2009年高三第二轮复习训练题专题四指数函数与对数函数

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(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数知识点汇总单选题1、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， ∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．2、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x ,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞)答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x =0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件；当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x ∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B.3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ，令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知f (x )={2x −x 2,x ≥5f(x +3),x <5，则f (4)+f (-4)=（） A ．63B ．83C ．86D ．91答案：C分析：由给定条件求得f (-4)=f (5)，f (4)=f (7)，进而计算f (5)、f (7)的值，相加即可得解.依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)= f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C5、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a −(14)b =(12)a −(12)b ，即[(12)a −(12)b ][(12)a +(12)b ]=(12)a −(12)b ≠0，所以(12)a +(12)b=1，故选：B ．6、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（）A ．12a −bB ．12b +aC ．12a +bD ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b .故选：C.7、已知a =log 20.6,b =log 20.8,c =log 21.2，则（）A ．c >b >aB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >b >c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y =log 2x 在定义域上单调递增，∴log 20.6<log 20.8<log 21.2，即c >b >a .故选：A.8、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1 是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5)C ．(32,5)D ．(1,5)答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a，解得32≤a <5，故选：B9、下列计算中结果正确的是（）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A10、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案.(√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2．∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.填空题11、已知a >b >1，若log a b +log b a =52,a b =b a ，则a +2b =___________. 答案：8分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．解：由log a b +log b a =52，且log a b ⋅log b a =1所以log a b,log b a 是方程x 2−52x +1=0的两根，解得log b a =2或log b a =12，又a >b >1，所以log b a =2，即a =b 2，又a b =b a从而b 2b =b a ⇒a =2b ，且a =b 2，则b =2，a =4．所以a +2b =8.所以答案是：8.12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a2−4a+1=√(2a−1)2=|2a−1|，√(1−2a)33=1−2a，所以|2a−1|=1−2a所以1−2a≥0，a≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知4a=8，2m=9n=6，且1m +12n=b，则a+b=______．答案：52解析：将指数式4a=8化为对数式可求出a，将指数式2m=9n=6化为对数式可分别求出m,n，代入1m +12n=b可求出b，进而可求出a+b的值. 因为4a=8，2m=9n=6，所以a=log48=lg8lg4=lg23lg22=3lg22lg2=32，m=log26，n=log96，所以b=1log26+12log96=log62+12log69=log62+log63=log6(2×3)=1，所以a+b=52.所以答案是：5214、若a>0且a≠1，则函数f(x)=a x−4+3的图像恒过的定点的坐标为______．答案：(4,4)分析：任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.令x−4=0，得x=4，所以f(4)=a0+3=4，所以函数f(x)=a x−4+3的图像恒过定点(4,4)．所以答案是：(4,4)15、不等式2022x≤1的解集为______．答案：(−∞,0]分析：根据给定不等式利用指数函数单调性求解即可作答.依题意，不等式2022x ≤1化为：2022x ≤20220，而函数y =2022x 在R 上单调递增，解得x ≤0，所以不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0].所以答案是：(−∞,0]解答题16、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a 1x−a (a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”．答案：(1)(0,1)(2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可．（1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)．（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数，从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a (4−4a )≤1log a (9−6a )≥−10<a <1，即{4−4a ≥a 9a −6a 2−1≤00<a <1 ，解得0<a ≤9−√5712，所以当0<a ≤9−√5712时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的；当9−√5712<a <1时，f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“不友好”的．17、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．（1）求f （3）的值；（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−√39；f(x)max =12，此时x =9．分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]；（3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]，①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =√39，所以f(x)min =−14，此时x =−√39； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，∴f(x)max =12，此时x =9．小提示：求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．18、已知函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x 2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y =f(x)+ln(2x −k)在区间(1,2)上有零点，求整数k 的值；（3）设m >0，若对于任意x ∈[1m ,m]，都有g(x)<−ln(m −1)，求m 的取值范围. 答案：（1）f(x)=lnx ；（2）k 的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得y =ln (2x 2−kx )，得到2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x 2−kx −1，根据题意转化为函数y =ℎ(x )在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g (x )的最大值g (m )，得出g(x)max <−ln(m −1)，得到m 2−2m <−ln(m −1)，设ℎ(m)=m 2−2m +ln(m −1)(m >1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x +a)(a ∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a =0，所以函数f (x )的解析式为f(x)=lnx .（2）由（1）可知y =lnx +ln(2x −k)=ln (2x 2−kx )，x ∈(1,2)，令ln (2x 2−kx )=0，得2x 2−kx −1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.19、已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x＝1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1−2x.(1)求函数f(x)的表达式；(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根；(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围.答案：(1)f(x)=(x−1)2(2)证明见解析(3)(−∞,0]分析：（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解a,b，进而可求解析式，（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，（3）将条件转化为函数值域，即可求解.（1）∵f(x)=ax2+bx+1的图象关于直线x＝1对称，∴−b=1⇒b=−2a.2a又y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1为偶函数，∴b=−2，a=1.∴f(x)=x2−2x+1=(x−1)2.（2）设ℎ(x)=f(x)+g(x)=(x−1)2+1−2x，∵ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=−1<0，∴ℎ(0)·ℎ(1)<0. 又f(x)=(x−1)2，g(x)=1−2x在区间[0,1]上均单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上单调递减，∴ℎ(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.∴方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根.（3）由题可知f(x)=(x−1)2≥0，g(x)=1−2x<1，若存在实数m，使得f(m)=g(n)，则g(n)∈[0,1)，即1−2n≥0，解得n≤0.∴n的取值范围是(−∞,0].。

(完整版)指数函数对数函数专练习题(含答案).docx

指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析：数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析：当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析：如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解：要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ －，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解：令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解：法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、已知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ，且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10，上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。

