【新教材】-新人教A版必修一函数与方程学案

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人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习

【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三题型一不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

新教材高中数学一元二次函数方程和不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式第1课时基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整．如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数．求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。

人教A版高中同步学案数学必修第一册第四章指数函数与对数函数函数的应用(二)函数的零点与方程的解

所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数()只有一
个零点.
1

（3）() = 2 + lg( + 1) − 2.
解（方法1）∵ (0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0,(2) = 4 + lg 3 − 2 = 2 + lg 3 > 0,
∴ () = 0在(0,2)内必定存在实根.
C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞, −3)和(4, +∞)
[解析]易知() = + + ( ≠ )的图象是一条连续不断的曲线,又
(−)(−) = × (−) = − < ,所以()在(−, −)内有零点,即方程
+ + = ( ≠ )在(−, −)内有根,同理,方程 + + = ( ≠ )在

( )

( )

∵

= + = − < ,( ) = + = − < ,

= + = − + = − ,() =

> ,∴ > ,即 − > ,∴ ( ) > ,
() = − − 有2个不同的实根,即函数()的图象与直线
= − − 的图象有2个交点.作出直线 = − − 与函数
1 = ()和2 = ℎ()的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 = ()零点的个数.

人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解教学设计

4.5.1 函数的零点与方程的解教材分析：（1）函数的零点：我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

这个概念是由二次函数的零点推广到一般函数f(x)得到的.（2）函数的零点与方程的解的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.从代数上看，在函数y=f(x)的解析式中，当函数值y=0时，得到方程f(x)=0，这个方程的实数解就是使f(x)=0的实数x，因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图形上看，函数y=f(x)的解析式可以看成关于x,y的方程，这个方程的每一组解（x,y）对应于直角坐标系平面中函数y=f(x)的图象上一个点（x,y），当函数值y=0时，对应的点为（x,0），它是函数y=f(x)的图象与x轴交点，因此，方程f(x)=0的实数解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标.函数的零点与方程的解的关系给出了利用函数图象判断方程是否有解的办法：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)图象与x轴有交点.函数的零点与方程的解的关系也为解不能用公式求解的方程提供了思路：我们可以把方程与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解。

（3）函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点。

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，意味着在区间[a,b]上，当自变量从a连续不断地变化到b时，相应的函数值从f(a)连续不断地变化到f(b).若f(a)f(b)<0，则f(a)>0且f(b)<0,或者f(a)<0且f(b)>0，意味着当函数值从f(a)连续不断地变化到f(b)时，发生了函数值由正到负，或者由负到正的连续不断的变化，而正数和负数是以0为界线的，因此，必然存在一个c∈（a,b），使得f(c)=0.函数零点存在定理是判断方程在某个区间内是否有解的具体方法，是利用函数研究方程的有利工具。

3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。

显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。

人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4.5.2 用二分法求方程的近似解

4.5.2 用二分法求方程的近似解学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．知识点一二分法对于在区间『a，b』上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．思考已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间？『答案』可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间．知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(√)2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(√)3．用二分法最后一定能求出函数零点．(×)4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(√)一、二分法概念的理解例1以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点『答案』 C『解析』使用二分法必先找到零点所在区间『a，b』，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3『答案』 D『解析』图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.二、用二分法求方程的近似解例2(1)在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是()A．(1,4) B．(－2,1)C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)『答案』 D『解析』因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选D.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．跟踪训练2(1)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间『1,3』内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．『答案』(1,2)『解析』设f (x )＝2x ＋3x －7，f (1)＝2＋3－7＝－2<0，f (3)＝10>0，f (2)＝3>0，f (x )零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x ＋3x －7＝0下一个有根的区间是(1,2)． (2)用二分法求函数f (x )＝x 3－3的正零点．(精确度0.02) 考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解由于f (0)＝－3<0， f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.047 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 (1.375,1.5) 1.4375 －0.030 (1.4375,1.5) 1.46875 0.168 (1.4375,1.46875) 1.4531250.068 (1.4375,1.453125)因为|1.453125－1.4375|＝0.015625<0.02，所以函数f (x )＝x 3－3的零点的近似值可取为1.4375.1．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x －1 C ．y ＝log 3x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x－x『答案』 D『解析』 A ，B ，C 项均可用解方程求其根，D 项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点『答案』 A3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．『－2，－1』 B ．『－1,0』 C ．『0,1』 D ．『1,2』『答案』 A4．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( ) A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8 『答案』 C『解析』已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为『0.64,0.72』．又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7，故选C.5．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是________．考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间『答案』 (2,3)1．知识清单： (1)二分法的定义．(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．2．方法归纳：(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点．(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用．3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．。

