考研线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
考研数学线性代数重点整理
考研数学线性代数重点整理一、矢量空间矢量空间是线性代数的基础概念，它描述了一组对象（称为矢量）的性质及其之间的运算规则。
以下是矢量空间的一些重要性质和定义：1. 定义：矢量空间是满足以下8个条件的集合V，其中两个运算（加法和乘法）满足特定的性质。
2. 加法：对于任意的矢量u和v，它们的和u+v也是V中的一个矢量。
3. 加法交换律：对于任意的矢量u和v，有u+v = v+u。
4. 加法结合律：对于任意的矢量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
5. 加法单位元：存在一个称为零矢量的特殊矢量0，对于任意的矢量v，有v+0 = 0+v = v。
6. 加法逆元：对于任意的矢量v，存在一个称为负矢量的特殊矢量-u，使得v+(-u) = (-u)+v = 0。
7. 乘法定义：对于任意的矢量v和实数c，cv也是V中的一个矢量。
8. 乘法分配律：对于任意的矢量v和实数c和d，有c(dv) = (cd)v。
9. 乘法单位元：对于任意的矢量v，有1v = v。
二、矩阵与线性方程组矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示线性方程组和线性变换。
以下是与矩阵和线性方程组相关的一些重要内容：1. 矩阵定义：将数按矩形排列成的矩形数表称为矩阵，其中行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵运算：矩阵之间可以进行加法和乘法的运算，具体规则如下：- 矩阵加法：对应位置元素相加。
- 矩阵乘法：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p矩阵，乘法规则为A的行乘以B的列。
3. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，矩阵可以用来表示和求解线性方程组。
对于一个m×n矩阵A、一个n×1矩阵X和一个m×1矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
4. 线性方程组的解：根据矩阵的性质，可以通过高斯消元法、矩阵求逆等方法求解线性方程组。
线性代数考研知识点总结
线性代数考研知识点总结线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在计算机科学、物理学、工程学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。
在考研中，线性代数是一个必考的科目，以下是线性代数考研的一些重要知识点总结。
1. 向量空间：向量空间是线性代数的基础概念，它包括一组向量和一些满足特定条件的运算规则。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，满足交换律、结合律和分配律。
2. 向量的线性相关性和线性无关性：如果向量可以通过线性组合表示为另一组向量的形式，那么这组向量就是线性相关的；如果向量不满足线性相关的条件，那么它们就是线性无关的。
3. 矩阵：矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个由数字排列成的矩形阵列。
矩阵可以用于表示线性变换、解线性方程组等。
常见的矩阵类型有方阵、对称矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。
4. 行列式：行列式是一个用于刻画矩阵性质的重要工具。
行列式可以用来计算线性变换的缩放因子，判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的逆等。
5. 矩阵的相似和对角化：两个矩阵A和B，如果存在一个非奇异矩阵P，使得PAP^(-1)=B，那么矩阵A和B就是相似的。
相似的矩阵有着相同的特征值和特征向量。
对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
6. 线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以用矩阵表示，相应的矩阵称为线性变换的矩阵表示。
线性变换可以进行合成、求逆等操作。
7. 内积空间：内积空间是一个带有内积运算的向量空间。
内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质。
内积空间可以用来定义向量的长度、夹角、正交性等概念。
8. 特征值和特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量使得线性变换作用在该向量上等于该向量的某个常数倍，那么这个常数就是该线性变换的特征值，而对应的非零向量就是特征向量。
特征值和特征向量可以用来分析矩阵的性质，求解线性方程组等。
9. 奇异值分解：奇异值分解是矩阵分解的一种常用方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另两个矩阵是对角矩阵。
考研数学一详细知识点总结
考研数学一详细知识点总结一、线性代数1. 行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有特定数学性质的标量函数，它可以对矩阵进行某种代数计算，得到一个数。
通过行列式的性质和运算法则，我们可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。
行列式的基本定义、性质和运算法则是线性代数中的重要基础知识点。
2. 矩阵与向量空间矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个矩形数组，它是向量空间的一种表达形式。
矩阵的定义、运算法则、转置矩阵、伴随矩阵、特征值和特征向量等都是线性代数中的重要知识点。
3. 线性变换与矩阵的相似变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是定义在向量空间上的一个运算，将一个向量空间中的一个向量映射到另一个向量空间中的一个向量。
线性变换与矩阵的相似变换在数学和工程中有着广泛的应用，对于理解线性代数的基本概念和运用都具有重要意义。
4. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它是由一系列线性方程构成的方程组。
通过行列式和矩阵的知识可以求解线性方程组的解，判断矩阵的逆矩阵是否存在等。
5. 向量的线性相关性向量的线性相关性是线性代数中的另一个重要概念，它是判断向量空间中向量之间的线性组合是否有零解的一个关键概念。
向量的线性相关性的性质、判断方法和应用是线性代数中的重要知识点之一。
6. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的另一个重要概念，它是一种用于数据拟合和参数估计的数学方法。
