集合的含义及其表示讲义

海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1. 使学生初步理解集合的基本概念；2. 了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性；3. 了解有限集、无限集、空集概念。

重难点导航1. 集合概念、性质；“∈”，“ ”的使用；2. 集合概念的理解.教学简案：集合的概念及其表示知能点一：集合与元素的概念知能点二：集合中元素的特性知能点三：元素与集合的关系知能点四：集合的分类知能点五：常用数集的关系及记法知能点六：集合的表示方法授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：1. 已知集合2{10}A x ax ax =-+=，如果集合A 中只有一个元素，则a 的值为_______;如果A =∅，则a 的取值表示成集合为____________集合的概念及其表示知能点一：集合与元素的概念Ⅰ描述性定义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对象称为该集合的元素，简称元。

Ⅱ集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

例如对于集合{}0x R x ∈≥，就是指所有不小于0的实数，而不是指“x 是不小于0的一个实数或某些实数”，也不是指“x 是不小于0的任一实数值”等。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

知能点二：集合中元素的特性Ⅰ确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．例1：能够组成集合的是（ ） A ．与2非常接近的全体实数； B ．很著名的科学家的全体； C ．某教室内的全体桌子； D ．与无理数π相差很小的数 及时演练：1、把下列各组中能构成集合的组的序号填在横线上 。

①所有的好人；②不超过20的非负数；③深中高三年级一班16岁以下的学生；④直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；⑤高个子的人；⑥无限接近于3的实数；⑦比较小的正整数的全体；⑧正三角形的全体；⑨平面到点O 的距离等于一的点的全体。

2、下列条件，能构成集合的是（ ）A 、著名的数学家B 、视力差的人C 、漂亮的鲜花D 、翠园中学99届高中毕业生Ⅱ互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。

Ⅲ无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

例 2：已知{}22,25,10A a a a =-+，且3A -∈，求a 。

及时演练：1、集合{}23,,2x x x -中，x 应满足的条件是 。

2、已知{}21,0,x x ∈，则实数x 的值为 。

3、已知集合(){}222,1,33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 的值为 。

4、已知22,a A a a A ∈-∈，若集合A 含两个元素，则实数a 应满足的条件为 。

5、由实数323,,,,x x x x x --组成的集合，则该集合中元素个数最多可以有 个。

6、设a 、b 、c 为非零实数，则a b c abc M a b c abc=+++的所有值组成的集合为： 。

知能点三：元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 特别提醒：1、“属于”号∈与“不属于”号∉，使用时不可反过来写！“A －6”与“A 8”的写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性，a A ∈或a A ∉，这两种情况必有一种成立；3、集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。

如：集合{}1A =相对于集合{}{}{}{}1,2,3B =而言，A 是B 的一个元素；元素与集合之间不存在大小与相等的关系，如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。

4、符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系，如：{}1∈{}1,2的写法是错误的，而{}{}{}{}11,2∈的写法是正确的。

知能点四：集合的分类Ⅰ按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。

（1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．空集是个特殊的集合，空集归入有限集。

如：}01|{2=+∈x R x 。

Ⅱ按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为： （1）单元素集：只含一个元素的集合；如{}0，{}∅。

（4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。

如：方程220x x --=的解集是：{}1,2-。

知能点五：常用数集的关系及记法()0()R ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎭⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩*正整数自然数整数有理数集实数集负整数分数:指有限小数和无限循环小数. 无理数:指无限不循环小数.N N (Z)(Q) 例 3：用符号∈和∉填空：1、2- N ，2 Q ， 0 N +， 5- R ， 12- Q ，12- R 。

2、已知集合{}33A x N x =∈-≤≤，则0 A ，3 A ，1 A ，1- A 。

3、设集合{}{}2,,21,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==+∈。

若,a A b B ∈∈，则a b + A ，a b + B 。

及时演练：1、设集合{}210A x N x =∈+>，则2 A ，π A ，1- A ，0 A 。

2、设集合{}210A x x =-=，则1- A ，1 A 。

3、设集合{}25,A x x x N *=-≤≤∈，1- A ，0 A ，1.5 A ，3 A 。

知能点六：集合的表示方法Ⅰ列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考虑元素顺序；4、适用于表示元素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。

