全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学文理2套合集含答案
2019年高考文科数学全国I II卷含答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z =( ) A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UB A =( )A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则( )A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=( ) A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=( )A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学(文)试题+Word版含答案
绝密★启用前
2019届高三全国I 卷五省优创名校联考
数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U ＝R ，则下列能正确表示集合M ＝{0，1，2}和N ＝{x|x 2＋2x ＝0}关系的韦恩（Venn ）图是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设复数z ＝2＋i ，则
25z z
+= A ．－5＋3i
B．－5－3i
C．5＋3i
D．5－3i
3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是
A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高
C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
4．设x，y满足约束条件
60
3
30
x y
x
x y
-+
⎧
⎪
⎨
⎪+-
⎩
≥
≤
≥
，则
1
y
z
x
=
+
的取值范围是
A．（－∞，－9]∪[0，＋∞）B．（－∞，－11]∪[－2，＋∞）。
五省创优名校2019-2020学年高三上学期全国I卷第二次联考数学(文)试题
绝密★启用前 五省创优名校2019-2020学年高三上学期全国I 卷第二次联考数学（文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．命题:(1,),23x p x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是 A.(1,),23x x ∀∈+∞… B.(,1],23x x ∀∈-∞… C.00(1,),23x x ∃∈+∞… D.00(,1],23x x ∃∈-∞… 2．已知集合{}2|20,{|||1}M x x x N x x =->=… ，则M N = A.{|01}x x <… B.{|11}x x -剟 C.{|02}x x << D.{}11x x -<< 3．函数()2()ln 4f x x =- 的定义域是 A.[12-，） B.(2,2)- C.(1,2)- D.(2,1)(1,2)--- 4．复数z 满足|2||2|z i z -=-=，则||z = A.1 C.2 D.4 5．已知 1.10.60.4log 0.4,log 0.6,2a b c === ，则 A.a b c << B.b a c << C.a c b << D.b c a <<装…………○…………订………※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题装…………○…………订………6．已知非零向量a与b满足|a|＝2|b|，且|a+2b|=2b-，则向量a与b的夹角是A.6πB.3πC.23πD.56π7．已知函数4()(1)e e2x xf x mm-=--+，则“2m=”是“f x（）是奇函数”的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件8．函数22sin||1()xf xx-=的部分图象大致是A. B.C. D.9．已知()*()2cos3f x xπωω⎛⎫=+∈⎪⎝⎭N在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且413fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，则23fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭A. B. C.±1 D.110．定义在R上的函数f x（）满足23f x f x+=（）（），且当[0,2)x∈时，()(2)f x x x=-，则函数1()9y f x=-在(4,4)ε-上的零点个数为A.5B.6C.7D.811．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外接球的表面积为线…………○……线…………○…… A.29π B.34π C.41π D.50π 12．定义在R 上的函数f x （）满足4(1)(2)()x ef x f x ++=- ，且对任意的1x ≥ 都有()2()0f x f x '+> （其中()f x '为f x （）的导数），则下列一定判断正确的是 A.4e (2)(0)f f > B.2e (3)(2)f f < C.6e (3)(1)f f <- D.10e (3)(2)f f <-第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数13()e xf x x-=-的图象在1x=处的切线方程是________.14．已知1tan3α=，则sin2α=________.15．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。
2018-2019全国一卷五省优创名校高三联考数学理科试题及答案
1
4 3
2
,1
2,
1
4 3
2
D .