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人教A版必修第一册全册学案第一章集合与常用逻辑用语................................................................................................ - 1 -1.1集合的概念 ............................................................................................................ - 1 -1.2集合间的基本关系................................................................................................. - 9 -1.3集合的基本运算...................................................................................................... - 18 -1.4充分条件与必要条件.............................................................................................. - 32 -1.5全称量词与存在量词.............................................................................................. - 43 -第二章一元二次函数、方程和不等式.............................................................................. - 51 -2.1等式性质与不等式性质....................................................................................... - 51 -2.2基本不等式 .......................................................................................................... - 58 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1) ................................................................. - 70 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2) ................................................................. - 79 -第三章函数的概念与性质.................................................................................................. - 86 -3.1函数的概念及其表示........................................................................................... - 86 -3.2函数的基本性质................................................................................................. - 110 -3.3幂函数 ................................................................................................................ - 134 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................. - 143 -第四章指数函数与对数函数............................................................................................ - 153 -4.1 指数 ...................................................................................................................... - 153 -4.2 指数函数 .............................................................................................................. - 161 -4.3对数 .................................................................................................................... - 173 -4.4对数函数 ............................................................................................................ - 186 -4.5函数的应用(二) .................................................................................................. - 210 -第五章三角函数................................................................................................................ - 233 -5.1任意角和弧度制................................................................................................. - 233 -5.2三角函数的概念................................................................................................. - 250 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 268 -5.3诱导公式(2) .........................................................................................................- 276 -5.4三角函数的图象与性质..................................................................................... - 283 -5.5三角恒等变换..................................................................................................... - 333 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ......................................................................................... - 348 -5.7三角函数的应用................................................................................................. - 367 - 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一集合的概念预习教材，思考问题(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；(2)所有的正方形；(3)某班所有的“帅哥”．上述问题中的元素可否看成一个“集合”？知识梳理(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系预习教材，思考问题设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？知识梳理(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a ∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点三集合的表示预习教材，思考问题我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x ＋2＝0}．知识点四相等集合预习教材，思考问题A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否说为相等集合？知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．[自主检测]1．(教材P5练习1改编)下列给出的对象中，能组成集合的是()A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案：A2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则1a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R答案：A4．(教材P4例2改编)分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列举法：{1,2,3,4,5}．授课提示：对应学生用书第2页探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析]选项正误原因A ×大苹果到底以多重算大，标准不明确B ×小橘子到底以多重算小，标准不明确C √中学生标准明确，故可构成集合D ×“著名”的标准不明确[答案]判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x 2－1＝0的解；③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是( ) A ．② B ．①③ C ．②④ D ．①②④答案：A探究二元素与集合的关系 [例2] 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] 由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x ＞0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－0＝2∈N ；当x ＝1时，63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.[答案] 0,1,21．若本例2中集合A 是由形如2m ＋n (m ∈Z ，n ∈Z )(例如数22－1)的数构成的，判断12－1是不是集合A 中的元素．解析：12－1＝2＋1＝1×2＋1，而1,1∈Z ，所以2＋1∈A ，即12－1∈A . 2．若本例2集合A 是由正整数构成的且满足“若x ∈A ，则10－x ∈A ”，则集合A 中元素个数至多有多少个？解析：由x ∈A ，则10－x ∈A 可得：x ＞0,10－x ＞0，解得：0＜x ＜10，x ∈N *.若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.因此集合A中元素个数至多有9个．答案：9探究三集合的表示[例3]教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．(1)用这样的方法表示偶数集．(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？[解析](1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；(4){－3，－1,1,3,5}．解析：(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．[解析]因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是()A．0 B．0或1C．1 D．不能确定解析：集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－12，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第3页一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识►直观想象、逻辑推理 1．两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 2．四个集合的区别(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的自变量x 的取值范围，且x 的取值范围是R ，因此A ＝R .(2)B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的函数值y 的取值范围，而y 的取值范围是y ＝x 2＋1≥1，因此，B ＝{y |y ≥1}．(3)C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}表示满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )组成的集合，因此C 表示函数y ＝x 2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P ＝{y ＝x 2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y ＝x 2＋1.