2020高考北师大版理科数学-单元质检卷十二 概率(A)
高中数学试题含答案-单元质检卷十 概率
单元质检卷十概率(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京人大附中高三三模)为了解某年级400名女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试,她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为9.4秒)的人数为()A.150B.250C.200D.502.(2020江西九江高三模拟)某学校在校学生2 000人,为了学生的“德、智、体”全面发展,学校举行了跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:其中a∶b∶c=2∶5∶3,全校参与登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取()A.15人B.30人C.40人D.45人3.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为()A.3B.2.1C.0.3D.0.214.有朋自远方来,他乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,他乘坐上述四种交通工具迟到的概率依次分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为()A.0.65B.0.075C.0.145D.05.8张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5、6、7、8,从中随机取出2张,记事件A=“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,事件B=“所取2张卡片上的数字之和小于9”,则P(B|A)=()A.16B.13C.12D.236.(2020湖北襄阳高三检测)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为23,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是()A.49B.1927C.1127D.40817.写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×65,将被乘数89计入上行,乘数65计入右行.然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5785.类比此法画出648×345的表格,若从表内(表周边数据不算在内)任取一数,则恰取到奇数的概率是()A.518B.13C.1318D.238.某人射击一发子弹的命中率为0.8,现他射击19发子弹,理论和实践都表明,这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率f(n)如下表,那么在他射击完19发子弹后,其中击中目标的子弹数最大可能是()A.14发B.15发C.16发D.15或16发二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件10.(2020江苏南京师大附中高三期中)某教师退休前后各类支出情况如下,已知退休前工资收入为8 000元/月,退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1 500元,则下面结论中正确的是()A.该教师退休前每月储蓄支出2 400元B.该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C.该教师退休后工资收入为6 000元/月D.该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少11.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是()附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.A.若红玫瑰日销售量范围在[μ-30,280]的概率是0.683,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在[280,320]的概率约为0.341 512.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论,其中正确的命题有()A.从中任取3球,恰有一个白球的概率是35B.从中有放回地取球6次,每次任取一球,恰好有两次白球的概率为80243C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为25D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为2627三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020江西南昌模拟)辊子是客家传统农具,南方农民犁开田地后,仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴,两侧装上木板,人跨开两脚站立,既能掌握平衡,又能增加重量,让牛拉动辊轴前进,压碎土块,以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度,即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片,则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为. 14.随机变量ξ的分布列如下表:若E(ξ)=0,则D(ξ)=.15.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为 . 16.抛一枚质地均匀的硬币,正、反面出现的概率都是12,反复这样的抛掷,数列{a n }定义如下:a n ={1(第n 次抛掷出现正面),-1(第n 次抛掷出现反面),若S n =a 1+a 2+…+a n (n ∈N +),则事件“S 8=2”的概率为 ;事件“S 2≠0且S 8=2”的概率为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于4,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则奖励饮料一瓶. (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率.(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.18.(12分)(2020湖南永州高三月考)某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围,制定施行“光盘行动”有关政策,为进一步了解此项政策对市民的影响程度,市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查,其中男士与女士的人数之比为3∶2,男士中有10人表示政策无效,女士中有25人表示政策有效.(1)根据下列2×2列联表写出a 和b 的值,并判断能否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”;(2)从被调查的市民中,采取分层抽样方法抽取10名市民,再从这10名市民中任意抽取4名,对政策的有效性进行调研分析,设随机变量X 表示抽取到的4名市民中女士的人数,求X 的分布列及数学期望.参考公式:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )(n=a+b+c+d ).19.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B 组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A 组的客户,“☉”表示B 组的客户.注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A ,B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ,n ,根据图中数据,试比较m ,n 的大小(结论不要求证明);(2)从A ,B 两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A 组的客户的概率;(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”,从A ,B 两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E (ξ).20.(12分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望.(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元.①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.21.