2.3等差数列的前n项和公式(第1课时)

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2.3.1(讲课)等差数列的前n项和公式

公差为d，求等差数列的前n项和Sn Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒 Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 两式左右分别相加，得
序相加
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
2Sn n(a1 an )
n(a1 an ) 公式1 S n 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
一、等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，
… … … …
…
问题就是求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.

2.3 等差数列的前n项和(一)

教学目标
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题. 3.熟练掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.
自学检测
1.若等差数列{an}前5项和S5=10，则a3=( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选A.S5= 5a1 a5 =10，即a1+a5=4，
2.3 等差数列的前n项和（1）
复习引入
1.等差数列的定义:
an an1 d n 2
2.等差数列的通项公式：an a1 n 1d,可以变形为an am n md
或者an nd (a1 d ) （可以看成n的一次函
数）
3.下标和性质：
若m n p q, 则am an ap aq
作业布置
P46. 习题2.3 A组第4题或B组第2题
答案：①500； ②2550；
练习二
n s (2004.全国文)等差数列an的前项
和记为 n .已知 a10 30 , a20 50 .
(1)求通项 an ;
(2)令 sn 242,求 n .
例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?
公式1

2.3等差数列前n项和公式(1)

n
nm
（3）在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
问题 1：
求和：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2Sn n(n 1)
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的变化情况， an 0且an 1 0
二.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时，前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n：S n d n ( a 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的变化情况， an 0且an 1 0
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果an 为等差数列，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 Sk，公差为k d。
2
二、例题例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？解：依题意知，S10=310，S20=1220 得

第二章数列 2.3 等差数列的前n项和(一)

第二章数列 2.3 等差数列的前n 项和（一）明目标、知重点 1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2. 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思．3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识梳理1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 2．等差数列前n 项和公式(1)若{a n }是等差数列，则S n 能够用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；(2)若首项为a 1，公差为d ，则S n 能够表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出一道数学题为1到100的所有整数的和为多少？很快高斯即得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来研究它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？ .思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5050.你能利用此种方法1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . (2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式实行求解．易错方面：把前n项和与最后一项混淆，忘记答或写单位．跟踪训练1 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解例2 已知一个等差数列{a n}前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一；方法二：反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和相关的问题中，要注意方程思想和整体思想的使用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求其二．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.探究点二等差数列前n项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．(3)解 (1)方法一方法二反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解当堂检测1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2C.14D ．4答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．设S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m－1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13C.18D.19答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－a ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。

2.3等差数列前n项和公式PPT优秀课件

四、随堂练习
１、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn
(1)a１=5,an=95,n=10
s1010(5295)500
(2)a1=100,d=－2,n=50 s505 0105 0 0(2 5 01)2550
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32
先由an a1 (n1)d得 3214.5(n4.532) 2
604.5
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
n(n1)
2、(1)求正整数列中前n个数的和； sn 2
(2)求正整数列中前n个偶数的和。 snn(2 22n)n(n1)
3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？［前15项］
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1)
根据等差数列前n项和公式：sn =na1+
d 2
有 -10n+n(n-1)?4 54成立 2
整理后 ,得 n2-6n-2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
21因.05.此201等9 差数列－10,－6江,－西省2赣,2州，一中．刘．利剑．整理前h9eis项hu8的001和01@是1653.4co.m
an=am+(n- m)d
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑整理 heishu800101@
一、等差数列前n项和的引入：１、引例：1+2+3+…+100=? 2、高斯的算法：
首项与末项的和：1+100=101,
第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和

99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512，所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d，由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11，得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5，解方程组得 a1＝3， n＝7，或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第二章数列
等差数列的前
第一课时等差数列的前 n项和
名师课堂 · 一点通
创新演练 · 大冲关
考点一考点二考点三
n
项和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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2.3等差数列的前n项和第一课时

解法3：解法：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和：求和（1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ；（2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示）表示）
中前多少项的和是9900 9900？例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年），10岁时曾很快年），岁时曾很快求出它的结果！求出它的结果！

