上海市杨浦区2008年高考模拟考试数学理科试卷

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上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试数学(理科)试题2009.04.15

上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试数学理科试卷 2009.4（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ，则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是．8．已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的值是． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项的值是．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知第9题理第11题球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3. 12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺序为…………………………………………………………………………………………（）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求：（1）顶点D '到平面AC B '的距离；（2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ；（2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．A 'D ' B 'C 'BCD A20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围；（2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．。

数学_2008年上海市浦东新区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2008年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（每小题4分，共44分）1. 不等式2x−1x<0的解集为________．2. limn→∞n22n2+1=________．3. 方程log3(x2−10)=1+log3x的解是________．4. 若α∈{−1,−3,13，2}，则使函数y=xα的定义域为R且在(−∞, 0)上单调递增的α值为________．5. 若(1+tgθ)8展开式的第4项为7，则sin2θ的值为________．6. △ABC中，∠A=60∘，∠B=75∘，BC=2√3，则AB=________．7. 已知S n是{a n}的前n项和，且有S n=2a n−1，则数列{a n}的通项a n=________．8. 在极坐标系中，由极点向直线l引垂线，垂足为点A(4,π4)，则直线l的极坐标方程为________．9. 已知集合A={12, 14, 16, 18, 20}，B={11, 13, 15, 17, 19}，在A中任取一个元素用a i(i=1, 2, 3, 4, 5)表示，在B中任取一个元素用b j(j=1, 2, 3, 4, 5)表示，则所取两数满足a i>b I的概率为________．10. 若f(12+x)+f(12−x)=2对任意的正实数x成立，则f(12010)+f(22010)+f(32010)+...+f(20092010)=________．11. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示、若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为________颗；第n件工艺品所用的宝石数为________颗（结果用n表示）．二、选择题：（每小题4分，共16分）12. 已知非零实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A a2>b2B 1a <1bC a2b>ab2D ab2>ba213. 函数f(x)=ln|x−1|的图象大致是()A B C D14. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）A 6.5mB 6.8mC 7mD 7.2m15. 对数列{a n}，若存在正常数M，使得对任意正整数n，都有|a n|<M，则称数列{a n}是有界数列．下列三个数列：a n=13(1−2n)；a n=2n+32n−3；a n=(14)n−(12)n中，为有界数列的个数是（）A 0B 1C 2D 3三、解答题：（满分90分）16. 已知复数z满足z=(−1+3i)(1−i)−4．（1）求复数z的共轭复数z¯；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．17. 已知函数f(x)=√3sinωx+cos(ωx+π3)+cos(ωx−π3)，x∈R，（其中ω>0）．（1）求函数f(x)的值域；（2）若函数f(x)的最小正周期为π2，则当x∈[0, π2]时，求f(x)的单调递减区间．18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？19. （1）A、B、C为斜三角形ABC的三个内角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；（2）命题：已知A，B，C∈(0, π)，若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，则A+B+C=π．判断该命题的真假并说明理由．（说明：试卷中的“tgA”在试点教材中记为“tanA”）20. 已知二次函数f(x)=x2+x，若不等式f(−x)+f(x)≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若方程f(a x)−a x+1=5(a>1)在C上有解，求实数a的取值范围；（3）已知t≤0，记f(x)在C上的值域为A，若g(x)=x3−3tx+t2，x∈[0, 1]的值域为B，且A⊆B，求实数t的取值范围．21. 由函数y=f(x)确定数列{a n}，a n=f(n)，若函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)能确定数列{b n}，b n=f−1(n)，则称数列{b n}是数列{a n}的“反数列”．(1)若函数f(x)=2√x确定数列{a n}的反数列为{b n}，求{b n}的通项公式；(2)对(1)中{b n}，不等式√1b n+1+√1b n+2+⋯+√1b2n>12log a(1−2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；(3)设c n=1+(−1)λ2⋅3n+1−(−1)λ2⋅(2n−1)(λ为整数)，若数列{c n}的反数列为{d n}，{c n}与{d n}的公共项组成的数列为{t n}，求数列{t n}前n项和S n．2008年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）答案1. {x|0<x<12}2. 123. 54. 135. 456. 2√27. 2n−1，n∈N∗8. ρcos(θ−π4)=49. 3510. 200911. 66,2n2+3n+112. D13. B14. C15. C16. 解：（1）∵ z=(−1+3i)(1−i)−4=−1+i+3i+3−4=−2+4i，∴ z¯=−2−4i（2）由（1）知z=−2+4i，∴ |z|=2√5，∵ w=−2+(4+a)i，∴ |w|=√4+(4+a)2=√20+8a+a2∵ |w|≤|z|，∴ 20+8a+a2≤20，∴ a2+8a≤0，∴ a(a+8)≤0，∴ 实数a的取值范围是：−8≤a≤0．17. 解：（1）f(x)=√3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)，∵ x∈R，∴ f(x)的值域为[−2, 2]，所以答案为[−2, 2]．（2）∵ f(x)的最小正周期为π2，∴ 2πω=π2，即ω=4∴ f(x)=2sin(4x+π6)∵ x∈[0,π2]，∴ 4x+π6∈[π6,136π]∵ f(x)递减，∴ 4x+π6∈[π2,3π2]由π2≤4x+π6≤3π2，得到π12≤x≤π3，∴ f(x)单调递减区间为[π12，π3]．所以答案为[π12，π3]．18. 解：(1)设两种产品的收益与投资分别满足关系式：f(x)=k1x，g(x)=k2√x，由题意得，f(1)=18=k1，g(1)=k2=12，故f(x)=18x(x≥0)，g(x)=12√x(x≥0)；(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20−x)万元，则有y=f(x)+g(20−x)=x8+12√20−x(0≤x≤20)，令t=√20−x，则y=20−t 28+12t=−18(t2−4t−20)=−18(t−2)2+3，所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．19. 解：（1）∵ C=π−(A+B)，∴ tgC=tg[π−(A+B)]=−tg(A+B)=−tgA+tgB1−tgAtgB−−−−−−−，由已知，tgA+tgB=tgAtgB−1所以tgC=1，又因为C∈(0, π)，所以C=π4−−−−−−−−−−−（2）由tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，当tgAtgB≠1时，⇒tg(A+B)(1−tgAtgB)=tgC(tgAtgB−1)−−−−−−−tg(A+B)=−tgC⇒A+B=kπ−C（k为整数）即A+B+C=kπ−−−−−−−因为A，B，C∈(0, π)，可以取得A，B，C的值，使得A+B+C=2π，命题为假-----------若tgAtgB=1，则tgA+tgB+tgC=tgC，tgA+tgB=0，这种情况不可能---- 所以，命题是假命题．20. 解：（1）原不等式可转换为2x2≤2|x|，当x≥0时，2x2≤2x，解得0≤x≤1当x<0时，2x2≤−2x，解得−1≤x<0，所以C=[−1, 1]（2）由f(a x)−a x+1−5=0得(a x)2−(a−1)a x−5=0令a x=u，因为x∈[−1, 1]，所以u∈[1a，a]则问题转化为求u2−(a−1)u−5=0在[1a,a]内有解．由图象及根的存在性定理得{ℎ(1a)=1a2−1+1a−5≤0ℎ(a)=a2−(a−1)a−5≥0解得a≥5．（3）A=[−14，2]g′(x)=3x2−3t≥0（因为t≤0）所以g(x)=x3−3tx+t2，在x∈[0, 1]上单调递增．所以函数g(x)的值域B=[t2，1−52t]因为A⊆B，所以{t2≤−142≤1−52t解得t≤−1221. 解：(1)f(x)=2√x(x≥0)⇒a n=2√n（n为正整数），f−1(x)=x24(x≥0)，所以数列{a n}的反数列为{b n}的通项b n=n24（n为正整数）；(2)对于(1)中{b n}，不等式化为2n+1+2n+2+⋯+22n>12log a(1−2a)T n=2n+1+2n+2+⋯+22n，T n+1−T n=22n+1+22(n+1)−2n+1=22n+1−22n+2>0，∴ 数列{T n}单调递增，所以(T n)min=T1=1.要使不等式恒成立，只要1>12log a(1−2a)．∵ 1−2a>0，∴ 0<a<12，又1−2a>a2,0<a<√2−1，∴ 使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是(0,√2−1).(3)设公共项t k=c p=d n，k，p，q为正整数，当λ为奇数时，c n=2n−1,d n=12(n+1),2p−1=12(p+1),q=4p−3，则{c n}⊂{b n}（表示{c n}是{b n}的子数列），t n=2n−1,所以{t n}的前n项和S n=n2.当λ为偶数时，c n=3n，d n=log3n 3q=log3q，则q=33p，同样有{c n}⊂{b n}，t n=3n,(3n−1). 所以{t n}的前n项和S n=32。

