2017考研数学线性代数之行列式复习

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考研数学第二章---行列式

第二章行列式知识点考点精要一、排列1、基本概念定义1：由1,2,,n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。

定义2：排列中，若一对数前后位置与大小顺序相反，则称为一个逆序，一个排列中逆序总数称为该排列的逆序数。

定义3：逆序数为偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列。

2、性质性质1 对换改变排列的奇偶性。

性质2 任一n 级排列与排列1,2,,n 都可经过一系列对换而互变，并且所作对换个数与该排列有相同奇偶性。

性质3 n 级排列共有!n 个，其中奇排列、偶排列的个数各有!2n 个。

二、n 级行列式1、定义1212121112121222()12()12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12()n j j j ∑是对所有的n 级排列12nj j j 求和。

要点：（1）n 级行列式是!n 项的代数和；（2）每一项是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积；（3）在行下表按自然顺序排列的前提下，每项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性确定；（4）行列式的值是一个数。

2、行列式的性质性质1 行列式的行列互换，行列式的值不变；性质2 数k 乘行列式某行（列）等于数k 乘此行列式；性质3 如果行列式中某行(列)是两组数的和，那么行列式等于两个行列式的和；性质4 如果行列式中有两行（列）相同，行列式等于零；性质5 如果行列式中有两行（列）对应分量成比例，行列式等于零；性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列是不变；性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

3、行列式按行（列）展开设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =则下列公式成立：10nik jk k d i ja A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当； 10nsk sls d k la A k l ==⎧=⎨≠⎩∑当当。

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算精品文档，你值得期待行列式的定义 1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnb b A b b b b ==L M O L④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OAA O A BO B O BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-K N N1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111 ⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-=+--LLLM M M O M L⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==，其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLc. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLd. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得第三部分线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βαααL ，若存在一组数12,,,n k k k L 使得1122n n k k k βααα=+++L ，则称β是12,,,n αααL 的线性组合，或称称β可由12,,,n αααL 的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n αααL 的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L 有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M Ln n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭LL L M M M L ⇔i i A c β= ，(,,)i s =L 1,2 ⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣线性相关性的性质①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组的秩向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL 矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩L L L L L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解(3) 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηηL 线性无关；② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础解系通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 且有结果：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤ 12n A λλλ=L1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0.○注()12,,,Tn a a a L 为A 各行的公比，()12,,,nb b b L 为A 各列的公比. ⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i n r k k k -L 为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵） ②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

2017考研数学线性代数行列式复习要点

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考研数学对广大考生来说一直是一门较难科目，真对考研数学线性代数知识点，小编为大家整理好了复习要点，方便大家在备考初期阶段进行针对性的基础复习。

行列式
考试内容：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。

考试要求：
1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2、会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

希望大家遇到难题是不要气馁，坚持到最后才能够成功，祝愿考生们在今年的考试中都能够取得让自己骄傲的成绩！。

2017考研数学：行列式的复习方法

2017考研数学：行列式的复习方法一、关于考研数学一中的高等数学：同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的欧拉方程，伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;第九章第五节不考方程组的情形;第十二章第五节不考欧拉公式;二、关于线性代数数学一用的教材是同济五版线性代数1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。

其中向量组的线性相关性中数一考向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合数一也要考;三、概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计8、假设检验基础薄弱的同学，现在就可以投入复习了。

建议大家报数学春季基础班，可以初步建立自己的复习思路，为自己的复习起一个好头。

一般来说复习分为四个阶段：第一个是基础复习阶段，这一阶段的任务是主攻教材和课本，达到基础知识的了解和掌握;第二个阶段是强化训练阶段，顾名思义这一阶段的主要任务是全书阶段，全面地掌握各类知识点，并且详细地做笔记，对常考的题型做大量的练习;第三个阶段是巩固提高阶段，这一阶段是通过真题和模拟题的训练和分析来完成将数学的整体框架结构搭建起来;最后一个阶段是冲刺阶段，这一阶段的时间一般较短，主要是做一些题目来达到稳固水平的目的，并且再次地强化之前所记忆的知识点。