(12分) 某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及数学期望;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.22.(12分)某市为了制定扶贫战略,统计了全市1 000户农村贫困家庭的年纯收入,并绘制了如下频率分布直方图:(1)若这1 000户家庭中,家庭年纯收入不低于5千元,且不超过7千元的户数为40户,请补全频率分布图,并求出这1 000户家庭的年纯收入的平均值x(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为这1 000户的家庭年纯收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年纯收入的平均值x,σ2近似为样本方差,经计算知σ2=9.26;设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为x千元(即家庭年纯收入不低于x千元,则该户家庭实现脱贫,否则未能脱贫),若根据此正态分布估计,这1 000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,试求该市的脱贫标准x;(3)若该市为了加大扶贫力度,拟投入一笔资金,帮助未脱贫家庭脱贫,脱贫家庭巩固脱贫成果,真正做到“全面小康路上一个也不能少”,方案如下:对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元,对家庭年纯收入超过5.92千元,但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元,对家庭年纯收入超过8.96千元,但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元,对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持,设Y为每户家庭获得的扶持资金,求E(Y)(结果精确到0.001).附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,√9.26≈3.04.参考答案单元质检卷十概率1.B由茎叶图可知,成绩在9.4秒以内的都为合格,即合格率为P=58,故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为400×58=250.2.D 全校参与登山的人数是2 000×14=500,所以参与跑步的人数是1 500,应抽取1 5002 000×200×32+5+3=150×310=45(人). 3.B ∵x~N (90,σ2),且P (x<70)=0.2,∴P (x>110)=0.2,∴P (90≤x ≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B (10,0.3),X 的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B .4.C 设事件A 1为“他乘火车来”,A 2为“他乘船来”,A 3为“他乘汽车来”,A 4为“他乘飞机来”,B 为“他迟到”.易见A 1,A 2,A 3,A 4构成一个完备事件组,由全概率公式得P (B )=∑i=14P (A i )P (B|A i )=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.145.5.C 事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”,以(a ,b )为一个样本点,则事件AB 包含的样本点有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个,由古典概型的概率公式可得P (AB )=6C 82=314,事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,则所取的两个数全是奇数或全是偶数,由古典概型的概率公式可得P (A )=2C 42C 82=37,因此,P (B|A )=P (AB )P (A )=314×73=12,故选C .6.B 最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜,其概率为13;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为23×13=29;第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜(23)2×13=427.故最后乙队获胜的概率P=13+29+427=1927.7.A 根据题意,结合范例画出648×345的表格,从表格中可以看出,共有18个数,其中奇数有5个,所以从表内任取一数,恰取到奇数的概率为P=518.8.D 根据题意,设第k 发子弹击中目标的概率最大,而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率P (n=k )=C 19k·0.8k ·0.219-k (k=0,1,2,…,19),则有f (k )≥f (k+1)且f (k )≥f (k-1),即{C 19k ·0.8k ·0.219-k ≥C 19k+1·0.8k+1·0.218-k ,C 19k ·0.8k ·0.219-k ≥C 19k -1·0.8k -1·0.220-k ,可解得15≤k ≤16,即第15或16发子弹击中目标的可能性最大,则他射完19发子弹后,击中目标的子弹数最可能是15或16发.9.BD 易见A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件,故D 正确,P (B|A 1)=511,故B 正确,P (B )=P (BA 1)+P (BA 2)+P (BA 3)=510×511+210×411+310×411=922,故A 不正确,事件B 与事件A 1不相互独立,故C 不正确,故选BD .10.ACD 因为退休前工资收入为8 000元/月,每月储蓄的金额占30%,则该教师退休前每月储蓄支出8 000×30%=2 400(元),故A 正确;因为退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1 500元,则该教师退休后每月储蓄的金额为900元,所以该教师退休后工资收入为90015%=6 000(元/月),故C 正确; 该教师退休前的旅行支出为8 000×5%=400(元),退休后的旅行支出为6 000×15%=900(元),所以该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍,故B 错误; 该教师退休前的其他支出为8 000×20%=1 600(元),退休后的其他支出为6 000×25%=1 500(元),所以该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少,故D 正确.11.ACD 对于选项A,μ+30=280,μ=250,正确;对于选项B,C,利用σ越小越集中,30小于40,B 不正确,C 正确;对于选项D,由于白玫瑰的日销量X 服从正态分布N (280,402),所以P (280≤X ≤320)≈0.683×12=0.341 5,正确.12.ABD 选项A,从中任取3球,恰有一个白球的概率是C 42C 21C 63=35,故正确;选项B,从中有放回的取球6次,每次任取一球,每次抽到白球的概率为26=13,则恰好有两次白球的概率为C 62×(23)4×(13)2=80243,故正确;选项C,现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为C 41C 31C 41C 51=35,故错误;选项D,从中有放回的取球3次,每次任取一球,每次抽到红球的概率为46=23,则至少有一次取到红球的概率为1-C 3×(13)3=2627,故正确.13.16 记布施,持戒,忍辱,精进,禅定,般若分别为a ,b ,c ,d ,e ,f ,则样本点有(a ,a ),(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,e ),(a ,f ),(b ,a ),(b ,b ),(b ,c ),(b ,d ),(b ,e ),(b ,f ),(c ,a ),(c ,b ),(c ,c ),(c ,d ),(c ,e ),(c ,f ),(d ,a ),(d ,b ),(d ,c ),(d ,d ),(d ,e ),(d ,f ),(e ,a ),(e ,b ),(e ,c ),(e ,d ),(e ,e ),(e ,f ),(f ,a ),(f ,b ),(f ,c ),(f ,d ),(f ,e ),(f ,f ),共36个,其中符合条件的有6个,故所求概率P=636=16.14.12 ∵E (ξ)=0,由表中数据可知E (ξ)=(-1)×14+0×a+1×b=0,解得b=14.又14+a+b=1,∴a=12.所以D (ξ)=(-1-0)2×14+0×12+(1-0)2×14=12.15.47250 因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250.三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250. 16.732 13128事件S 8=2表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次.