上海市八区2008年联考高考模拟测试题

上海市八区2008年联考高考模拟测试题数学(理科)试题 2008.04.03完卷时间：120分钟一、填空题(本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、设全集U ={a 、b 、c 、d 、e }, 集合A={a 、b }，B ={b 、c 、d }，则A ∩C U B =________。

2、已知f (x ))(212R x xx∈+=，则)31(1-f ＝____________。

3、向量a 、b 满足|a |=2，|b |=3，且|a +b |=7，则a .b = 。

4、在公差不为零的等差数列{a n }中，S m =S n (m≠ n )，则S m+n 值是。

5、现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是。

6、方程2cos (2x –3π) = 1的解是。

7、设A (2,32π)，B (3,3π)是极坐标系上两点，则|AB |= _。

8、圆(x+2)2+(y –1)2 = 5关于直线y=x 对称的圆的方程为。

9、设方程x 2–2x+m =0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是。

10、给出下列命题：(1)常数列既是等差数列，又是等比数列；(2)实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；(3)实数等比数列中，若公比q >1，则数列必是递增数列；(4)1)4142(lim =-+∞→nn n n ；(5)首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1。

其中正确命题的序号是。

11、若在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n = 。

12、若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n +1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k –1个k ，则a 2008=二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)(理科)

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）（理科）测试题 2019.91,若函数的反函数为，则．2,若向量，满足且与的夹角为，则．3,组合数C （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（） A ．C B ．(n+1)(r+1)C C ．nr C D ．C4,给定空间中的直线l 及平面a ，条件“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面a 垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要5,若数列{a n }是首项为1，公比为a －的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（）6,如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（）()f x 12()log f x x -=()f x =a b 12a b ==，a b 3πa b +=7,如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）8,如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）9,已知双曲线，为上的任意点。