通过最小二乘法可以得到一个最优的拟合曲线或者参数估计，它在数学、统计学和工程领域中都有着广泛的应用。
二、概率统计1. 随机事件与概率随机事件是概率统计中的一个重要概念，它是指在一定条件下，结果是不确定的事件。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学方法，它是随机事件发生可能性的度量标准。
随机事件的基本性质和概率的基本性质是概率统计中的基础知识点。
2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知一件事情发生的情况下，另一件事情发生的可能性。
线性代数超强总结
考试重点第一章: 行列式的定义、行列式的计算；第二章: 1、求矩阵的逆阵（伴随矩阵法、初等变换法）； 2.求矩阵的秩（用初等变换法）；3.求矩阵方程: Ax=B, xA=B, AxB=C ； 第三章: 证明向量组的线性相关性； 第四章: 方程组Ax=0, Ax=b 求解； 第五章: 1、会求特征值与特征向量； 2.相似矩阵的性质；3.实对称矩阵的对角化； 第六章: 1.用正交变换把二次型化为标准形；2.二次型的秩, 二次型正定的定义； 3、矩阵正定的判断方法:（1）各阶顺序主子式都大于零；（2）每个特征值都大于零()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A B B B B A A BB οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线: √ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n aa n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 设 , 对 阶矩阵 规定: 为 的一个多项式.√ 设 的列向量为 , 的列向量为 , 的列向量为 ,√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦√ 判断 是 的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ④ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑤ ()0r A A ο=⇔=.⑥ 若 线性无关, 而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. ⑦ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑧ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列 、行向量间的线性关系.⑨ 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即: 秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.向量组 可由向量组 线性表示 ≤ .向量组 可由向量组 线性表示,且 , 则 线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑩ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑪ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑫ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑬ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若 是 矩阵,则 ,若 , 的行向量线性无关；若 , 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦51212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解6线性方程组解的性质:√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:② 对称性: ③ 双线性:1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化: T AA E =.√ 是正交矩阵的充要条件: 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质: ① ； ② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为: , .√ 若 的全部特征值 , 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.. 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件: 为 的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质: ① 若 均可逆 ② T T A B③ kk A B （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性.① √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）:②正惯性指数为n；③A的特征值全大于0；④A的所有顺序主子式全大于0；⑤大于0）.√成为正定矩阵的必要条件: ；.11。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
考研数学线性代数必考的知识点
考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。
从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。
随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。
考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。
所以随机变量的理解至关重要。
讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。
分布即为描述随机变量的方式。
分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。
其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。
之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。
介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。
考研数学 线性代数(高等代数)重点知识整理总结
考研线性代数（高等代数）重点知识总结一、行列式（一）行列式概念和性质 1.（奇偶）排列、逆序数、对换逆序数：所有逆序的总数。