其概率P=C 85125×123=732.事件“S 2≠0,S 8=2”表示前两次全正或全负,则概率为C 63128+C 65128=13128.17.解 (1)样本点总数有16个,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),记“获得飞机玩具”为事件A ,则事件A 包含的样本点有3个,分别为(2,3),(3,2),(3,3),∴每对亲子获得飞机玩具的概率p=316.(2)记“获得汽车玩具”为事件B ,“获得饮料”为事件C ,事件B 包含的样本点有6个,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),∴每对亲子获得汽车玩具的概率P (B )=616=38,每对亲子获得饮料的概率P (C )=1-P (A )-P (B )=716,∴每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率.18.解(1)由题意知,男士人数为100×35=60,女士人数为100×25=40,由此填写2×2列联表如下:可知a=50,b=15.由表中数据,计算χ2=100×(50×15-25×10)260×40×75×25=5.556<6.635.所以没有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”.(2)从被调查的该餐饮机构的市民中,利用分层抽样抽取10名市民, 男士抽取6人,女士抽取4人,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,P (X=0)=C 64C 104=114,P (X=1)=C 41C 63C 104=821,P (X=2)=C 42C 62C 104=37,P (X=3)=C 43C 61C 104=435,P (X=4)=C 44C 104=1210.所以X 的分布列为数学期望为E (X )=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85.19.解 (1)m<n.(2)设“从抽取的20位客户中任意抽取2位,至少有一位是A 组的客户”为事件M ,则P (M )=C 101C 101+C 102C 202=2938.所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938.(3)依题意ξ的可能取值为0,1,2. 则P (ξ=0)=C 91C 81C 101C 101=1825; P (ξ=1)=C 11C 81+C 91C 21C 101C 101=1350;P (ξ=2)=C 11C 21C 101C 101=150.所以随机变量ξ的分布列为所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)=0×1825+1×1350+2×150=310,即E (ξ)=310. 20.解 (1)由题意可知,X 的可能取值为0.9a ,0.8a ,0.7a ,a ,1.1a ,1.3a , 由统计数据可知:P (X=0.9a )=15,P (X=0.8a )=110,P (X=0.7a )=110,P (X=a )=310,P (X=1.1a )=15,P (X=1.3a )=110,∴X 的分布列为∴E (X )=0.9a ×15+0.8a ×110+0.7a ×110+a ×310+1.1a ×15+1.3a ×110=9.810a=931. (2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C 3031001-3103+C 3131011-3102=0.784. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y 的可能取值为-5 000,10000,P (Y=-5 000)=310,P (Y=10 000)=710,∴Y 的分布列为E (Y )=-5 000×310+10 000×710=5 500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E (Y )=550 000(元)=55(万元).21.解 (1)小张在这次活动中获得的奖金数X 的所有可能取值为100,200,300.P (X=300)=C 33C 63=120,P (X=200)=C 31C 21C 11C 63=620=310,P (X=100)=C 32C 31+C 22C 41C 63=9+420=1320,或P (X=100)=1-P (X=200)-P (X=300)=1320所以奖金数X 的概率分布列为奖金数X 的数学期望E (X )=100×1320+200×310+300×120=140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y ,则Y~B 3,310,所以P (Y=k )=C 3k 310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A ,则P (A )=P (Y=2)+P (Y=3)=C 32×3102×710+C 33×3103=27125.则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27 125.22.解(1)家庭年纯收入不低于5千元且不超过7千元的频率为401000=0.04,纵坐标为0.02;家庭年纯收入不低于15千元,但不超过17千元的家庭频率为1-2×(0.02+0.05+0.12+0.16+0.06+0.04)=0.1,纵坐标为0.05,补全频率分布直方图如下图:这1 000户家庭的年纯收入的平均值为x=6×0.04+8×0.1+10×0.24+12×0.32+14×0.12+16×0.1+18×0.08=12.(2)1 000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,则未脱贫概率为1-841.351000=0.158 65,设该市的脱贫标准为x,则P(x≤X≤2μ-x)≈1-0.158 65×2=0.683,根据P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,得脱贫标准x=μ-σ=12-√9.26≈12-3.04=8.96.(3)∵μ=12,σ=√9.26=3.04,∴μ-2σ=5.92,μ-σ=8.96,μ+σ=15.04,家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为P(X<5.92)=P(X<μ-2σ)≈1-0.9542=0.022 3,家庭年纯收入超过5.92千元,但不超过8.96千元的家庭频率为P(5.92≤X≤8.96)=P(μ-2σ≤x≤μ-σ)≈0.954-0.6832=0.135 5,家庭年纯收入超过8.96千元,但不超过15.04千元的家庭频率为P(8.96≤X≤15.04)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.家庭年纯收入超过15.04千元的家庭频率为P(X>15.04)=P(X>μ+σ)≈1-0.6832=0.158 5,则每户家庭获得的扶持资金Y的数学期望E(Y)=15×0.022 3+12×0.135 5+8×0.683+0×0.158 5≈7.425.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：12.1 随机事件的概率 .pdf
知识梳理 考点自诊
-2-
1.事件的分类
可能发生也可能不发生
知识梳理 考点自诊
-3-
2.频率与概率
(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是
否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 频 数 ,
称事件A出现的比例
为事件A出现的 频 率 .
考点1
考点2
考点3
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对点训练1(2018河北石家庄模拟,7)“辽宁舰”是中国人民解放军 海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲 板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为 “成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二 条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞 的概率约为5%.现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四 条拦阻索挂住的次数约为( B )
A.5 B.3 C.1 D.4 解析:由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-
62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.
考点1
考点2
考点3
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随机事件的频率与概率 例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
件的概率公式知C正确.
