教师专业发展等研究,曾获全国教育硕士优秀导师称号、全国教育硕士教学成果二等奖等.高考数学创新型试题的类型及特点分析———以近三年高考数学全国卷理科试题为例胡琳重庆师范大学401331熊丙章重庆巴蜀中学400013童莉重庆师范大学401331［摘要］高考数学题的创新响应了时代的号召,在改革发展的时代大背景下,立足新课标理念,评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型:立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型,通过列举近三年典型高考全国卷理科数学试题,对各类型试题的特点做了分类分析,整体把握了高考试题的创新点.［关键词］高考数学;创新型试题;类型及特点习近平总书记在全国两会重要讲话中提出“三个第一”的重要论断,即“发展是第一要务,人才是第一资源,创新是第一动力.”其中,创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出“要注重发展学生的创新意识”[1],《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:数学教育承载着培养学生创新意识的任务,要促进学生实践能力和创新意识的发展[2].2017年考试大纲说明提出“高考数学命题应该加强用创新型试题来检验学生的创新意识,高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力检验的试题[3].2009年赵思林[4]教授探究了创新型试题的类型,2018年赵思林[5]等人将高考数学创新型试题分为观察分析型、阅读理解型、合情推理型等12类,2019年刘成龙[6]等人将其分为公式证明型、问题推广型等4类,但创新型试题可从背景、类型、特点等多角度入手,因此本文着重评析了近三年典型高考全国卷理科数学创新型试题的四大类型:立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型,并从中体会到所包含的四大特点,即观念新、思维新、背景新、呈现新.，观念新”即树立德行,自古以来“立德”是需要坚守的重要品德,“立德”最早在《左传》中出现,即“大上有立德,其次有立功”.因此“数学教学应具有德育功能”,高考数学试题应该延续中华民族的优良传统,将“德”渗透到高考数学试题中,使之得以弘扬,这也是高考数学试题的创新之处.“立德树人”涵盖丰厚的文化底蕴,育人于无声无息中,以数学文化等观念立意,诠释了有内涵、有价值的观念角度,提升了试题这一文本的潜在高度.如2017年全国卷Ⅰ理科第2题的“太极图”;2018年全国卷Ⅱ理科第8题的“哥德巴赫猜想”、全国卷Ⅲ理科第3题的“榫卯问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第6题的“卦”、全国卷Ⅱ理科第4题的“登月问题”、全国卷Ⅱ理科第16题的“印信问题”.例1（2019年高考全国卷Ⅱ理科第4题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键47>2020年6月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1 R3.设α=rR,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为()A.B.C.D.评析:本例以嫦娥四号登月为命题背景,通过介绍我国航天事业的伟大成就,进而抛出了数学计算问题,体现了高考命题时对“德育”的引导,也凸显了立德树人的思想方针,此命题角度充分体现了观念的新颖性.味逻辑型，思维新逻辑是思维的规律,也是创新的起点,将逻辑增添趣味,从而使得思维得到活跃,促进了学习、研究的兴趣,为学生的“思维灵活度”的培养提供了催化剂,提升了学生的逻辑思维能力等.趣味逻辑型试题以独特的视角、灵活的思考,带给学生新颖的思维情境,帮助学生打开逻辑的大门,对于学生逻辑思维能力的培养十分有利.如2017年全国卷Ⅱ理科第7题的“询问成绩问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第7题的“最短路径问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第15题的“篮球问题”.例2（2017年高考全国卷Ⅱ理科第7题）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩评析:本例以学生向老师询问考试成绩为情境,联系了师生之间的生活情境,颇具趣味性,极大地激发了学生“用脑”“用心”去思考问题情境,使得学生有逻辑的思考空间,并且学生紧张的思绪得以放松,体现了对学生的人文关怀,此题新颖、有趣,充分展现了逻辑的趣味性、思维的新颖性.等背景型，背景新高等背景型试题是指将高等数学知识、方法等作为素材来命制的试题.该类试题的创新体现在三个方面:一是命题素材创新,即拓宽了命题素材选取范围,打破了源于教材的传统;二是试题背景创新,即试题含有丰富的高等数学背景;三是解答方法创新,即可用初等方法,也可以运用高等数学知识解答.