2、行列式定义：所有两个来自不同行不同列的元素乘积的代数和。
重点：二、三阶行列式的计算公式3. n 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和，121212(..)12(1)...n n nj j j ijj j nj nj j j a a a a τ=-∑.4.行列式的性质（主要用于行列式的化简和求值）： （1）行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） （2）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
（3）常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
（提公因式） 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
（4）行列式具有分行（列）可加性。
行列式中如果某一行（列）的元素都是 两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变。
余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。
（6）行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。
定理：①任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值； ②行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0.（7）克莱姆法则：① 非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D ，有唯一解：,(12)j j D x j n D==⋯⋯其中、；② 齐次线性方程组：当系数行列式0D ≠时，则只有零解。
逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零。
③ 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0。
④ 若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解； 如果方程组有非零解，那么必有0D =。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:（三）按行（列）展开 9、按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号）klXn7、n 阶（n 》2）范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似，则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：(1)矩阵乘法要求前列后行一致；(2)矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义：B=A-1 AB=E或 BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为注：A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质：( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法：( 1 ) A 为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字矩阵：(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k 加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
考研数学线性代数知识点总结
考研数学线性代数知识点总结线性代数是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，它既是重点也是难点。
以下将对线性代数的主要知识点进行详细总结。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。
行列式的计算方法有很多，比如按行（列）展开、化为上三角（下三角）行列式等。
行列式的性质包括：行列式与它的转置行列式相等；行列式中某行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变等。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
矩阵乘法需要注意其运算规则，一般不满足交换律。
矩阵的逆是一个重要概念，如果矩阵 A 可逆，则存在 A 的逆矩阵 A⁻¹，使得AA⁻¹＝A⁻¹A ＝E（单位矩阵）。
矩阵的秩也是一个关键概念，它表示矩阵中线性无关的行（列）向量的最大个数。
三、向量向量是线性代数中的重要概念，包括行向量和列向量。
向量组的线性相关性是重点，判断向量组线性相关或线性无关的方法有定义法、秩法等。
向量组的极大线性无关组和向量组的秩也是常考内容。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一。
齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法不同。
对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一零解；当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。
对于非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解；否则无解。
当有解时，如果秩等于未知数的个数，有唯一解；否则有无穷多解。
五、特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数λ和非零向量 x，使得 Ax ＝λx，则称λ是 A 的特征值，x 是 A 的对应于特征值λ的特征向量。
求特征值和特征向量的方法是通过求解特征方程|λE A| ＝ 0 得到特征值，然后代入（λE A)x ＝ 0 求解特征向量。
六、相似矩阵相似矩阵具有相同的特征值。
线性代数背诵要点(全)