（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；10,已知函数f(x)＝2x －22: 14x C y -=P C P C A (3,0)||PA⑴ 若f(x)＝2，求x 的值⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围测试题答案1, 【解析】令则且2, 【解析】3, 【解析】由.4, 【解析】直线与平面a 内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a 垂直，即充分性不成立；5, 【解析】由6, 【解析】依题意，在点Q 组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域（权且称为“第二象限”）与点Q 组成的集合无公共元素，这样点Q 组成的集合才为所求. 检验得7, 【解析】[解法一] 设该扇形的半径为米，连接.2log (0),y x x =>y R ∈2,yx =()()2.x f x x R ∴=∈2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=11!(1)!!()!(1)![(1)(1)]!rr n n n n n n C C r n r r r n r r ---===-----11311 223||1||12a a S a q a q a ⎧=⎪⎧=-+⎪⎪-⇒⇒=⎨⎨⎪⎪<⎩-<⎪⎩r CO由题意，得 (米)，（米），在△中，即，解得（米）答：该扇形的半径的长约为445米.[解法二] 连接，作，交于，由题意，得（米），（米），在△中，.（米）..在直角△中，（米），，（米）.答：该扇形的半径的长约为445米.500CD =300DA =60CDO ∠=︒CDO 2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒=2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯=490044511r =≈OA AC OH AC ⊥AC H 500CD =300AD =120CDA ∠=︒CDO 2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒222150030025003007002=++⨯⨯⨯=700AC ∴=22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅HAO 350AH =11cos 14HAO ∠=∴4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠OA8, 【解析】过作，交于，连接. 平面，是直线与平面所成的角.由题意，得.，.故直线与平面所成角的大小是9, 【解析】（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和.点到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是. 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.（2）设的坐标为，则E EF BC ⊥BC F CO EF ⊥ABCD ∴EDF ∠DE ABCD 1112EF CC ==112CFCB ==∴DF =EF DF⊥∴tan EF EDF DF∠==DE ABCD arctan511(,)P x y 20x y -=20x y +=11(,)P x y ⋅2211|4|455x y -==P (,)x y 222||(3)PA x y =-+，当时，的最小值为，即的最小值为.10, 【解析】（1）当时，；当时，由条件可知，即解得（2）当时，即，，，故的取值范围是22(3)14x x =-+-25124()455x =-+||2x ≥∴125x =2||PA 45||PA 50x <()0f x =0x ≥1()22x x f x =-1222x x -=222210x x --=21x=20log (1x x >=∵∴[1,2]t ∈22112(2)(2)022t t tt t m -+-≥24(21)(21)t t m -≥--2210t ->∵2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵2(21)[17,5]t -+∈--∴m [5,)-+∞。

2008年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)

学习县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话心得体会杨喜莲近段时间，自己认真学习了县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话会上的讲话，刘书记从三大方面高瞻远瞩地阐述清水教育发展存在的差距、发展的思路目标以及切实可行的措施，提出急需解决的“五个问题”，全力重视和抓好三个方面的具体工作。

这次讲话是凝聚人心、鼓舞志气、求实创新、团结奋进的讲话，吹响了坚持科学发展、办好人民满意教育、促进教育大发展的进军号角，开启了新起点上实现全县教育事业崛起新跨越的征程。

使我重新掂量了肩上担子的分量，明确了努力的方向，必须做一个业务能力强、综合素质高的教师，才能紧随教育改革的步伐，否则将会被淘汰，要想达到这一目标，我认为应从以下几方面做起。

一、加强学习，强化创新意识。

江泽民讲：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。

”回顾以往，我们虽然对创新有了一定的认识。

但在实际教学中创新意识不是很强，力度也不够。

例如：在备课中，我们更多关注的是怎样符合规范化要求和应对各级领导的检查，很少关注其实用价值，既便关注，也只是把备课重点放“教法”上，很少去研究“学法”，关注学生的学习情感，在课堂教学中我们总是希望学生按教案设计的思路，对教师的提问做出回答。

当学生没有回答出教案中预设问题的答案时，教师不厌其烦地引导，要求其他学生再答，直到有人说出了教师教案中的答案，教师才心满意足。

这种教师牵着学生走的模式，大大扼杀了许多学生精彩的想法和创新的思想，教师过多的引导、讲解，挤掉了学生独立思考，探讨和练习的时间，导致课堂效率低，教学质量偏差，要想提高教学质量，就必须扭转这一现象，变以“教”为中心的教案为以“学”为中心的学案，陶行知先生说过：“我认为好的先生不是教书，不是教学生，而是教学生涯。

”如何教学生学，甚至学好，这就需要我们不断地去学习、去研究，去总结。

二、加强研讨，提高合作能力。

有句俗话说得好：“众人拾柴火焰高。

”新教材更需要教师的合作，因为它注重的不是教参，不是现成的课时教案，而是学生学习的实际情况，要想在课堂上大力创新，得心应手解决教学中出现的新情况、新问题，除了独自加强学习外，还必须善于和同事合作交流，从他们那里直接获取信息和灵感，产生新的想法，从而达到事半功倍的效果。

2008年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．【点评】本题考查反函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是2．【考点】三角函数的最值；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．故答案为：2【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质﹣﹣最值．考查考生对正弦函数的性质的掌握和应用．三角函数式高考的一个必考点，重点在对于基础知识的考查．7．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，∴所求概率为：；故答案为：．【点评】本题考查的是概率，实际上是考查排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查奇函数及对数函数f（x）=lg x的图象特征，同时考查数形结合的思想方法．9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=10.5，b=10.5．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.5【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值．此题是一道综合题．要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题．10．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．【考点】椭圆的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力．11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：；【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题．【分析】由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n﹣1r﹣1的关系，即可得答案．【解答】解：由，故选D．【点评】本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要 B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．【点评】本题考查如何把代数语言翻译成几何语言，即数与形的结合．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．18．（15分）（2008•上海）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2==∵|x|≥2，∴当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣渐近线方程，考查点到线的距离公式和两点间的距离公式．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】综合题．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m＞﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m＞﹣4．∴实数m的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】考查学生理解函数恒成立的条件，以及会根据条件求函数值的能力．20．（16分）（2008•上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b 满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）∵P时椭圆上的点，即=1∴，因此点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x﹣c），q≠0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa﹣2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是将它们的方程联立、判断动点的轨迹常通过动点的方程来判断．21．（18分）（2008•上海）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a6m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．【考点】数列的应用；等比关系的确定；数列递推式．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）由题意得（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+…+（a98+a99+a100）==．（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，，，，，，∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）===（3）当d=3m时，，∵，∴；∵∴；∵，∴，∴，，，∴综上所述，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列当d≥3m+1时，，，，，由于，，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【点评】本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。