1
4 3
2 ,1 4 3
2
12 已知定义域为 R 的函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且函数 f(x)的图象与 x 轴至多有
一个交点,当 x≥1 时, f (x) e2x2 1 x3 1 x2 6x a ex1 4 则 a 的取值范围为
他把该问题归结为如图 2 的“一笔画”问题,并证明了上述走法是不可能的假设在图 2 七条
线中随机选取两条不同的线,则这两条线都与 A 直接相连的概率为（ ）
A. 2
B. 3
7
7
C. 1
D.10
2
21
6. 如图,在△ABC 中 BC 3BD, AE 2 AD,CE （ ） 3
A. 4 AB 5 AC 99
B. 4 AB 7 AC 99
C. 4 AB 1 AC 33
D. 4 AB 7 AC 99
7 已知命题:周期函数都有最小正周期;命题 q 若 lg x lg y 0 ,则 x2 y2 2 ,则下列为真
命题的是（ ）
A.p q
B.(p) q
C.p (q)
D.(p) (q)
8.一个圆锥的三视图如图所示,圆锥表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,点 N 在侧视图上 的对应点为 B,则在此圆锥侧面上,从 M 到 N 的路径 A 中,最短路径的长度为（ ）
z2
=（
）
A. 5
B.3
C. 7
D.4
2
2
3 命题“直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象的交点至多有 1 个”的否定是（ ） A 存在直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象的交点 1 个也没有 B 存在直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象的交点恰好有 1 个 C 存在直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象的交点至少有 2 个 D 存在直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象的交点至少有 1 个
五省创优名校2019-2020学年高三上学期全国I卷第二次联考数学(文)试题
2020年普通高等学校招生全国I 卷五省优创名校第二次联考数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.命题:(1,),23xp x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是A. (1,),23xx ∀∈+∞… B. (,1],23xx ∀∈-∞… C. 00(1,),23xx ∃∈+∞…D. 00(,1],23xx ∃∈-∞…2.已知集合{}2|20,{|||1}M x x x N x x =->=… ，则M N =A. {|01}x x <…B. {|11}x x -剟C. {|02}x x <<D. {}11x x -<<3.函数()2()ln 4f x x =-- 的定义域是 A. [12-，） B. (2,2)-C. (1,2)-D. (2,1)(1,2)---4.复数z 满足|2||2|z i z -=-=，则||z =A. 1B.C. 2D. 45.已知 1.10.60.4log 0.4,log 0.6,2a b c === ，则 A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a <<6.已知非零向量a 与b 满足|a |＝2|b |，且|a +2b 2b -，则向量a 与b 的夹角是 A.6π B.3π C.23π D.56π 7.已知函数4()(1)e e 2xxf x m m -=--+ ，则“2m = ”是“f x （） 是奇函数”的A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件8.函数22sin ||1()x f x x-=部分图象大致是AB.C.D.9.已知()*()2cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且413f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则23f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C. ±1 D. 110.定义在R 上的函数f x （） 满足23f x f x +=（）（） ，且当[0,2)x ∈ 时，()(2)f x x x =-，则函数1()9y f x =- 在(4,4)ε- 上的零点个数为A. 5B. 6C. 7D. 811.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的外接球的表面积为A 29πB. 34πC. 41πD. 50π12.定义在R 上的函数f x （）满足4(1)(2)()x e f x f x ++=- ，且对任意的1x ≥ 都有()2()0f x f x '+> （其中()f x '为f x （）的导数），则下列一定判断正确的是的..A. 4e (2)(0)f f > B. 2e (3)(2)f f < C. 6e (3)(1)f f <-D. 10e (3)(2)f f <-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数13()e x f x x -=- 图象在1x = 处的切线方程是________.14.已知1tan 3α=，则sin 2α= ________. 15.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。
山西省2019年普通高等学校全国I卷五省创优名校第五次联考数学文科试题含答案
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数学参考答案文科
#!*!解析本题考查复数的四则运算与复数的模考查运算求解能力!
"+!%&,"!!#-,"+(-!.,+'-!,#"""+槡#'!
!!/!解析本题考查集合的交集考查运算求解能力!
0#+$&!#&##"%#1##$+$&!#&#%!
'!)!解析本题考查分段函数的零点考查分类讨论的数学思想!
当%$"时#&!%"的零点为234!#!&当%%"时#&!%"的零点为"和&!#故&!%"的零点个数为'!
.!5!解析本题以百家姓为背景考查古典概型考查运算求解能力!
满足条件的姓氏为赵'孙'李'周'吴'郑'王'陈'杨'朱'何'张#共#!个#故所求概率为# !! .+
# '
6.6!槡!+7'槡!!
7!*!解析本题考查平面向量的数量积的应用考查函数与方程的数学思想!