第一章 行列式一、行列式的概念、展开公式及其性质 （一）行列式的概念nnn n n n a a a a a a a a a A .. (2)12222111211=（二）行列式按行（列）展开公式公式为关于副对角线，其计算角线上元素的乘积三角行列式等于其主对下上的代数余子式为的余子式，而阶行列式，称之为列元素后的行及第中去掉第是其中.2......)(.1)1(1)1( (221122)11221122112211nnnn nn ij ij j i ij ij ijj i ij nj nj j j j j in in i i i i a a a a a a a a a a M a n j i A M M A A a A a A a A a A a A a A ⋅⋅⋅=******=******---=+++=+++=++11212)1(11211121)1(......n n n n n n n nn n na a a a a a a a a ⋅⋅⋅-=******=******---- B A OB A BA OB A B OA B O A n B m A mn ⋅-=*=*⋅=*=*)1(.3阶矩阵，则是阶矩阵，是开式，设两种特殊的拉普拉斯展（三）行列式的性质1．经转置的行列式的值不变，即T A A =2.行列式中某一行各元素如有公因数k ，则k 可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零3.如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和mlb b a a 2121++=mlb a 11+mlb a 224对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k 倍加至另一行，行列式的值不变（四）关于代数余子式的求和...0...)()(.2,.122112211=+++=+++nk nj k j k j jn in j i j i ij ij ij ij A a A a A a A a A a A a a A A a 乘积之和必为零对应元素的代数余子式列元素与另一行列行列式一行的取值无关与式值并不影响其代数余子所在行或列中的元素的只改变二、有关行列式的几个重要公式A k kA n A n =阶矩阵，则是若.1B A B A n B A •=阶矩阵，则是，若.211-1.3--*==AA n A AA n A n 阶可逆矩阵，则是若阶矩阵，则是若∏≤≤----==ni j j i n nn n n nx x A x x x x x x x x x A n A 1112112222121)( (1)...11.4，则阶范德蒙矩阵是若 ∏==ni i i A A n A 1.5λλ的特征值，则是阶矩阵，是若B A B A =，则若~.6三、关于克莱姆法则的系数换成常数项中的是把其中则方程组有唯一解方程组，如果系行列式个未知数的非齐次线性个方程对于j j n n x D D DDx D D x D D x A D n n ,,...,,,02211===≠=则方程组只有零解程组，系数行列式个未知数的齐次线性方个方程对于,0≠=A D n n 0==A D n n 数行列式程组，有非零解，则系个未知数的齐次线性方个方程对于逆序数的计算，从左至右,看每个数后面比它小的数的个数 经初等变换矩阵的秩不变第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵 （一）矩阵及相关概念 1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A 3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n nn≠≠=得不到由,.............. (2)12222111211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵， 记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设 7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nnnnn n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算 1.矩阵的加法C B A B A b a c C n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A kkA 111))(3(---=A B AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T AB AB =))(3( T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n AA n )2())(3(2≥=-**n A AA n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T TT T TD B C A D C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O B C O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A E BA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵 （一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换 （1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去 （4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换） （5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P)()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E kE k E EE ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A EA B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~rE PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B AE E A A EE A A AA E BA E AB B 111-1-1-1-111)()();()(1，分块矩阵法初等变换法伴随矩阵法或使定义法，找出为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A AB r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===的主对角线元素之和是矩阵T T αββα 若11,--==P PB A PBP A n n 则1-)(,P P A P A n n n Λ=Λ，令与先求特征值与特征向量求 行列变换与单位矩阵、初等矩阵运算的关系第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算 （一）n 维向量的概念个分量称为向量的第的矩阵，数或维列向量，也就是维行向量或分别称为或维向量，记作构成的有序数组称为个数i a n n n n a a a a a a n a a a n i T n n n 11,),...,,(),...,,(,...,,212121⨯⨯（二）n 维向量的运算0),(......),(,0),(.4...),(.3),...,,(.2),...,,(.1),...,,(,),...,,(222212222122112122112121=⇔==+++=+++=====+++==+++=+==ααααααααααβαβααββαβααβαβαT n nT TT n n Tn T n n T n T n a a a a a a b a b a b a ka ka ka k b a b a b a b b b a a a 正交，，则若内积数乘加法如果二、线性组合与线性表出 1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组称为组合系数的一个线性组合，其中称为向量组所构成的向量个常数及维向量个由s s s s s s k k k k k k k k k s n s ,...,,,...,,...,...,,,...,,212122112121ααααααααα+++ 2.