2.3等差数列的前n项和(一)

§2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点).预习教材P42－43完成下列问题：知识点一数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ；当n ＝1时，a 1＝S 1.综上可得a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【预习评价】1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？提示不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.知识点二等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n＝na 1＋n （n －1）2d .【预习评价】1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？提示由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .知识点三等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2.若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3.设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.4.若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5.若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.【预习评价】1.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A .－2 B.－1 C .0D.1解析等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A .1 B.－1 C.2D.12解析由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则， S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案 A题型一数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d (d 为常数).求证：数列{a n }是等差数列.证明根据S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， a n ＋1＝S n ＋1－S n＝(n ＋1)a 1＋12(n ＋1)[(n ＋1)－1]·d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋12n （n －1）d＝a 1＋nd .① 当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1＝na 1＋12n (n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）a 1＋12（n －1）（n －2）d＝a 1＋(n －1)d ，当n ＝1时，a 1＝S 1，适合此式. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).∴a n ＋1－a n ＝(a 1＋nd )－[a 1＋(n －1)d ]＝d (常数)，对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.规律方法已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示.【训练1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)，当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.题型二等差数列前n 项和的有关运算【例2】在等差数列{a n }中， (1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练2】在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解(1)⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49D.63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A.7B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前10项的和为________.解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.(3)∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2).∴S nn ＝n ＋2，∴数列{S nn }是以首项为3，公差为1的等差数列，∴{S nn }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 答案 (1)C (2)D (3)75【迁移1】已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值.解法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n . 又S n T n ＝2n ＋13n －2，∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R . ∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2).∴a n b n ＝t （4n －1）t （6n －5）＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 【迁移2】已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________.解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，则S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.答案1113规律方法等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S nn ＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.课堂达标1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280， ∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n （a 1＋a n ）2＝n2×70＝210，∴n ＝6.答案 B4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________. 解析 ∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小. 答案 23或245.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去).(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171.课堂小结1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.本节基本思想：方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.基础过关1.已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36D.45解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 答案 C2.等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.答案 A3.已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A.－9B.－11C.－13D.－15解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 3＋a 8）2＝10×（－3）2＝－15. 答案 D4.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.解析 S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19（a 10＋a 10）2＝19a 10＝19×10＝190. 答案 1905.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 136.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.能力提升8.在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A.9B.10C.11D.12解析由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n （a 1＋a n ）2，解得n ＝10，故选B. 答案 B9.等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A.452B.12C.6D.454解析在等差数列{a n }中， ∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.故选C.答案 C10.已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于________.解析由等差数列的求和公式可得：S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 2＋a 8）2＝9×432＝6. 答案 611.含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________.解析 S 奇＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝n （a 2＋a 2n ）2. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 答案 n ＋1n12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n －n 2＋1，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前多少项和最大.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋1＝32；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(32n －n 2＋1)－[32(n －1)－(n －1)2＋1]＝33－2n ；所以：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，33－2n ，n ≥2；(2)S n ＝32n －n 2＋1＝－(n 2－32n )＋1＝－(n －16)2＋162＋1；所以，前16项的和最大.13.(选做题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n ＋5(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{a n }的前n 项和；(2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)∵a n ＝6n ＋5(n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)＋5]－(6n ＋5)＝6(n ∈N *). ∴数列{a n }是以公差为6的等差数列. 又∵a 1＝11，∴数列{a n }的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [11＋（6n ＋5）]2＝3n 2＋8n . (2)∵a n ＝b n ＋b n ＋1， ∴a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＝11，b 2＋b 3＝17. 设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2b 1＋d ＝11，2b 1＋3d ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3. ∴数列{b n }的通项公式：b n ＝3n ＋1.。

等差数列的前n项和(课时一)

§2.3 等差数列的前n项和（一）一、教材地位与作用数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。

人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示；3.逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、三维目标1、知识与技能：（1）掌握等差数列的前n项和公式的推导方法；（2）掌握公式的运用2、方法与过程：（1）通过公式的探究、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、分析、联想、归纳、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略、遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度价值观：（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；（2）通过公式的运用，树立学生“大众数学”的思想意识。