[典例] 1.已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A ，B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2}[解析] x ＝1∈A,1∉B ； x ＝2∈A,2∈B ； x ＝3∈A,2∉B ； ∴A *B ＝{1,3}． [答案] C2．二次函数y ＝x 2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________． [解析] 点可看作由⎩⎨⎧y ＝x 2－1y ＝3组成的解集可用描述法．令y ＝3得：x 2－1＝3，所以x ＝－2或x ＝2.所以在y ＝x 2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．[答案] {(－2,3)，(2,3)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ＝x 2－1y ＝3 二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”►数学运算、逻辑推理 [典例] 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，B ＝{a 2，a ＋b,0}，若A ＝B ，则a 2 018＋b 2 018的值为________．[解析]因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝(a 2，a ＋b,0)，又因为a ≠0,1≠0，所以ba ＝0，所以b ＝0，所以{a,0,1}＝{a 2，a,0}，所以a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，A ＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a ＝－1，即集合A ＝{－1,0,1}，此时a ＝－1，b ＝0，故a 2 018＋b 2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1. [答案] 1纠错心得解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到ba ＝0这一突破口，求出a ＝±1后，检验a ＝1时不满足互异性舍去.1.2 集合间的基本关系内容标准学科素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．数学抽象、直观想象数学运算能识别给定集合的子集．2.针对具体集合，利用集合包含关系求参数．3.在具体情境中了解空集的含义.授课提示：对应学生用书第4页[教材提炼]知识点一子集的定义预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(3)一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点二真子集预习教材，思考问题如果A⊆B，那么A与B有可能相等吗？知识梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B 的真子集(proper subset)，记作A B(或B A)．例如，A⊆B，但a∈B，且a∉A，所以集合A是集合B的真子集．知识点三空集的定义预习教材，思考问题方程x2＋1＝0的解集是什么？知识梳理空集及表示一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．知识点四子集的性质预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之间有什么关系？知识梳理(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)对于集合A、B、C，如果A B，且B C，那么A C.[自主检测]1．(教材P8练习2题改编)下列关系式正确的是()A．{0}⊆{0}B．{0}∈{0}C．0＝{0} D．0∉{0}答案：A2．下列集合中是空集的是()A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}答案：B3．集合{a、b}的非空真子集为________．答案：{a}，{b}4．用适当的符号填空：(1)a________{a，b，c}；(2)∅________{x∈R|x2＋7＝0}；(3){0}________(x|x2＝x)．答案：(1)∈(2)＝(3)授课提示：对应学生用书第4页探究一集合关系的判断 [例1] 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n 2－13，n ∈Z，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z.试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 关于集合N ：①当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z； ②当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m ＋12－13，m ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 从而，得M N .关于集合P ：①当p ＝2m (m ∈Z )时，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z； ②当p ＝2m －1(m ∈Z )时， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z . 从而，得N ＝P .综上，知M N ＝P .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．1．集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A BD ．BA解析：∵A ＝{－2,3}，B ＝{3}，∴B A . 答案：D2．已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞0}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( ) A ．A ＝B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案：C探究二子集、真子集及个数问题[例2] [教材P 8例1探究](1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0＜x ＜5}，则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．[答案] B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？[解析]子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？[解析]25＝32个．1．元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A中元素的个数集合A子集个数集合An∅0 1{a}1 2{a，b}2 4{a，b，c}38{a，b，c，d}416(2)①A的子集的个数有2n个．②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．2．求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为() A．－2B．4C．0 D．以上答案都不是解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.答案：C2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集个数为：23－2＝6.答案：B探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系．(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．[解析](1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{1 a}，由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.综上所述，实数a的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若A B，求a的取值范围．解析：由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：若A B，由图可知，a＞2.授课提示：对应学生用书第6页一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系►逻辑推理、数学抽象1．元素与集合、集合与集合的关系．“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．“⊆或”是两个集合之间的包含关系．2．0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．[典例]已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B 是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．[解析]因为B⊆A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x ＝1(舍)．当x ＋2＝x 2，即x ＝2或x ＝－1，若x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}，满足B ⊆A ；若x ＝－1时，A ＝{1,3,1}不满足互异性．综上，存在x ＝2使得B ⊆A . 此时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}．二、∅的呐喊——勿忘我►逻辑推理、直观想象[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，B ⊆A 显然成立，此时有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即⎩⎨⎧m ≥－3m ≤4，m ＞2，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为{m |m ≤4}． [答案] {m |m ≤4}纠错心得空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x |a ＜x ＜b }一类的集合，当a ≥b 时，它表示空集，解题中要十分注意．1.3集合的基本运算第一课时并集、交集内容标准学科素养1.理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集．数学抽象、数学运算直观想象 2.理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集．3.能使用Venn 图表达集合的并集、交集授课提示：对应学生用书第6页[教材提炼]知识点一并集预习教材，思考问题对于A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？知识梳理 (1)定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集(union set)，记作A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }，如图，可用Venn 图表示．(2)性质①A ∪B ＝B ∪A ； ②A ∪A ＝A ； ③A ∪∅＝∅∪A ＝A ；④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.知识点二交集预习教材，思考问题A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？知识梳理(1)定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B 的交集(intersection set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．(2)性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.[自主检测]1．(教材P10例1改编)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案：D2．(教材P10例2改编)已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∩Q ＝()A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}答案：A3．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：D4．(教材P12练习3题改编)设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝_________________________________________________________ 答案：{x|x是等腰直角三角形}授课提示：对应学生用书第7页探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝()A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}[解析]M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．