(全国I卷)2019届高三数学五省优创名校联考试题 理
2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个B．2个C．3个D．无穷个2．34i34i 12i12i +--= -+A．－4B．4C．－4iD．4i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x y z x ++=+的取值范围是A ．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B ．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C ．[－8，1]D ．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为AB．1 2C．1 3D．1 48．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为 A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________． 15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知22()sin a c b C +=+．（1）求B 的大小；（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC的面积为a ．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE CS λ=．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g （x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,22x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++，所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 22ac B ac ==ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64，所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1．因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD 的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ， 则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0）， 所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=，(0,1,2)SB =-，(2,0,2)SD =-．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||sin |cos,|||||BE BE BE θ⋅===n n n20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ， 因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切， 1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，② 由①②消去r 得y 2＝8x ， 所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+，所以120210200120128(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2，代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数），整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x ＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1． 又()1bg x x '=+，g′（1）＝1＋b ，切点为（1，1），所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1．（2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11()1x g x x x -'=-=，所以当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0；当x ＞1时，g′（x ）＞0，所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值，即g （x ）min ＝g （1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝（e －2）x ＋1． 下面证明：当x ＞0时，f （x ）≥（e －2）x ＋1．设h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1，则h′（x ）＝e x －2x －（e －2），再设k （x ）＝h′（x ），则k′（x ）＝e x －2，所以h′（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e ，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x 0∈（0，1），使得h′（x 0）＝0，所以，当x ∈（0，x 0）∪（1，＋∞）时，h′（x ）＞0；当x ∈（x 0，1）时，h′（x ）＜0． 故h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h （0）＝h （1）＝0，所以h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1≥0，当且仅当x ＝1时取等号，所以e x －（e －2）x －1≥x 2．由于x ＞0，所以e (e 2)1x x x x---≥． 又由（2）知，x －lnx≥1，当且仅当x ＝1时取等号，所以，e (e 2)11ln x x x x x---+≥≥， 所以e x －（e －2）x －1≥x（1＋lnx ），即e x －x 2＋x （x －lnx ）≥（e －1）x ＋1， 即f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1．22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值． 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，即等价于26ax x -<<，所以由题设得26ax x-<<在x∈（0，2）上恒成立，又由x∈（0，2），可知21x-<-，63x>，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．。
2019年普通高等学校招生全国一卷五省优创名校联考数学(理)试题答案
+ ' ' 槡 率为 -* 0 * ! # ! $ 解析 本题考查简单几何体中的最小距离问题 考查化归与转化的数学思想及运算 # " ! 9 ! 求解能力! 如图 点 , 关于平面# 连接 # 设 1 为 %# 则# % * 的对称点为 ,# , * 1* # #! # 的中点 #
! " # $年普通高等学校招生全国