2008高考上海数学理科试题含答案(全word版)

2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是二选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞. 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞.二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO. EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米）答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分（2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上；当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，,1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯ 13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。

2008年高考数学上海卷(理)全解全析

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学（理工农医类）全解全析一填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t f t t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论； 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线3y x a=+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-上海卷

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x -＜的解集是___________________.2．若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}A B = ，则实数a = . 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = .4．若函数()f x 的反函数为12()f x x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5．若向量a b 、满足1,2,a b == 且a 与b 的夹角为3π，则a b + ＝___________________6．函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是___________________. 7．在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。

已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。

现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________11．方程210x +-=的解可视为函数y x =1y x=的图像交点的横坐标。

上海市杨浦区2007—2008学年度第二学期高三年级学科一模测试数学试题

上海市杨浦区2007—2008学年度高三年级学科测试数学试题第Ⅰ卷（48分）考生注意：1．试卷中使用向量的符号),(},{y x y x ==与表示意义相同.2．本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟. 3．本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、 “理”考生共同做的题目.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1．直线013=+-y x 的倾斜角为． 2．方程04391=-++x x的解是．3．命题“若m ＞0，则12m m+≥”的逆命题是． 4．计算：2n 2C lim n 1n →∞=+ ．5．函数()()2f x sin x cos x =+的最小正周期为．6．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是． 7．（文科考生做）设函数()()()1f x x x a =-+为偶函数，则实数a 的值是．（理科考生做）函数()11f x x x =+-(x ＞1)的值域是． 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有1名是女生的概率为．9．若直角三角形ABC 的顶点是A （－1，0）、B （1，0），则直角顶点C （x ，y ）的轨迹方程为．10．已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （a ＞0 ，1a ≠）是R 上的增函数，那么a 的取值范围是． 11．已知函数)1,0(11≠>-=-a a ay x的反函数图像恒过定点A ，过点A 的直线l 与圆221x y +=相切，则直线l 的方程是．12．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010kf x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数. 给出下列函数： ①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()21x f x x x =++；④()31xf x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分. 13．设{}{}23A x x ,B x x t =-≤=<，若A B=∅ ，则实数t 的取值范围是（）A ．1-<tB ．1-≤tC ．5>tD ．5≥t14．在锐角三角形ABC 中，若,53sin =A 则()cos B C +的值是（）A ．54-B ．53-C ．53D ．5415．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()8f 的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．216．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆顶点()1A , 0-和()C 1 ,0，顶点B 在椭圆22143x y +=上，则sin A sinC sin B +的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知z 为虚数，且z =22z z + 为实数，（文科考生做）求复数z .（理科考生做）若z ai ω=+(i 为虚数单位，a R ∈) 且z 虚部为正数，01a ≤≤，求ω的取值范围.18．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知向量 1(sin , ) , (cos , 1).2a xb x ==-（1）当a b ⊥时，求x 的值.（2）（文科考生做）求()()f x a b =+·b 的最大值与最小值.（理科考生做）求()()f x a b =+ ·b ，在, 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设函数()21fx lg 1x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）（文科考生做）当1a =时，求集合B .（理科考生做）判定函数()f x 的奇偶性，并说明理由.（2）问：2a ≥是A B ⋂=Φ的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.上海某玩具厂生产x 套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P 元，且211000510P x x =++，而每套售出的价格为Q 元，其中xQ=a+b()a , b R ∈，（1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a , b 的值．（利润 = 销售收入 — 成本）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，（1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅，使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，（文科考生做）当32a =时，用t 表示t n ．（理科考生做）求3a 的所有可能值．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设抛物线）（022>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标分别为00212211<>y y y x y x ，），，）、（，（，M 是抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点．若直线MA 、MF 、MB 的斜率分别记为：MA K a =、MF K b =、MB K c =，（如图）（1）若124y y =-，求抛物线的方程．（2）当2b =时，求a c +的值．（3）如果取MA K 2=，12MB K =-时，（文科考生做）判定AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值大小关系．并说明理由．（理科考生做）判定AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值大小关系．并说明理由．通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值大小关系）不变，并证明你的结论．上海市杨浦区2007—2008学年度高三年级学科测试数学试题参考答案说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4．给分或扣分均以1分为单位. 一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.arctan3；2.. 0x =；3. 若12,m m +≥则m>0； 4. 125. π；6. 14- ； 7. (文) 1（理）[3,)+∞； 8. 35；9．221(0)x y y +=≠ ； 10. 3[,2)211. y=1 12. ③.二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 13.B 14.A 15.B 16.C 三、（第17至22题） 17．（文）[解一]设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠） ……………………2分由_22z z + =22(2)(22)a b a ab b i -++- ∵_22z z R +∈， ∴2200ab b b -=≠，又，∴a=1， ……………………8分又即225a b +=，∴b=2±， ∴z=12i ±. …………………12分[解二] 设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠）则 225a b += ∵_22z z R +∈，()()22222212z z z z , z z z z =0z z , z z ,a=1, b= 2 z i∴+=+⇒+--≠∴+=±∴=±（理） [解一]设z=x+yi （x 、y ∈R ，0≠y ） ……………………2分由_22z z + =i y xy x y x )22()2(22-+++∵_22z z R +∈， ∴0,022≠=-y y xy 又， ∴x=1， (8)又即522=+y x ， ∴y=2±， ∴z=12i ±. ∵ z 虚部为正数， ∴y=2， ∴z=12i +，∴w=1+2i+ai …………………………10分∴， a ∈[0，1]∴|w|∈ ……………………12分 [解二] （同文科，参考上评分标准给分）18．