线性表出的线性组合是线性表出，或说可由则称的线性组合能表示成向量维向量如αααβαααββααααααβ,...,,,...,,...,...,,2121221121s s s s k k k n =+++3.向量组等价，则称两个向量等价量组可以互相线性表出线性表出；如果两个向可由向量组线性表出，则称向量组量组的每个向量都可以由向如过向量组)2()1(,...,,)2(,...,,)1(2121t s βββααα等价、则线性表出，可由向量组如果向量组不一定等价秩，但秩相同的向量组等价的向量具有相同的相同向量组所含向量的个数两个等价的线性无关的无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价任一向量组和它的极大样，线性相关也可以不一但向量个数可以不一样、对称性、及反身性，等价向量组具有传递性)2()1(),2()1()2()1(.6.5.4.3.21r r =三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关线性相关则称此向量组使得的数，如存在一组不全为维向量对于s s s s s k k k k k k n ααααααααα,...,,0...,...,,0,...,,2122112121=+++2.线性无关线性无关称此向量组，，必有不全为或者说如存在一组数线性无关则称此向量组，必有，如果维向量对于s s s s s s s s s k k k k k k k k k k k k n ααααααααααααααα,...,,0...0,...,,,...,,,0...0...,...,,212211212121221121≠+++=====+++（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件位向量一定线性相关个维向量线性相关个个向量线性表出可由其他存在某向量的个数有非零解齐次方程组线性相关，向量组n n n n s s r x x x s i s s s s 10,...,,1)(),...,,(0...),...,,(,...,,2121212121+=⇔-⇔⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔ααααααααααααα2.线性无关的充分必要条件个向量线性表出都不能用其他存在某向量的个数只有零解齐次方程组线性无关，向量组1)(),...,,(0...),...,,(,...,,21212121-⇔=⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔s s r x x x i s s s s αααααααααα3.几个重要结论组必然线性无关两两正交、非零的向量必然线性无关，，，延伸组线性无关，则它的任一若向量组必然线性无关个部分分组线性无关，则它的任一若向量组无关阶梯形向量组一定线性)4(...,...,,)3(,...,,,...,,)2()1(2211212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s s i i i s t βαβαβαααααααααα四、线性相关性与线性表出的关系ts t s s s t s s t s i i i s s s s s t ≤-线性无关，则线性表出，且可由向量组若向量组线性相关则线性表出，且可由向量组若向量组必然线性无关则它的任一个部分分组一线性表出，且表示法唯可由线性相关，则，线性无关，而向量组若向量组个向量线性表出可以用其余是线性相关，的充要条件向量组αααβββααααααβββαααααααααββαααααααααα,...,,,...,,,...,,)4(,...,,,,...,,,...,,)3(,...,,,...,,,...,,,...,,)2(1,...,,)1(2121212121212121212121五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组是由原向量唯一确定的即个数都是关组中所含向量的个数个极大线性无关组是等价的，从而每的。
考研数学《线性代数》考点知识点总结
第一章行列式二元线性方程组：a x11ax21a12a22yyb1b2aa1112D，aa2122ba112D，1ba222ab111D2ab212xD1D，yD2D排列的逆序数：ttn1ti〔t为排列p1p2p n中大于p i且排于p i前的元素个数〕it为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t0标准排列。
a 11 a12a1nn阶行列式：Daaa21222ndet(a)=ij(1)t为列标排列的逆序数．t aaa1p12p np2na n1 an2ann定理1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇〔偶〕排列变为标准排列的对换次数为奇〔偶〕数定理2：n阶行列式可定义为tD(1)a1a2a=pppn12n (1)．t aaat aaa1p12p np2nT 1．D=DT，D为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)推论：两行(列)完全一样的行列式等于零．2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．记作：r i r〔c i c j〕DD．j 记作：r i r〔c i c j〕DD0．j推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k．记作：kDr i k〔kDc i k〕．记作：kDrki〔kDc i k〕．4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：r j r i k〔c j c i k〕D0．行列式的性质：a11a12(a1ia1i) a1na11a12a1ia1na11a12a1ia1n5．D a21a22(a2ia2i) a2n Da21a22a2ia2na21a22a2ia2na n1 an2(aniani) annan1an2aniannan1an2aniann上式为列变换，行变换同样成立．