1.2第3课时矩形的性质、判定与其他知识的综合1
1.2 矩形的性质与判定_第3课时
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例题
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，
AD=6，对角线AC与BD交于点O，
AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE
的长.
1
即 △ABO是等边三角形.
2
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
你还∴有AE其= 他12 的AD解= 法12 吗×？6=和3.同学交流
例题
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC， AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= 1 ∠BAC，∠CAN= 1 ∠CAM.
2
2
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
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北师大版九上数学1.2矩形的性质与判定知识点精讲
知识点总结矩形的性质及判定一、矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
二、矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。
对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形三、矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。
四、黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。
如希腊的巴特农神庙等。
矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1知识链接1.矩形的四个角都是直角。
2.矩形的对角线相等。
2典例分析如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD=4,∠AOD=60°,求AB 的长。
【分析】先证明OA=OD，于是可证明△AOD为等边三角形，求出DO，进而求出BD，根据勾股定理求得AB的长．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD,∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形∴DO=AD=4∴BD=8∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，△DAB为直角三角形，∴AB2=BD2-AD2=82-42=48∴AB=。
f1.2矩形的性质与判定(第三课时)
O E D C B A N M E DC B A N M ED C B A 九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定（第三课时）一、导学二、学习目标矩形性质定理和判定定理的应用三、探究学习知识点（一） 矩形定理的应用例3 如图，在矩形ABCD 中，6=AD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD AE ⊥，垂足为E ，BE ED 3=求：AE 的长例4 已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD 是ABC ∆的一条角平分线，AN为ABC ∆ 的外角CAM ∠的平分线，AN CE ⊥，垂足为E 求证：四边形ADCE 是矩形想一想：在例4中，连接DE ，交AC 于点F⑴试判断四边形ABDE 的形状，并证明你的结论 ⑵线段DF 与AB 有怎样的关系？请证明你的结论四、训练提升1.在四边形ABCD 中,AC 、BD 交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD 为矩形的是( )A.AB=CD,AD=BC,AC=BDB.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BDD.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD2.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6B.8C.6D.63.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= .5.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.(1)求证:AF=DC;(2)当AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形?并说明理由.6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,那么EF=DC吗?试说明理由.7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E。
北师版九上数学1.2 矩形的性质与判定(第三课时) 课件
形的面积公式等是解决此类题目的关键.
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（2022·云南）如图，在▱ ABC D中，连接 B D，点E为线段 A D
的中点，延长 B E与 C D的延长线交于点F，连接 A F，∠ B DF＝
90°.
（1）求证：四边形 AB DF是矩形；
与点 C 重合，再展开，折痕EF交 A D边于点E，交 BC 边于点F，
连接 A F， C E.
（1）求证： A O平分∠D A F；
（2）若 A E＝8 cm ，△ AB F的面积为20 cm2，求△ AB F的周长.
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【思路导航】（1）由折叠及 A D∥ BC 可得∠ A FE＝∠ A EF，由
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第一章
2
特殊平行四边形
矩形的性质与判定（第三课时）
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
0 1
课前预习
数学 九年级上册 BS版
1. 矩形的周长与面积.
若矩形相邻两边长分别为 a ， b ，则矩形的周长＝ 2（ a ＋
b ） ，矩形的面积＝
∴四边形 DEMN 为矩形.
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（2）解：由（1）知 BM ＝ DN ＝4.
在Rt△ ABM 中，由勾股定理，得
AM ＝ 2 − 2 ＝ 52 − 42 ＝3，
∴ CN ＝ AM ＝3.
∴ MN ＝ MO ＋ ON ＝ AM ＋ CN ＝3＋3＝6，
∴ S矩形 DEMN ＝ MN ·EM ＝ MN ·BM ＝6×4＝24.