高中试卷-第4章指数函数与对数函数练习(2)(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第四章指数函数与对数函数总分：120分时间：120分钟一、单选题（总分48分，每题4分)1．若()3412x --有意义，则x 的取值范围是（）A.x ÎRB.12x ¹C.12x £D.12x <【答案】D【解析】因为()3412x --=，所以120x ->即12x <，故应选D.2．函数()(23)xf x a a =-×是指数函数，则()1f =( )A.8B.32C.4D.2【答案】D【解析】函数()()23xf x a a =-×是指数函数，∴231a -=，解得2a =，∴()2xf x =，∴()12f =．故选D ．3．若⎪⎩⎪⎨⎧Î--Î=]1,0[,)31()0,1[,3)(x x x f x x ，则[]3(log 2)f f 的值为（）A 、33B 、33-C 、12- D 、2-【答案】A【解析】因为3log 20>，所以33log 23log 2111(log 2)(332f =-=-=-所以1231211[(log 2)]()323f f f -=-=== 故选A 。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数真题单选题1、设a=log2π，b=log6π，则（）A．a−b<0<ab B．ab<0<a−bC．0<ab<a−b D．0<a−b<ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x 3+x 2−2x −2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B3、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a 0 且a ≠1)，则“a ≥3”是“f (x )在R 上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 若f(x)在R 上单调递增，则{a >1a −1>0a +1≥3 ，所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出 “a ≥3”，所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b，又因为f(9)=9log910−10=0，所以a>0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x m−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（） A ．160B ．60C ．2003D ．320答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解. 解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112，∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160， ∴log z m =60．故选：B ．8、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.9、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0. 故选：B.填空题11、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1263所以答案是：2−1263﹒12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可. 由题设，可得：log 4x ≤log 4412，则0<x ≤412=2， ∴不等式解集为(0,2]. 所以答案是：(0,2].13、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．14、设函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0，若关于x 的方程f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______．答案：(2√2,3)分析：作出函数f(x)的图象，令f(x)=t ，结合图象可得，方程t 2−at +2=0在(1,2]内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；作出函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0的大致图象，令f (x )=t ，因为f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，所以g (t )=t 2−at +2=0在区间(1,2]上有2个不同的实数解，∴{Δ=a 2−8>01<a2<2g (1)=3−a >0g (2)=6−2a ≥0 ，解得2√2<a <3，∴实数a 的取值范围为(2√2,3)．所以答案是：(2√2,3)．15、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______．答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2 ，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题16、（1）计算：(1100)−12−√(1−√2)2−8×(√5−√3)0+816；（2）已知x +x −1=4，求x 12+x −12．答案：（1）3；（2）x 12+x −12=√6.分析：（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；（2）先判断出x >0，然后将x 12+x −12平方后结合条件求得答案. （1）原式=[(100)−1]−12−(√2−1)−8+(23)16，=10012−√2+1−8+212=10+1−8=3．（2）由于x +x−1=4>0，所以x >0，(x 12+x −12)2=x +x −1+2=6，所以x 12+x −12=√6．17、（1）证明对数换底公式：log b N =log a N log a b（其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0）（2）已知log 32=m ，试用m 表示log 3218. 答案：（1）证明见解析；（2）log 3218=2+m 5m.分析：（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. （1）设log b N =x ，写成指数式b x =N . 两边取以a 为底的对数，得xlog a b =log a N .因为b >0，b ≠1，log a b ≠0，因此上式两边可除以log a b ，得x =log a N log a b.所以，log b N =log a N log a b.（2）log 3218=log 318log 332=log 332+log 32log 325=2+log 325log 32=2+m 5m.小提示：本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. 18、已知函数f (x )＝a x −1a x +1(a ＞0，且a ≠1)．（1）若f (2)＝35，求f (x )解析式；（2）讨论f (x )奇偶性．答案：（1）f (x )=2x −12x +1；（2）奇函数．分析：（1）根据f (2)=35，求函数的解析式；（2）化简f (−x )，再判断函数的奇偶性. 解：（1）∵f (x )=a x −1a x +1，f (2)=35．即a 2−1a 2+1=35，∴a =2．即f (x )=2x −12x +1．（2）因为f (x )的定义域为R ，且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−f (x )，所以f (x )是奇函数．19、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S =x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，由题意得，x(50−2x)=300，解得x 1=15,x 2=10，∵50−2x ≤25，∴x ≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.7、下列计算中结果正确的是（） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)，则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确；对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点，则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ，因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．（1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下：设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

推导指数函数与对数函数的四则运算练习题

推导指数函数与对数函数的四则运算练习题在数学中，指数函数和对数函数是非常重要的数学概念。

它们在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。

理解指数函数和对数函数的性质以及进行四则运算是提高数学运算能力的基础。

本文将给出一些关于指数函数和对数函数的四则运算练习题，并推导出解答过程。

1. 指数函数的四则运算练习题题目一：计算以下指数函数的值。

a) 计算 2^3b) 计算 5^(-2)c) 计算 (-2)^4d) 计算 (-3)^(-3)解答过程：a) 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8b) 5^(-2) = 1 / (5^2) = 1 / (5 × 5) = 1 / 25c) (-2)^4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16d) (-3)^(-3) = 1 / ((-3)^3) = 1 / ((-3) × (-3) × (-3)) = 1 / (-27) = -1/27题目二：简化以下指数函数。

a) 简化 2^4 × 2^2b) 简化 (2^3)^2c) 简化 (5^2)^(-2)d) 简化 (4 × 3^2)^(-1)解答过程：a) 2^4 × 2^2 = 2^(4+2) = 2^6 = 64b) (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64c) (5^2)^(-2) = 5^(2×(-2)) = 5^(-4) = 1 / (5^4) = 1 / (5×5×5×5) = 1 / 625d) (4 × 3^2)^(-1) = (4 × (3^2))^(-1) = (4 × 9)^(-1) = (36)^(-1) = 1 / 362. 对数函数的四则运算练习题题目一：计算以下对数函数的值。

高考指数函数和对数函数专题复习试题

指数函数与对数函数专项练习例1.设a ＞0, f (x)＝x x eaa e -是R 上的奇函数.(1) 求a 的值;(2) 试判断f (x )的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性.解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a10)0(f >=⇒=-⇒=,(2)=-⇒∈++=--)x (f )R x (24x x ln )x (f 121-=++-24x x ln 2=++24x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数.用定义法可证)x (f 1-为单调增函数.例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.解：设x ax )x (u 2-=, 对称轴a21x =.(1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2a 21>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤;(2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4a 21≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥. 综上所述: 1a >1.〔卷文7〕设232555322555a b c ===（）,（），（），那么a ，b ，c 的大小关系是〔A 〕a ＞c ＞b 〔B 〕a ＞b ＞c 〔C 〕c ＞a ＞b 〔D 〕b ＞c ＞a【答案】A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

2.〔卷文8〕函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是【答案】D【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-ba <1得-11矛盾，选D 。

