六年级下(仁华课本)7

第七讲整数的分拆

整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和

n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.

一、整数分拆中的计数问题

例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？

解：根据分拆的项数分别讨论如下：

①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；

②把6分拆成两个自然数之和有3种方式

6=5+1=4+2=3+3；

③把6分拆成3个自然数之和有3种方式

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；

④把6分拆成4个自然数之和有2种方式

6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；

⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式

6=2+1+1＋1＋1；

⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式

6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有

1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.

说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.

例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？

解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：

1994=1993+1=1＋1993

=1992+2=2＋1992

=…

=998＋996=996+998

=997+997

因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.

解法2：构造加法算式：

于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.

说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中

例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）

分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.

解：构造加法算式

于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，

把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.

说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序

科奥林匹克数学竞赛第10题）.

例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试第4题）

分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？

解：按5分硬币的个数分21类计数；

假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；

假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；

假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；

…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：

1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51

=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51

=90＋400＋51

=541（种）.

说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.

上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.

二、整数分拆中的最值问题

在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.

例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.

解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：

14=1＋13，1×13＝13；

14=2+12，2×12=24；

14=3＋11，3×11=33；

14=4＋10，4×10=40；

14=5＋9，5×9=45；

14=6+8，6×8=48；

14=7+7，7×7=49.

因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.

说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.

换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，

例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.

分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.

解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.