6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．记作：c i ckc(r i r i kr j)，D不变．ij注：任何n阶行列式总能利用行运算r i+kr j化为上(下)三角行列式．对角行列式上D〔下DT〕三角形行列式00a11011212nn(n1)2 2，n(1)12aa2122Da11a22ann00nn an1an2anna 11 a1ka11a1kabD1det(aij)假设对Dak1c11akkc1kb11b1k设ak1bakkb，假设2nabD2，n11 1n 阶行列式cdc k1 ckkbk1bkkD2det(bij)bn1bnncd2n那么有D=D1D2．有D2n=(ad-bc)n．n．ij余子式：n 阶行列式中把a ij 所在的第i 行和第j 列去掉后，余下n-1阶行列式．代数余子式：ijA ij (1)M引理：n 阶行列式D 中，假设第i 行所有元素除a ij 外都为零，那么有Da ij A ij ．行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和．定理3：推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零． (代数余子式性质) D,ij,当n aAD ki 当kjijk10,ij;或 D,当j i naAD ikjkij 当 k 10,ij, ; 其中 ij1, 0, 当 当 i ij , j.1111X 德蒙德 行列式：xxxx123n2222Dxxxx ＝n123nnij ( 1x i x)．证明用数学归纳法．jn x11n x21n x 31n nx1设方程组a x111ax211a12a22x2x2a xnxn1na2nb,1b,2aa111n，假设0D ，那么方程组有惟一解：克拉默法ax n11a n2 x 2a nnx nbna n1 ann那么：DDD12nx,x,,x1，其中2nDDDD ja 11 a n1 a 1,a n ,j j 1 1 b 1 b n a 1,a n,j j 1 1a 1nann(j1,2,,n)．定理4：假设上线性方程组的系数行列式D0，那么方程组一定有惟一解；假设无解或有两个不同解，那么D0．定理5：假设齐次线性方程组(b n =0)的系数行列式D0，那么齐次线性方程组无非零解；假设有非零解，那么D0．第二章矩阵及其运算对角矩阵(对角阵)：n 阶单位矩阵(单位阵)：纯量阵：100 λ000λ1E0100Λλ00 λ2E00100 λ0n0 λEAAEA．另可记作diag(,,,)Λ．12n(E)AA，A(E)A．矩阵与矩假设(a)Α是一个ms矩阵，B(b ij)是一个sn矩阵，且CAB，那么C(c ij)是一个mn矩阵，ij阵相乘：且cabababimij1122(1,2,,;j1,2,,n)．假设ABBA ，称A与B是可交换的．ijijissjT矩阵转置：假设Α(a ij)，那么(a)ΑjiTTTTTT(AB)AB，(AB)BA假设TA，A为对称阵A方阵的行列式：n阶方阵A元素构成的行列式，记A或det A．方阵行列式的运算规律：A 11 A21An1A为行列式A中对应元素的ijT；1．AA伴随矩阵：A* A12A22An2代数余子式．n；2．AAA 1n A2nAnnAA**A A A E 13．ABAB，1AA．逆矩阵：假设ABBAE，那么A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的．定理1：假设矩阵A可逆，那么A0．定理2：假设A0，那么矩阵A可逆，且A1 1．*AA奇异矩阵：当A0时，A称为奇异矩阵．矩阵A可逆的充要条件：A0，即矩阵A是非奇异矩阵。
数学一线代知识点
考研数学一《线性代数》知识点总结第一部分行列式一、本部分内容重点1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2．会用行列式的性质和行列式按行（列）展开法则计算行列式。
二、考点分析1．行列式是基础，它与后续要学的内容——方阵构成的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都有重要应用。
所以必须要弄清楚行列式在处理有关问题中的功能与作用，熟练掌握行列式的性质和计算方法，为应用行列式处理有关问题打下良好的基础。
2．计算行列式的常用方法：1）用定义法计算行列式中含某一项的系数；2）应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）；3）将各行（列）加到某一行（列），提取公因式；4）按行（列）展开行列式——降阶法（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式法来计算行列式）。
5）逐行（列）相加减；6）拆项法——将一个行列式分成几个较简单的行列式进行计算；7）公式法——如对角行列式、范德蒙德行列式等；8）升阶法。
在实际计算过程中，常常将上述方法交替使用。
第二部分矩阵一、本部分内容重点1．理解矩阵的概念。
2．了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算律，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式。
4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
6．了解分块矩阵及其运算。
二、考点分析1．矩阵的运算（含逆矩阵）是矩阵考试内容中的重点，其中，又以矩阵乘法和逆矩阵最为重要。
要掌握矩阵运算，除了要理解各种运算的定义外，还要熟练掌握各种运算的运算律和运算性质。
在作矩阵运算时，一般要先利用运算法则通过“字母”运算进行化简。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅学生 编01、余子式与代数余子式- 1 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 2 -05、计算行列式- 2 -06、矩阵中未写出的元素- 3 -07、几类特殊的方阵- 3 -08、矩阵的运算规则- 3 -09、矩阵多项式- 5 -10、对称矩阵- 5 -11、矩阵的分块- 5 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 6 -14、初等矩阵- 6 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 6 -16、逆矩阵- 6 -17、充分性与必要性的证明题- 7 -18、伴随矩阵- 7 -19、矩阵的标准形：- 8 -20、矩阵的秩：- 8 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 9 -22、线性方程组概念- 9 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 9 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 10 -25、线性方程组的向量形式- 10 -26、线性相关与线性无关的概念- 10 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 10 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 11 -29、线性表示与线性组合的概念- 11 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 11 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 11 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 11 -33、线性方程组解的结构- 11 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