(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题

(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a3 (a >0，b >0)的结果是（）A ．b aB ．abC ．a 2bD ．b 2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab −1=ab故选：B2、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点．因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．3、下列计算中结果正确的是（） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A4、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13 答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件； f(x)=(13)x是非奇非偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件；f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．5、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（） A ．−1或2B ．−1 C ．2D ．12答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值. 由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1 ，解得m =2. 故选：C.6、已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）． A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞) C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞) 答案：D分析：作出函数y =2x 和y =x +1的图象，观察图象可得结果. 因为f (x )=2x −x −1，所以f (x )>0等价于2x >x +1，在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x >x +1的解为x <0或x >1.所以不等式f (x )>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞). 故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．8、已知f (x )={2x −x 2,x ≥5f(x +3),x <5，则f (4)+f (-4)=（）A ．63B ．83C ．86D ．91 答案：C分析：由给定条件求得f (-4)=f (5)，f (4)=f (7)，进而计算f (5)、f (7)的值，相加即可得解. 依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)= f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86. 故选：C9、若2x −2y <3−x −3−y ，则（）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0 答案：A分析：将不等式变为2x −3−x <2y −3−y ，根据f (t )=2t −3−t 的单调性知x <y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.10、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B多选题11、关于函数f(x)=|ln|2−x||，下列描述正确的有（）A．f(x)在区间(1,2)上单调递增B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D．f(x)有且仅有两个零点答案：ABD分析：作出函数f(x)的图象，由图象观察性质判断各选项．根据图象变换作出函数f(x)的图象（f(x)=|ln|x−2||，作出y=lnx的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得），如图，由图象知f(x)在(1,2)是单调递增，A正确，函数图象关于直线x=2对称，B正确；f(x1)=f(x2)=k，直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2，则x1+x2=4不成立，C错误，f(x)与x轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．12、下列运算法则正确的是（）log a bA．log a3b2=23B．(a n)m n=a m（b>0,a>0且a≠1）C．log a b=lnblnaD．a m+n=a m⋅a n(a≠0,m,n∈N+)答案：CD分析：取b<0可判断A选项的正误；取a<0，n=1可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选2项的正误；利用指数的运算性质可判断D 选项的正误. 对于A 选项，若b <0，则log a b 无意义，A 选项错误；对于B 选项，若a <0，n =12，则a n =√a 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由换底公式可得log a b =lnb lna（b >0,a >0且a ≠1），C 选项正确；对于D 选项，当a ≠0，m 、n ∈N +时，a m+n =a m ⋅a n ，D 选项正确. 故选：CD.13、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2 答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像，利用图像求解即可函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94若y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，则−m ∈(0,94)，∴m ∈(−94,0)，故选：CD ．14、已知函数f(x)=2x2x +1+m(m ∈R)则下列说法正确的是（） A ．f (x )的定义域为R .B ．若f(x)为奇函数，则m =−12C ．f(x)在R 上单调递减D ．若m =0，则f(x)的值域为(0,1) 答案：ABD分析：根据函数的定义域的求法，可判定A 正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得m 的值，可判定B 正确，化简f(x)=−12x +1+m +1，结合指数函数的单调性，可判定C 错误；化简函数f(x)=1−12x +1，结合指数函数的值域，可判定D 正确.由题意，函数f(x)=2x 2x +1+m(m ∈R)，对于A 中，由2x +1≠0，所以函数f (x )的定义域为R ，所以A 正确；对于B 中，由函数f (x )为奇函数，则满足f (−x )=−f (x )，即2−x2−x +1+m =−2x 2x +1−m ，所以2m =−2x 2x +1−2−x 2−x +1=−2x2x +1−12x 12x+1=−2x2x +1−12x +1=−1，即m =−12，所以B 不正确；对于C 中，由f(x)=2x2x +1+m =2x +1−12x +1+m =−12x +1+m +1，因为函数y =2x +1为单调递增函数，则y =−12x +1递增函数，所以f (x )函数在R 上单调递减，所以C 不正确；对于D 中，当m =0时，可得f(x)=2x 2x +1=1−12x +1，因为2x +1>1，可得−1<−12x +1<0，所以1−12x +1∈(0,1)，即函数f (x )的值域为(0,1)，所以D 正确. 故选：ABD.15、函数f (x )=2x +a2x (a ∈R )的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．答案：ABD解析：根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项. 当a =0时，f (x )=2x ，图象A 满足；当a =1时，f (x )=2x +12x ，f (0)=2，且f (−x )=f (x )，此时函数是偶函数，关于y 轴对称，图象B 满足；当a=−1时，f(x)=2x−12x，f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点(0,1)，此时a=0，故C不成立.故选：ABD小提示：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.填空题16、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1 263所以答案是：2−1263﹒17、已知a>b>1，若log a b+log b a=52,a b=b a，则a+2b=___________. 答案：8分析：利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．解：由log a b+log b a=52，且log a b⋅log b a=1所以log a b,log b a是方程x2−52x+1=0的两根，解得log b a=2或log b a=12，又a>b>1，所以log b a=2，即a=b2，又a b=b a从而b2b=b a⇒a=2b，且a=b2，则b=2，a=4．所以a+2b=8.所以答案是：8.18、函数f(x)=4x−2x+1+3在(−∞,12]的值域为______．答案：[2,3)分析：令2x=t，结合二次函数的性质即可得出答案.解：f(x)=(2x)2−2×2x+3=(2x−1)2+2，设2x=t，当x∈(−∞,12]时，0<t≤√2，所以2≤(t−1)2+2<3，所以f (x )在(−∞,12]的值域为[2,3)．所以答案是：[2,3)．解答题19、已知函数f （x ）＝3x 2－5x ＋a ．（1）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数f （x ）的一个零点在(－2，0)内，另一个零点在(1，3)内，求实数a 的取值范围．答案：（1）(−∞,2512)；（2）(－12，0)．分析：（1）由判别式大于零求出实数a 的取值范围；（2）画出f(x)的草图，结合零点存在性定理，列出不等式组求出实数a 的取值范围．（1）由题意得Δ＝25－4×3×a >0，解得a <2512．所以a 的取值范围是(−∞,2512)．（2）由草图可知{f(−2)⋅f(0)<0f(1)⋅f(3)<0得{(22+a)a <0(a −2)(a +12)<0，解得−12<a <0．所以a 的取值范围是(−12,0)小提示：关键点睛：解决问题二的关键在于根据题意画出f(x)的草图，结合零点存在性定理得出实数a 的取值范围．20、声强级L 1(单位:dB )由公式L 1=10lg (I10−12)给出,其中I 为声强(单位:W m 2⁄).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m 2,能听到的最低声强为10−12W/m 2.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m 2,求其声强级.答案：(1)0 dB−120 dB(2)60dB解析：(1)分别代入I=1与I=10−12求解即可.(2)代入I=10−6求解即可.)=10×lg1012=120(dB).解:(1)10lg(110−1210lg(10−12)=10lg1=0(dB).10−12因此人听觉的声强级范围为0 dB−120 dB.=10×lg106=10×6=60(dB).(2)L1=10lg10−610−12小提示：本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.。