[答案] A(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．[答案] A求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x 的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，即B⊆A.∴x2＝3，或x2＝x.当x2＝3时，得x＝±3，若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上知，x＝±3，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．答案：C2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．答案：{x|x＜－5或x＞－3}探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B＝{0,2}．[答案] A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．[答案] C(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[解析] 借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}． [答案] R {x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝R解析：由3－2x ＞0，得x ＜32，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，又因为A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32， A ∪B ＝{x |x ＜2}．答案：A2.已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ＜2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x ＜2}得，在－2≤x ＜2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素．答案：B探究三集合交、并集运算及应用[例3] 已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a (a ＞0)}． (1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． [解析] (1)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，观察数轴可知，⎩⎨⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2.(2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图．观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a ＞0，所以0＜a ≤23或a ≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观； (3)对于A ∩B ＝A 的情况要考虑到A 是否为∅的情况．1．本例条件下，若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值范围．解析：画出数轴如图．观察图形可知⎩⎨⎧a ＝3，3a ≥4，即a ＝3.2．若本例题变为：已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．解析：由a ＜a ＋8，又B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，在数轴上标出集合A ，B ，如图．∴⎩⎨⎧a ＋8≥5a ＜－1， ∴－3≤a ＜－1.授课提示：对应学生用书第8页一、并集元素个数何其多►直观想象、逻辑推理(1)“或”的理解：“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：①x ∈A 但x ∉B ；②x ∈B 但x ∉A ；③x ∈A 且x ∈B .(2)一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案] 8二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用►直观想象、逻辑推理[典例] 集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，画出数轴如图所示．由图可知，若A ∩B ＝∅，则 ⎩⎨⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .则a ＋3＜－1或a ＞5，即a ＜－4或a ＞5.纠错心得由于A 中含端点a 、a ＋3，而B 中不含端点－1及5.根据A ∩B ＝∅的含义，a ＝－1，a ＋3＝5时，也成立．而A ⊆B 时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．第二课时全集、补集内容标准学科素养1.在具体情境中，了解全集的含义．数学抽象数学运算直观想象 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3.能使用Venn 图表达补集的运算.授课提示：对应学生用书第8页[教材提炼]知识点一全集与补集预习教材，思考问题(1)方程(x －2)(x 2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？(2)集合{2}与集合{3，－3}之间有什么关系？知识梳理 (1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U .(2)补集对于一个集合A ，由全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，可用Venn 图表示．知识点二补集的性质预习教材，思考问题A∩∁U A＝________，A∪∁U A＝________.知识梳理(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.[自主检测]1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U答案：A2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁U M＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}答案：A3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∩B ＝________.答案：{c，d}4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.答案：2授课提示：对应学生用书第9页探究一补集的运算[例1](1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁U A＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}[解析]依题意，画出数轴，如图所示：观察数轴可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案] C(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有()A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M⊆N[解析]依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁U N.[答案] A(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B. [解析]因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁S A.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解析：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：由图知∁S A＝{x|x＜－1，或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图易知∁S A＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图知∁S A＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．探究二集合交、并、补的综合运算[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}． [答案] A(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52，所以(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52，所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52，＝{x |0＜x ＜2}．解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．1．在本例(2)的条件下，求(∁U A )∩(∁U P )．解析：画出数轴，如图所示：观察数轴可知，(∁U A )∩(∁U P )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2≤x ＜52. 2．将本例(2)中的集合P 改为{x |x ≤5}，且全集U ＝P ，A ，B 不变，求A ∪(∁U B )．解析：画出数轴，如图所示：∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜2，或3＜x ≤5} 探究三根据补集的运算求参数的值或范围[例3] 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . [解析] 因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 但5∉A ，所以m 2－m －1＝5，解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时，|3－2m |＝3≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}，满足∁U A ＝{5}；当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m ＝3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析：因为A ＝{x |x ≥－m }，所以∁U A ＝{x |x ＜－m }．又B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅，结合数轴(图略)分析可知－m ≤－2，即m ≥2，所以m 的取值范围是m ≥2.授课提示：对应学生用书第10页一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用►数学运算、逻辑推理 “正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[典例] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[解析] 当A ＝∅时不符合题意，∴A ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}U ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，因为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ＝{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围为m ≤－1.二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件►数学运算、逻辑推理 [典例] 设全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值．[解析] 由题意得a 2＋2a －3＝5，即a 2＋2a －8＝0， ∴a ＝－4或a ＝2，当a ＝2时，|2a －1|＝3∈S ，符合题意，当a ＝－4时，|2a －1|＝9∉S ，不符合题意，故a ＝2.纠错心得求一个集合A 的子集，首先A 是全集的子集，如本题当a ＝－4时A ＝{9,2}不是S 的子集，故求出a 值还需检验．1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件内容标准学科素养1.根据具体命题，明确条件与结论的关系．数学抽象、逻辑推理2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.授课提示：对应学生用书第11页[教材提炼]知识点充分条件与必要条件预习教材，思考问题下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．[自主检测]1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断答案：A2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)答案：充分3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)答案：必要授课提示：对应学生用书第11页。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