4.(2018陕西榆林模拟,4)一箱产品中有一、二等品和次品,现从中
随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事
件C={抽到次品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.3,则事件“抽到的产品不
是次品”的概率为 ( A )
【33份】2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷
【33份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习单元质检卷目录单元质检卷一集合与常用逻辑用语 (4)(时间:45分钟满分:100分) (4)单元质检卷一集合与常用逻辑用语 (8)(时间:45分钟满分:100分) (8)单元质检卷二函数 (12)(时间:100分钟满分:150分) (12)单元质检卷二函数 (21)(时间:100分钟满分:150分) (21)单元质检卷二函数 (31)(时间:100分钟满分:150分) (31)单元质检卷三导数及其应用 (40)(时间:100分钟满分:150分) (40)单元质检卷三导数及其应用 (51)(时间:100分钟满分:150分) (51)单元质检卷四三角函数、解三角形(A) (62)(时间:45分钟满分:100分) (62)单元质检卷四三角函数、解三角形(A) (68)(时间:45分钟满分:100分) (68)单元质检卷四三角函数、解三角形(B) (72)(时间:45分钟满分:100分) (72)单元质检卷四三角函数、解三角形(B) (78)(时间:45分钟满分:100分) (78)单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入 (84)(时间:45分钟满分:100分) (84)单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入 (90)(时间:45分钟满分:100分) (90)单元质检卷六数列(A) (96)(时间:45分钟满分:100分) (96)单元质检卷六数列(A) (100)(时间:45分钟满分:100分) (100)单元质检卷六数列(B) (105)(时间:45分钟满分:100分) (105)单元质检卷六数列(B) (110)(时间:45分钟满分:100分) (110)单元质检卷七不等式、推理与证明 (114)(时间:45分钟满分:100分) (114)单元质检卷七不等式、推理与证明 (120)(时间:45分钟满分:100分) (120)单元质检卷八立体几何(A) (127)(时间:45分钟满分:100分) (127)单元质检卷八立体几何(A) (135)(时间:45分钟满分:100分) (135)单元质检卷八立体几何(B) (144)(时间:45分钟满分:100分) (144)单元质检卷八立体几何(B) (153)(时间:45分钟满分:100分) (153)单元质检卷九解+析几何 (161)(时间:100分钟满分:150分) (161)单元质检卷九解+析几何 (172)(时间:100分钟满分:150分) (173)单元质检卷十算法初步、统计与统计案例 (184)(时间:45分钟满分:100分) (184)单元质检卷十算法初步、统计与统计案例 (192)(时间:45分钟满分:100分) (192)单元质检卷十一计数原理 (200)(时间:45分钟满分:100分) (200)单元质检卷十一计数原理 (204)(时间:45分钟满分:100分) (204)单元质检卷十二概率(A) (208)(时间:45分钟满分:100分) (208)单元质检卷十二概率(A) (216)(时间:45分钟满分:100分) (216)单元质检卷十二概率(B) (223)(时间:45分钟满分:100分) (223)单元质检卷十二概率(B) (229)(时间:45分钟满分:100分) (229)2019年5月单元质检卷一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018河北衡水中学押题二,1)设集合A={x|-2<x<3,x∈Z},B={-2,-1,0,1,2,3},则集合A∩B为()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3}2.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=3.(2018湖南长郡中学一模,5)“|x-2|≤5”是“-3≤x≤7”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则()A.p:存在x0∈A,2x0∈BB.p:存在x0?A,2x0∈BC.p:存在x0∈A,2x0?BD.p:任意x?A,2x?B5.( 2018河北石家庄一模,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},则?U A=()A.{1,2}B.{3,4,5,6,7}C.{1,3,4,7}D.{1,4,7}6.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列结论不一定成立的是()A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<07.下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d8.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,则集合A∩(?U B)=()A.[-2,4)B.(-1,3]C.[-2,-1]D.[-1,3]9.(2018湖南名校联考,4)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题为真C.命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”D.“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.311.已知命题p:存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(q)C.(p)且qD.(p)且(q)12.(2018湖南长郡中学四模,7)已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.[-1,1]。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：七 不等式、推理与证明 Word版含解析
能力为 4,乙的观察能力优于创造力,故 B 错.甲的六大能力总和为 25,乙的六大能力总和为 24,故甲的
六大能力整体水平优于乙,故 C 正确.甲的六大能力中,推理能力为 3,为最差能力,故 D 错.综上,故选 C.
13.F+V-E=2 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得 F+V-E=2.
B. ������ ������ <
-
或�����<2}
D.{x|x<-3 或 x>2}
3.下面四个推理中,属于演绎推理的是( )
A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则 72 015 的末两位数字为 43
B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数
������ ·8=20,当且仅当 ������ = (x>0),即 x=80
时等号成立,故选 B.
{ ������ - ������ + 1 ≥ 0,
11.D 实数 x,y 满足约束条件 2������ + ������ - ������ ≥ 0,的可行域如图阴影部分所示. 2������ - ������ - 4 ≤ 0,
4.D 对于 A:不能保证 x>0.