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习1 设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a2 函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是[ ]3.设525bm ==，且112a b +=，则m =[ ]（A （B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a=3log 2,b=In2,c=125-,则[ ]A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<b D . c<b<a 5 .已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是[ ] (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 6.函数()()2log 31x f x =+的值域为[ ]A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 [ ]（A ）幂函数（B ）对数函数（C ）指数函数（D ）余弦函数 8. 函数y=log2x 的图象大致是[ ]PS(A) (B) (C) (D)8.设554a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a<c>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12.下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<13.若01x y <<<，则( )A ．33y x >B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>15.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a ≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（） A ．101a b -<<-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.19.已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值；20.已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.指数函数与对数函数专项练习参考答案1）A【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375= 0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B2、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ，f (−6)=（） A ．−2B ．2C ．−4D ．4 答案：A分析：因f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0，从而可求t ，再由奇函数的定义即可求出f (−6)的值. 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，又当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ， ∴ f (0)=log 2(0+2)+t =0， ∴t =−1，∴当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)−1，∴f (−6)=−f (6)=−[log 2(6+2)−1]=−(log 223−1)=−2，故选：A.4、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A6、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a 1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1，所以c <1<a 1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（）A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点．因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项. 因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限. 故选：A ．9、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增 D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．10、设f(x)={e x−1,x <3log 3(x −2),x ≥3，则f(f (11))的值是（）A ．1B ．eC ．e 2D ．e −1分析：根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解. 由题意得f(11)=log 3(11−2)=log 39=2，则f(f (11))=f (2)=e 2−1=e . 故选：B.小提示：本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题. 填空题11、已知log a 13>1，则实数a 的取值范围为______．答案：(13,1).分析：分0<a <1和a >1两种情况求解即可.解：当0<a <1时，由log a13>1，可得log a13>log aa，解得13<a <1；当a >1时，log a 13>1，可得log a13>log aa，得a <13，不满足a >1，故无解.综上所述a 的取值范围为：(13,1). 所以答案是：(13,1).12、已知a ，b 为正数，化简√a 5b 2⋅(a 2b )−1⋅√b 3=_______．答案：a 12b 12分析：根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.原式=a 52b 2⋅a −2b −1⋅b 32=a 12b 12．所以答案是：a 12b 12．13、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________．答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1，所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 14、函数f （x ）＝3x −3−x 3x +3−x+2，若有f （a ）＋f （a －2）＞4，则a 的取值范围是________.答案：（1，＋∞）分析：构造函数F （x ）＝f （x ）－2，则f （a ）＋f （a －2）＞4等价于F （a ）＋F （a －2）＞0，分析F(x)奇偶性和单调性即可求解.设F （x ）＝f （x ）－2，则F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ，易知F （x ）是奇函数，F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ＝32x −132x +1＝1－232x +1在R 上是增函数，由f （a ）＋f （a －2）＞4得F （a ）＋F （a －2）＞0，于是可得F （a ）＞F （2－a ），即a ＞2－a ，解得a ＞1. （1，＋∞）15、已知函数f (x )={x 2+4x x ≥22|x−a | x <2 ，若对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)，则实数a 的取值范围是______．答案：0≤a <4分析：由题意可得函数f (x )在[2，＋∞）时的值域包含于函数f (x )在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数f (x )在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．解：设函数g (x )=x 2+4x , x ≥2的值域为A ，函数ℎ(x )=2|x−a | , x <2的值域为B ，因为对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)，则A ⊆B ，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当x1∈[2,+∞)时，g(x)=x2+4x =x+4x，因为x+4x ≥2√x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，所以A=[4,+∞)，当x2∈(−∞,2)时，ℎ(x)=2|x−a| , x<2①当a≥2时，ℎ(x)=2a−x , x<2，此时B=(2a−2,+∞)，∴2a−2<4，解得2≤a<4，②当a<2时，ℎ(x)={2a−x,x<a2x−a,a≤x<2，此时ℎ(x)在(−∞,a)上是减函数，取值范围是(1,+∞)，ℎ(x)在[a,2)上是增函数，取值范围是[1,22−a)，∴22−a≤4，解得0≤a<2，综合得0≤a<4.所以答案是：0≤a<4小提示：关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.解答题16、已知函数ℎ(x)=|log12x|.(1)求ℎ(x)在[12,a](a>12)上的最大值；(2)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A(其中A表示A在I上的补集)使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知ℎ(x)=|log12x|(x∈[12,2])，若A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，求a的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）1.解析：（1）作出函数ℎ(x)=|log12x|的图象，分12<a≤2，a>2，利用数形结合法求解.(2)根据对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，分12<a≤1，1<a≤2，分别求得ℎ(x)在[12,a)和[a,2]上的值域，利用集合法求解.（1）函数ℎ(x)=|log12x|的图象如图所示：当12<a≤2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(12)=1，当a>2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(a)=−log12a.(2) 当12<a≤1时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为(log12a,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[0,1]，因为满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，所以(log12a,1)[0,1]，成立；此时A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，当1<a≤2时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为[0,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[−log12a,1]，当1≤x1<a时，ℎ(x1)<ℎ(a)=−log12a，所以∃x1∈[1,a)，ℎ(x1)∉[−log12a,1]，即存在x1∈A，对任意x2∈A使得f(x1)≠f(x2)，所以A=[12,a)不为函数ℎ(x)的“Γ区间”，所以a的最大值是1.小提示：方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若∀x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )min >g (x )max ；若∃x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )min ；若∃x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )max ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )miax >g (x )min ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)=g (x 2)成立，则 f (x )的值域是g (x )的子集；17、（1）计算：(279)12+(lg5)0+(2764)−13；（2）设4a =5b =100，求2(1a +2b )的值．答案：（1）4；（2）2．分析：（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得1a=1log 4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005，进而可得解. （1）原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]−13=53+1+43=4．（2）∵4a =100， ∴a =log 4100．同理可得，b =log 5100，则1a =1log4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005， ∴1a +2b=log 1004+2log 1005=log 100(4×52)=log 100100=1． ∴2(1a +2b )=2．18、已知函数f (x )=log 12x +12x −172．(1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是减函数；(2)证明：f (x )有零点；(3)设f (x )的零点在区间(1n+1,1n )内，求正整数n ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10分析：（1）设0<x 1<x 2，则结合对数的运算法则可证得f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)，由此可得证.（2）结合函数的解析式有f (1)=−8<0，f (116)=72>0，且f (x )在区间(116 ， 1)上连续不断，由零点存在定理可得证.（3）结合函数的解析式可得f (110)f (111)<0，由此可得答案.（1）因为f (x )的定义域为(0,+∞)，设x 1，x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以log 12x 1−log 12x 2>0，12x 1−12x 2=x 2−x 12x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在定义域(0,+∞)上是减函数．（2）因为f (1)=0+12−172=−8<0，f (116)=4+8−172=72>0，所以f (1)⋅f (116)<0，所以f (x )有零点．（3）f (111)=log 12111+112−172=log 211−3>log 28−3=0，f (110)=log 12110+5−172=log 210−72=log 25−52=log 2√25−log 2√32<0，所以f (110)f (111)<0，又f (x )在(0,+∞)上为减函数，所以f (x )的零点在区间(111,110)内，故n ＝10． 19、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在20元到40元之间时，其销售量y （件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示．(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是20元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y =−20x +840(20⩽x ⩽40)(2)每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元分析：（1）设y =ax +b ，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与x 的关系，由二次函数的性质得最大值．（1）设y =ax +b ，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得{440=20a +b,400=22a +b,解得{a =−20,b =840, ∴一次函数的解析式为y =−20x +840(20⩽x ⩽40)．（2）设利润为S 元，由题意可得S =(−20x +840)(x −20)=−20x 2+1240x −16800=−20(x −31)2+2420，∴当x =31时，S max =2420，∴每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元．。

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指数函数与对数函数专项练习3 52 2 53 252a （） ,b （），c （）1 设 555 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 []（A ） a ＞ c ＞ b（ B ）a ＞ b ＞ c（C ） c ＞ a ＞ b（D ） b ＞ c ＞ alog b x2 函数 y=ax2+ bx||≠ 0， | a | ≠ | b |) 在同一直角坐标系中的图像可能与 y=a(ab是[ ]1 123. 设 255bm ，且 a b，则m[ ]（A ）10（ B ） 10（ C ）20（ D ） 10014. 设 a=log 32,b=In2,c=5 2A. a<b<cB. b<c<a, 则 []C. c<a0，y>0，函数 f(x) 满足 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）f （ y ）”的是[]（A ）幂函数（ B ）对数函数（C ）指数函数（ D ）余弦函数8.函数 y=log2x 的图象大致是 []PS(A)(B) (C)(D)，（25，则8. 设alog log 5 3），c log 4 [ ] 5 4 b(A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c(D) b<a<c9. 已知函数 f (x)log 1 (x 1), 若 f ( )1,=[ ](A)0(B)1(C)2(D)310. 函数 y 16 4x的值域是[ ]（A ）[0,）(B) [0, 4](C)[0, 4)(D)(0, 4)11. 若 a log 3 π， b log 7 6， c log 2 0.8 ，则（）A ． a b cB ． b a cC ． c a bD ． b c a12. 下面不等式成立的是 ( )A ． log 3 2 log 2 3 log 2 5B． log 3 2 log 2 5log 2 3C ． log 2 3 log 3 2 log 2 5D． log 2 3 log 2 5log 3 213. 若 0x y 1 ，则 ( )A ． 3y3xB ． log x 3 log y 3C ． log 4 x log 4 yD． ( 1) x( 1) y1log a 5 ， z4414. 已知 0a 1 ， x log a 2 log a 3 ， ylog a 21 log a 3 ，则2（）A ． x y zB ． z y xC ． y x zD ． z x y15. 若 x(e 1，1)， a ln x ， b 2ln x ， c ln 3 x ，则（）A ． a < b < cB ． c < a < bC ． b <a < cD ． b < c < a16. 已知函数f ( x ) log (2 xb 1)( a 0 1)的图象如图所示，则 a ，b 满足的关系是a， a yxO1（）A．0 a C．0 b 11b 1 B．0 b a 1 1a 1 D．0 a1b 1 118.已知函数y a2 x2a x1(a1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.19. 已知f ( x)2m 是奇函数，求常数m的值；3x 120. 已知函数 f(x) ＝ a x 1 (a>0 且 a≠ 1).a x 1(1) 求 f(x) 的定义域；(2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 .指数函数与对数函数专项练习参考答案1） A2y ( 2 )x5在 x 0 时是减函数，所以cb 。