[解]（1）∵a b →→⊥， ∴0a b →→⋅=， …………………2分 ∴sinxcosx －12=0， sin2x=1， ……………………4分 ∴2x=2k π+2π， ∴x=k π+,4k z π∈ (6)（2）（文）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，） f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+∙=++……………………8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12（2x+4π）+1 ……………………10分∴f （x ）max =2+1，f （x ）max =1-2. ……………………12分（理）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，） f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+∙=++ ……………………8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12sin （2x+4π）+1 …………………9分－34π≤2x+4π≤4π, ……………………10分∴f （x ）max =32， f （x ）max =1. ……………………12分 19． [解] （1）（文）|1|111120x x x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤∴B[－2，0] ……………………6分（理）A={x|210}1x ->+21100(1)(1)011x x x x x -->⇔<⇔+-<++ ∴ －1<x<1 ∴A=（－1，1），定义域关于原点对称 ……………………3分 f （x ）= lg11xx -+，则 f （－x ）=lg 11x x +-+= lg 11()1x x --+=- lg 11xx -+， ∴f （x ）是奇函数. ……………………6分（2）B={x|1||0}x a -+≥||11111x a x a a x a+≤⇔-≤+≤⇔--≤≤-B=[－1－a ，1－a] ……………………8分当a ≥2时，－1－a ≤－3， 1－a ≤－1，由A=（－1，1）， B=[－1－a ，1－a]，有A B =∅ ……………11分反之，若A B =∅ ，可取－a －1=2，则a=－3，a 小于2. （注：反例不唯一） ……………………13分所以，a ≥2是A B =∅ 的充分非必要条件. …………………14分 20．[解]（1）每套“福娃”所需成本费用为21100051011000510525x xpx xxx++==++≥=…………………………3分…………………………4分当xx1000101=，即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元. ………6分（2）利润为2100510Qx Px xx a0xb-⎛⎫⎛⎫=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………………………8分=（211)(5)100010x a xb-+--…………………---9分由题意，5150112()1015030abab-⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………12分解得a= 25，b= 30. ……………………14分21．[解]（1）在等差数列{}n a中，公差0≠d，且56a=，则546462a a a , a a12=+∴+=……………………3分（2）在等差数列{}n a中，公差d 0≠，且56a=，33a=则()11233014621na d3d= , a ,a na d2+=⎧⇒=∴=-⎨+=⎩n N*∈…………5分又235ma a a=则36=3a m，9)1(2312=∴-=∴mm…………8分（文科）（3）在等差数列{}n a中，公差d 0≠，且56a=，3a2=则124461na d2d=2 , a 2 ,a2n ,n Na d*+=⎧⇒=-∴=-∈⎨+=⎩……10分又因为公比53632a q , a ===首项32a =，123t t n a +∴=⋅ …………14分又因为 112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=⋅=+ n N *∈……………………16分（理科）（3）d n a d a n )5(6,26131-+=-= 1,,53n a a a 成等比数列，1325n a a a ⋅=∴ ,36)26]()5(6[1=--+∴d d n∴Q d n n n d ∈∴--=--=,5635213111 …………14分又∵31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列， ∴d n a a a a a t tn t ⋅-+=⋅=)5()(5355 ∴∈--+=dd n tt 6)33(65{6，7，8，9，10，…}对一切+∈Z t 成立，∴∈-d 33{2，3，4，5，…}（*），设m d=-33（∈m {2，3，4，5，…}）， ∴Z m m m mm d d m d t t t ∈--=--=--∴-=++1)1(233666)33(6,3311，（由二项式定理知， Z m m m t ∈--1)1(2恒成立） ∴m m d a 6)33(26263=--=-=（∈m {2，3，4，5，…}）（注的证明可用无穷递降法完成，证略. ） ………………16分 22．[解]（1）设过抛物线）（022>=p px y 的焦点2p F , 0⎛⎫⎪⎝⎭的直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或2px ,=（斜率k 不存在） ……………………1分则 222y p xp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得 2022k pk y y p --= 212y y p ∴=- …………2分当2p x ,=（斜率k 不存在）时，则2221p p A , p , B , -p , y y p 2⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又 124y y p=2=-∴ ……………………4分∴所求抛物线方程为24y x =（2）[解] 设 221202221y y P p A ,y ,B , y , M ,t ,F ,,p p 22⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由已知直线MA 、MF 、MB 的斜率分别记为：MA K a =、MF K b =、MB K c =，得112222y t y t -ta , b= , c=p p p x x --∴=++ 且 22121222y y x , x p p == …………6分故a c +=112222y t y tp p x x --+++=()()12122222212122222222p y t p y t y t y t y y p p y p y p p p ----+=+++++()()()()()()()()2222221221122222222121222222222y t y p y t y p t y y p tppb pyp y p p y y p -++-+-++===-=++++ 当2b =时 ∴a c +=4 ………………10分（文科） [解]（3）AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值相等 …………12分如果取MA K a 2==，12MB K c ==-时，则由（2）问得 MF K b =34= MA K ⋅MB K 1=- 即1ac =- ，又由（2）问得2a c b , a-b=b-c +=设AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=1）若AB x ⊥轴，则0450 , =0 ,=αβθθαβ==∴- ……………………13分2）若AB k ＞0 则 ()11a b a b a b tan c ab ac ab a b c aα---=====-+-+-12=同理可得()()112tan tan c a a c 3tan a =2 , tan b tan tan c a 4αββαβαβ---+=∴-===-=-=-+⋅+-而34tan b θ=-=-则 ()t a n b t a nαβθ-==，易知AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=都是锐角 θαβ∴=- …………………………16分3）若AB k ＜0，类似的也可证明θαβ∴=-.综上所述θαβ∴=- 即AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值相等 …………18分（理科） [解]（3）AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值相等 …………10分如果取MA K a 2==，12MB K c ==-时，则由（2）问得 MF K b =34= MA K ⋅MB K 1=- 即1ac =- ，又由（2）问得2a c b , a-b=b-c +=设AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=1）若AB x ⊥轴，则0450 , =0 ,=αβθθαβ==∴- ………………11分 2）若AB k ＞0 则 ()11a b a b a b tan c ab ac ab a b c aα---=====-+-+-12=同理可得()()112tan tan c a a c 3tan a =2 , tan b tan tan c a 4αββαβαβ---+=∴-===-=-=-+⋅+-而34tan b θ=-=-即()tan b tan αβθ-==，易知AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=都是锐角θαβ∴=- …………………………12分3）若AB k ＜0，类似的也可证明θαβ∴=-.综上所述θαβ∴=- 即AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值相等 …………13分[解一]（3）概括出的条件：MA K ⋅MB K 1=-（即1ac =- ）或AM BM ⊥，等 …………………………14分MA K ⋅MB K 1=- 即1ac =- ，又由（2）问得2a c b , a-b=b-c +=设AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=1）若AB x ⊥轴，则0450 , =0 ,=αβθθαβ==∴- ………………15分 2）若AB k ＞0 则 ()11a b a b a b tan c ab ac ab a b c aα---=====-+-+- 同理可得()()112tan tan c a a ctan a , tan b tan tan c a αββαβαβ---+=∴-===-=-+⋅+-而tan b θ=- ，则()tan b tan αβθ-==；易知AMF ,BMF= , MFO αβθ∠=∠∠=都是锐角θαβ∴=- …………………………17分3）若AB k ＜0，类似的也可证明θαβ∴=-.综上所述θαβ∴=- 即AMF BMF ∠-∠和MFO ∠的值相等 ……18分[解二] （略）（其它证法可参考上述评分标准给分）。