考研数学一大纲详解线性代数部分重要知识点梳理
考研数学一大纲详解线性代数部分重要知识点梳理线性代数作为数学的一个重要分支，是考研数学一科目中不可或缺的一部分。
在考研备考的过程中，对线性代数的重要知识点进行详细梳理，对于提高考生的备考效果具有重要意义。
本文将详解考研数学一大纲中线性代数部分的重要知识点，并对其进行逐一讲解。
一、行列式及其性质行列式是线性代数中的基础知识，掌握行列式的性质对于解题至关重要。
行列式的性质包括：行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算方法等。
行列式的定义是关于n阶行列式的，其中n表示行列式的阶数。
行列式的定义较为复杂，但我们只需熟记其定义即可。
行列式的性质包括：行列式相等的条件、行列式的值与其元素的关系等。
这些性质在解题过程中经常用到，熟悉这些性质不仅可以帮助我们更好地理解行列式的本质，还能够简化计算过程。
行列式的计算方法是解决行列式问题的基础。
行列式的计算采用展开法、按行（列）展开法等多种方法。
我们需要熟练掌握这些计算方法，并灵活运用于解答各类行列式题目。
二、矩阵及其运算矩阵是线性代数中的另一个重要概念，学习矩阵及其运算对于解题具有重要作用。
矩阵的概念包括：矩阵的定义、矩阵的运算等。
矩阵的定义是关于m行n列的矩阵的，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的定义较为简单，但需要我们掌握其基本概念和术语。
矩阵的运算包括：矩阵的加法、矩阵的乘法等。
矩阵的加法和乘法是两种基本的矩阵运算，我们需要熟练掌握其定义和运算法则，并能够应用到实际问题中。
三、向量及其运算向量是线性代数中的重要概念，其运算方法也是考研数学一大纲中的重点内容。
向量的概念包括：向量的定义、向量的运算等。
向量的定义是关于n维向量的，其中n表示向量的维数。
向量的定义较为简单，但需要我们理解其本质和特点。
向量的运算包括：向量的加法、向量的数乘、向量的内积和外积等。
掌握这些运算方法对于解题非常重要，需要注意运算规则和性质。
四、线性相关与线性无关线性相关与线性无关是线性代数中的一个重要概念，其在解决线性方程组和矩阵求逆等问题时经常用到。
(完整版)线性代数知识点全归纳
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
线性代数知识点及总结
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。
推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。
性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。
性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
而算得行列式的值。
4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。
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《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵）1．行列式的定义：用2n 个元素ija 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM 、代数余子式ijj i ijM A+-=)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：nq q q n a aa⋯=∑21t211-D ）（，t 为nq q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x，，。
：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。
：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。
6.112nr r r nr r rr ==∏O，()11(1)221nr n n r r nr r r r -==-∏N()naba b ad bc c dcd=-ON NO,1232222123111111231111()nn i j n i j n n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏L L LM MMML，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A 、B 为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=nk *|A|。
只有方阵才有幂运算。
（3）转置：（kA ）T =kA T ， ()ＴＴA B AB T=范德蒙德行列（4）方阵的行列式：AA T=，A k kA n=，B A AB =（5）伴随矩阵：EA A A AA **==，－１）Ａ（E A A*=，*A 的行元素是A 的列元素的代数余子式（6）共轭矩阵：）＝（Ａija ，A+B=A+B ，A k kA =，B A AB =（7）矩阵分块法：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+sr sr s s r r B A BA B A B A ΛM MΛ11111111B A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T sr r 11s T11T A A A A A ΛM MΛT T3．对称阵：方阵AA T=。
对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。
3．矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