最新版初中数学教案《矩形的性质与判定的综合应用》精品教案(2022年创作)
1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用教学目标【知识与能力】熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明．【过程与方法】经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别．【情感态度价值观】通过严谨的推理，强化学生的标准意识．教学重难点【教学重点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【教学难点】利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化．课前准备生活中常见的建筑图片(多媒体)、常见几何体模型.教学过程【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE 3BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
1.2.3矩形的性质与判定第3课时(教案)
-判定方法三：如果一个四边形的对角线互相平分且相等，则该四边形是矩形。
3.矩形的应用：
-计算矩形的周长和面积。
-利用矩形性质解决实际问题。
本节课我们将结合教材内容，通过实例分析、定理证明和练习题巩固，使学生掌握矩形的性质与判定方法，并能应用于解决实际问题。
在总结回顾环节，我感到有些学生对本节课的知识点掌握得还不够扎实，这可能是因为我在教学中对重点、难点的强调不够，或者讲解不够细致。因此，我决定在接下来的课程中，对重点、难点内容进行更加明确的强调和详细解释，确保学生能够真正理解和掌握。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的基本概念、重要性质和判定方法。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形在实际中应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如矩形的证明和判定方法的应用，我会通过具体图形分析和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如计算矩形的面积和周长。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和量角器测量矩形图形，验证矩形的性质。
二、核心素养目标
《1.2.3矩形的性质与判定》第3课时教案，本节课核心素养目标如下：
1.培养学生的几何直观与空间想象能力，通过观察、操作矩形模型，让学生能够理解矩形的性质，并运用这些性质解决实际问题。
1.2 矩形的性质与判定_第3课时
练习
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的 等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC 和AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形
课堂小结
1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。
作业
• （一）习题1.6 知识技能 1、2、3 联系拓广 4
• （二）如图，四边形ABCD中，对角线相交 于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC， AC的中点。
求证：四边形ADCE是矩形. 在△ABC中， ∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA=90° . ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形 是矩形）.
你还有其他的解法吗？和同学交流
巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16） （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
• （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； • （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，
四边形EFGH是矩形？并证明你的结论。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/5/1 2021/5/ 1Satur day, May 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /15/1/2 021 9:09:26 AM •11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /1May-211-Ma y-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/ 5/1202 1/5/120 21/5/1 Saturda y, May 01, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/ 5/1202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /15/1/2 021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年5月 1日星 期六202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /1 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年5月20 21/5/1 2021/5/ 12021/ 5/15/1/ 2021 •16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/ 5/1202 1/5/1M ay •17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。202 1/5/12 021/5/1 2021/5 /12021 /5/1
1.2 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
∴DF∥AB，DF=
1 2
AB
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形 中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
课堂小结
与全等三角形的结合
矩形的性质 与判定
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
学习目标 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
(难点)
导入新课
问题1: 矩形有哪些性质？ A
B
①是轴对称图形;
O
D
C
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.
问题2: 矩形有判定方法有哪些？
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得 AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角 ∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可 证得：四边形ADCE为矩形；
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD 是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状， 并证明；
分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合 已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形 ABDE是平行四边形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形；
】北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定的综合运用》优质课课件
第3课时 矩形的性质与判定的综合运用
1．矩形的性质：(1)矩形具有 平行四边形的一切性质；(2)矩形
的四个角都是 直角；(3)矩形的对角线 相等 ．
2．矩形的判定：(1)有一个角是 直角 的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是
直的角 四是边矩形形；(3)对角线
7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/222021/10/22October 22, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/222021/10/222021/10/222021/10/22
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴， x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C 的坐标为 (1＋2 ．3，2)
14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB， BC，CD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．
解：(1)∵点 E，F 分别是 AD，AB 的中点，∴EF 綊21DB，
同理 GH 綊21DB，∴EF 綊 GH，∴四边形 EFGH 是平行四边
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
解：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴ 四 边 形 ADCN 是 平 行 四 边 形 ， ∴ CD ＝ AN (2)∵∠AMD ＝ 2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形