# $ & # # & # ' ' (
! !" 则 1! " " % 即'! " ! ' ! ? $1! $ '' ! 解析 本题考查直线与抛物线的综合运用 考查化归与转化的数学思想及运算求解能力! # ! ! 9 ! ! ! ! ! # ! ' 6 & & & & 设 #! % % % % % 设直线 # % 直线 # %! % *! % ,! % % 的方程为$*/ 6 * 和% , 的方程为 #" !" '" 6" # & & & & &+ 7 7 7 7 % 直线 * ! " % $*/ ! , 的方程为$*/ 3 3 " $ ! ' &+ &+ $*/ &+ 6 ! 联立 ! # % 整理得& % 所以& & 7 / ' ! * " ' ! ! # #( !*& && & 7 $ &* 同理可得& % # , # , ! #( '*& !( 6*& & & & ! # , # , # , # , 5 # , # , # , #+ !" & #+ ! & & & 则& % % 所以& % *& 7 & *& * ! '*& 6*& '( 6* '+ 6*& & & & & ! # ! # ! # ! #( ! & & & & & & & & 7 % 7 # , % !& # ! & & 因为. 所以. . * * ! ! #* ! !* !* . #+ ! '+ 6 & #+ ! # & & & & & ! # & & & 7 7 $*/ 3 &+ ! 联立 ! ' % 整理得& % & 7 / 7 3 * " ' && * 7 $ & 所以& % 因为& % 所以3 % 7 3 7 * # '( 6*& '( 6*& & & . ! 所以直线 * % " % 故 +/+ , 恒过点+! # " 4* ! + # + " * ' ! . # 解析 本题考查二项式定理 考查运算求解能力! # ' ! & # ! # # % ! # ! & " *& # ! $& " 的展开式中$ 的系数为 ( 槡 %5 ! % % $' & % 本题考查线性规划 考查数形结合的数学思想! # 6 ! & # ! 解析 % ! $+ 6 & && 与点 -! % " 所在直 "* * + !的几何意义为点 5! $% ! " &" $& ! $& ! 画出如图的可行域% 当直线 -5 经过点#! % " 时% 线的斜率再加! ! # ' # $ ) 当直线 -5 经过点%! % " 时% + ! * ! " ' + ! *& # & ' # " < 4*& < 3 @*& % % 解析 本题考查解三角形 考查运算求解能力! # % ! '! 槡 因为' 所以' ( : / ; #* 6 : / ; *+ 7 : / ; %% ; 4# : / ; #* ; 4% : / ; *+ ; 4 * : / ; %* # 由余弦定理% ! ! ! 因为; % 所以: 得( 4#+ " / ;#* ! * 6 + 7 & ! 6 7 : / ;# ; 4#% ' 7 ! ! ! ! " " " % 即(,槡 *! 6 + 7 & 6 7 6 + 7 & ! 6 + 7 * ' '! ,! ' ' 解析 本题考查三视图与球体的表面积 考查空间想象能力及运算求解能力! # , ! 6 # ! 由三视图还原可得该棱锥为三棱锥 #&% 其中 %% 所以其外接球也是三棱柱 * ,% * 为正方体棱的中点% ! ! !% 如图" 的外接球% 设)# 则! 解得 8* % % 则该三棱 # % 1&+ * ,! % 1 的外接圆的半径为8% 6 &8"+! *8 !
(全国I卷)2019届高三数学五省优创名校联考试题 文
2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝R ，则下列能正确表示集合M ＝{0，1，2}和N ＝{x|x 2＋2x ＝0}关系的韦恩（Venn ）图是A ．B ．C ．D ．2．设复数z ＝2＋i ，则25z z+= A ．－5＋3i B ．－5－3i C ．5＋3i D ．5－3i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A ．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则1y z x =+的取值范围是A ．（－∞，－9]∪[0，＋∞）B ．（－∞，－11]∪[－2，＋∞）C ．[－9，0]D ．[－11，－2] 5．函数211()ln ||22f x x x =+-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC．64－6πD．64－8π7．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6B．i＜7C．i＜8D．i＜98．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A．1 9B．3 18C．2 9D．5 189．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22()sin a c b C +=+，则B ＝A ．6π B ．4πC ．23πD ．3π10．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A ．2B ．12 C ．13D ．1411．已知奇函数f （x ）在R 上的导数为f′（x ），且当x ∈（－∞，0]时，f′（x ）＞1，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x－3的解集为 A ．（3，＋∞） B ．[3，＋∞） C ．（－∞，3] D ．（－∞，3）12．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为 A ．574B ．1114 C ．1054D ．1174第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则（2a ＋b ）·（a －3b ）＝________． 14．253sin 50________43cos 20-︒=-︒． 15．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22147ln 2b a a +-取得最小值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ．18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，点E 在棱CS 上，且CE ＝λCS ．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求点E 到平面SBD 的距离．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()2ln af x x a x=-+-． （1）若函数f （x ）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a 的取值范围；（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），22e(1)ax aax-<-．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（文科）1．A2．C3．D4．A5．C6．B7．B8．C9．D10．C 11．B 12．C 13．72- 14．215．36 16．417．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++． 18．解（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯=．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ， 则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ，故所求概率93()155P A ==． （ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ， 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：由题设得，111()2332S BCD BCD V S SA CD AD SA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，又因为SB ==BD ==SD ==，所以12SBD S SD =⋅=△，设点C 到平面SBD 的距离为h ，则由V S —BCD ＝V C —SBD 得h =因为13CE CS =，所以点E 到平面SBD的距离为23h =20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2，代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立， 所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：由题意得22()0af x x x '=--≤，即a≥－2x 在[1，＋∞）上恒成立，所以a≥－2．（2）证明：由（1）可知2222()a x af x x x x +'=--=-，所以f （x ）在（0，2a -）上单调递增，在（2a-，＋∞）上单调递减．因为－2＜a ＜0， 所以112aax -<<-， 所以(1)(1)0af f x -<=，即2ln(1)01aaa a x x--+-<-， 即222ln(1)ln(1)a aax a x x <-=--， 所以22e (1)a x a a x -<-．22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48， 化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。
2019届全国I卷高三五省优创名校联考数学(理)试题