对于 B:不能保证 sin x=1; 对于 C:不能保证 ������2 + 2=1;
4
4
4
4
对于 D:∵x>1,∴y=x+ -3=x-1+ -2≥2
������ - 1
������ - 1
概率—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷(A卷)(含解析)
（6）概率—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量X 服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.，，，，2.某学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X 表示选到高二（1）班的候选人的人数，则( )4.若，则取得最大值时，( )A.4或5B.5或6C.10D.55.一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床每天加工的零件数X （单位：件）均服从正态分布.假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率为( )6.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )7.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.若，，，则的值是9:15%~(,)X B n p 2EX = 1.6DX =4n =p =6=p =8=p =10=15p =()E X =~(10,0.5)X B ()P X k =k =2(30,)N σ(2535)0.5P X <≤=2%1,2,3,4n =aX b η=+()1E η=()11D η=a b +( )A.1或2B.0或2C.2或3D.0或38.1654年，法国贵族德梅雷骑士偶遇数学家布莱兹・帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是( )A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次机会用完为止.设学生1次发球成功的概率为，发球次数为X .若X 的数学期望，则p 的取值可能是( )10.李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则( )A.B.C.李明计划前到校，应选择坐公交车D.李明计划前到校，应选择骑自行车11.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n 关，.假定每次闯关互不影响，则( )(32)(32)P X P Y >>>7:34⋅(01)p p <<1.75EX >7:00(36)(36)P X P Y ≤=≤7:402n n +1,2,3,4n =“至少出现一个5点”，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X （单位：克），如果，，那么_________.13.甲、乙、丙、丁4人分别到A ，B ，C ，D 四所学校实习，每所学校一人，每人去一所学校，在甲不去A 校的条件下，乙不去B 校的概率是__________.14.已知随机变量X ,Y ,其中,,,,则_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列.（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.16.（15分）为庆祝第113个国际劳动妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次，根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0.8，否则，命中概率为0.6.（1）求教师甲第二次投篮命中的概率；（2）求教师甲在3次投篮中，命中的次数X 的分布列和数学期望.(10)0.3P X <=(1030)0.4P X ≤≤=(30)P X >=B =1()13P AB =∣16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()2,Y N μσ~()()E X E Y =(2)0.3P Y <=(6)P Y >=17.（15分）如图，有3个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从3个箱子中任取1箱，再从取出的箱中任意摸出1个球，记事件表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”.（1）分别求，，和的值.（2）若小明取出的是黑球，则该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.18.（17分）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某公司将开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球，乙箱内有6个红球、4个黄球.若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，摸得两球均为红球奖150元，否则没有奖金.（1）据统计，每人的植树棵数X 服从正态分布，现有1000位植树者，请估计植树的棵数X 在区间内的人数（结果四舍五入取整数）.（2）根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会.请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案.参考数据：若，则，.19.（17分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A 中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A 中学的人数，求的分布列和数学期望.（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，(1,2,3)i A i =()1P BA ()2P BA ()3P BA ()P B (),a b +∈N (15,25)N (10,25)()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈ξξ每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当1p2p 12p p+=答案以及解析1.答案：D解析：因为随机变量X 服从二项分布，即，且，，所以，，解得，.故选D.2.答案：D解析：方法一：由题意得随机变量，则方法二：，则X 的分布列为3.答案：D故选D.4.答案：D解析：因为，所以，当时，取得最大值，即取得最大值，所以.故选D.5.答案：C解析：设车床每天加工的零件数超过35的台数为，由题意知每台加工的零件数超过35的()P X k =5k =~(,)X B n p 2EX = 1.6DX =2np =(1) 1.6np p -=0.2p =10n =~(10,2,4)X H 4()210nM E X N ==⨯=~(10,2,4)X H 2064210C C (0)C P X ===1164210C C (1)C P X ===0264210C C (2)C P X ===()A =()P B =~(10,0.5)X B 10101010()C (0.5)(0.5)C (0.5)k k k k P X k -===⋅5k =10C kξ概率所以，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率6.答案：A解析：记事件：放入水果分选机的苹果为大果，事件：放入水果分选机的苹果为小果，因此，.故选A.7.答案：B解析：由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由又，得，此时；当时，由.故选B.8.答案：B先胜四局比赛结束，设决出胜负的局数为X ，则==44444412(4)C C 33P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.52P -==1~3,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭311(0)114P P ξ⎛⎫=-==--=⎪⎝⎭1A 2A ()1A =()2A =()1B A =∣()2B A ∣9191110201050=⨯+⨯=()()111711000855()200857857P A B P A B P B ==⨯=∣11131()0123422010205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222221313133313()012342220210220252D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(D a D X η=()()E aE X η=32b +2b =-0a b +=2a =-12b +=，即，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.9.答案：AC解析：由题意可知，，，则，解得由，得.故选AC.10.答案：BCD解析：由题意可得，，故，故A 错误；，，所以，故B 正确；，所以，故C 正确；，，所以，故D 正确.故选BCD.11.