重难探究•能力素养全提升
探究点一一元二次不等式的求解
【例1】解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
解(1)方程 2x -3x-2=0 的解是
2
1
x1=-2,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
解原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,
即(ax-2)(x+1)≥0,
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当 a>0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≥0,解得
③当 a<0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≤0.
2
当 >-1,即

a<-2
2
时,解得-1≤x≤ ;

2
x≥或
关系?
提示一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系
数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
提示①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
所以原不等式的解集是 <
1
- 2 ,或
>2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.

高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册

3。

1。

2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。

掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。

(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。

3980.1210.050。

01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。

1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。

]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。

2021-2022学年人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式学案知识点考点汇总

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质 (1)第一课时不等关系与比较大小 (1)第二课时等式性质与不等式性质 (8)2.2基本不等式 (14)第一课时基本不等式 (14)第二课时基本不等式的应用(习题课) (22)2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (28)第一课时二次函数与一元二次方程、不等式 (28)第二课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课) (35)2.1等式性质与不等式性质新课程标准解读核心素养梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的逻辑推理性质第一课时不等关系与比较大小(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同．(2)任意两个实数之间有三种关系：a＞b，a＝b，a＜b.(3)同号两数的积为正值．[问题]通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？知识点一不等关系与不等式1．不等式的概念用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．1．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()A．v＜60B．v＞60C．v≤60 D．v≥36答案：C2．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．答案：10y＋x＞70知识点二实数大小比较的基本事实1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是．2．p⇔q的含义是什么？提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．1．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________．答案：m ≥n2．若实数a ＞b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“＞”或“＜”) 答案：＞[例408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式；(2)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] (1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x >408.故不等关系表示为72＋12x >408.(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量； (2)用适当的不等号连接； (3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[跟踪训练]1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 0002．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.[例2] (2－2x 的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． [解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0.即x 3－1<2x 2－2x .(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a ，又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；当a＝1时，（a－1）（a＋1）a＝0，有a＝1a；当0<a<1时，（a－1）（a＋1）a<0，有a<1a.综上，当a>1时，a>1a；当a＝1时，a＝1a；当0<a<1时，a<1a.作差法比较大小的步骤[注意]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．[跟踪训练]1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则()A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤b解析：选C a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即x3－2y3>xy2－2x2y.题型三不等关系的实际应用[例3]“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．[跟踪训练]某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产量最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．答案：20 330随堂检测1．下列说法正确的是( ) A ．x 为非正数可表示为“x ≥0”B ．小华的实际年龄n 不足18岁，表示为“n ≤18”C ．两数x ，y 的平方和不小于2，表示为“x 2＋y 2≥2”D ．甲数a 比乙数b 大，表示为“a ≥b ” 答案：C2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎨⎧x ≥95，y ≥380，z ＞45B.⎩⎨⎧x ≥95，y ＞380，z ≥45C.⎩⎨⎧x ＞95，y ＞380，z ＞45D.⎩⎨⎧x ≥95，y ＞380，z ＞45解析：选D “不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x ≥95，y ＞380，z ＞45.3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________．解析：令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，即(a －2)2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝24．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a ＞b 时，x －y ＞0，所以x ＞y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a ＜b 时，x －y ＜0，所以x ＜y .第二课时等式性质与不等式性质在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．[问题] 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？知识点一等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0那么a c ＝b c ．运用等式的基本性质3时，等式两边要同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意 (1) 对称性 a ＞b ⇔b ＜a 可逆 (2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c不可逆。

2020年秋【新教材】人教A版高中数学必修第一册数学教学计划

2020年秋【新教材】人教A版高中数学必修第一册数学教学计划【新教材】人教【新教材】人教A版高中数学必修第一册数学教学计划版高中数学必修第一册数学教学计划数学是一切自然科学的基础，没有数学，其他自然科学的发展也无从谈起，函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。

通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到陌生，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。

