2[1].6 刚体的定轴转动
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刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
大学物理 1刚体
P
a n r
2
d dt
d d 2 2 dt dt
θ
刚体 r O × 参 考 方 向
dv at r dt
当
const.
定轴
0 t 2 1 ( 0 ) t 2 t 2 2 0 2 ( 0 )
o
· o
2.1.2 角速度和角加速度
ω
v r
P
r
刚体
刚体绕O点的转动其转轴是 可以改变的，为了反映转动 的方向及转动快慢，引入 角速度矢量 和角加速 度矢量
基点O×
转动平面
瞬时轴
v r r// r） r
t 0,
0
dS
O
r
3. 用积分法求力矩。
r不同时，v不同，力不同，力 臂也不同，需要划分微元求M
m
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元 具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
0
dF f dS f 2 r dr
f11
r m
f11 r f f⊥ M r f11 f r 对转动没影响 M r f r f f 应理解为在转动平面内 大小： M r f sin 方向：沿r f
2.1.3 定轴转动刚体的转动惯量
一、转动惯量的定义
J
J
m
2 mi ri
2
(分立)
J r dm
2
r
dm
m
体积
r
2
dv r ds r d l
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
§6定轴转动
两者之差= 两者之差=刚体对 轴承附加压力。 轴承附加压力。
& − I xzω 2 − I yzω = AB • N B x + M y
& I zz ω = M z
& （2） ω ≠ 0 , ω ≠ 0 时， v v N A , N B 为动力反作用力
5、动平衡及条件 、
动平衡:刚体做定轴转动但对轴承无附加压力. 动平衡:刚体做定轴转动但对轴承无附加压力. 要求在转动时反作用力与静静止时反作用力相等， 要求在转动时反作用力与静静止时反作用力相等，即：
n
& − m ω yC + mx Cω = N Ay + N By + ∑ Fiy
2 i =1
0 = N Az +
∑F
i
iz
(3.6.10)
& I yzω 2 − I xzω = − AB • N B y + M x
& − I xzω 2 − I yzω = AB • N B x + M y
& I zz ω = M z
动平衡条件为: 动平衡条件为
& − I xz ω 2 − I yz ω = 0
①重心在转轴上②转轴是惯量主轴 重心在转轴上②
r F3
N
Bx
z
N
B
By
ω
O
r F1
ϕ
N
Ri
Pi
Az
r F2
r Fn
N
Ax
A
N
Ay
y
返回
x
& − m ω xC − myC ω = N Ax + N Bx + ∑ Fix
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
第六章 刚体的平动和定轴转动
2
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
刚体的定轴转动习题
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2023-2026
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刚体的定轴转动习
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目 录
• 刚体定轴转动的基本概念 • 刚体定轴转动的力学分析 • 刚体定轴转动的运动分析 • 刚体定轴转动的习题解析 • 刚体定轴转动的实际应用案例
PART 03
刚体定轴转动的运动分析
刚体的角速度与角加速度
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，用ω表 示。单位是弧度/秒（rad/s）。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理 量，用α表示。单
转动轨迹
刚体转动的路径是一个圆或椭圆，其形 状取决于刚体的质量和转动轴的位置。
PART 04
刚体定轴转动的习题解析
简单习题解析
题目
一个质量为m，半径为R的 圆盘，以边缘某点为轴， 以角速度ω做定轴转动， 求圆盘的动量。
解析
根据动量的定义，圆盘的 动量P=mv=mrω，其中r 是质点到转动轴的距离， m是质量，v是线速度，ω 是角速度。
题目
一质量为m的杆，长度为l， 一端固定，绕另一端点做 定轴转动，求杆的转动惯 量。
航空航天器姿态调整中的应用
01
02
03
卫星轨道调整
卫星在轨道调整过程中， 通过刚体定轴转动实现姿 态的调整，从而改变推进 力的方向。
飞机飞行控制
飞机飞行过程中，通过刚 体定轴转动实现舵面的操 纵，从而调整飞行姿态和 方向。
火箭发射
火箭发射过程中，通过刚 体定轴转动实现发动机的 转向和稳定。
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PART 03
刚体定轴转动的运动分析
刚体的角速度与角加速度
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，用ω表 示。单位是弧度/秒（rad/s）。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理 量，用α表示。单
转动轨迹
刚体转动的路径是一个圆或椭圆，其形 状取决于刚体的质量和转动轴的位置。
PART 04
刚体定轴转动的习题解析
简单习题解析
题目
一个质量为m，半径为R的 圆盘，以边缘某点为轴， 以角速度ω做定轴转动， 求圆盘的动量。
解析
根据动量的定义，圆盘的 动量P=mv=mrω，其中r 是质点到转动轴的距离， m是质量，v是线速度，ω 是角速度。
题目
一质量为m的杆，长度为l， 一端固定，绕另一端点做 定轴转动，求杆的转动惯 量。
航空航天器姿态调整中的应用
01
02
03
卫星轨道调整
卫星在轨道调整过程中， 通过刚体定轴转动实现姿 态的调整，从而改变推进 力的方向。
飞机飞行控制
飞机飞行过程中，通过刚 体定轴转动实现舵面的操 纵，从而调整飞行姿态和 方向。
火箭发射
火箭发射过程中，通过刚 体定轴转动实现发动机的 转向和稳定。
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
09 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.