实践表明,高等背景型试题具有积极作用:凸显能力立意的命题原则;强化中学数学与高数知识间的衔接;展示新颖的数学背景;丰富试题的内涵;拓宽试题解法;考查学生创新能力和创新意识[7].该类试题为学生个性发展、超前学习、创新拓展提供了更为广阔的视角.如2017年全国卷Ⅲ理科21题的“柯西不等式”;2018年全国卷Ⅰ理科第21题的“拉格朗日中值定理”、全国卷Ⅲ理科第21题的“洛必达法则”;2019年全国卷Ⅲ第23题的“柯西不等式”.例3（2018年高考全国卷Ⅲ理科第21题）函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(Ⅰ)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0;(Ⅱ)若x=0是f(x)的极大值点,求a.评析:本例含有洛必达法则的高等数学背景.在第(Ⅱ)中运用到了洛必达法则,对-x2(x+1)2ln(1+x)+3x2+4x的分子分母分别求导再求极限,从而求解a值.洛必达法则的使用条件是分子分母极限均为0,本例的解答方法和命制过程充满了创造性.命制试卷时要注意构造出满足条件的分式,从而运用洛必达法则巧妙解答,背景具有深刻性.理解型，呈现新阅读,字典的解释是“看文字并理解它的意思”.阅读属于信息输入加工形式,是人类汲取知识、认识世界、可持续发展能力的一个重要方式[8].而数学阅读是指学生根据已有的知识和经验,通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息,建构数学意义和方法的心理和智力过程[8].从心理学角度分析,数学理解的本质是学习者在头脑中形成关于这个知识的内部网络,即建立了该知识的图式[9].可见,阅读是促进理解的重要手段.阅读理解型试题是指以阅读材料形式呈现的试题.阅读材料往往介绍一个新定义、一种新规则、一种新运算等等,这些新的信息需要学习在考场上现场加工、内化、运用,这一过程正是新课程倡导的阅读自学的数学学习方式.如2017年全国卷Ⅰ理科第12题的“激活码问题”、全国卷Ⅱ理科第3题的“塔灯问题”;2018年全国卷Ⅰ理科第3题的“饼图问题”;2019年全国卷Ⅰ理科第4题的“断臂维纳斯”、全国卷Ⅲ理科第3题的“四大名著”.例4（2019年高考全国卷Ⅰ理科第4题）古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为5√-12（5√-12≈0.618，称作黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5√-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm评析:本例是典型的阅读理解型试题,问题之间相互贯穿,体现了问题呈图1482020年6月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯现的新颖性,题中数字多、文字多、比值多,对学生阅读能力要求很高.解答时,学生需要经历信息筛选→信息加工→信息应用,整个过程为:通过阅读认识头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比、头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比都为5√-12,结合比值与人体之间的关系,理清人体各分布的比值,然后将比值运用到题设中.解答过程中包含对黄金分割比例的认识、理解、运用,着重考查学生的信息加工能力、阅读理解能力.创新作为高考命题的风向标,已有深刻体现,不难发现在近三年的高考数学试题命制中,立德树人型、趣味逻辑型、高等背景型、阅读理解型这四类创新题型,在高考中呈现得较为频繁,表现出稳步上升的趋势,因此在教学中应该多加练习,熟悉典型高考数学创新型试题.随着不断地创新发展,使得创新型试题的题型多种多样,其类型及特点也会随之改写、升华,我们应该把握大体趋势,以适应自身素养的提升和高考的需求.参考文献：[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S ].北京:人民教育出版社,2011.[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版)[S ].北京:人民教育出版社,2017.[3]教育部考试中心.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明:理科[M ].北京:高等教育出版社,2017.[4]赵思林.高考数学创新型试题的几种类型[J ].高中数学教与学(人大复印),印2009(5).[5]赵思林,李雪梅.高考数学创新型试题的若干类型与评析[J ].内江师范学院学报,2018(2).[6]刘成龙,胡琳.高考数学创新型试题的几种类型及评析[J ].中学数学,2019(5).[7]刘成龙,余小芬.高等数学背景下高考命题的问题及建议[J ].