如何选择复习资料呢? 数学资料有两类，一类是复习教科书，一类是考研辅导专家针对考研而编写的资料。

教科书应是深广度适当，叙述详略得当，通俗易懂，便于自学，如同济六版的《高等数学》，浙大版的《概率论与数理统计》，同济版的《线性代数》;辅导书的选择应该严格按照考试大纲进行，选择的资料要紧扣考纲，不要购买含大量超纲内容的考研辅导资料。

考生应根据需要选择适合自己的资料。

老师提醒考生，资料不在多，关键在看透、掌握。

考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份

考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份知识点一：矩阵1.矩阵的定义：矩阵是一个由数域中的元素排列成的矩形阵列。

2.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等。

3.矩阵的类型：包括列矩阵、行矩阵、方阵、行满秩矩阵、列满秩矩阵等。

4.矩阵的转置：行变为列，列变为行。

5.矩阵的逆：满足矩阵乘法交换律的方阵，存在逆矩阵。

6.矩阵的秩：线性无关行（列）向量的最大个数。

知识点二：行列式1.行列式的概念：一个由n*n个元素构成的方阵，与其他方阵不同的一个特殊数。

2.行列式的性质：包括行互换、列互换、其中一行（列）乘以一个非零常数、其中一行（列）加上另外一行（列）的k倍等运算。

3.行列式的计算：包括按定义计算、按行（列）展开、按行列式的性质计算等方法。

4.行列式的性质与结论：含有零行（列）的行列式为零、对调两行（列）行列式变号、行列式与其转置行列式相等等。

知识点三：向量空间1.向量空间的定义：满足一定条件的集合，其中的元素可以进行向量运算。

2.向量空间的性质：包括封闭性、线性组合、线性无关、向量子空间等性质。

3.线性相关与线性无关：一组向量之间的线性组合关系。

4.基、维数与坐标：向量空间的基、维数与坐标之间的关系。

5.线性映射：保持向量空间的线性性质的映射。

6.矩阵的秩与线性方程组的解：矩阵的秩与方程组解的个数及解的性质之间的关系。

知识点四：特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：对于一个n*n矩阵A，如果存在常数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。

2.特征值与特征向量的计算：包括求解特征方程、求解特征向量的过程。

3.特征值与特征向量的性质：特征值的和等于矩阵的迹，特征向量对应不同特征值的特征向量线性无关等。

知识点五：二次型1.二次型的定义：一个含有二次项和线性项的多项式。

2.二次型的矩阵表示：用矩阵表示二次型。

3.二次型的规范化：将二次型化为标准形，即去除二次项的干涉项。

考研数学线性代数六章重点难点及复习建议

2017考研数学：线性代数六章重点难点及复习建议考研线性代数部分虽然比较抽象而且概念多、定理多、性质多、关系多，但相对去的其题型和考法都比较稳定。

所以，如果大家花点心思弄懂就很容易拿分了，下面凯程网考研频道就分别谈谈线性代数六个章节的重点及复习建议，供大家参考。

第一章行列式，本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理其他问题需要计算行列式，题目难度不是很大。

主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。

而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。

06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15年的数一的填空题考查的是一个n行列式的计算，。

今年16的数一、数三的填空题考查的是一个4阶带参数的行列式计算，用行列式的性质处理就行，还是考的比较基础。

第二章矩阵，本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识考大题。

本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。

14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。

16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数，这题只要知道等价的判断条件，那还是比较容易的，就是进行一个初等变换找秩关系即可。

2017考研数学(二)科目中行列式怎么算？

2017考研数学(二)科目中行列式怎么算？（来源：文都教育）在往年的数学（二）考试大纲中，明确要求考生“会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式”。

文都教育认为，鉴于考研数学大纲的稳定性，在2017考研的数学（二）科目中依然会出现计算行列式的题目，因此系统详细地研究这个知识点很有必要。

（一）计算行列式的主要方法计算行列式一般有两个思路：将一般行列式转化为上（下）三角行列式或对行列式进行降阶，具体的计算方法主要有如下几种：（1）应用行列式的性质计算行列式：①行列式中两行（列）互换，行列式的值变号。