2008年高考数学试卷(上海.理)含详解

all`试题12 0 0 8 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是all`试题2得分评卷人.10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数rn C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A)1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( )(A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )all`试题3得分评卷人(A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.[解]all`试题 4all`试题518.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）all`试题619.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解]（1）（2）all`试题720.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点. （1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）all`试题8all`试题921.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a d a a c a a（1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（3）当ma 101<< （m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列m a 12-,m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）all`试题102 0 0 8 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7.43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- . 题号12 13 14 15代号DCBD16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得all`试题11CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分（2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分all`试题1214)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分all`试题13P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分（3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分all`试题14()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分（3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，mam a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+m a m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分all`试题151.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：all`试题1636C；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线all`试题173y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)(理科)试题

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）（理科）试题 2019.091,如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，2,定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（） A ．2B ．3C ．6D ．93,为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A ．11010B ．01100C ．10111D ．000114,ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a = ．5,72(1)x -的展开式中21x 的系数为．(用数字作答)6,关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）7,某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．8,已知函数()2sin cos 442x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 9,一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．10,三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111AC=，12BD DC =．（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．11,已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．（Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n na 的前n 项和n S ．12,已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．13,设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．14,已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-上海卷

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x -＜的解集是___________________. 2、若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}AB =，则实数a = .3、若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = .4、若函数()f x 的反函数为12()f x x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5、若向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝___________________ 6、函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是___________________. 7、在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10、某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。

已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。

现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________11、方程210x+-=的解可视为函数y x =1y x=的图像交点的横坐标。

杨浦数学

杨浦区2008学年度高三学科测试数学试卷考生注意： 1、本试卷共有20道题，满分150分，考试时间120分钟．2、本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．若函数()1f x x =的反函数()1f x -，则()11f -=_____． 2．命题“若1x =，则22x x -+＞2”的逆命题是．3．若一元二次不等式20ax bx c ++≤的解集为空集φ，则实数a,b,c 应满足的条件是．4．若函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω= .5．求满足211z i i=+-的复数z 为 .为 . 6．若函数()933x x f x =+，若()10f x =，则x 的值7．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .8．若正四棱锥的体积为43cm ，底面边长为23cm ， (文科考生做) 则正四棱锥的高为 .（理科考生做）则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_____. 9．若12nx x ⎫+⎪⎭的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n 的值为 .10．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，出现向上的点数分别为a ,b ，集合{}220A x x ax b x R =-+<∈且则 A φ≠的概率是 .11．若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其对应边长分别是a ,b ,c且22A A m cos ,sin ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r22A A 1n cos ,sin ,a m n 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭u r u r u r g 且（1）则角A = ；（2）则b c +的取值范围为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，答案必须涂在答题纸上，考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位． 12．下列各对矩阵，存在积AB 的是( )()A 12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()B 1243A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 56B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()C 14A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2365B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()D 135246A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，78B ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．若数列{}n a 为等比数列，则3516a a =是44a =的( ) ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 即非充分也非必要条件14、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 ( )15．在直角坐标系xOy 中，点()P ,P P x y 和点()Q ,Q Q x y 满足Q P P Q P Px y x y y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若OQm OP=及POQ θ∠=，其中O 为坐标原点，则m 与θ的值 ( ) ()A 4πθ=，m 不确定 ()B θ不确定，2m =()C 2m =，4πθ=()D 以上答案都不对三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写在答题纸上与题号对应的区域内，并写出必要的步骤.16. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分设函数()121f x x =-+的定义域为集合A ，函数()()1g x lg x a =--的定义域为集合B ．（1）求 R A ð .（2）若 A B R =U ，求实数a 的取值范围. 17. (本题满分14分)一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体. （1）求该几何体的表面积；（精确到201.cm ）（2）如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明.（杯壁的厚度忽略不计） 18. (本题满分14分)气象台预报，距离S 岛正东方向300km 的A 处有一台风形成，并以每小时30km 的速度向北偏西︒30的方向移动，在距台风中心处不超过270km 以内的地区将受到台风的影响.(文科考生做) 从台风形成起经过3小时，S 岛是否受到影响？并说明理由. （理科考生做）从台风形成起经过多少小时，S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时)19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分. 第3小题满分5分. 已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b R ∈且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（3）(文科考生做) 解关于t 的不等式()()210f t f t -+< .（理科考生做）求函数()f x 的值域；20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在直角坐标平面xOy 上一列点()()()()112223331n n n P a ,b ,P a ,b ,P a ,b ,,P a ,b ,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅都在函数12y log x =的图像上，其中n a ＞0 ，n N *∈．（Ｉ）已知数列{}n b 是等差数列，求证数列{}n a 是等比数列；（1）(文科考生做) 求n b ；（理科考生做）设过点1n n P ,P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n C ，且n C t ≤对n N *∈ 恒成立，求实数t 的取值范围；（2）对于数列{}n d ，假设存在一个常数q ，使得对任意的正整数n 都有n d ＜q ，且 lim n n d q →∞=，则称{}n d 为“左逼近”数列，q 为该数列的“左逼近”值．研究：数列{}A是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值，如果不是，n说明理由；受本题的启示，请你设计一个“左逼近”数列，并写出它“左逼近”值．。