答案：ACD解析：对于A 选项，，所以两次点数之和应大于6，即直接挑战第2关并过关的概率对于C 选项，由题意可知，抛掷3次的基本事件有（个），抛掷3次至少出现一个5点的共有（种），故4433441221(5)C C 3333P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭424233551221(6)C C 3333X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭434333661221160(7)C C 3333729P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭160200729729<<<(4)(7)(6)(5)P X P X P X P X =<=<=<=232(3)(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-(1)P X p ==(2)(1)P X p p ==-2(1)2(2)3(3)2(1)3(1) 1.75EX P X P X P X p p p p ==+=+==+-+->p >p <(0,1)p ∈10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2~30,6X N ()2~34,2Y N (32)0.5(32)P Y P X >>>>(36)()P X P X μσ≤=≤+(36)()P Y P Y μσ≤=≤+(36)(36)P X P Y ≤=≤(34)0.5(34)P X P Y ≤>=≤(34)(34)P X P Y ≤>≤(40)(42)(2)P X P X P X μσ≤<<=<+(40)(3)P Y P Y μσ≤=≤+(40)(40)P X P Y ≤<≤2226+=2=36216=336521612591-=-=()P B =含4，5，6的有6种，共7种，故正确；对于D 选项，当时，，基本事件有个，而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种，所以12.答案：0.3解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知，故.解析：由题意，甲不去A 校的概率14.答案：0.2解析：因为,所以,因为,所以,又因为,所以,因为,所以,且,又因为,所以,所以.15.答案：（1）X 的分布列见解析（2）小明应选择先回答B 类问题(30)10.30.40.3P X >=--=()P AB =()7216()()21691P AB A B P B ==⨯=∣4n =422420n n +=+=464356666P ==⨯⨯⨯(10)(1030)(30)1P X P X P X <+≤≤+>=331443A A P ==31123222244A C C A A P +==2171234P P P ===16,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:()1623E X =⨯=()2,Y N μσ:()E Y μ=()()E X E Y =2μ=()2,Y N μσ:(2)0.5P Y <=(6)(2)P Y P Y >=<-(2)0.3P Y <=(2)0.2P Y <-=(6)0.2P Y >=解析：（1）由题知，X 的所有可能取值为0，20，100，则，，，所以X 的分布列为（2）小明应选择先回答B 类问题，理由如下：由（1）知，.若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，则，，，所以，所以小明应选择先回答B 类问题.16.答案：（1）0.72（2）X 的分布列见解析，数学期望为2.064解析：（1）依题意，教师甲第2次投篮命中的情况包括：第一次命中且第二次命中，其概率为；第一次未中且第二次命中，其概率为.所以教师甲第二次投篮命中的概率为.（2）依题意，教师甲命中的次数X 的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，则，所以X 的分布列为数学期望.(0)0.2P X ==(20)0.80.40.32P X ==⨯=(100)0.80.60.48P X ==⨯=()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=(0)0.4P Y ==(80)0.60.20.12P Y ==⨯=(100)0.60.80.48P Y ==⨯=()00.4800.121000.4857.654.4E Y =⨯+⨯+⨯=>0.60.80.48⨯=(10.6)0.60.24-⨯=0.480.240.72+=3(0)(10.6)0.064P X ==-=(1)0.6(10.8)(10.6)(10.6)0.6(10.8)(10.6)(10.6)0.60.192P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=2(3)0.60.80.384P X ==⨯=(2)1(0)(1)(3)0.36P X P X P X P X ==-=-=-==()10.19220.3630.384 2.064E X =⨯+⨯+⨯=17.答案：（1）（2）该黑球来自3号箱的概率最大，.（2）由（1）得，则的值最大，即若小明取出的是黑球，则该黑球来自3号箱的概率最大.18.答案：（1）819（2）见解析解析：（1）由题知，，，所以，所以1000位植树者中植树的棵数在内的人数估计为.（2）甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，且，，则，15μ=5σ=(1025)(2)P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+11()(22)22P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+11(0.68270.9545) 1.63720.818622≈⨯+=⨯=()1P BA =()2P BA =()3BA =7()12B =()()()12313P A P A P A ====()3B A =∣()()()1111134P BA P A P B A ∴==⨯∣()()()2221234P BA P A P B A =⋅=⨯∣()()()3331333P BA P A P B A ==⨯=∣()()()1231117()126312P B P BA P BA P BA ∴=++=++=()()111127()12P A B P A B P B ===∣()()22167()12P A B P A B P B ===∣()()33137()12P A B A B P B ===∣()3P A B ∣(10,25)10000.8186819⨯≈1Y 5a b +=()10P Y ==()150Y ==()110010a P Y ==()110501005105()552521010b a E Y b a a b a a =⨯+⨯+⨯=+=++=+所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，，则，所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为.所以，当，时，，建议该职工选择方案二；当，时，，建议该职工选择方案一；当，时，，建议该职工选择方案一；当，时，，建议该职工选择方案一.解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则.设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，()131575E Y a =+{1,2,3,4}a ∈2Y ()262210C 151150C 453P Y ====()21013P Y ==-=()21215005033E Y =⨯+⨯=()22100E Y =1a =4b =()()123902100E Y E Y =<=2a =3b =()()1231052100E Y E Y =>=3a =2b =()()1231202100E Y E Y =>=4a =1b =()()1231352100E Y E Y =>=ξ3437C (0)C P ξ===214337C C (1)C ξ===124337C C (2)C P ξ===3337C (3)C ξ===ξχ()1~2,B p χη()2~2,B p ηA =则.由，及，则.，所以.设，则，..()(1)(2)(2)(1)(2)(2)P A P P P P P X P χηχηη===+==+==()()122221222221122212222122C 1C C C 1C C p p p p p p p p =-+-+()()2222112221122121p p p p p p p p =-+-+221212833p p p p =-+101p ≤≤201p ≤≤12p p +=11p ≤≤21211114433p p p p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11p ≤≤1214,39p p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12t p p =28()33P A t t =-+14,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷十二 概率(B) Word版含解析
单元质检卷十二概率()(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分).(山东济南二模)我国成功申办年第届冬季奥林匹克运动会,届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现,某选手的速度ξ服从正态分布(,σ)(σ>),若ξ在()内的概率为,则他速度超过的概率为().(福建厦门二模)从装有形状大小相同的个黑球和个白球的盒子中依次不放回地任意抽取次,若第二次抽得黑球,则第三次抽得白球的概率等于(). . . ..(河南洛阳三模)设随机变量(),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形中随机投掷个点,则落入阴影部分的点的个数的值是()注:若(μ,σ),则(μσ<<μσ)(μσ<<μσ)..(辽宁沈阳一模)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是()..... (浙江杭州模拟)已知甲盒子中有个红球个蓝球,乙盒子中有个红球个蓝球(≥≥),同时从甲乙两个盒子中取出()个球进行交换,()交换后,从甲盒子中取个球是红球的概率记为().()交换后,乙盒子中含有红球的个数记为ξ().则()>(ξ)<(ξ) <(ξ)>(ξ)>(ξ)>(ξ) <(ξ)<(ξ).(安徽合肥三模)一个正四面体的四个面上分别标有数字.掷这个四面体四次,令第次得到的数为,若存在正整数使得的概率,其中是互质的正整数,则的值为()二、填空题(本大题共小题,每小题分,共分).(江苏南京一模)口袋中有形状和大小完全相同的个球,球的编号分别为,若从袋中一次随机摸出个球,则摸出的个球的编号之和大于的概率为..(上海浦东新区一模)某企业生产的个产品中有个一等品个二等品,现从中抽取个产品,其中恰好有个二等品的概率为.三、解答题(本大题共小题,共分).(分)(江西南昌二模)中国海军,正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