中国数学教育,2017(22).[8]刘成龙,黄祥勇.2014年中考成都卷第23题分析及启示[J ].中学数学,2015(2).[9]喻平.数学教育心理学[M ].南宁:广西教育出版社,2004.分析:对于此题的解答,学生很容易萌发出“正推”和“逆推”两种对等的数学观念,我们从两种观念分别出发,探讨在解题过程中所隐含的数学思维方法.在“逆推”的过程中,首先思考,要证明:x 1+x 2<2成立,我们应当如何入手.由结论出发,逐步分析,简化解题的思维过程,将结论中不等式的证明等价于新构造出来的不等式的证明,由“简单”的结论推导出“复杂”的不等式.再结合分析,回归题目,证出结论.接着从“正推”的思路来解决这一题目.我们从x 1,x 2的起源出发,设x 1,x 2是f (x )的两个零点,则-a=(x 1-2)e x 1(x 1-1)2=(x 2-2)e x 2(x 2-1)2.令g (x )=(x-2)e x(x-1)2,则g (x 1)=g (x 2)=-a ,利用导数法分析g (x )的单调性.令m>0,则g (1+m )-g (1-m )=m+1m 2e 12m+1.设h (m )=m -1m+1e 2m+1,m>0,利用导数法分析h (m )的单调性,可得h (m )>h (0)=0恒成立,即g (1+m )>g (1-m )恒成立,令m=1-x 1>0,可得结论.比较两种方法,可以看出,无论“正推”还是“逆推”,我们都是利用了不等式的对称性特点,突破传统的“求简”观念,转而“由简到繁”,由此反而可以很好地解答问题.来的启示在中学课程的学习中,数学一直扮演着重要的角色,而它又以题量繁多且复杂成为众多学生的苦恼,如何教会学生解题必然是每一位教师最关心的问题,这里我们要清楚中学数学培养学生的基本数学思维,即数学观念与意识.而“数学观念与意识”的培养是一个循序渐进的过程,在此过程中,教师首先应当树立正确的数学观念,并以此来指导教学工作,避免出现教师一切的数学教学活动都围绕“高考指挥棒”转,大搞“题海战术”将升学率作为数学教学评价的唯一标准,而是应当秉承数学素质教育的基本要求,加强数学观念的教育,以此培养良好的数学观念.其次对于学生而言,大多数学生在将来未必能够用上较为高深的数学知识,但是数学思想方法却有着普遍的意义,不仅能够应用于数学研究,也可以用于人类实践活动的各个方面,因此作为数学思想方法核心结构的数学观念就尤为重要.具有良好的数学观念不仅能够帮助我们很好地面对目前的学科学习的检测,而且在未来的科技与经济发展中,也起着举足轻重的作用.(上接第36页)49。
解析几道以迭代数列为背景的高考题
解析几道以迭代数列为背景的高考题薛红利(长春第六中学ꎬ吉林长春１３００００)摘㊀要:迭代数列的极限是数学分析中的重要内容ꎬ而以迭代数列为背景的高考试题不在少数.文章先介绍数列的有关知识和迭代数列的极限ꎬ然后深度解析高考试题的高数背景.关键词:高考题ꎻ数列ꎻ迭代数列ꎻ极限ꎻ高数背景中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００２８－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:薛红利(１９７２.５－)ꎬ女ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考题一般都是大学老师命制的ꎬ所以高考题尤其是高考压轴题ꎬ有高等数学背景也是常有的事.这就要求一线教师不仅要会做高考压轴题ꎬ还要弄清楚高考压轴题的高数背景ꎬ这样才能看清试题的命制思路和背景ꎬ才能更好地服务于教学.１预备知识定义㊀称ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ 为迭代数列ꎬ称其中的ｆ(ｘ)为迭代函数.(以下均假设ｆ与ｎ无关)[１].定理１㊀设数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ且已知ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｃꎬｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)ꎬ则极限ｃ是方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根(即ｆ(ｘ)的不动点).㊀注㊀条件ｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)在ｆ(ｘ)于点ｃ处连续时就成立.定理的证明是显然的ꎬ但定理提供了一种方法ꎬ即在研究迭代数列时ꎬ先假设它收敛ꎬ看极限是什么ꎬ然后再证明这就是该数列的极限.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ上单调ꎬ数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎɪＮ∗ꎬ且ｘｎɪＩꎬｎɪＮ∗ꎬ则只有两种可能:(１)当ｆ(ｘ)为单调递增时ꎬ{ｘｎ}为单调数列ꎻ(２)当ｆ(ｘ)为单调递减时ꎬ{ｘｎ}的子列{ｘ２ｎ－１}和{ｘ２ｎ}是具有相反单调性的两个单调子列.