高考数学二轮复习指数函数和对数函数

高考数学二轮复习指数函数和对数函数一．知识整理：基本概念及相关知识点：1、对数、对数的底数、真数：一般地，如果a （a >0，a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记为log a N =b ．a 叫做对数的底数．N 叫做真数．负数和零没有对数．2、常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数．3、自然对数：以e 为底的对数叫自然对数，N 的自然对数log a N 简记作ln N ．4、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M >0，N >0，那么（1）log a （MN ）=log a M ＋log a N ；（2）NMa log =log a M －log a N ；（3）log a M n=n log a M （n ∈R ）． 5、对数换底公式： bNN a a b log log log(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)6、指数函数：函数y =a x（a >0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是R ． 7、指数函数的图象与性质：a ＞1 0＜a ＜1图像（1）定义域：R （2）值域：（0+∞）（3）过点（0，1），即x =0时，y =1 (4)在R 上是增函数（4）在R 上是减函数8、对数函数：函数y = log a x （a >0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+∞）． 9、对数函数的图象与性质：a >1 0＜a ＜1图像性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过点（1，0），即x ＝1时，y ＝0 (4)在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数10、指数方程与对数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解． 11、最简单的指数方程：xa ＝b (a ＞0,a ≠1,b ＞0)，它的解是x ＝a log b 12、最简单的对数方程：a log x ＝b (a ＞0,a ≠1)，它的解是x ＝ba 概念辨析： 1．指数函数(1) 指数函数的定义：函数y =a x叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量．函数的定义域是实数集R ．在定义中，必须注意：①指数函数的形状，例如y =－2x，121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 都不能认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数；②指数函数的底在应用时的范围；③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用．(2) 在函数y =a x中规定底数a >0且a ≠1的理由：如果a =0，则当x >0时，a x恒等于0；当x ≤0时，a x无意义．如果a <0，比如y =(－4)x ，这时对于41=x ，21=x ，等等，在实数范围内，函数值不存在．如果a =1，y =1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述情况，所以规定底数a >0且a ≠1．(3) 指数函数y =a x在其底数a >1及0<a <1这两种情况下图象特征和性质如下：底数a >1 0<a <1图象xyOy=1y=a x (a>1)xyOy=1y=a x (0<a<1)性质①定义域 (－∞，+∞)②值域 (0，+∞)．图象都位于x 轴上方且以x 轴为渐近线函数值的分布情况 ③当时x =0，y =1．图象都经过点(0，1) ．④当x >0时，y >1当x <0时，0<y <1 ④当x >0时，0<y <1 当x<0时，y >1单调性⑤在(－∞，+∞)上是增函数⑤在(－∞，+∞)上是减函数注：① 注意根据图象记忆和应用性质：② 性质④可表述为：若(a －1)x >0，则a x>1；若(a －1)x <0，则0<a x<1． ③ 性质③实际上是性质④与性质②的推论． 2．对数(1) 对数的定义：如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b=N ，那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 也叫做对数式．(2) 指数式与对数式的互化a b =N b =log a N (a >0且a ≠1，N >0)(3) 对数恒等式：N a Na =log (a >0，a ≠1，N >0)(4) 对数的性质：① 负数和零没有对数． ② 1的对数是零，即log a 1=0． ③ 底的对数等于1，即log a a =1． (5) 对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)① log a (MN )= log a M +log a N ② N M NMa a alog log log -=③ M n M a na log log =(n ∈R ) ④M nM a nalog 1log =(n ∈R ，n ≠0) (6) 对数换底公式：bNN a a b log log log =(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)推论：ab b a log 1log =b mnb a n a m log log =(7) 常用对数与自然对数．① 常用对数既是以10为底的对数，简记为lg N (N >0)．② 自然对数即是以无理数e =2.71828…为底的对数，简记为ln N (N >0)． (8)对可化为形如)(x f a＝)(x g a(a ＞0,a ≠1)的指数方程，可转化为它的同解方程f (x )＝g (x )求解；因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等．而对可化为形如a log f (x )＝ a log g (x )(a ＞0,a ≠1)的对数方程，在转化为方程f (x )＝g (x )求解时，必须把所得的解代回原方程检验；因为从前者变为后者时，x 的取值范围可能扩大，有可能产生增根．某些指数方程与对数方程可以分别化为关于xa 与a log x 的可解方程，这时可用换元法先求出xa 与a log x 的值，再求x 的值；特别对形如x a2＋b ·xa ＋c ＝0，可用换元法化为二次方程，先求出xa 或a log x ，再求x ．但解对数方程时，始终要注意变形的同解性．二．课堂练习：1．设a ，b ，c 都是正数，且3a=4b =6c ，那么 [ ]2．已知1＜x ＜d ，令a=(x d log )2， b=2log x d ， c=()x d d log log ，则[ ]．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 [ ]．A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．(2，+∞)4 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x+1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A g (x )=x , h (x )=lg(10x +10－x+2)B g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x+1)－x ］ C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x+1)+2x5 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )A1oyx B1oyx C1oy x D1oyx6．若函数 a x f x+-=131)(（a ≠0）是奇函数，则满足65)(=x f 的x 的取值集合为（）． (A) { log 32 } (B) { 1 } (C) {2 log 32 }(D) φ７．已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x < 0时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(，那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值等于（）． (A)33(B) 3- (C) 3(D) 33-８．若2145-⎪⎭⎫⎝⎛=m ，3156-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ， 2156-⎪⎭⎫⎝⎛=p ，则（）． (A) m < p < n (B) n < m < p (C) p < m < n(D) n < p < m9．函数y = log 2x 与)4(log 21x y =的图象（）．（A ）关于直线x = 1对称（B ）关于直线y = x 对称（C ）关于直线y =－1对称（D ）关于直线y = 1对称10．函数5log log 2241++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在区间[2，4]上的最大值是( )(A) 4(B) 7(C)423 (D)4111．已知 -1≤x ≤2，则函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值为最小值为； 12．方程 9－x－2·31－x= 27的解集为_____________________________．13．方程 log x (3x +4)=2的解集为__________________________．14．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=12log 2x y 的反函数是________． 15．已知函数f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是____________． 16．方程log 2(9－2x)=3－x 的解集是__________． 17．已知函数()()0,1,022log <≠>-+=b a a bx bx x f a(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)指出函数f(x)的单调区间； (4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．18．设10<<a ，函数()33log +-=x x x f a的定义域为[]n m ,，值域为[()1log -n a ， ()1log -m a ]． (1)求证： m ＞3；(2)求a 的取值范围．19．已知函数f(x)=lg(ax-b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴．20．函数f(x)=x a log 在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数f(x)=()12log 22++x ax ． (1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()()1,01log 2≠>--=a a x x x f a(1)求f(x)的定义域； (2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求满足f(x)＜2的x 的取值范围．三．课后练习：1．设5x=1.5，(0.5)y =0.75，则x ，y 满足 [ ]． A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0 D ．x ＜0，y ＞0 2．若loga2＜logb2＜0，则正确的大小关系是 [ ]． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞1 3．如果0＜a ＜1，且x ＞y ＞1，则下列不等式中正确的是 [ ]．A ．a x ＜a yB ．x a log ＞y a logC ．x a -＞y a -D ．xa ＞y a4．函数()x f 的定义域是[]1,1-，那么函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 21log 的定义域是 [ ]A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．(0，2]C ．[2，+∞)D ．⎥⎦⎤⎝⎛21,05．若0＜a ＜1，则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过 [ ]． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是 [ ]． A ．(-∞，-2) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(2，+∞)7．已知logab=-2，那么 a+b 的最小值是 [ ]．A ．2233B ．2323C ．233D ．3228．函数5log log 21241+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在区间[]4,2上的最小值是 [ ]．A ．4B ．8C ．423 D ．419．已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+2)对任意x ∈R 成立，并且当()1,0∈x 时，()13-=xx f ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 31f 的值为 [ ] A ．31-B ．31C ．34D ．34- 10．函数f(x)=loga(a-ax)(a ＞0，a ≠1)的定义域为_____；值域为_____．11．若函数()1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x f 的反函数为()x g ，则()1+x g 的解析式为12．设12>>>a b a ，则a b abb a blog ,log ,log 从小到大的顺序是 13．已知0＜a ＜1，那么x 的方程x a =|x a log |的实根的个数是______．14．已知函数()x x f 3log 2+=，x ∈[1，9]，则()[]()22x f x f y +=的最大值是______．15．已知函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数，则实数a 的取值范围是______．17．已知实数p ，q 满足()()()1lg 2lg log lg 3++-=q q p ，试求实数p 的取值范围．18．已知函数f(x)=ax 在闭区间[-2，2]上的函数值总小于2，求实数a 的取值范围．19．设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数．20．已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域．21．设0＜a ＜1，x 和y 满足3log log 3log =-+y a x x x a ．如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值.答案提示:课堂练习:1.B2.D3.B4 解析由题意 g (x )+h (x )=lg(10x+1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－x+1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x+1)－2x 答案 C 5 解析当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数答案 B6． C ．由 f ( x )是奇函数，故f (－1)=－f ( 1 )，即⎪⎭⎫⎝⎛+--=+--a a 1311311，解得 21=a ．于是21131)(+-=x x f ． 65)(=x f ，即6521131=+-x，化简得 3x= 4 ．因此 x =2 log 32 ．７．B ． f ( x )为奇函数． 331212121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ．８．A ．由函数 xy ⎪⎭⎫⎝⎛=56在R 上是增函数，可得 n > p ，从而否定（B ）、（D ）．又函数 21-=xy 在（0，+∞）上是减函数，可得m < p ．９．C ．在函数y = log 2x 图象上取一点P （1，0）．可求得P 点关于直线x = 1的对称点为Q 1（1，0），P 点关于直线y = x 的对称点为Q 2（0，1），P 点关于直线y =－1的对称点为Q 3（1，－2），P 点关于直线y = 1的对称点为Q 4（1，2）．经验证，其中只有Q 3点在函数)4(log 21x y =的图象上．10.D 11. 当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即 x=2时，f(x)取最小值-24． 12．{ －2 }．方程可化为 (3－x )2－6 (3－x)－27 = 0 ．13．{ 4 } ．解：x 2 = 3x + 4，并注意 x > 0，x ≠ 1． 14．y =2x +1+2 15．(1，2) 16．{0，3}．17. 所以f(x)的定义域为{x|x ＜2b 或x ＞-2b}．(2)对f(x)定义域内任意x ，有所以f(x)为奇函数．当a＞1时在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数．它的单调性直观观察可得，如图2，于是有当a＞1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是增函数，当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是减函数．18.n＞m，又由函数值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证．y=logau为减函数，所以y=f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，ax2+(2a-1)x+3-3a=019.分析此题第(2)问是从几何角度探索函数图象的特征，但此函数图象并不会画，也不易画出，因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质．(0，+∞)．(2)先证f(x)在(0， +∞)上是增函数．任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此 lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2．这与f(x)在(0，+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾．故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．20.解依题意f(x)=logax在[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立|logax|＞1对任意x∈[2，+∞)都成立logax＞1或logax＜-1对任x∈[2，+∞)总成立y=logax在[2，+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2，+∞)的最大值小于-1．而函数y=logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有当0＜a＜1时，有最大值loga2，于是有21.当a=0时，不等式化为2x+1＞0，显然不合题意；综上可得，当a＞1时，f(x) 的定义域是R．当a=0时，函数为u=2x+1，值域为R．符合题意；解得0＜a≤1．综上所述当0≤a≤1时，f(x)的值域为R．课后作业:1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．A10．a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)；a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)．11．()12log 2-+-x 12．b a aba b blog log log << 13．2 14．13 15．-4＜a ≤420．(1)(1，p)；(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2]；当1＜p ≤3时，f(x)的值域为(-∞，1+log2(p-1))。