如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}例 4：用列举法表示下列集合（1）{}2A x Z x =∈≤； （2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈及时演练：用列举法表示下列集合1、方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为 。

2、方程220x -=的所有实数根组成的集合为 。

3、由大于10小于20的所有整数组成的集合为 。

4、满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。

5、集合{},5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为 。

Ⅱ描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

①格式：(){}x A P x ∈；②含义：它表示集合由具有性质()P x 的所有元素构成的。

其中x 为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I 表明了x 的范围；()P x 为该集合中元素所具有的特征。

如：不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 。

特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。

7、错误表示法：R ={实数集}或R ={全体实数}；正确的表示方法为：{}R =实数 及时演练：1、认真理解和体会下列集合的真正含义，并用列举法把下列集合的所有元素表示出来： （1）66A x NN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （2）66B N x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭； （3）{}24,,C y y x x N y N ==-+∈∈； （4）(){}2,4,,D x y y xx N y N ==-+∈∈；（5）,5,,pE xx p q p N q N q ⎧⎫==+=∈∈⎨⎬⎩⎭。

2、用另一种方法表示下列集合：（1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭= 。

（2）{}3绝对值不大于的整数= 。

（3）{}310能被整除，且小于的正数= 。

Ⅲ韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

如：集合{}1234，，，可用韦恩图表示为：知能点拓展例 6：若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的。

已知集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,3,16,25,M =，则M 对下列运算封闭的是（ ）A 、加法B 、减法C 、乘法D 、除法 及时演练：1、定义集合运算：(){},,A B z z xy x y x A y B -==+∈∈，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则用列举法表示A B -= 。

2、已知集合{}{}1,2,3,2,4A B ==定义集合A 、B 间的运算{},A B x x A x B *=∈∉且，则用列举法表示A B *= 。

3、定义集合{},,A B x x a b a A b B *==-∈∈，若{}{}1,3,5,1,2,3A B ==，则A B *= 。

4、集合{}0,1,2,3,5A =，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中的孤立元素的个数为： 个。

课堂练习： 1. 用"",""∈∉填空(1) 1___Z -； 0.817___Q ； ___R π (2) 2{0}A x x x =-=，则1___A ，1___A -(3) {13}B x x =-<≤，则0___B ，3___B ,1___B -2. 用列举法表示下列集合：（1）{05,}a a a N ≤<∈ ____________________（2）“mathematics ”中字母构成的集合 ____________________（3）方程2280x x --=的实数根的集合 ____________________（4）直线y x =与抛物线2y x =的交点的集合__________________ 3. 说出下列集合的含义,并用列举法表示： 4321(2) 22{(,)4,,}x y x y x N y N +=∈∈ （4）{(,)0,1}x y x y y x +==-且4. 下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 5．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q6．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 7．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．8．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 9．用符号∈或∉填空：①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 10．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 11．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．12．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．13．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 14．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}75,64,53,42,31{______________________________________________________． 15．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______．16. 已知集合2{10}A x ax ax =-+=，如果集合A 中只有一个元素，则a 的值为_______;如果A =∅，则a 的取值表示成集合为____________17. 集合2{1,,}A x x x =-中，x 不能取哪些数？如果2A ∈，x 值为多少？18. 已知集合{33,}A a a a Z =-≤<∈，若函数21y x =+中x A ∈，求函数值y 的取值集合.19. 对于各含有2个元素的集合,A B ，其中{,},{,},A a b B c d ==定义运算A B *还是一个含有2个元素的集合，{,}A B ac bd ad bc *=-+，那么{0,1}{0,1}*=________20．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．21．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a∈-11． (1)若2∈A ，求A ；(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a∈-11．22．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．23．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2014•武汉）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}海豚教育1对1出门考（_______年______月______日 周_____）学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第______________ 1. 下列正确的是（ ）.A. *0N ∈B.R ∉π C. Q ∉1 D. Z ∈0 2. 方程组⎩⎨⎧=-=+31y x y x 的解集是（ ）A. {}1,2-==y xB. {}1,2-C.(){}1,2-D.()2,1-3. 已知集合S={}c b a ,,中的三个元素分别是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 给出命题①{}d c b a ,,,与{}a b d c ,,,是两个不同的集合；②方程()()0212=--x x 的解集为{}2,1,1；③全体高个子中国人构成一个集合。