其几何解释如下图:图１㊀定理２几何解释２高考试题及其背景分析例１[２]㊀(２０１４年重庆卷理)设ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２ａｎ＋２＋ｂ(ｎɪＮ∗).(１)若ｂ＝１ꎬ求ａ２ꎬａ３及数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝－１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.８２解析㊀(１)ａ２＝２ꎬａ３＝２＋１ꎬａｎ＝ｎ－１＋１. (２)解法１㊀设ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋１－１ꎬ则ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ).令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ即ｃ＝(ｃ－１)２＋１－１ꎬ解得ｃ＝１４.下面用数学归纳法加强命题:ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１<１.当ｎ＝１时ꎬａ２＝ｆ(１)＝０ꎬａ３＝ｆ(０)＝２－１ꎬ所以ａ２<ｃ<ａ３<１成立.假设当ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时命题成立ꎬ即ａ２ｋ<ｃ<ａ２ｋ＋１<１.因为ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１]上单调递减ꎬ所以ｃ＝ｆ(ｃ)>ｆ(ａ２ｋ＋１)>ｆ(１)＝ａ２.所以１>ｃ>ａ２ｋ＋２>ａ２.所以ｃ＝ｆ(ｃ)<ｆ(ａ２ｋ＋２)<ｆ(ａ２)＝ａ３<１.所以ｃ<ａ２ｋ＋３<１.因此ａ２(ｋ＋１)<ｃ<ａ２(ｋ＋１)＋１<１ꎬ即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立.综上ꎬ存在ｃ＝１４使ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.背景分析㊀在解法１中ꎬ为何设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１?又为何设ｃ＝ｆ(ｃ)呢?本题以迭代数列为背景ꎬ考查迭代数列的极限.由定理１ꎬ先求出ｆ(ｘ)的不动点ꎬ即令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ再证明ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.考查函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１ꎬ易知ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬ有ｆ(ｘ)ɪ[０ꎬ１]成立.因为ａ１＝１ɪ[０ꎬ１]ꎬ由数学归纳法可知ａｎɪ[０ꎬ１].根据ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ[０ꎬ１]ꎬ知本题的高数背景是定理２的情况(２)ꎬ即{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}是两个具有相反单调性的数列.利用极限知识求出它们的极限即可ꎬ具体操作如下:计算可知ꎬａ２＝ｆ(ａ１)＝０ꎬａ３＝ｆ(ａ２)＝２－１.即有ａ１>ａ３成立.又因为ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ所以ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.同理可得ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５.一直下去ꎬ可得:ａ１>ａ３> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬａ２<ａ４< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２(ｎɪＮ∗).即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ利用单调有界定理可得:ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).实际上ꎬ这里Ａ＝Ｂ＝１４.下面利用数列极限知识计算ＡꎬＢ的值.因为ａ２ｎ＋１＝ａ２２ｎ－２ａ２ｎ＋２－１ꎬａ２ｎ＋２＝ａ２２ｎ＋１－２ａ２ｎ＋１＋２－１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝Ａ２－２Ａ＋２－１ꎬＡ＝Ｂ２－２Ｂ＋２－１.解得Ａ＝Ｂ＝１４.