3-2
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
三.动量矩守恒定律
当M 外 0时 : L J 恒量
刚体所受合外力矩为零或不受外力矩作用，则刚体的动 量矩保持不变。 讨论： ⑴ J 不变， 亦不变 ⑵ J 变， 亦变。J 增大， 减小 ⑶ 内力矩可改变系统内各部分角动量，但不 能改变系统的总角动量。
L r mv r (mv mv// ) r mv r mv// Lz r mv
3-2
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
3.刚体对转轴的动量矩
刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面 内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动 量矩之和.
M
功 平动动能
W
F dr
力矩的功 转动动能
W Md
2
dt
dt
动能定理
转动动能定理 1 1 2 2 B 1 1 W M d J J 2 2 0 0 W F dr mv mv0 2 2 A
1 Ek mv 2 2
二.刚体定轴转动时的动量矩定理
d 由刚体定轴转动定律 M J dt d ( J ) dL M dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率. 将上式变形后积分
Mdt d( J) dL
t2 t1
t2
t1
Mdt J2 J1 L2 L1
Mdt 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为冲量矩.
质量 力 动量
m
F
转动惯量 力矩 动量矩
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
转动定理的积分形式力矩对时间和空间的累积效应
刚体绕定轴转动的动能 定理：合外力矩对绕定
0
轴转动的刚体所作的功
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
等于刚体的转动动能的 增量。
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上 绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多
少？设绳的质量忽略不计。
dW
Fvgdrv
F
drv
cos
2
Frd
sin
dW Md
W Md
说明：力矩作功的实质仍然是力作功。只是
对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来 表示，而是用力矩的角位移来表示。
0
2、力矩的功率
（1）定义：
单位时间内力矩对刚体所作的功。
（2）公式
P dW ＝M d M
dt
dt
功率一定时，转速越大，力矩越小； 转速越小，力矩越大。
一、刚体定轴转动的角动量定理
v
定轴转动定理
v M
v dL
同牛顿第二定律
v F
dpv
dt
dt
类似，以微分形式反映了力或力矩对刚体质点或 质点系的瞬时作用规律。如果我们要考虑一段时 间内外力矩对刚体的作用效果，则可对转动定理
表式对时间积分可得积分形式——刚体定轴转 动的角动量定理
由
M
dL
dt
得
Mdt dL
（3）意义
表示力矩对刚体作功的快慢
3、刚体的转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元Δmi，距转轴 ri，则此质元的速度为vi=riω，
动能为ห้องสมุดไป่ตู้
第四章 刚体的转动
四、角量与线量的关系
v r 2 an r
11
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时， 角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 e
t /
1 式中 : 540 r s ， 2.0 s ) m
平动与转动的叠加
5
随质心的平动
+
绕质心的转动
合成
6
5.刚体定轴转动的特点
(1)任一质点都是在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2)各质点的轨迹是半径大小 不一的圆周。在同一时间内， 各质点转过的圆弧长度不相 同。
A
A
z
r1
O1B rFra bibliotek2 O2 B
(3)各质点半径所扫过的角度
z
0
z
0
8
2.角加速度
d lim dt t 0 t
1
O
2 1
0
2
O
1 1
O
2
2 1
0
2
O
1
2
9
3.角速度矢量和线速度矢量的关系
v r
v
O
O
v
10
三、匀变速转动公式
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
y
2.14 10 N m
12
h dF
O
dy
y
Q
22
二、转动定律
1.受力分析
Fi、Fi 均在与Oz轴相垂直 的平面内。 2.运动方程
刚体的转动定律
6
例2、求质量为 ， 、求质量为m， 长度为l的均匀细棒 的均匀细棒， 长度为 的均匀细棒， l/2 h 对下列转轴C、 、 对下列转轴 、G、H H G C 的转动惯量。 的转动惯量。 设棒的线密度为λ， 解：设棒的线密度为 ，由转动惯量的定义式 2 J = ∫ x λdx 对C点： 点
1 3 2λ l 3 ml 2 J C = x λdx = λx = ( ) = 3 3 2 12 −l / 2 −l / 2
θ
dω dω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ
得
两边乘以dθ后积分得： 两边乘以 后积分得： 后积分得
1 2 3g cosθ 3g sin θ ∫ ωdω = 2 ω = ∫ 2l dθ = 2l 0 0