2020届京师AI联考高三质量联合测评(二)数学(理)(A卷)试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先解出集合 ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
或 ， ，
∴ .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.
③ 是偶函数时， 是偶函数；
④ 是奇函数时， 是偶函数
⑤ 是偶函数；
⑥对任意的实数 ， ．
那么正确论断的编号是（）
A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数 的奇偶性并证明.
【详解】
当 是偶函数，则 ，
所以 ，
所以 是偶函数；
当 是奇函数时，则 ，
所以 ，
【详解】
（1）由
由
因为是正四棱锥，故
于是 ，
由余弦定理，在 中，设
再用余弦定理，在 中，
∴ 是直角，
同理 ，而 在平面 上，
∴平面 平面
（2）以 为原点建立直角坐标系，如图：
则
设面 的法向量为 ， 的法向量为
则
，取
于是，二面角 的余弦值为：
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.设 所在直线方程为设源自､ 点坐标分别为 ， ，都在 上，
故 两式相减，
可得
(因为 是 的中点)，即
联立直线 与 的方程：
又 ，即 ，即
又因为 ，
则有
即
∴ .
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题.
2020_2021学年高中数学第三章概率单元质量评估二习题含解析北师大版必修3
第三章单元质量评估(二)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但a 2＋b 2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事件的是( B )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能不能组成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交、交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a ，b 都不为0，则a 2＋b 2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于或等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.2．从一批产品(其中正品、次品都多于两件)中任取两件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( B )①恰有一件次品和恰有两件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品．A ．①②B ．①④C ．③④D ．①③解析：因为从一批产品中任取两件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于两件，所以恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，所以①④是互斥事件，故选B.3．某中学毕业生的去向有三种：回家待业、上大学和复读．现取一个样本调查，调查结果如图所示．若该校每个学生上大学的概率为45，则每个学生不复读的概率为( B )A.2125B.2225C.2325D.2425解析：每个学生上大学的概率为45，而该样本中上大学的人数为80，所以该样本容量为80÷45＝100，于是每个学生回家待业的概率为8100＝225，所以每个学生不复读的概率为45＋225＝2225. 4．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( B )A.110B.15C.29D.14解析：基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，故所求概率为15.故选B. 5．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( B )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1解析：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36种，其中点数之和是12的有1种，故P 1＝136；点数之和是11的有2种，故P 2＝236；点数之和是10的有3种，故P 3＝336，故P 1<P 2<P 3，故选B. 6．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( A )A.9100B.350C.3100D.29解析：任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100. 7．如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( A )A.34B.38C.14D.18解析：用红、蓝两种颜色为三个图形涂色，则共有2×2×2＝8种不同的结果，设事件“三个图形颜色不全相同”为A ，则A －为“三个图形颜色全相同”，即事件A －包含2个结果，故P (A －)＝28＝14，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－14＝34. 8．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( D )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：显然C 2：x ＋y ＝2，满足条件的点P (1,1)；C 3：x ＋y ＝3，满足条件的点P (1,2)，P (2,1)；C 4：x ＋y ＝4，满足条件的点P (1,3)，P (2,2)；C 5：x ＋y ＝5，满足条件的点P (2,3)．所以n ＝3,4时C n 的概率最大．9．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a ，b ，使得lg(3a )≥lg(4b )成立的概率是( C )A.13B.512C.12D.712解析：因为lg(3a )≥lg(4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字所包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a ≥4b 的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率P ＝612＝12，故选C. 10．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( C )A.π4B.π12 C ．1－π4 D ．1－π12解析：P ＝正方形面积－圆锥底面积正方形面积＝4－π4＝1－π4. 11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )A.14B.12C.34D.78解析：设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧ 0≤X ≤40≤Y ≤4|X －Y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 12．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( A )A ．甲得9张，乙得3张B ．甲得6张，乙得6张C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张解析：由题意，骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是12＋12×12＝34，乙获胜的概率是12×12＝14.所以甲得到的游戏牌为12×34＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×14＝3(张)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．从一副混合后的扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得的为黑桃”，则概率P (A ＋B )＝726.(结果用最简分数表示) 解析：本题考查古典概型和互斥事件．∵事件A 为“抽得红桃K ”，∴事件A 的概率P (A )＝152.∵事件B 为“抽得的为黑桃”，∴事件B 的概率是P (B )＝1352＝14，∴由互斥事件的概率公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋14＝726. 14．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有120人． 