在现实生活中函数与方程都有着分重要的应用，因此本册的函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

一.教学指导思想一.教学指导思想这一学期,我将准确把握教学大纲的各项基本要求,严格遵守教师法,职业教育法,立足于基础知识和基本技能的教学,注重渗透数学思想和方法。

针对学生实际,研究职高学生的实际学习情况,不断研究数学教学,改进教法,指导学法,奠定立足社会所需要的必备的基础知识.基本技能和基本能力,着力于培养学生的创新精神,运用数学的意识和能力,奠定他们终身学习的基础。

我将严格遵守学校的各项规章制度.服从高一年级的安排,尽自己的最大努力,力争建设愉悦课堂,完成自己的教学工作。

二.学生情况分析二.学生情况分析本学期担任高一1班.高一2班的数学教学工作,通过对中考成绩的分析,我对这两个班的学习能力有了较好的认识,学习成绩参差不齐,有两极分化现象。

部分学生缺乏热情,学习习惯不好,学生学习动机不明确,这给教学工作带来了一定的难度,课堂上能听讲,但是课后不归纳总结,不做题,学习效率低。

另外,高中数学知识难度大,学生基础差,导致学生兴趣下降。

学生意志薄弱,耐挫力差。

许多学生意志不坚定,因此很多学生坚持性差,意志薄弱,一旦碰到困难便打退堂鼓,害怕去学.去动脑,长期下去,便产生厌学情绪。

三.教材分析三.教材分析1.教学要求1理解任意角的概念.弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算.2掌握任意角的正弦.余弦.正切的定义.并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦.余弦和正切;了解任意角的余切.正割.余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦.余弦的诱导公式.3掌握两角和与两角差的正弦.余弦.正切公式;掌握二倍角的正弦.余弦.正切公式;通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力4能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简.求值及恒等式证明包括引出半角.积化和差.和差化积公式,但不要求记忆.5会用与单位圆有关的三角函数线画正弦函数.正切函数的图象.并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象;了解周期函数与最小正周期的意义。

人教A版高中学案数学必修第一册精品课件第三章函数的概念与性质函数的概念-第2课时函数概念的应用

− > ,
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <

+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,

人教a版必修1学案：3.1.1方程的根与函数的零点(含答案)

第三章函数的应用 §3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点自主学习1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．理解函数的零点与方程根的关系． 3．掌握函数零点的存在性的判定方法．1．对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的________．2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的__________，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的__________．3．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有________⇔函数y ＝f (x )有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )________0，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )________0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．对点讲练求函数的零点【例1】求下列函数的零点：(1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1； (3)f (x )＝x 3－4x .规律方法求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．判断函数在某个区间内是否有零点【例2】 (1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞)(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．规律方法这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例3】若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不能说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上满足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．课时作业一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( ) A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点 B ．函数f (x )在(3,5)内无零点 C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点2．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2)3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 0075．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断二、填空题6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点答案自学导引1．零点2．实数根横坐标3．交点零点4．< ＝对点讲练【例1】解 (1)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)．所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1. (2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令f (x )＝0，即x 3－4x ＝0，∴x (x 2－4)＝0，即x (x ＋2)(x －2)＝0. 解得：x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 有3个零点，分别是－2,0,2. 变式迁移1 解 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 【例2】 (1)B (2)1解析 (1)∵f (1)＝－2<0， f (2)＝ln 2－1<0，∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，且f (2)·f (3)<0，故f (x )有且只有一个零点．变式迁移2 B [令f (x )＝x 2－3x ＋1，∴其对称轴为x ＝32，∴f (x )在(2,3)内单调递增，又∵f (2)·f (3)<0， ∴方程在区间(2,3)内仅有一个根．]【例3】解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图①(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图②若m >0，f (x )的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎤－∞，94. 课时作业 1．C2．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0， f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．]3．C [若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．]4．D [因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，又在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在 (－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．] 5．D [考查下列各种图象上面各种函数y ＝f (x )在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f (0)·f (4)>0， (2)中f (0)·f (4)<0，(3)中f (0)·f (4)＝0.] 6．2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．0，－12解析由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12，∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12.8．(1，＋∞)解析令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1.9．解 (1)方法一 ∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点．方法二令x 2－3x －18＝0，解得x ＝－3或x ＝6， ∴函数f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0， ∴f (－1)·f (2)<0.故f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0.故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．10．解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509，即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18.。