②行列式的某一行（列）有公因子k ，则k 可以提取到行列式外。

③若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。

④把行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列），行列式的值不变。

（2）应用行列式按行（列）展开定理计算行列式：n 阶行列式等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即（3）利用方阵的特征值计算它的行列式：若A 是n 阶矩阵，(1,2,,)i i n λ= 是A 的特征值，则。

（4）应用如下公式计算行列式（A ，B 为n 阶方阵）：①TA A=；②AB A B = ，kkA A =，naA a A =；1122111221,(1,2,,).,(1,2,,).ni i i i in in ik ik k nj j j j nj nj kj kj k A a A a A a A a A i n A a A a A a A a A j n ===+++===+++==∏∏ 1ni i A λ==∏③1*n A A-=，11AA --=；④若矩阵A 和B 相似，即A B ，则A B =；（5）直接应用公式计算2阶行列式和3阶行列式：在具体的解题实践中，可能要多种方法并用。

在计算具有数值元素的低阶行列式时，往往需要利用行列式的性质对该行列式进行多次化简，以便行列式中出现尽可能多的零元素，这是一个值得重视的解题技巧。

考研辅导线性代数-行列式工科类

，则亦能得出 A 0
的结论．这里所涉及的思路与方法可以平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去．
本题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如。
B
1 2 3 1 22 43 1 32 93 1 2 3 2 33 2 53
1 2 3 2 33 23 2 1 2 3 2 33 3
2 1 2 2 3 2 1 2 3
三、行列式是否为零的判断
1、（98、3分）齐次方程组
x1x1
x2 x2
an1D1 (n 1)an (n 1)an
练习题(1)
1a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 D 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a
评注：本题可以按第一行（列）直接展开，建立递推公式；也可将各行（列）加到第一行（列）再展开，不过在建立，递推公式时一定要注意符号问题（如将各列加到第一列再展开），否则会出错！留作考生作练习。
1111 ,,,
2 3 4 5，
，
，则行列式 B1 E
，
练习一：要会计算这些题:
(1).（06，4分）设矩阵
2 A 1
1 2
，E为2阶单位矩阵，矩阵B满矩阵A的特征值为1，2，2,E为3阶单位矩阵，则
4 A1 E
(3)（03，4，3分）若 1,2 ,3, 1, 2
0 0 1
，其中A*为A的伴随矩阵.则
B
评注：本题没有必要解出，B 1 (A 2E)1 A
3
注意 kA kn A 不要出错
(3)（05，4分）设
1,2 ,3
均为3维列向量，记矩阵
A (1,2 ,3 )
，
B (1 2 3,1 22 43,1 32 93)

考研数学线性代数(高等代数)重点知识整理总结

考研线性代数（高等代数）重点知识总结一、行列式（一）行列式概念和性质 1.（奇偶）排列、逆序数、对换逆序数：所有逆序的总数。

2、行列式定义：所有两个来自不同行不同列的元素乘积的代数和。

重点：二、三阶行列式的计算公式3. n 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和，121212(..)12(1)...n n nj j j ijj j nj nj j j a a a a τ=-∑.4.行列式的性质（主要用于行列式的化简和求值）：（1）行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =）（2）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

（3）常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

（提公因式）推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

（4）行列式具有分行（列）可加性。

行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变。

余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。

（6）行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。

定理：①任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值； ②行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0.（7）克莱姆法则：① 非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D ，有唯一解：,(12)j j D x j n D==⋯⋯其中、；② 齐次线性方程组：当系数行列式0D ≠时，则只有零解。

逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零。

③ 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0。

④ 若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有0D =。

2017考研数学之行列式的计算方法

/行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能为更好的复习2016考研数学线性代数打好基础，大家切莫忽视。

（一）首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。

性质2交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3若行列式的某一行（列）各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。

推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行（列）。

推论2若行列式有两行（列）元素对应成比例，则该行列式的值为零。

性质4若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）与原行列式相同。

性质5将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。

行列式展开法：行列式按某行（列）展开也是解行列式常用的方法。

行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与各自的代数余子式乘积之和。

定理2：行列式D的某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零。

（二）几种特殊行列式的值//（三）关于高级行列式的几种计算方法/在计算高阶行列式前，一般都要先利用行列式的性质将原行列式化简。

至于用哪几条性质、采用什么方法化简以及采用哪条途径来计算，要根据行列式的元素及其构成的特点而定，常用的方法有：提取公因子（数）法、其他所有行（列）都加到某一行（列）、箭头形行列式、递推公式法等。