1.2 矩形的性质与判定(3课时)
2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质一、基本目标1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2．经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握矩形的性质定理．【教学难点】会用矩形的性质定理进行推导证明．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P11～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4．判断下列说法是否正确：(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．()(2)平行四边形就是矩形．()(3)平行四边形具有的性质，矩形也具有．()环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB 与BD 的数量关系→需确定∠ODA 的度数．【解答】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD .∴OA ＝OD . ∵∠AOD ＝120°，∴∠ODA ＝∠OAD ＝12×(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB ＝90°，∴BD ＝2AB ＝2×2.5＝5(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( B ) A ．对边相互平行 B ．对角线相等 C ．对角线相互平分D ．对角相等2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( B )A ．3∶2B ．2∶1C ．1.5∶1D ．1∶13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是( D )A ．CD ＝ADB ．∠B ＝∠BCDC ．∠AED ＝90°D ．AC ＝2DE活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长．【互动探索】在Rt△ABD中，已知AB＝1，要求AD的长，需先求出BD的长，由矩形的性质及∠AEB＝15°，应怎样转化，建立起它们之间的联系，才能得出结论？【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD，∴∠E＝∠DAE.又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝2，∴AD＝BD2－AB2＝ 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是应用转化思想，将CE＝BD转化为AC＝CE.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应训练！第2课时矩形的判定一、基本目标1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明．【教学难点】定理的证明方法及运用．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P14～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．对角线相等的平行四边形是矩形．2．有三个角是直角的四边形是矩形．3．能够判断一个四边形是矩形的条件是(C)A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【互动探索】(引发学生思考)矩形的判定方法有哪些？【证明】∵AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【互动总结】(学生总结，老师点评)矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法错误的是(D)A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C．对角线相等的平行四边形是矩形D．有两个角是直角的四边形是矩形2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是答案不唯一，如：∠A＝90°.(填上你认为正确的一个答案即可)3．如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：四边形BFDE 为矩形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB.∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求□ABCD的面积．【互动探索】结合△ABO是等边三角形，能判定四边形ABCD是什么特殊四边形？【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°，∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，∴AC＝BD＝2OA＝8，∴四边形ABCD是矩形．∴∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得BC＝82－42＝43，∴□ABCD的面积是BC×AB＝43×4＝16 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应训练！第3课时矩形的性质与判定的运用一、基本目标1．通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．2．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力． 二、重难点目标 【教学重点】进一步掌握矩形的性质及判定的应用． 【教学难点】能够运用严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P16～P18的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2.5 cm ，则∠DAO ＝30°，AC ＝5cm ，S 矩形ABCD ＝2543cm 2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE .求AE 的长．【互动探索】(引发学生思考)矩形性质→BE 与OE 的数量关系→确定△ABO 的形状→得出AE 的长度．【解答】∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝BO ＝DO ＝12BD ，∠BAD ＝90°.∵ED ＝3BE ，∴BE ＝OE . 又∵AE ⊥BD ，∴AB ＝AO ，∴AB ＝AO ＝BO ，即△ABO 是等边三角形， ∴∠ABO ＝60°，∴∠ADB ＝90°－∠ABO ＝30°. 在Rt △AED 中，∵∠ADB ＝30°，∴AE ＝12AD ＝12×6＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是利用题中的隐含条件(OA ＝OB )及ED ＝3BE 、AE ⊥BD 得到△ABO 是等边三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为( D )A ．10 cmB ．8 cmC ．6 cmD ．5 cm2．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB 、EC 、DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是( B )A ．AB ＝BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE3．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB ＝60°，AC ＝10，则AB ＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E .求证：四边形ADCE 是矩形．【互动探索】已知两个邻补角的角平分线能得到什么结论？结合已知条件，要证四边形ADCE 是矩形，应选择矩形的哪个判定定理？【证明】∵AD 平分∠BAC ，AN 平分∠CAM ， ∴∠CAD ＝12∠BAC ，∠CAN ＝12∠CAM ，∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAN ＝12(∠BAC ＋∠CAM )＝12×180°＝90°.在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. 又∵CE ⊥AN ， ∴∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应训练！。
2.矩形的性质与判定第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
第3课时 矩形的性质与判定的综 合应用
轻松过招
3．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E， 点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF. （2）当CF平分∠DCB时， 若CE＝3，BE＝4，求CD的长．
(2)解：在Rt△BEC中，BE＝4，CE＝3，∴CB＝5， ∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF， ∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB， ∴CB＝BF＝5，∴ED＝CB＝5，∴CD＝ED＋CE＝8.
第3课时 矩形的性质与判定的综 合应用
新知导航
变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于
点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3.点E是BC延长线上一
点，且CE＝3，连结DE.