新课标人教A版高中数学必修1第一章第2节《函数的概念》学案

函数的概念※ 知识梳理 1.函数的概念：设A ，B 是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________数x ，在集合B 中都有________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .其中x 叫做______，x 的取值范围A 叫做函数y ＝f (x )的______；与x 的值相对应的y 值叫做_____，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数y ＝f (x )的______，则值域是集合B 的____． 2．常见函数的定义域和值域函数关系式图象定义域值域反比例函数y ＝kx(k ≠0)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)3．相等函数：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝xx 不是相等函数，因为____________．y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4．区间与无穷大：（1）区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ]这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．（2）实数集R 的区间表示：实数集R 可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．（3）无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b } (－∞，b ]{x |x <b }(－∞，b )※ 典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】1. 如图所示，能够作为函数y ＝f (x )的图象的有________．[答案] ①⑤ 解：根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x 轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.2. 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1 B ． A={(x ，y)|x ，y ∈R }，对任意的(x ，y)∈A ，(x,y)→x+y.C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：答案：D3. 下列各对函数中，是相等函数的序号是________.① f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ② f (x )＝22x 1)+（与g (x )＝|2x ＋1| ③ f (n )＝2n ＋1(n ∈Z )与g (n )＝2n －1(n ∈Z ) ④ f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 ⑤ y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1[答案] ②④4. 已知一个函数的解析式为2)(x x f =2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.【课堂练习1】1. 下列对应是否为A 到B 的函数：①A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y ＝|x|； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y ＝x ； ④A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x→y ＝0.答：(1)①③不是 ②④是2. 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【解】(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数，x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (3)同一函数．理由同(2)．【题型二】求函数定义域【例2】1. 求下列函数的定义域：①y ＝4－x ； ②y ＝1|x |－x ； ③y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9.[解析] (1)①4－x ≥0，即x ≤4，故函数的定义域为{x |x ≤4}．②分母|x |－x ≠0，即|x |≠x ，所以x ＜0.故函数的定义域为{x |x ＜0}．③解不等式组⎩⎨⎧ 5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5且x ≠3}．【课堂练习2】1. 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为(0，a2)．2. （2016年高考江苏卷）函数y =232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-3. 若函数86-)(2++=m mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 .4. 已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .【题型三】复合函数的定义域【例3】1. 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B. )21,1(--C. (－1,0)D. )1,21(解析：由题意知－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.答案：B2. 已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．【课堂练习3】1. 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，则f (x )的定义域是______________．[解析]因为f (2x ＋1)的定义域为(0，1)，即其中的函数自变量x 的取值范围是0<x <1，令t ＝2x ＋1，所以1<t <3，所以f (t )的定义域为{t |1<t <3}，所以函数f (x )的定义域为{x |1<x <3}．2. 已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求g(x)=f (2x )＋f (x ＋23)的定义域；解：解不等式组0212013x x ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，∴g(x) 的定义域是[0,13]. 【题型四】求函数的解析式【例4】1. 已知f (x )＝21xx+，求f (2x ＋1)；解析：f (2x ＋1)＝244122+++x x x .2. f (x ＋1)＝x ＋2x . 求f (x )的解析式；解：方法一：设u ＝x ＋1，则x ＝u －1(u ≥1)，∴f (u )＝(u －1)2＋2(u －1)＝u 2－1(u ≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二：∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，由于x ≥0，所以x ＋1≥1.∴ f (x )＝x 2－1(x ≥1)3. y ＝f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋8，求f (x )的解析式；解：由条件可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f [f (x )]＝9x ＋8，∴有a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8.比较系数可得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2；或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4.故f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4，4. f (x )＝2f (1x)·x －1，求f (x )的解析式；解：在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2()f x x－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.(x>0) 5. f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式.解：令x=0,y=-x,则f(x)=f(0)+x(0+x+1)=1+2xx +课堂小结：函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．（5）赋值法：赋x,y 特殊值，适用于解抽象函数。