因此存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.解法２㊀当ｂ＝－１时由题意ꎬ得(ａｎ＋１＋１)２＝(ａｎ－１)２＋１.从而得到(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１)２＋１.①假设存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有的ｎɪＮ∗都成立ꎬ又ａｎ＋１＋１ȡ１ꎬ则(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ＋１＋１)２.由①式得(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１.由(ａ２ｎ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１ꎬ解得ａ２ｎ<１４.由①式得(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１４)２－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ˑ１４＋１５１６＋１＝２５１６.解得ａ２ｎ＋１>１４.综上ꎬ得ａ２ｎ<１４<ａ２ｎ＋１.故存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.９２例２㊀(２０１２年大纲全国卷理)函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ－３.定义数列{ｘｎ}如下:ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１是过两点Ｐ(４ꎬ５)ꎬＱｎ(ｘｎꎬｆ(ｘｎ))的直线ＰＱｎ与ｘ轴的交点的横坐标.(１)证明:２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３ꎻ(２)求数列{ｘｎ}的通项公式.解析㊀由题意得ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２.(１)参考答案用的是数学归纳法.(２)ｘｎ＝３－４３ ５ｎ－１＋１.过程略背景分析㊀由ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１＝４－５ｘｎ＋２知ꎬ２ɤｘｎ<４.由于ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３ｘ＋２＝４－５ｘ＋２在[２ꎬ４)上单调递增ꎬ根据定理２的情形(１)ꎬ知数列{ｘｎ}单调递增.由单调有界定理ꎬ知ｌｉｍｎңɕｘｎ存在ꎬ不妨设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａꎬ则ｌｉｍｎңɕｘｎ＋１＝Ａ.对ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２两边取极限ꎬ得Ａ＝４Ａ＋３Ａ＋２ꎬ即(Ａ＋１)(Ａ－３)＝０ꎬ解得Ａ＝－１(舍)ꎬＡ＝３.所以２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３.例３㊀设数列{ａｎ}满足:ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｂ１＋ａｎꎬｎɪＮ∗.(１)若ｂ＝－１４ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１２ꎬ求数列{ｂｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.解析㊀(１)ｂｎ＝３６ｎ－４.(２)方法类似于例１的解法２.背景分析㊀由于数列为正项数列ꎬ因此迭代函数ｆ(ｘ)＝１１＋ｘ在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ(０ꎬ１].由ｃ＝ｆ(ｃ)求出不动点ꎬ得ｃ＝５－１２.根据以上分析ꎬ其高数背景是定理２的情形(２)ꎬ即需证子列{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}分别单调ꎬ且收敛于同一极限ｃ.ａ２＝１１＋１＝１２ꎬａ３＝１１＋ａ２＝２３<ａ１＝１.即０<ａ３<ａ１＝１由ｆ(ｘ)在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ得ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.即０<ａ２<ａ４<１.进而ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５ꎬａ４＝ｆ(ａ３)<ｆ(ａ５)＝ａ６ꎬ一直下去ꎬ可得ａ２<ａ４<ａ６< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２ꎬａ１>ａ３>ａ５> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１.