抽象行列式的计算：抽象行列式是指行列式中并没有给出具体的（数字或文字）元素，而这时的行列式常用矩阵或向量组的形式来标记，因此抽象行列式的计算往往要综合运用行列式的性质、矩阵或向量的运算性质，有些题还会用到行列式与矩阵特征值的关系。

线性代数复习提纲

线性代数复习提纲第一章行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。

要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。

1、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等，即D = D T。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。

（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。

（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。

（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n 阶行列式中i , j 元a .j 所在的第i 行和第j 列划掉后所剩的n -1阶行列式称为i , j _i + j元3ij 的余子式，记作M ij ;记Aj 二-1 M ij ，则称 Aj 为i , j 元a ij 的代数余子式。

（2）按行（列）展开定理：n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第i 行展开：D = a i i Ai a i 2A 2 …a^A n , （1 = 1,2,...,n ）也可按第j 列展开：…a nj A nj , （j = 1,2,..., n ）（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 a i 1 A j 1 a i 2 A j 2…a in A jn = 0, （i = j ）；或 a 1i A 1 j a 2i A 2 j …a ni A , （i = j ）D3、克拉默法则：X 厂一L , （i = 1,2,..., n ），其中D j 是D把D 中第i 列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。

2017考研数学基础;分析总结行列式的基本性质

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2017考研数学基础;分析总结
行列式的基本性质
线性代数有两个最基本的概念和工具，就是行列式和矩阵，它们几乎贯穿线性代数的始终。

掌握行列式的各种计算方法是考研数学大纲的基本要求，也是学习线性代数其余章节的基础，而行列式的计算是以行列式的各种性质为依据的，因此首先要掌握并会运用行列式的各种性质，下面本文对行列式的各条基本性质做些分析总结，并对其中的某些性质给出较简易的证明，供大家参考。

上面这些结论都是行列式的最基本性质，在行列式的计算中非常有用，尤其是性质2和性质6，我们常根据这两条性质将一个行列式化成上(下)三角形行列式，从而计算出行列式的值;除了这些基本性质外，行列式还有一些其它性质，如：将行列式按行(列)展开的展开法则，方阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，方阵的行列式等于其各个特征值的乘积等，希望大家掌握并能灵活运用这些性质。

【5A文】2017考研线性代数大纲考点之行列式、矩阵

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2017考研线性代数大纲考点之行列式、矩阵
寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习，考研历年数学大纲几乎都不会发生变化，考生们可以提前复习。

下面是根据考试大纲总结的线性代数的行列式、矩阵考点，希望能帮到大家。

一、行列式
行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

二、矩阵
矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

5A版优质实用文档 1。

线性代数-行列式复习提纲及练习题

ann
证明：D１= D2 .
证明由行列式的定义有
D1 = ∑ (−1)t a1 p1 a 2 p2a n pn ,
其中t是排列
p1
p2
p
的逆序数
n
.
D2 = ∑ (−1)t(a1 p1 b1− p1)(a 2 p2 b2− p2)(a n pn bn− pn) = ∑ (−1)t a1 a p1 2 p2a n pn b(1+ 2++ n)−( p1+ p2++ , pn)
７行列式按行（列）展开
１）余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素 aij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的 n − 1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij；记
Aij = (−1)i + j M ij , Aij 叫做元素 aij的代数余子式.
２）关于代数余子式的重要性质
二、计算（证明）行列式
１用定义计算（证明）例２用行列式定义计算
0 a12 a13 0 0 a21 a22 a23 a24 a25 D5 = a31 a32 a33 a34 a35 0 a42 a43 0 0 0 a52 a53 0 0
解设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为 a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么，由 D5中第1,2,3,4,5行可能的非零元素分别得到
第一章行列式习题课
主要内容
典型例题
反馈练习
排列
其全对逆排换序列数及
行列式定性展义质开
克拉默法则
１全排列
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元