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.4函数的应用(一)含解析

3.4函数的应用(一)【素养目标】1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)【学法解读】1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．必备知识·探新知基础知识知识点1一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.知识点2二次函数模型(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．知识点3幂函数型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．基础自测1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B)A．30元B．45元C．54元D．越高越好[解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450，所以当x ＝45时，日销售利润最大．2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]，150－50(x －72)，x ∈(72，132]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92时汽车距离A 地100千米．关键能力·攻重难题型探究题型一一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法求出k ，b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是( D )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)[解析] 因为90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是y ＝120t (t ≥0)．题型二二次函数模型例2 A ，B 两城相距100 km ，拟在两城之间距A 城x km 处建一发电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A 城供电20亿度，每月向B 城供电10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．[解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝1003时，y 取得最小值，y min ＝50 0003. 故发电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最小． [归纳提升] 二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百台)．(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．(2)利润函数G (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．题型三幂函数模型例 3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0)，结合已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)，令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则x ＝20－t 2，所以y ＝20－t 28＋t 2＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2时，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．[归纳提升] 幂函数模型有两个：y ＝kx n (k ，n 是常数)，y ＝a (1＋x )n (a ，n 是常数)，其中y ＝a (1＋x )n 也常常写作y ＝N (1＋p )x (N ，p 为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中，流量速率为400 cm 3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量速率R 的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)[解析] (1)由题意，得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400.所以k ＝40081，流量速率的解析式为R ＝40081r 4. (3)因为R ＝40081r 4，所以当r ＝5 cm 时，R ＝40081×54≈3 086(cm 3/s)．题型四分段函数模型例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的产量(单位：台)． (1)将利润f (x )(单位：元)表示为产量x 的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？[分析] (1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x ≤400和x >400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．[解析] (1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000；当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000.所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．[归纳提升] 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解析] (1)当甲户用水量不超过4 t ，即5x ≤4时，乙户用水量也不超过4 t ，y ＝(5x ＋3x )×3＝24x ；当甲户的用水量超过4 t 而乙户的用水量不超过4 t ，即5x >4且3x ≤4时，y ＝4×3＋3x ×3＋4×(5x －4)＝29x －4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t ，即3x >4时，y ＝4×3×2＋(5x －4)×4＋(3x －4)×4＝32x －8.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 24x ，0≤x ≤45，29x －4，45<x ≤43，32x －8，x >43.(2)由于函数y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)＝19.2<40. 当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)＝3423<40. 故x ∈(43，＋∞)．令32x －8＝40，解得x ＝1.5，所以5x ＝7.5，甲户用水量为7.5 t ，应付水费y 1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；3x ＝4.5，乙户用水量为4.5 t ，应付水费y 2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？[错解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 所以当x ＝52时，y max ＝1 125. [错因分析] 本题忽略了变量参数的实际意义x ∈N ＋.[正解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 因为x ∈N ＋，所以当x ＝2或x ＝3时，y max ＝1 120.当x ＝2时，需租出客床80张；当x ＝3时，需租出客床70张．因为x ＝3时的投资小于x ＝2时的投资，所以取x ＝3，此时2x ＝6.即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．[方法点拨] 解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．学科素养数学建模——函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.29a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b (1－c )＋c ＝1.2b 2(1－c )＋c ＝1.3，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1.2－b 1－b c ＝1.3－b 21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0.5c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8. 所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．课堂检测·固双基1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(D)A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套[解析]设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(D)A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二[解析]由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3 m B．4 mC ．6 mD ．12 m[解析] 设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x )，则矩形的面积为 S ＝14(24－2x )x ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析] 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.。

人教A版高中学案数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式第1课时不等关系与实数的大小比较

2.已知 > 1,且 = + 1 − , = − − 1,则, 之间的大小关系是() C
A. > B. =
C. < D., 的关系随而定
[解析]由题设,易知, >

,又

=
+−
− −
=
+ −
++
< ,∴ < .故选C.
2.方法归纳:作差法、作商法.
3.常见误区:只有两个同号的数或式子才能用作商法比较大小.
不小于0”的性质,这是作差后判断符号常用的方法.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一用不等式（组）表示不等关系
【例1】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、
宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm3 ,设携带品外部尺寸的长、宽、高
分别为,,(单位：cm),则这个规定用数学关系式可表示为() C
名师点睛
（1）比较代数式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但
此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因
式分解、有理化、通分等）,直到能明显看出其正负号为止；（3）如果两个数或式子
同号,也可以考虑用作商法.
过关自诊
1.若 > ,则 2 + 1与3 − 的大小关系是() A
规律方法
作差法比较大小的步骤
变式训练2已知 > > 1 > > 0, =
1+
,

=
1+
,

=
1+
,则必有()

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集．注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点．实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．知识点四同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值．解由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三已知自变量的值求函数值例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值．解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四求函数的值域例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第2章一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质

<
1
2
(-)
.
变式探究在例

4 条件不变的情况下,求证:
-
证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.
1
∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴0<
-

又 e<0,∴ > .
-
-
<
1
.
-
>

.
-
规律方法
1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通
过对不等式变形得证.
课程标准
1.会用不等式组表示不等关系.
2.能够用作差法比较两个数或式的大小.
3.掌握等式的性质.
4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没
有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;
(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一;
(3)待比较的量中涉及特殊的数集要标明.
变式训练1 [北师大版教材习题]有如图所示的两种广告牌:图①由两个等
小.
2.[北师大版教材习题]试比较下面各组中两式的大小:
(1)(x-2)2与(x-1)(x-3);
解 (x-2)2-(x-1)(x-3)=(x2-4x+4)-(x2-4x+3)=1>0.
因此,(x-2)2>(x-1)(x-3).