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y fx -=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x =对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k -+=的根为2x ，那么12x x k +=.二、典型例题例题1．（2022·高三课时练习）若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ，则m n +的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】解：由题意，可知5log 4x x =-+，54x x =-+，作出函数5log y x =，5x y =，4y x =-+的图像（如图），A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ，且A 、B 关于直线y x =对称，AB 的中点为C ，联立,4,y x y x =⎧⎨=-+⎩可得点C 的横坐标为2，因此4m n +=．故选：C.【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x fx k -+=的根为2x ，那么12x x k +=.在本例中，记5()log xf x =，则1()5x fx -=，这样利用结论，可快速得到：4m n +=。

例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知1x 是方程34x x ⋅=的根，2x 是方程3log 4x x ⋅=的根，则12x x =（）A．16B．8C．6D．4【答案】D，因为3x y =与3log y x =互为反函数，这两个函数的图象关于直线在函数4y x=图象上任取一点(),a b ，该点关于直线由4=b a 可得4a b =，则点(),b a 也在函数故函数4y x=的图象关于直线y x =对称，所以，点114,x x ⎛⎫⎪⎝⎭与点224,x x ⎫⎛⎪ ⎝⎭关于直线故选：D.函数2log y x =与2x y =的图象关于直线所以，直线y x =与直线2y =由图象可知，点A 、B 关于点故选：D.3．（2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若满足故选：D8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知三个函数()38=+g x x=-，()2logh x x xA．6B．5【答案】C的横坐标，联立2y x y x=⎧⎨=-⎩，解得1x y ==，则直线y x =与直线2y x =-交于点()1,1M ，易知直线y x =与直线2y x =-垂直，因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，则A 、B 两点关于直线y x =对称，线段AB 的中点为M ，所以，12a b +-=，解得3a b +=.故答案为：3.13．（2022·上海·高一专题练习）设方程2log 2x x +=的解为1x ，22x x +=的解为2x ，则12x x +=_____________.【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ，得211log 2x x =-+，同理22x x +=的解为2x ，得2222xx =-+，又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，图象关于直线y x =对称，且2y x =-+与y x =互相垂直，且交点为(1,1)，则函数2log y x =与函数2y x =-+的交点11(,)A x y ，函数2x y =与函数2y x =-+的交点22(,)B x y ，关于直线y x =对称，即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称，即122x x +=，故答案为：2.14．（2019·浙江宁波·高一校联考期中）若1x 是方程1240x x -+-=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，则12x x +=__________．【答案】4【详解】解：1x 是方程1240x x -+-=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，把方程分别变形为()1231x x -=--，2log 3x x =-，由于2x y =与2log y x =互为反函数，则12(1)3x x -+=，124x x ∴+=．故答案为4．。

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。

另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。

整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。

其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。

例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。

二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。

例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。

例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。

二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。

当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。

规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。

指数函数与对数函数高考题及答案

指数函数与对数函数1、（2009湖南文）2log 的值为（）A ．BC ．12-D ． 12【解析】由1222211log log 2log 222===,易知D 正确.2、（2012安徽文）23log 9log 4⨯=（） A ．14B ．12C ．2D ．4【解析】选D 23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3⨯=⨯=⨯=3、（2009全国Ⅱ文）设2lg ,(lg ),a e b e c === ( )A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >> 【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=21lge, 作商比较知c>b,选B 。

4、（2009广东理）若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（）A. 2log xB. 12log x C.12xD. 2x【解析】x x f a log )(=，代入)a ，解得21=a ，所以()f x =12log x ，选B. 5、（2009四川文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是（）A. )0(log 12>+=x x yB. )1)(1(log 2>-=x x yC. )0(log 12>+-=x x yD. )1)(1(log 2->+=x x y 【解析】由y x y x y x 221log 1log 12+-=⇒=+⇒=+，又因原函数的值域是0>y ，∴其反函数是)0(log 12>+-=x x y6、（2009全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【解析】322log 2log log b c <<>2233log log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> . 7、（2009天津文）设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则（）A.c b a <<B. b c a <<C. a c b << D .c a b <<【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13log 2>=b ，因此选D 。

(完整版)指数函数与对数函数高考题(含答案)