ω=
3g sin θ l
用能量守恒原理也可以解出ω 用能量守恒原理也可以解出 下降时重力做的功为: 由于均匀细棒的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为: 下降时重力做的功为
在机械能守恒定律中， 在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式 12 计算。 计算。
的均匀细直棒， 例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 角时的角加速度和角速度。 置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力 棒下摆为加速过程， 矩为重力对O的力矩。 矩为重力对O的力矩。 在棒上 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， dm,当棒处在下摆 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， 质元的重力为： 质元的重力为： dM=ldm g sin(900-θ) =λgldlcos(θ)
dt
角加速度 切向加速度为
刚体的转动
第四章 刚体的转动
靠近南北极地区和赤道附近地区自转速率差别很大，
发现
无论是门还是地球，
它们在运动过程中，虽然各个部位的运动情况不同，
但是在运动过程中，它们的体积和形状没有发生变化
或者说各个部位的相对位置没有发生改变
这类研究对象——刚体
第四章 刚体的转动
质点模型
从三个方面讨论：
刚体模型
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
2＝
2l
2
时的角速度，并求端点
A 和 B 点的线速度的大小。
解：
＝
d dt 3g 2l cos d dt
O θ
d dt
d d d dt
d d
B
A
d
0
2
3g 2l
cos d
3
d
0
2
3g 2l
第四章 刚体的转动
第四章 刚体的转动
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理. 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
at
2
0 0t 1 t2 2
2 2 0 2 ( 0 )
v0 2a( x x0 )
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4. 平行轴定理
质量为 m 的任意刚体，如果对通过其质心 C 的轴 的转动惯量为 JC ，则对与此轴平行并且相距为 d 的另 一个轴的转动惯量为 J J C md 2 这种关系称为平行轴定理。
1 3 2 2 J A J C mR mR mR mR 2 2 2
2
2
例如，对均匀圆盘
dM = g r · 2 r dr = 2 gr2dr
M dM
R
0
2 2 3 2gr d r gR mgR 3 3
2
2 1 mgR J mR 3 2
2
d dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t g 0 dt R 0 d 3 2
2
0
J
d d d d 因为 d t d d t d 3 g cos d 积分 0 d 0 2l
1 2 2L mL 3 d 3 g cos 所以 d 2l 3 g sin 得 l
四、定轴转动的动能定理
1、转动动能
n 1 1 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 i 1 2 i 1 2 n
J A x dm
2
L
0
1 3 1m 3 1 2 x dx L L m L 3 3 L 3
2
(2) 对于通过棒的中心并与棒垂 A C dx B x 直的轴，建立如图坐标系， O x L/2 -L/2 L/2 1 1 2 2 3 J C x dm x dx L mL2 L / 2 12 12 2 1 m L 1 另解： J C 2 mL2 3 2 2 12 2 2 注意， J A J C mL / 4 J C m AC
练2.9 求质量为 m，半径为 R 的均匀薄圆盘 对任意直径的转动惯量。
解：取垂直于转轴的窄条，距离盘心 为 y，长为 2x，质量为
dm dS 2 xdy
其转动惯量为（利用均匀细棒对质心 轴的转动惯量公式） 1 1 2 2 3 2 dJ (2 x) dm x dm x dy 12 3 3 所以圆盘的转动惯量为 2 R 2 2 m 3 4 1 2 3/ 2 2 R m R J dJ ( R y ) dy 2 R 3 3 R 8 4
1. 对固定点的角动量定理
质点系总角动量 L Li
i
Fi
i
对每个质点应用角动量定理 O dL ri Fi ri f ij dt i i j 所以第二项为零。
ri
rj
f ij
ri rj
f ji
j
Fj
作用力与反作用力力矩 ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
2、刚体的运动： 平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初 始位置间的连线 . 转动：各点都绕同一固定直线 (转轴) 做圆周运 动。转轴固定的转动叫定轴转动。
角位移，角速度和角加速度均相同
一般运动：平动 + 转动，较复杂。
二.质点系的角动量原理
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
θ2
θ1
M dθ Jωdω
ω1
ω2
θ2
θ1
1 1 2 2 M dθ Jω2 Jω1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