三、教学重点与难点1、重点：（1）探索并掌握等数列的前n项和公式；（2）学会用公式解决一些实际问题；（3）体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。

2、难点：等差数列的前n项和公式推导思路的获得。

四、学情简介：高一年级、普通班五、教学方法：讲授法六、教学过程教师活动教学内容学生活动（一）引入1、例：1+2+3+...+99+100=？的高斯的算法1+2+3+...+99+100=（1+100）+（2+99）+...（50+51）=101×50=5050规律：任意的地k项与倒数的第k项的和等于首项与末项的和（＊）解决了数列{n}的前100项的和口述等差数列{a n }的前n项定义2、猜想（1）：可以用此方法求数列{n}的前n项和1+2+3+...+（n-1）+n=(1+n)+(2+(n-1))+...+( ? ）最后一项是什么？是两项之和，还是单独一项？即需要考虑项数n的奇偶性但如果把此求和式子反过来写，就可以发现这两个式子对应的每项相加之和刚好都为n+1,记s=1+2+3+...+（n-1）+ns= 1 + 2 + 3 + ... +（n-1）+ n ©倒序s= n +（n-1）+（n-2）+ ... + 2 + 1 ®相加（n+1）（n+1）（n+1）... （n+1）（n+1）→n个（n+1）由©+®得2s=（n+1）n即s=1+2+3+...+（n-1）+n=2)1(nn+求和方法：倒序相加法分析：仅用到规律（＊），并且巧妙地避免了对项数奇偶性的讨论又一般等差数列{a n }有性质若m+n=p+q，则aaaa qpnm+=+从而aaaaaa k nkn n1112+-+-=+==+3、猜想（2）：可以用“倒序相加法”求一般等差数列的前n项和（二）讲解新知1、定义：对数列{a n}，记S n＝a1＋a2＋…＋a n－1＋a n 为数列{a n }的前n项和.2、公式（等差数列{a n}，公差为d）S n＝n（a1＋a n）2①＝na1＋n（n－1）2 d ②（1）公式推导S n＝a1 ＋a2 ＋…＋a n－1 ＋a n ③S n＝a n ＋a n－1＋…＋a2 ＋a1 ④(a1＋a n) (a1＋a n) …(a1＋a n) (a1＋a n) →n个(a1＋a n) 由③＋④得2S n＝个nnnnaaaaaa)()()(111++⋅⋅⋅++++＝n(a1＋a n)即S n＝n（a1＋a n）2＝()2下底上底高+⨯（1）（2）只需说出应用公式几＝()21aa k nkn+-+⨯又a n与a1和d有关系，()dnaa n11-+=所以，()()()dnnndnnaaas n2121111-+=-++=（2）公式①与公式②的区别与联系区别：i）公式①反映了等差数列的任意的第k项与与倒数的第k项的和等于首项与末项的和这个性质；ii）公式②反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的联系，而且是关系n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