2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|3x 2－13x －10＜0}和N ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z }的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 2．34i 34i12i 12i+--=-+ A ．－4 B ．4 C ．－4i D ．4i3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π-B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜97．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为AB．12C．13D．148．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C ．D ．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x ＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ． 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD 的表面积是________．15．在（x 2－2x －3）4的展开式中，含x 6的项的系数是________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n ＝na n ＋1－n 2－n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{b n }的前n 项和T n ．18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知22()sin a c b C +=+．（1）求B 的大小；（2）若b ＝8，a ＞c ，且△ABC的面积为a ．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，且CE C S λ=．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ；（2）若13λ=，求直线BE 与平面SBD 所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝－1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （－2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,22x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．B9．C10．B11．C12．D13．114．3615．121617．解：（1）由条件知S n＝na n＋1－n2－n，①当n＝1时，a2－a1＝2；当n≥2时，S n－1＝（n－1）a n－（n－1）2－（n－1），②①－②得a n＝na n＋1－（n－1）a n－2n，整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++，所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 22ac B ac ==ac ＝12．又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ．又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A为原点，AD 的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0）， 所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+= ，(0,1,2)SB =- ，(2,0,2)SD =- ． 设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则00SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ， 所以200y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|29||||BE BE BE θ⋅=== n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，所以1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210200120128(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x ＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a ＝－1． 又()1b g x x'=+，g′（1）＝1＋b ，切点为（1，1），所以切线方程为y ＝（1＋b ）（x －1）＋1，同理可得b ＝－1．（2）解：由（1）知，g （x ）＝x －lnx ，11()1x g x x x -'=-=， 所以当0＜x ＜1时，g′（x ）＜0；当x ＞1时，g′（x ）＞0，所以当x ＝1时，g （x ）取极小值，同时也是最小值，即g （x ）min ＝g （1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝（e －2）x ＋1．下面证明：当x ＞0时，f （x ）≥（e －2）x ＋1．设h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1，则h′（x ）＝e x －2x －（e －2），再设k （x ）＝h′（x ），则k′（x ）＝e x －2，所以h′（x ）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e ，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0， 所以存在x 0∈（0，1），使得h′（x 0）＝0，所以，当x ∈（0，x 0）∪（1，＋∞）时，h′（x ）＞0；当x ∈（x 0，1）时，h′（x ）＜0．故h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h （0）＝h （1）＝0，所以h （x ）＝f （x ）－（e －2）x －1≥0， 当且仅当x ＝1时取等号，所以e x －（e －2）x －1≥x 2．由于x ＞0，所以e (e 2)1x x x x---≥． 又由（2）知，x －lnx≥1，当且仅当x ＝1时取等号，所以，e (e 2)11ln x x x x x---+≥≥， 所以e x －（e －2）x －1≥x （1＋lnx ），即e x －x 2＋x （x －lnx ）≥（e －1）x ＋1， 即f （x ）＋xg （x ）≥（e －1）x ＋1．22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-===． （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值． 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x ＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x -<<在x ∈（0，2）上恒成立，又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D ．无穷个
3 4i 3 4i 2． 1 2i 1 2i
A ．－ 4
B．4
C．－ 4i
D． 4i
3．如图 1 为某省 2018 年 1～ 4 月快递业务量统计图，图 图，下列对统计图理解错误的是
2 是该省 2018 年 1～ 4 月快递业务收入统计
A ． 2018 年 1～ 4 月的业务量， 3 月最高， 2 月最低，差值接近 2000 万件
2019 届高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考
数学理
一、选择题：本大题共 12 小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 U＝ R，集合 M ＝ {x|3x 2－ 13x－ 10＜0} 和 N＝ {x|x ＝ 2k， k∈ Z } 的关系的韦恩（ Venn） 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
x y1 x 1 的取值范围是
·1·
B ．2018 年 1～ 4 月的业务量同比增长率均超过 50％，在 3 月最高
C．从两图来看， 2018 年 1～ 4 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从 1～4 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长
4．设 x， y 满足约束条件
x y 6≥ 0
x≤ 3 x y 3≥ 0 ，则 z