2008年上海高考数学试卷及答案(理科)

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）1.不等式11x -＜的解集是___________________.2．若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}A B = ，则实数a = . 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = . 4．若函数()f x 的反函数为12()fx x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5．若向量a b 、满足1,2,a b == 且a 与b 的夹角为3π，则a b + ＝___________________ 6．函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是___________________.7．在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。

已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。

现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________ 11．方程210x +-=的解可视为函数y x =+的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标。

数学_2008年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2008年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1. 不等式x1−x >0的解为________．2. 若z 1=1+i ，z 1⋅z 2¯=2，则z 2=________．3. 若集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|x >a}，且A ∩B =φ，则实数a 的取值范围是________．4. 方程4x −2x+1−3＝0的解是________．5. 若函数f(x)=x x+2的反函数是y =f −1(x)，则f −1(12)=________．6. 若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相切，则实数ab 的取值范围是________．7. 在△ABC 中，若∠B =60∘，AC =3，AB =√6，则∠A =________．8. 过抛物线y =14x 2焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程为________．9. 无穷等比数列{a n }的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：1m 的分数，m 为正整数），若该数列的各项和为3，则a 1+a 2=________．10. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的概率为45，则该学习小组中的女生有________名．11. 若曲线的参数方程为{x =|cos θ2+sin θ2|y =12(1+sinθ)(θ为参数，0≤θ≤π)，则该曲线的普通方程为________．12. 若正方形ABCD 的边长为1，点P 在线段AC 上运动，则AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围是________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．13. 设函数f(x)的定义域为R ，且f(x)是以3为周期的奇函数，f(1)>1，f(2)=log a 2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（）A a >1B 0<a <1或a >2C 12<a <1 D 0<a <114. 以S n ，T n 分别表示等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n T n=7n n+3，则a5b 5的值为（）A 7B 214C 378D 2315. 在极坐标系中，曲线ρ=4sin(θ−π3)关于（）A 直线θ=π3轴对称 B 点(2,π3)中心对称 C 直线θ=5π6轴对称 D 极点中心对称16. 如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠BAC=π2，AB=AC= A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A [√5 1) B [15, 2) C [1, √2) D [√5√2)三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1−D1EF的体积；（2）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）18. 已知复数z1=2cosθ+i⋅sinθ，z2=1−i⋅(√3cosθ)，其中i是虚数单位，θ∈R．（1）当cosθ=√33时，求|z1⋅z2|；（2）当θ为何值时，z1=z2．19. 设函数F(x)={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x)，其中f(x)=log2(x2+1)，g(x)=log2(|x|+7)．（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F(x)的解析式；（2）求函数F(x)的最小值．20. 建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60∘（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为6√3平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高ℎ为多少米？（2）如防洪堤的高限制在[3, 2√3]的范围内，外周长最小为多少米？21. （理）已知向量a →=(x 2+1,−x)，b →=(1,2√n 2+1)（n 为正整数），函数f(x)=a →⋅b →，设f(x)在(0, +∞)上取最小值时的自变量x 取值为a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }，对任意正整数n ，都有b n •(4a n 2−5)=1成立，设S n 为数列{b n }的前n 项和，求lim n →∞S n；（3）在点列A 1(1, a 1)、A 2(2, a 2)、A 3(3, a 3)、…、A n (n, a n )、…中是否存在两点A i ，A j （i ，j 为正整数）使直线A i A j 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(i, j)；若不存在，请你写出理由．