17.1等腰三角形的性质课件

A
概念
腰
生活中物体
腰 顶 角
我们猜想
你认为等腰三角形 除了具有一般三角形的 性质之外，还有哪些特 有的性质？ 我们验证 借助等腰三角形纸片， 观察、操作或论证.
底角 底角
B
底边
C
图形再特殊 得到定理 等边对等角 三线合一
反思评价
特殊
等腰三角形
再特殊
等边三角形
等边对等角
一般三角形
三线合一
特殊
？
Ｂ
D
Ｃ

利用三角形全等，我们还可以得出什么 结论？
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 还可以得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC 垂直于底边
猜想 等腰三角形的性质定理 1
等腰三角形的两个底角相等 (简称“等边对等角”）
证明猜想 符号语言
在△ABC中 Ａ
已知： ∵ AB=AC
∴ 求证：∠ B=∠C
B
C
性质1 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
A
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三
角形？
B D C
方法一：作底边上的中线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明： 作底边的中线AD，则BD=CD 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) BD=CD ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
D
C
∴∠BAD=∠CAD=40°
典型例题
例5：如图，在△ABC中， AB=AC，BD，CE A 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线。 E D 求证：BD=CE.
B C
证明： ∵BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， １ １ ∴ ∠ABD= ２ ∠ABC， ∠ACE＝ ２ ∠ACB ∵ ∠ABC＝∠ACB （等边对等角） ∴ ∠ABD= ∠ACE（等量代换） ∵ AB=AC（已知）， ∠A＝ ∠A（公共角） ∴ △ABD≌ △ ACE（ＡＳＡ） ∴BD=CE（全等三角形对应边相等）
A
D
C
思考： 性质 2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的 由△ BAD ≌ △CAD，除了可以得到∠ B= ∠C 中线，底边上的高互相重合 之外， 你还可以得到那些相等的线段和相等的
活动（2）：小组讨论
(等腰三角形三线合一) 角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的 A 发现？
B
C D
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是 等腰三角形的对称轴。
1、等边对等角
（等腰三角形的两底角相等）
等腰三角形
三 条 边 相 等
2、三线合一
（等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）
1、每个内角都等于60o 2、三组“三线合一”
（每个角的平分线都与它对边上 的中线及高互相重合）
等边三角形
作业：P143 A组2、3
谢谢
活动1 ：小组讨论
Ｂ
D
Ｃ
利用三角形全等，我们还可以得出什么 结论？ 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且 还可以得到AD⊥BC和BD=CD 垂直于底边

定
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC 求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) ∵在 △BAD与 △CAD中 AB = AC (已知) BD = CD （已证） AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( SSS ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
证明猜想
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C B
Ａ
C
角
中
Ａ
已知： △ABC中，AB＝AC 求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分性质定理) ∵在△BAD与△CAD中 AB = AC (已知) ∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD(SAS) ∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
结论:
在等腰三角形中, ① 顶角度数+2×底角度数=180°
② 0°＜顶角度数＜180° ③ 0°＜底角度数＜90°
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º , 过屋顶A的立柱 AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数. A 解：在△ABC中 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角） 又∵∠BAC=100 º
C
方法二：作顶角的平分线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 12 求证： ∠B= ∠C. 证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中 B D AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 ) AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
等腰三角形性质定理2
等腰三角形的 顶角平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合。 三线合一 ） （简称：
用符号语言表示为：
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， 2 ， B Ｄ CＤ ； ∴∠1 ___=∠___ ____=____ （2）∵AB=AC，AD是中线， 1 =∠＿， 2 AD ⊥____ BC ； ∴∠＿ ____ （3）∵AB=AC，AD是角平分线， Ｄ =____ AD ⊥____ BC ，B CD 。 ∴____ ____
典型例题
例1： 1、 在等腰△ABC中，AB=3，AC=4，则 10或11 △ABC的周长=________ 2、在等腰△ABC中，AB=3，AC=7，则 17 △ABC的周长=________ 例2： 1、在等腰△ABC中，AB=AC, ∠B=50°,则 50° 80° ∠A=____ ，∠C =____ 40° 2、在等腰△ABC中，∠A =100°, 则∠B=___ ， 40° ∠C=___
1. 根据等腰三角形性质2填空,
在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ ____. BAD = ∠_____， CAD ____= BD CD
CAD AD BC ，∠_____ (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ BAD =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ AD ⊥____ BC ，_____ BD =_____. CD 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等 以及角的相等问题。
典型例题
例3: 在等腰△ABC中，∠ A=40°, 求∠B 度数。
A C B
B
C
A
B A
C
∠B= 70°
∠B= 40°
∠B= 100°
典型例题
例4：在△ABC中，AB =AC，点D是BC的 中点，∠B = 50°，求∠BAD的度数？
解：在△ABC中 ∵AB=AC， ∠B = 50° ∴∠B=∠C = 50° （等边对等角） ∴∠BAC=180 º - ∠B-∠C= 80° 又∵点D是BC的中点 ∴∠BAD=∠CAD（三线合一）. B
C
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明： 作底边的高线AD，则 ∠BDA=∠CDA=90° B 在Rt△BAD和Rt△CAD中 AB=AC ( 已知 ) AD=AD (公共边) ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
D
C
∴∠B=∠C= （180°－∠BAC）/2=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互 相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
反思评价
特殊
等腰三角形
再特殊
等边三角形
等边对等角
一般三角形
三线合一
反思评价 回顾本节课的研究全过程： 我们是怎样认识和研究一种图形的呢？
这些三角形有什么共 同特点呢？ 它们是否具有一般三 角形所不具备的特有的 性质？
这些从实际物体中抽象出来的三角形， 具备怎样的共同特点？
等腰三角形: 有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 两腰所夹的角叫做顶角, A 顶角 腰 腰
底边
B
底角
A
︶ ︶ 1 2
C D
2．（1） 已知等腰三角形的一个底角为70°， 那么此 等腰三角形各内角的度数分别是 70°、 70°、 40° ）。 （ （2） 已知等腰三角形的顶角为70º ，那么此 等腰三角形各内角的度数分别是 ( 70°、 55°、 55° ）。 （3） 已知等腰三角形的一个内角为70°， 那么此 等腰三角形各内角的度数分别是 （ 70°、70°、40°或70°、55°、 55° ）。 （4） 已知等腰三角形的一个内角为120 °， 那么此 等腰三角形各内角的度数分别是 （ 120°、 30°、 30° ）。
B
A
D
C
1.如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D 在AC上，且BD=BC=AD,图中有几个 等腰三角形，并写出来。
A
D
B
C
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为40 ______. ° 3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________. 70°,40 ° 或 55°,55° 4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________. 35 °，35 °