即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ故ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).因为ａ２ｎ＋１＝１１＋ａ２ｎꎬａ２ｎ＋２＝１１＋ａ２ｎ＋１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝１１＋Ａ且Ａ＝１１＋Ｂꎬ解得Ａ＝Ｂ＝５－１２.３结束语站得高ꎬ才能看得远.作为教师ꎬ应该具备一定的高等数学知识ꎬ这其实就是我们大学本科四年学习的基本功ꎬ这样ꎬ遇到压轴题才能轻松应对ꎬ游刃有余.在具体操作上ꎬ可先分析出试题的高数背景ꎬ获得答案ꎬ这时就得到了解题的方向ꎬ然后再用高中知识和方法去书写解题过程.由此可见ꎬ掌握一定的高数知识ꎬ弄清楚高考题的高数背景和命制思路是非常必要的.参考文献:[１]王晖.数列很重要㊀综合常考到[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(１２):５－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０３。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
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≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
所有不等式相加可得
１
（ Ｃ） （ Ｄ）
一
１
１
十
１＋ … ＋
，
利 用题设 结 论 ： 当砣 ≥ ３时 ，
１
十
点评
本 题 以 函数 凹凸 性 的概 念 入 题 ，
１＋
…
实际要求考生判 断 ４ 个 函数 的凹凸性 ， 考生 只要理解 了题给信息即能迅速得到答案 八 ２ 具有 调和 级数 背景 例２ （ ２ ０ ０ ５ 年高考湖北卷第 ２ ２ 题） 已
＋ … ＋６
点评 其实这类 函数考查的是凸函数的
～
＋ ＋ …＋ｂ ｉ
ｂ １ ＋６ ２ ＋…＋６ ，
（１ ） 若ａ １ ６ ｌ ＋ａ ２ ｂ ２ ＋ … ＋ａ ｂ ≤ ＋ｂ ２ ＋ …＋厅 ， 贝 ４ ｎ ２ ｎ …ｎ ≤ ≤ １ ；
则ｇ （ Ｉ ｎ
｝
得 ｇ （ ｚ ） 在 （ ｆ ） ， ） 上 递 减 ， 在 （ ， １ ） 上 涟 （ ｜ ． ） 若ｂ １ － ｔ － ？ ， ２ － ｔ － …＋ 一 １ ， 则 音 ≤ 易
（ Ⅱ） 猜 测数列 ｛ ａ ） 是否 有极 限？如果 有， 写 出极 限 的值 （ 不 必证 明） ；
（ Ⅲ） 试确定一个正整数 Ｎ， 使得 当 ， ｚ ＞
Ｎ 时 ， 对 任 意 ６ ＞ ０ ， 都 有 口 ＜ 吾 ．
解 下 面 只证 明 （ Ｉ） ．
（ １ －￣ ） ｘ ２ ］ ￣２ ｆ （ ｘ １ ） ＋（ １ －Ｚ ） ｆ （ ｘ ｚ ） 恒成立”
＋ ＞ 丢 ［ １ 。 ｇ ２ ］ ，
，
则得当 ≥３ 时有 ： １ ｌ＞ｌ［ １ ｏ ｇ ２ 咒 ］
又ａ １ —６ ， 故
知 不 等 式 １ 十 １ ＋ … ＋ ＞ 专 ［ １ ｏ ｇ ａ ｎ ］ ， 其 中
行 为大于 ２ 的整数 ， ［ １ ｏ ｇ ｚ ］ 表示不超过 ｌ ｏ ｇ ｚ ｎ 的最大整数． 设数列 ｛ ａ ） 的各项为正， 且满足
第３ ２ 卷第 ｌ ０期
２ ０ １ ３年 １ ０月
数 学教学研究
２ １
高考数学试题中的高等数学背景
黄 俊峰 ，袁 方程 ，陈俊 杰
（ 湖北省 大冶市第 一中学 ４ ３ ５ 的 不 等
式综合题在高考 中频繁出现， 本文重点分析 几种常见的高等数学为背景的试题．
ａ ｌ 一６ （ ６ ＞ｏ ） ， 口 ≤ — ， 一 ２ ， ３， ４ ， …．
： １ Ｉ Ｅ ￣ ［ Ｉ 。 ｇ ２ 咒 ］ ＿ ２ ｑ ｔ － ｂ ￣ ｂ Ｏ ｇ Ｚ ｎ ］ ，
即 ＜ 丽 ２ ｂ ．
１是 高等数学中 点评 调和级数
２ ２
数学教学研 究
蹦 ６ …ｂ ｆ ， ≤６ ｝ ＋６ ； ＋…＋６ ： ．
证明 下 面只证 （ Ｕ） （ｉ ｉ ） ．
增 ， 所 以 ｇ （ ） ≥ ｇ （ ） 一 ｏ ， 则 不 等 式 （ 】 ） 成
立， 在 不等 式 （ １ ） 中， 取 ｘ＝ｂ ￡ ， ｋ ＝１ ， ２ ， …， ， 则有
的 只有 （ ） ．
当 咒 ≥ ２ 时 ， ０ ＜ 口 ｎ ≤ 告 ， 故
ｎｎ‘
≥ 一一 ＋ ， ， ｔ ｎ 一１ Ｏ － ｎ －１ ， ｌ
即 １一
（ ）
≥
，
于是有
（ Ｂ）
（ Ａ）
： １
。
１ ＞１
，
．
１
一
１
１
，
…
…
去 一 ≥ ．
第３ ２ 卷第 １ ０ 期
２ ０ １ ３ 年 １ ０月
重 要 的发 散级 数 ， 而 本题 以调 和级数 为背 景 ，
用切线 段代替 曲线 段 ， 当Ｏ ＜ｘ ＜ ｌ时 ， 证 明
给 出相关 的一 个 不 等 式 结论 ， 要 求 考 生 利用 结 论证 观相关 命题 ．
３ 具 有琴 生不等 式背 景