例2.15一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，可在竖直平面内转动。最初棒静止 在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度 解：对固定轴 O，棒仅受重力矩 1 M mgl cos C O 2 由定轴转动定律可得棒的角加速度 mg 1 M 2 mgl cos 3 g cos 1 2 J 2l 3 ml
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。 不规则的用实验测出
例2.11 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解:
J r dm
2
R dm R dm mR
2 2
2
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
转动惯量J
v i mi r O i
dLz d Miz (Jω) dt dt i 1
n
Lz J
3、转动惯量的计算
Lz J
p=mv
转动惯量J是转动惯性大小的量度
与转动惯量有关的因素： 总质量、质量分布与转轴 的位置。 单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量
J mr2
解： 已知薄圆盘的转动惯量。
R
r
dr
J r dm r σds
2 2
R
0
1 2 r σ2πrd r m R 2
2
如图建立坐标系，距离y处取一 薄圆板dy
x
O
dy y
dJ x dm x x dy
1 2 2 1 2 2 2
R
1 m R 2 2 2 2 2 J dJ 4 3 ( R y ) dy mR 2 3 R R 5
n
例2.14 把质量为 m，半径为 R 的定滑轮当作圆盘。 若 m1 > m2，忽略轴承摩擦力，且绳与滑轮间无滑动，求 物体 m1 和 m2 的加速度。 解：用隔离法分析三物体受力。 m1 g T1 m1a m T2 m2 g m2 a T1 T2 对滑轮利用定轴转动定律 T1 T2 1 m2 a M T1 R T2 R J mR 2 a m1 2 m2g m g 1 由于绳与滑轮间无滑动，所以 a R 若不计滑轮质量，则 m1 m2 m1 m2 g J 0, T1 T2 , a g 解得 a 1 m1 m2 2 m m1 m2
2.6 刚体的定轴转动
一 刚体定轴转动的描述
1. 刚体--特殊的质点系 (1) 无限多的质点组成的有限大小的质点系（实际 上是物质连续分布的物体，其微分体积称为质元)； (2) 无论施加多大的力都不会改变形状和大小，即任 意两点间的距离不会因施力和运动而改变； (3) 同质点一样，刚体也是物体的理想简化模型。
ω
θ2
θ1
1 1 2 2 Mdθ Jω2 Jω1 2 2
θ
0
1 1 mgLcos θ d J ω 2 2 2
1 1 2 mgLsinθ Jω 2 2
ω
mgLsin θ J
3gsin θ L
练2.12 如图，弹簧的劲度系数为 k =200N/m，轮子 的转动惯量为 4kg.m2 ，轮子半径 r =20cm。当质量为 60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物 体静止而弹簧无伸长。 解：由动能定理
l
dm dl gdm
dM l cosgdm gl cosdl
dM l cosgdm gl cosdl
重力对整个棒的合力矩为
M＝ dM gl cosdl
L
O
l
dm dl
gdm 1 gL cos mgLcos 1 2 2 mgL cos M 2 3g cos 代入转动定律，可得
J (mi ri2 )
i 1 n
质量连续分布的刚体的转动惯量 单位为千克·米2（kg·m2）
J
2 r dm m
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、 面密度和体密度。
dm ds
dm dV
线分布 注 意
面分布
体分布
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
1 2 比较： Ek Jω 2
L2 Ek 2I
1 2 Ek mv 2
p Ek 2m
2
2、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 Fi Fi cos i
O
d
ri
1 ρ 2 ππl dr ρπR 4 l 2
2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
例2.13求长为 L，质量为 m 的均匀细棒的转动惯量。 （分别对于通过棒的一端和中心并与棒垂直的轴求） 解：(1) 对于通过棒的一端并与 A dx B x x 棒垂直的轴，建立如图坐标系， O L
O
R dm
例2.12 求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转 动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV
2rdr l
3
dJ r 2dm 2lr 3dr
J dI
R R
O
r dr
R
0
m 1 ρ J mR 2 πR l 2
d ri i
Fi
M i Fi ri
对i求和，得： dA ( M i )d Md
2
A M d
1
力矩的功率为：
d dA P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
3、刚体定轴转动的动能定理
dω dω dθ dω Jβ J Jω M J dt dθ dt dθ
第一项为质点系所受合外力矩 M ri Fi
i
2、质点系对轴的角动量定理 设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动