（1）求证：四边形ACED为矩形；
(1) 证 明 ： ∵ 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AD ＝ BC ＝ 3 ， AD∥BC，∵CE＝3，∴AD＝CE，∴四边形ACED是 平行四边形，∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED为矩形；
第3课时 矩形的性质与判定的综 合应用
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1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于 点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3.点E是BC延长线上一 点，且CE＝3，连结DE. （2）连结OE，求OE的长．
(2)解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝12
DE＝
1 2
AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝ OC2＋CE2 ＝ 12＋32 ＝ 10 .
第3课时 矩形的性质与判定的综 合应用
轻松过招
第一招 1．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，BD＝13， 求矩形的周长和面积．
北师大版九年级数学上册1.2.3矩形的性质与判定(教案)
4.实际应用：结合实际问题，运用矩形性质和判定方法解决问题，提高学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观：通过矩形性质的学习，使学生能够直观理解矩形的特征，提高空间想象能力和几何直观。
2.提升逻辑推理能力：在学习矩形判定方法的过程中，训练学生运用逻辑推理，严谨证明几何问题的能力。
同时，关注学生的合作交流能力。在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，这可能是因为他们不擅长与他人合作。为了解决这个问题，我将在课堂上多组织一些合作学习活动，鼓励学生主动与他人交流，培养他们的团队协作能力。
最后，关注学生的学习反馈。在课后，我会认真批改学生的作业，了解他们在矩形性质与判定方面的掌握情况。同时，我也会及时与学生们沟通，了解他们在学习过程中遇到的困难，以便在接下来的教学中进行针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的基本概念、性质与判定方法，以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强数学运算能力：通过矩形的周长和面积计算，加强学生对数学运算的熟练度和准确性，提高数学运算能力。
4.培养实际问题解决能力：将矩形知识应用于解决实际问题，提升学生将数学知识应用于现实情境的能力，增强数学实用价值。
5.培养合作交流意识：在小组讨论和合作探究中，培养学生主动与他人交流、合作的意识，提高团队协作能力。
北师大版九年级数学上1.2矩形的性质与判定三个课时(共56张PPT)
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （通常也叫长方形）.
即：∠A=90° ABCD
ABCD是矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生 活中矩形的例子吗，与同伴交流。比如：
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
四边形
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
A
D 边： 矩形的对边平行且相等.
O
角： 矩形的对角相等.
B
C
对角线：矩形的对角线互相平分.
矩形的特殊性质
A
D
边： 角： 对角线：
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
探究1
定理：矩形的四个角都是直角
A
D
已知：四边形ABCD是矩形， ∠C=90°
求证： （1） ∠A=∠B=∠C=∠D=90°B
C
（2） AC=BD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90° ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 ° ∴∠B=180－∠C=90° ∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 定理证明
第二小问自己证明
探究2 定理：矩形的对角线相等
即：在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线，
1
则BO= 2 AC.
定理证明
已知：在Rt△ABC中∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = 1 AC
2
A
DD
证明: 延长BO至D，使OD=BO
连结AD、DC.
O
∵AO=OC, BO=OD
期北师大版数学九年级上册课件：1.2 矩形的性质与判
A
D
3、直角三角形的性质及判定方法：
角： 直角三角形两锐角互余。
C
B
线段： 1、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边
的平方。
2、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线
等于斜边的一半。
边角关系：1、直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半。
2、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30°。
1、已知矩形的一条对角线与一边的夹角 是40°，则两条对角线所成的锐角的 度数是（ ） A、100° B、90° C、80° D、70°
2、矩形的一边长为6，各边中点围成的四
边形的周长是20 ，则矩形的对角线长
为
，面积为
。
3、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成 一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
O
Ax
课外兴趣题：动一动，想一想
1、给你一张矩形的纸片，你能 折叠出一个菱形吗？能折叠出一个正 方形吗？
课外兴趣题：动一动，想一想
2、如图，P是矩形ABCD内一点，
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝
。A E
D
提示：过点P作其中一边 的垂线，利用勾股定理 来解。
3 P
?
BF
∟
4 5
C
谢谢！
（1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
B C
O
Ax
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到 △OBN，ON与AB交于点M。
① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.