22. （理）在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线C 1的方程F(x, y)=0中，以(λx, λy)（λ为正实数）代替(x, y)得到曲线C 2的方程F(λx, λy)=0，则称曲线C 1、C 2关于原点“伸缩”，变换(x, y)→(λx, λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C 1的方程为x 29−y 24=1，伸缩比λ=2，求C 1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C 2的方程；（2）射线l 的方程y =√22x(x ≥0)，如果椭圆C 1:x 216+y 24=1经“伸缩变换”后得到椭圆C 2，若射线l 与椭圆C 1、C 2分别交于两点A 、B ，且|AB|=√2，求椭圆C 2的方程；（3）对抛物线C 1:y 2=2p 1x ，作变换(x, y)→(λ1x, λ1y)，得抛物线C 2:y 2=2p 2x ；对C 2作变换(x, y)→(λ2x, λ2y)得抛物线C 3:y 2=2p 3x ，如此进行下去，对抛物线C n :y 2=2p n x 作变换(x, y)→(λn x, λn y)，得抛物线C n+1:y 2=2p n+1x ，…．若p 1=1，λn =(12)n ，求数列{p n }的通项公式p n ．2008年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|0<x <1}2. 1+i3. [3, +∞)4. x ＝log 235. 26. [−12，12]7. 75∘ 8. y =12x 2+19. 83 10. 311. x 2=2y(1≤x ≤√2,12≤y ≤1) 12. [−2,14]13. C 14. B 15. C 16. A17. 解：（1）V A 1−D 1EF =V E−A 1D 1F =13⋅1⋅1=13．（体积公式正确3分）（2）取A 1D 1的中点G ，则FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF 在底面A 1B 1C 1D 1的射影为GE ，所求的角的大小等于∠GEF 的大小，在Rt △GEF 中tan∠GEF =√22，所以EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小是arctan √22． 18. 解：(1)|z 1⋅z 2|=|z 1||z 2|=√4cos 2θ+sin 2θ√1+3cos 2θ， ∵ cosθ=√33， ∴ cos 2θ=13，sin 2θ=23∴ |z 1⋅z 2|=2，（2）∵ z 1=z 2．∴ 2cosθ=1，−sinθ=√3cosθ， ∴ θ=2kπ±π3且θ=kπ−π3，k ∈z ， ∴ θ=2kπ−π3，k ∈z19. 解：（1）F(x)={log 2(x 2+1)，log 2(x 2+1)≥log 2(|x|+7)log 2(|x|+7)，log 2(x 2+1)<log 2(|x|+7)，令log 2(x 2+1)≥log 2(|x|+7)，得x 2−|x|−6≥0，解得：x ≤−3或x ≥3，∴ F(x)={log 2(x 2+1)，x ≥3或x ≤−3log 2(|x|+7)，−3<x <3．（写出F(x)={log 2(x 2+1)，x 2+1≥|x|+7log 2(|x|+7)，x 2+1<|x|+74分）（2）当x ≥3或x ≤−3时，F(x)=log 2(x 2+1)，设u =x 2+1≥10，y =log 2u 在[10, +∞)上递增，所以F(x)min =log 210；（说明：设元及单调性省略不扣分）同理，当−3<x <3，F(x)min =log 27；又log 27<log 210∴ x ∈R 时，F(x)min =log 27．或解：因为F(x)是偶函数，所以只需要考虑x ≥0的情形，当0≤x <3，F(x)=log 2(x 2+7)，当x =0时，F(x)min =log 27；当x ≥3时，F(x)=log 2(x 2+1)，当x =3时，F(x)min =log 210；∴ x ∈R 时，F(x)min =log 27．20. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ，解得BC =6√3ℎ−√33ℎ．设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2；当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立．外周长的最小值为6√2米，此时堤高ℎ为√6米．（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3，则ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，∴ l min =√3×3+6√33=5√3（米）．（当ℎ=3时取得最小值）．21. 解：（1）f(x)=(x 2+1)−2x√n 2+1…函数y =f(x)的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x =√n 2+1>0，开口向上，在(0, +∞)上，当x =√n 2+1时函数取得最小值，所以a n =√n 2+1；…（2）将（1）中{a n }的表达式代入，得b n =14(n 2+1)−5=14n 2−1=1(2n+1)(2n−1)=12[12n−1−12n+1]．…∴ S n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]，…所以所求的极限为：lim n →∞S n =lim n →∞12(1−12n+1)=12；… （3）任取A i 、A j (i 、j ∈N ∗, i ≠j)，设A i A j 所在直线的斜率为k ij ，则k ij =a i −a j i−j=√i 2+1−√j 2+1i−j=22(i−j)(√i 2+1+√j 2+1)=√i 2+1+√j 2+1<1．因此不存在满足条件的数对(i, j)，使直线A i A j 的斜率为1．… 22. 解（1）由条件得(2x)29−(2y)24=1，得C 2:x 294−y 2=1；（2）∵ C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换(x, y)→(λx, λy)(λ>0)，得到C 2λ2x 216+λ2y 24=1，解方程组{y =√22x(x ≥0)x 216+y 24=1得点A 的坐标为(4√33，2√63)；解方程组{y =√22x(x ≥0)λ2x 216+λ2y 24=1得点B 的坐标为(4√33λ，2√63λ)；|AB|=√(4√33λ−4√33)2+(2√63λ−2√63)2=2√2|λ−1||λ|=√2，化简后得3λ2−8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=23，因此椭圆C 2的方程为x 24+y 2=1或x 236+y 29=1．（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对C n :y 2=2p n x 作变换(x, y)→(λn x, λn y)得抛物线C n+1：(λn y)2=2p n λn x ，得y 2=2p n λnx ，又∵ y2=2p n+1x，∴ p n+1=p nλn ，即p n+1p n=1λn=2n，p2 p1⋅p3p2⋅p4p3⋅…⋅p n−1p n−2⋅p np n−1=2⋅22⋅23•…•2n−1，则p np1=21+2+3+⋯+(n−1)=212n(n−1)，（或解：p n+1=2n p n，p n=2n−1p n−1=⋯=2(n−1)+(n−2)+⋯+2+1p1=212n(n−1)p1）p1=1，∴ p n=212n(n−1)．。