（3）0≤R(nm A ⨯)≤min{m,n} ； ()()A R A R T= ；若B ~A ，则R(A)=R(B) ；若P 、Q 可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ；若AB=C ，R(C)≤min{R(A),R(B)} 4．逆矩阵（1）定义：A 、B 为n 阶方阵，若AB ＝BA ＝I ，称A 可逆，B 是A 的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：()111---=A B AB ， ()()' A A'1-1-=；(A B 的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I; （4）逆的求解：○1伴随矩阵法A*1-A A =；②初等变换法（A:I ）->(施行初等变换)（I:1-A ）（5）方阵A 可逆的充要条件有：○1存在有限个初等矩阵1P ，…，lP ，使lP P P A Λ21=○2E A ~ 第三章、初等变换与线性方程组1、 初等变换：○1()()Ｂ Ａｊｉ−−→−↔，○2()()ＢＡｋｉ−→−⨯，○3()()ＢＡｊｉ＋ｋ−−→−⨯ 性质：初等变换可逆。
等价：若A 经初等变换成B ，则Ａ与Ｂ等价，记作B ~A ，等价关系具有反身性、对称性、传递性。
初等矩阵：由单位阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
定理：对nm A ⨯施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘相应的m 阶初等矩阵；对nm A ⨯施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘相应的n 阶初等矩阵。
等价的充要条件：○1 R(A)=R(B)=R(A,B)○2nm ⨯的矩阵Ａ、Ｂ等价⇔存在m 阶可逆矩阵P 、n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ=B 。
线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)≠r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0，(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解；(2)|A|=0 有非零解 2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n ⇔只有零解 ； r(A)<n ⇔有无穷多组非零解。
（2）解的结构：rn r n a c a c ac X --++=Λ2211。
（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。
（4）性质：○1若1ξ=x 和2ξ=x 是向量方程A*x=0的解，则21ξξ+=x 、1ξk x =也是该方程的解。
○2齐次线性方程组的解集的最大无关组是该齐次线性方程组的基础解系。
○3若rAnm =⨯)(R ，则n 元齐次线性方程组A*x=0的解集S 的秩r-=n RS。
3．非齐次线性方程组（1）解的情况：○1有解⇔ R(A)=R(A,b)。
○2唯一解⇔ R(A)=R(A,b)=n 。
○3无限解⇔ R(A)=R(A,b)＜n 。
（2）解的结构： X=u+rn r n a c ac a c --++Λ2211。
（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。
（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。
（5）○1若1η=x 、2η=x 都是方程b Ax =的解，则21ηη-=x 是对应齐次方程0=Ax 的解○2η=x 是方程b Ax =的解，ξ=x 是0=Ax 的解，则ηξ+=x 也是b Ax =的解。
第四章、向量组的线性相关性1．N 维向量的定义(注：向量实际上就是特殊的矩阵——行矩阵和列矩阵；默认向量a 为列向量)。
2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）； （2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn ； （3）向量长 22221a na a a a a +++='=Λ（4）向量单位化 (1/|α|)α；3．线性组合 （1）定义：若mm a a aλλλ+++=Λ2211b ，则称b 是向量组1a ，2a ，…，na 的一个线性组合，或称b 可以用向量组1a ，2a ，…，na 的线性表示。
（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记 A ＝(1a ，2a ，…，na )○1 B=(1a ，2a ，…，na ，β)，则：r (A)=r (B) ⇔b 可以用向量组1a ，2a ，…，na 线性表示。
○2B=(1b ，2b ，…，mb )，则： B 能由A 线性表示⇔R(A)=R(A,B) ⇔AX=B 有解⇒R(B)≤R(A).（3）求线性表示表达式的方法：矩阵B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。
注：求线性表示的系数既是求解Ax=b 4．向量组的线性相关性 （1）线性相关与线性无关的定义 设 02211=+++n n a k a k a k Λ，若k1,k2,…,kn 不全为0，称线性相关；若全为0，称线性无关。
（2）判别方法：① r(α1，α 2，…，αn)<n ，线性相关； r(α1，α 2，…，αn)=n ，线性无关。
②若有n 个n 维向量，可用行列式判别： n 阶行列式|{ija }|＝0，线性相关（≠0无关） ○3A:1a ，2a ，…，na ， B:1a ，2a ，…，n a ，1+n a ，若A 相关则B 一定相关，若B 相关A 不一定相关；若A 无关，B 相关，则向量1+n a 必能由A 线性表示，且表示式唯一。
注：含零向量的向量组必定相关。
5．极大无关组与向量组的秩（1）定义：最大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法：设A ＝(1a ，2a ，…，na )，将A 化为阶梯阵，则A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
（3）矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。
注：如何证明()()A R A A R T=，101P .第五章、相似矩阵及二次型 1、向量内积：[]y x y x T=,。
内积性质：[][]x y y x ,,=，[][]x y y x ,,λλ=，[][][]x z x y y z x ,,,+=+; ：当x=0时，[]0,=x x ，当x ≠0时，[]0,>x x 2、向量长度：[]22221,nx x x x x x+⋯++==性质：非负性0≥x 、齐次性xxλλ=、三角不等式yx yx +≤+3、正交：[]0,=y x 称x 与y 正交。