指数函数与对数函数高考题1、（2009湖南文）2log ）A ．BC ．12-D ． 122、（2012安徽文）23log 9log 4⨯=（）A ．14B ．12C ．2D ．43、（2009全国Ⅱ文）设2lg ,(lg ),lg a e b e c === ( )A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4、（2009广东理）若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（）A. 2log xB. 12log x C.12xD. 2x 5、（2009四川文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是（）A. )0(log 12>+=x x yB. )1)(1(log 2>-=x x yC. )0(log 12>+-=x x yD. )1)(1(log 2->+=x x y6、（2009全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>7、（2009天津文）设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则（）A.c b a <<B. b c a <<C. a c b << D .c a b <<8、(2009湖南理) 若2log a ＜0，1()2b ＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜09、（2009江苏）已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =10、（2010辽宁文）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（）11、（2010全国文）函数)1)(1ln(1>-+=x x y 的反函数是( )A.y=1x e +-1(x>0)B. y=1x e -+1(x>0)C. y=1x e +-1(x ∈R)D.y=1x e -+1 (x∈R)12、（2012上海文）方程03241=--+x x 的解是_________ .13、（2011四川理）计算21100)25lg 41(lg -÷-_______ ．14、（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 。

高考四指数函数与对数函数

专题四指数函数与对数函数一、选择题 1．设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=- 2.x 1),(x log 2,x ,2e f(x)231x 则f[f(2)]的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．设x2x 2lgf(x)-+=，则)x 2f()2x f(+的定义域为（） A ．(-4, 0)∪(0, 4) B ．(-4, -1)∪(1, 4)C ．(-2, -1)∪(1, 2)D ．(-4, -2)∪(2, 4)3．设a>1，函数f(x)=log a x 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为21，则a=（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．44．函数f(x)=1+log 2x 与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）5．设0<a<1，函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2)，则使f(x)<0的x 的取值范围是（）A ．(-∞, 0)B ．(0, +∞)C ．(-∞, log a 3)D ．(log a 3, +∞)6．若函数f(x)=log a (x 3-ax)(a>0, a ≠1)在区间(-21, 0)内单调递增，则a 的取值范围是（） A ．)1,41[ B ．)1,43[ C ．),49(+∞ D ．)49,1( 7．（2008年高考·山东卷）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+014y 2x 0,8y x 0,192y x 所表示的平面区域为M ，使函数y=a x (a>0, a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（）A ．[1, 3]B ．[2, 10]C ．[2, 9]D ．[10, 9]二、填空题8．设a>0, a ≠1，函数f(x)=a 3)2x lg(x 2+-有最大值，则不等式log a (x 2-5x+7)>0的解集为________________．9．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f(x-1)=f(x+3)，当x ∈[4, 6]时，f(x)=2x +1，则函数f(x)在区间[-2，0]上的反函数f -1(19)=_________．10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=a t )161(-(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_____________；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．11．设函数f(x)=lg(x 2+ax-a-1)，给出下列命题：（1）f(x)必有最小值；（2）若a=0，则f(x)的值域是R ；（3）若a>0，且f(x)的定义域为[2, +∞)，则f(x)有反函数；（4）若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是[-4, +∞)其中正确命题的序号是__________．（要求把正确命题的序号都填上）三、解答题12．已知集合A={x|log 2(4x)·log 42x4≥2}，求函数y=42x+1+4x (x ∈A)的值域． 13．设1)x(a 1)a(x x)f(log 22a --=.（1）求f(x)的表达式，并判断函数f(x)的奇偶性；（2）试证明函数f(x)的图象上任意两点的连线的斜率大于0；（3）对于f(x)，当x ∈(-1, 1)时，恒有f(1-m)+f(1-m 2)<0，求m 的取值范围．14．（2008年从化期中）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R )是偶函数．（1）求k 的值；（2）设g(x)=log 4(a ·2x -34a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．15．已知函数f(x)=log a (ax-x )(a>0, a ≠1)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，求f(x)在区间[1，4]上的最值；（3）讨论f(x)在定义域上的单调性．。

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——指、对数函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——指、对数函数D234点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点（1）写出函数y=g(x)的解析式（2）若当x ∈[a+2,a+3]时，恒有︱f(x)-g(x)︱≤1,试确定的取值范围。

7. 已知a>0 , a ≠1，().11log 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x a a x f a（1）当f(x)的定义域为（-1,1）时，解关于m 的不等式f(1-m)+f(1-m 2)<0;（2）若f(x)-4恰在(-∞,2)上取负值，求a 的值8. 已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根．9. 已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）．（《高考A 计划》考点15，例4）．求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．10. 设函数y =a 2x -2a x +3，x ∈［-1，1］.(1)当a =31时求函数的值域；(2)当a >1时，划分函数的单调区间.511. 求实数m 的值，使函数f (x )=log m (x 2+1)在［0，2］上的最大值为 3.12. 函数f (x )=log 21 (x 2-ax +a )在(-∞，2)上单调增，求a 的取值范围.13. 已知函数f (x )=log 0.111-+x x +log 0.1(x -1)+log 0.1(a -x )(a >1)的最小值为-2，求实数a 的值.14.当a >0时，解不等式：log ax x +log x (ax )2>0.15.是否存在实数a ，使函数f (x )=log a (ax 2-x )在区间［2，4］上单调增.若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由.16. 已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数（其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.617. 对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.18. 解答下述问题：（Ⅰ）设集合}03log 21log 2|{8221≤+-=x x x A ，若当A x ∈时，函数4log 2log )(22xx x f a⋅=的最大值为2，求实数a 的值. （Ⅱ）若函数22724)(21+⋅-=-x x a x f 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a 的值.（Ⅲ）设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.19. 设,,x y z 均为正数，且346x y z ==，求证：1112z x y-=.720. 已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.8答案： 1. 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ， ∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b .由已知有log 22a －log 2a +b =b ， ∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2. 解：由题意，得1+2x +4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立，即a ＞－x x421+在x ∈（－∞，1）上恒成立.又∵－x x 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41，当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43.3. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.4. 解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点，∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点. ∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm+2m ）min ≥3.9又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 5. 解：令u=a x ,y=(u+1)2-2.因为-1≤x ≤1当a>1时),,1[],1[+∞-⊆∈a au )(5312142舍或-==⇒-+=∴a a a a当0<a<1时，舍）或(5131112114),,1[]1,[2-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴+∞-⊆∈a a a a a a u综上得，331==a a 或『变式』已知f(x)=log 4(2x+3-x 2)求（1）f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的最大值及对应的x 的值.增区间为(-1,1],减为区间[1,3）∵u=-(x-1)2+4≦4,∴x=1 时y=1为最大值6. 解：（1）设点),,(y x Q ''则y y a x x -='-=',2()上在函数点a x y y x P a 3log ),(-=()ax x g y a a x y aa -='='-+'='-∴1log )(32log 即（2）()022323>+-=-+=-a a a a x ()10,100311<<∴≠>>-+=-a a a aa a x 且又 ()34(log 11)34(log 1log 3log )()(222+-≤-⇒≤+-=---=-a ax x a ax x ax a x x g x f a a aa a a a 22,10>+∴<< 故函数r(x)=2234a ax x +-在区间x ∈[a+2,a+3]上为增函数()[]()()()[]()()a a u x u a a u x u a a 44log 269log 3max min -=+=-=+=∴10问题转化为()()125790144log 169log 10-≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<a a a a a a7. 解:（1）令t=log a x,可得f(t)=()tt a a a a ---12()()()为奇函数x f x f x f ∴-=- ()()()21212111,22121x x x x x x aa a a a a x f x f x x +++--=-<则设当a>1时01,221>-<a a a x x 当0<a<1时01,221<->a a a x x∴()()为增函数021<-x f x f21111m -11-1m -11-1)-f(m m)-f(10)m -f(1m)-f(12222<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<<<⇒<⇒<+m m m（2）由题意，当()()()()042,424,2,=--<-∞-∈f f x f x 且()3241222±=⇒=--∴-a a a a a8. 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+，即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ①当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，而由1a >知01x a <，∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．9. 证明：（1）由10x a ->得：1x a >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧．∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12011x x a a <-<-，∴121011x x a a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >；当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x x a a ->->，∴12111x x a a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．10. (1)y =(a x -1)2+2=［(31)x -1］2+2，∵x ∈［-1，1］，∴(31)x ∈［31，3］故当(31)x =1时，y min =2；当(31)x =3时，y max =6，故函数的值域是［2，6］. (2)y =(a x -1)2+2，令t =a x ，因a >1，∴t 是x 的增函数，且y =(t -1)2+2，t ∈［a1，a ］.当t ≥1时，y 单调增，此时，由a x ≥1可知x ∈［0，1］，故原函数的单调增区间是［0，1］，单调减区间是［-1，0］.11. 令t =x 2+1，∵x ∈［0，2］，∴t 是x 的增函数，且t ∈［1，5］.(1)当m >1时，f (x )max =log m 5=3⇒m =35；(2)当0<m <1时，f (x ) min =log m 1=3无解. 综上所述得：m =35.12. 由条件知，函数g(x )=x 2-ax +a =(x -2a )2+(a -42a )在(-∞，2)上是单调减函数，故由⎪⎩⎪⎨⎧≤≥220)2(a g ⇒22≤a ≤2+22. 即a ∈［22，2+22］.13. 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+0010)1()1(x a x x x ⇒1<x <a ，∴f (x )=log 0.1(x +1)(a -x )=log 0.1［-x 2+(a -1)x +a ］(1<x <a ). ∵f (x )最小值为-2，∴y =-x 2+a +(a -1)x 有最大函数值100.因对称轴x =2)1(-a ，故当1<21-a <a,即a >3时，由100=-(21-a )2+(a -1)· (21-a )+a 解得a =19.当21-a ≤1时，即a ≤2时，f (1)最小但无意义；当21-a ≥a 即a ≤-1时，不符合条件.综上所述知：a =19.14.解：由条件知x ≠1，ax ≠1令t =log x ax ，则t1+2t>0⇒t >0⇒log x ax >log x 1故⎩⎨⎧>>11ax x 或 ⎩⎨⎧<<<<1010ax x ， ①当a >1时，x >1或0<x <a1； ②当0<a <1时，x >a1或0<x <1；③当a =1时，x >1或0<x <1.15.令u =g (x )=ax 2-x ，假设a 值存在，为使y =log a (ax 2-x )=log a u 在［2，4］上单调增.①当a >1时，只须u 在［2，4］上增，故由⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤=024)2(221a g ax a >1. ②当0<a <1时，只须u 在［2，4］上减，故由⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-===0416)4(421a g ax 无解. 综上所述，知存在a >1满足条件.16. （1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ，当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ，（2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ，求导得e x x f a log 12)(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数；（另解）设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ，)10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a，解得32+=a .17. 记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。