课时作业37：§2.3　第1课时　等差数列的前n项和公式

§2.3 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和公式1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．70答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝n 2＋n ，则a 8等于( )A ．72B ．36C ．18D ．16答案 D解析由a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)得a 8＝S 8－S 7＝82＋8－72－7＝16.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000答案 A解析由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.5．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成(数列的项数大于2)，且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析由题意知d ＝1，na 1＋n (n －1)2＝5 336， ∴n (2a 1＋n －1)＝10 672＝24×23×29，∵n ＜2a 1＋n －1，且一奇一偶，∴(n ,2a 1＋n －1)＝(16,667)＝(23,464)＝(29,368)共三组．6．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________. 答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝________. 答案 12解析设公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝ 20a 1＋40d ，所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12. 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解 (1)设数列{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a 5＝0，得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2. 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n (n －9)d 2≥(n －5)d ，化简得n 2－11n ＋10≤0，由二次函数y ＝n 2－11n ＋10的图象得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n ，n ∈N *.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析当k ＝1时，a 1＝－8，不满足题意；当k ≥2，k ∈N *时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10.由5<2k －10<8，得152<k <9，又k ∈N *，故k ＝8.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 021等于() A ．－4 042 B ．－2 021 C ．2 021 D ．4 042答案 D解析在等差数列{a n }中，S 1212－S 1010＝2，所以12×(a 1＋a 12)212－10×(a 1＋a 10)210＝2，化简得a 12－a 10＝2d ＝4，解得d ＝2，所以S 2 021＝2 021×(－2 018)＋12×2 021×2 020×2＝4 042. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113. 14．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为________．答案四尺五寸解析从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝32，S 7＝73.5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＝16，7a 1＋21d ＝73.5，解得a 1＝272，d ＝－1. 故a 10＝272－9＝4.5，即立夏日影长为四尺五寸．15．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案 C解析 a n ＝120°＋5°(n －1)＝5°n ＋115°，a n <180°，所以n <13，n ∈N *，由n 边形内角和定理得(n －2)×180°＝120°n ＋n (n －1)2×5°，解得n ＝16或n ＝9，又n <13，n ∈N *，所以n ＝9. 16．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。

高中数学：第二章 2.3 第1课时等差数列的前n项和公式

[课时作业]页[A 组基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. ★答案★：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.★答案★：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. ★答案★：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.★答案★：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.★答案★：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. ★答案★：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.★答案★：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. ★答案★：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．★答案★：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0，知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.★答案★：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. ★答案★：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. ★答案★：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ，当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502，所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。

2.3等差数列的前n项和(1)

2
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
19 19 1 S19 19 21 1 570 块 2
3/30/2015
想一想
3/30/2015
在等差数列 {an} 中，如果已知五个量 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
（ n n 1) d S n na1 2 an a1 (n 1) d
结论：知三求二
3/30/2015
复习引入
数列的通项公式能够反映数列的基本特性，而在实际问题中，常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这就是本节课我们需要探究的课题.
3/30/2015
3/30/2015
高斯(Gauss,1777—1855), 德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.
环县二中
梁万聪
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d .
(2) an＝am＋(n－m)d .
3/30/2015
复习引入
3. 等差中项
ab A a , A, b 2
*
成等差数列.
4. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N*)

等差数列的前n项和(第一课时)

(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
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【变式】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
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【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解法一设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn2－1d.
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n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
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问题分析如何才能将
已是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
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第二章 2.3 第1课时等差数列的前n项和公式 -【教师版】

A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500
答案 D
解析由 am＝a1＋(m－1)d，得 99＝1＋(m－1)×2，解得 m＝50，所以 S50＝50×1＋50×49×2＝2 500.
2 2．记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d 等于( )
n＝1
时，a1＝S1＝12＋12＋1＝52不符合①式．∴an＝
2 2n－1，n≥2，n∈N*.
2
反思感悟已知前 n 项和 Sn 求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1 求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 求得 an，
最后验证 a1 是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
例 1 在等差数列{an}中：
(1)已知 a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求 S10；
(2)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
解 (1)方法一由已知条件得
a5＋a10＝2a1＋13d＝58，
a1＝3，
解得
a4＋a9＝2a1＋11d＝50，
d＝4.
∴S10＝10a1＋10×10－1d＝10×3＋10×9×4＝210.
2
2
a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，方法二由已知条件得
a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝10a1＋a10＝5×42＝210. 2
(2)S7＝7a1＋a7＝7a4＝42，∴a4＝6. 2
∴Sn＝na1＋an＝na4＋an－3＝n6＋45＝510.∴n＝20.
解由 Sn＝na1＋nn－1d， 2
得 na1＋nn－1×2＝35， 2

2.3(1)等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n项和
第1课时等差数列的前n项和
1+2+3+„+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？高斯我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； (重点） 2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．（难点）
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为，公差为2的等差数列. 2
2
【规律总结】这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1）已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证首项a1是否满足已求出的an .
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的方法叫倒序相加法！
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 【解析】S10 = = 500. 2
a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( C )