高三数学高考二轮复习考案(2)指数函数、对数函数、幂函数试题

函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）【专题测试】1、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. R x x y ∈-=,3 B. R x x y ∈=,sin C. R x x y ∈=, D. R x xy ∈=,)21(2、已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ． 2)4(-x3、函数(2),2()2,2x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩ ，则(3)f -的值为A ．2B ．8C ．18D ．124、已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是A.80>x .B.00<x 或80>x .C.800<<x .D.00<x 或800<<x .5、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．c b a >>B ．b c a >>C ．ac b >> D ．a b c >>6定义在-+∞⋃∞（，0）（0，）上的奇函数)(x f 在+∞（0，）上为增函数，当0x >时，)(x f 的图像如图所示，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集是 A ．(,3)(0,3)-∞-⋃ B ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞ C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(3,0)(0,3)-⋃ 7、函数)6(log )(231x x x f --=的单调递增区间是A.［-21，+∞) B.［-21，2) C.(-∞，-21) D.(-3，-21) 8、已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2，+∞]上是增函数，则a 的取值范围是 A.（]4,∞- B.（]2,∞- C.（]4,4- D.（]2,4-9、函数)01(312<≤-=-x y x的反函数是A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x y C ．)131(log 13≤<+=x x y D ．)131(log 13≤<+-=x x y10、定义在R 上的函数)(x f 不是常数函数，且满足对任意的x ，)1()1(+=-x f x f ，)()2(x f x f =-，现得出下列5个结论：①)(x f 是偶函数，②)(x f 的图像关于1=x 对称，③)(x f 是周期函数，④)(x f 是单调函数，⑤)(x f 有最大值和最小值。

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练习四指数函数与对数函数练习时间：2009．03．09 姓名：
1．设⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<=- 2.x 1),(x log 2,x ,2e
f(x )2
31x 则f[f(2)]的值为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．设x
2x 2lg f(x )-+=，则)x
2
f()2
x
f(+的定义域为（）
A ．(-4, 0)∪(0, 4)
B ．(-4, -1)∪(1, 4)
C ．(-2, -1)∪(1, 2)
D ．(-4, -2)∪(2, 4)
3．设a>1，函数f(x)=log a x 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为2
1，则a=（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4
4．函数f(x)=1+log 2x 与g(x)=2-x+1
在同一直角坐标系下的图象大致是（）
5．设0<a<1，函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2)，则使f(x)<0的x 的取值范围是（） A ．(-∞, 0) B ．(0, +∞) C ．(-∞, log a 3) D ．(log a 3, +∞) 6．若函数f(x)=log a (x 3
-ax)(a>0, a ≠1)在区间(-2
1, 0)内单调递增，则a 的取值范围是
（）
A ．)1,41
[
B ．)1,4
3
[
C ．),4
9
(+∞
D ．)4
9
,1(
7．（2008年高考·山东卷）设二元一次不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+014y 2x 0,8y x 0,
192y x 所表示的平面区域为M ，
使函数y=a x (a>0, a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（） A ．[1, 3]
B ．[2, 10]
C ．[2, 9]
D ．[10, 9]
8．设a>0, a ≠1，函数f(x)=a 3)2x lg(x 2
+-有最大值，则不等式log a (x 2-5x+7)>0的解集为________________．
9．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f(x-1)=f(x+3)，当x ∈[4, 6]时，f(x)=2x +1，则函数f(x)在区间[-2，0]上的反函数f -1(19)=_________．
10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=a
t )
161(
-(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下
列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克
)
与时间t(小时)之间的函数关系式为_____________；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 11．设函数f(x)=lg(x 2+ax-a-1)，给出下列命题：（1）f(x)必有最小值；（2）若a=0，则f(x)的值域是R ；（3）若a>0，且f(x)的定义域为[2, +∞)，则f(x)有反函数（4）若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是[-4, +∞)其中正确命题的序号是__________．（要求把正确命题的序号都填上） 12．已知集合A={x|log 2(4x)·log 42
x
4≥2}，求函数y=42x+1+4x (x∈A)的值域．
13．设1)
x (a
1)a(x x )f(log 2
2a --=。

（1）求f(x)的表达式，并判断函数f(x)的奇偶性；（2）试证明
函数f(x)的图象上任意两点的连线的斜率大于0；（3）对于f(x)，x ∈(-1, 1)时，恒有
f(1-m)+f(1-m 2
)<0，求m 的取值范围． 14．（2008年从化期中）已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R )是偶函数．（1）求k 的值；（2）设g(x)=log 4(a ·2x
-3
4a)，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取
值范围．
15．已知函数f(x)=log
(ax-x)(a>0, a≠1)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，
a
求f(x)在区间[1，4]上的最值；（3）讨论f(x)在定义域上的单调性．。