等差数列前n项和公式的推导及简单应用

规律与方法
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝ p＋q，则 an＋am＝ap＋aq(n，m，p， q∈N*) ；若m＋n＝ 2p，则 an＋am＝2ap.
第二章 §2.3
等差数列的前n项和
第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
2
解答
反思与感悟
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得
a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，
若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 解当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2· 3n－1. 当n＝1时，代入an＝2· 3n－1得a1＝2≠3.
由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解答
反思与感悟
(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程
思想和整体思想的运用. (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)

设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20
nn－1 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋ × 3 2
3 2 123 ＝－2n ＋ 2 n；8 分当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
nn－1 20×19 ＝－60n＋ 2 ×3－2×－60×20＋ × 3 2
由题目可获取以下主要信息： na1＋an 由 Sn＝，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解题过程]
nn－1 (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， ∴ 1 n＋ nn－1d＝－1 022. 2 解得 n＝4，d＝－171.
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. 6×6－1 ∴S6＝6×(－1)＋ ×2＝24. 2
• 已知数列{an}是等差数列， • (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； • (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； • (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
d2 a1－ 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 ＝2n－2－ d －22－ d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知，当 n 取 1 a1 最接近2－ d 的正整数时，Sn 取到最大值(或最小值)，值得注 1 a1 意的是最接近2－ d 的正整数有时 1 个，有时 2 个． (2)根据项的正负来定．若 a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大；若 a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小． ,

等差数列的前n项和公式(第1课时)

=101×50=5050.
高斯（Gauss，1777－
1855），德国数学家，
近代数学的奠基者之一.
他在天文学、大地测量
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
学、磁学、光学等领域
1，2，3，⋯ ，n ， ⋯ ① 前100 项的和的问题. 都做出过杰出贡献.
5
导入新课：
p18你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?
4
情景导入：
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下
面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.
200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：
1+2+3+4+5+ ⋯ +98 +99 +100 =？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时, 10岁的
高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)
=102×101
S101
102 101
2
5151.
等差数列 {an} 的性质, (m,n,p,q∈N*)
若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
8
导入新课：
思考2:你能用高斯的方法求1+2+ 3+⋯+n 吗?
解析：Sn = 1 +2 +3 + ⋯ + (n-1) +n ①
Sn = n + (n-1) + ⋯ + 3 + 2 + 1 ②
d (2)
2
11

2.3 等差数列的前n项和(1)

2.3 等差数列的前n项和（1）
复习：
1：等差数列的通项公式；
2：解决等差数列问题的常见方法有：（1）通法：确定 a1 , d . （2）利用等差数列的性质。
今天老师给同学们讲一个故事-----西游记后传：话说猪八戒自西天取经之后，便回到了高家庄，成立了
高家庄集团，自己也摇身一变成了CEO，但是好景
小结：设等差数列 a n 的前n 项和为 S n ，（1）通项公式及前n 和公式中涉及的量有五个为
a1 , d , a n , S n , n ，所以知三求二。
（2）解决等差数列问题 ( a n 与 S n )的常见方法有：方法1：通用通法：确定基本量
a1 , d .
方法2：利用等差数列的性质。
知识点：
二：数列 a n 的前n项和 S n 与通项（1） n a1 a 2 a 3 a n S
a n 的关系：
S 1 ( n 1) （2）a n S n S n 1 ( n 2)
已知数列的前n 项和 S n 求下列数列的通项公式 a n ：
的通项公式，而且也要关注数列的前n 项和问题。
定义：数列 a n 的前 n 项和 S n 为：
S n a1 a 2 a3 a n
本节课研究的问题：探究如何求等差数列 a n 的
前n 项和
Sn ？
思路1：用等差数列的基本量 a1 , d 表示 S n ：
S n a1 a 2 a 3 a n
例题1：已知数列 a n 的前n 项和为 S n n 2 n
2
求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？
若是，请加以证明，若不是，请说明理由。例题2：已知数列 a n 的前n 项和为 S n n 2 n 3