解析：设男教师为n 人，则女教师为(n ＋12)人，∴n 2n ＋12＝920.∴n ＝54，∴参加联欢会的教师共有120人．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是14. 解析：由题意可知，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b a ≥2.当a 取1时，b 可取2,3,4,5,6；当a 取2时，b 可取4,5,6；当a 取3时，b 可取6，共9种．∵(a ，b )的取值共36种情况，∴所求概率为P ＝936＝14.16．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为13.解析：连接AC 交圆弧DE 于点F ，则点P 在EF 上时直线AP 与线段BC 有公共点．因为AB ＝3，BC ＝1，所以∠BAC ＝30°.直线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝30°90°＝13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率；(2)求事件“|x －y |＝2”的概率．解：设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A 表示事件“x ＋y ≤3”，则A 包含的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件．所以P (A )＝336＝112，即事件“x ＋y ≤3”的概率为112. (2)用B 表示事件“|x －y |＝2”，则B 包含的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)，共8个基本事件．则P (B )＝836＝29，即事件“|x －y |＝2”的概率为29.18.(本题满分12分)M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．(1)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？解：(1)男生共有14人，中间两个成绩是175和176，因此男生成绩的中位数是175.5. 女生成绩的平均数x ＝168＋177＋178＋185＋186＋1926＝181. (2)用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是520＝14. 根据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人．所以选中的“甲部门”的人选有8×14＝2(人)，“乙部门”的人选有12×14＝3(人)． 记选中的“甲部门”的人选为A 1，A 2，选中的“乙部门”的人选为B ，C ，D .从这5人中选2人的所有可能情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B )，(A 1，C )，(A 1，D )，(A 2，B )，(A 2，C )，(A 2，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10种；其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有7种．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是710. 19．(本题满分12分)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4 6 6(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．所以P (B )＝515＝13. 20．(本题满分12分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件．所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. 21．(本题满分12分)某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 逻辑思维能力运动协调能力一般 良好 优秀 一般2 2 1 良好4 b 1 优秀 1 3 a只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15. (1)求a ，b 的值；(2)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．解：(1)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2＋a )人．设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生，则P (A )＝2＋a 20＝15. 解得a ＝2.所以b ＝4.(2)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别为M 1，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6.其中M 5和M 6为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为M 1M 2，M 1M 3，M 1M 4，M 1M 5，M 1M 6，M 2M 3，M 2M 4，M 2M 5，M 2M 6，M 3M 4，M 3M 5，M 3M 6，M 4M 5，M 4M 6，M 5M 6，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括M 1M 5，M 1M 6，M 2M 5，M 2M 6，M 3M 5，M 3M 6，M 4M 5，M 4M 6，M 5M 6，共9种可能．所以P (B )＝915＝35.所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35. 22．(本题满分12分)某港口船舶停靠的方案是先到先停．(1)若甲、乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表进行游戏：从1,2,3,4,5中各随机选一个数，若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．(2)根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率．随机数模拟实验数据参考如下：记X ，Y 都是0～1之间的均匀随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次满足X －Y ≥0.5，有6次满足X －2Y ≥0.5.解：(1)这种规则是不公平的．理由如下：设甲先停靠为事件A ，乙先停靠为事件B ，基本事件总数为5×5＝25(种)，则甲先停靠即两编号之和为偶数所包含的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．∴甲先停靠的概率P (A )＝1325，乙先停靠的概率P (B )＝1－P (A )＝1225.∴这种游戏规则是不公平的．(2)根据题意，应用随机模拟方法求出甲船先停靠的概率是P ＝1－12100＝0.88.。
2019高三数学(北师大版理科)一轮：单元质检卷十二 概率(B) Word版含解析
单元质检卷十二 概率(B )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量X~B (100,p ),X 的均值EX=24,则p 的值是( )A.25B.35C.625D.1925 2.(2017宁夏银川一中二模,理6)某校校庆期间,大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的7名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作,根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为( )A .12B .13C .16D .143.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为( )A.2144B.1522C.2150D.925 4.(2017陕西汉中二模,理5)在平面直角坐标系中,在直线x=1,y=1与坐标轴围成的正方形内任取一点,则此点落在曲线y=x 2下方区域的概率为( )A .13B .23C .49D .59 5.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为( )附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.683,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954.A.2 386B.2 718C.3 415D.4 770 〚导学号21500660〛6.体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球.否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0),发球次数为X ,若X 的均值EX>1.75,则p 的取值范围是( )A.(0,712)B.(712,1)C.(0,12)D.(12,1) 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017四川德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是.8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的数学期望为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017黑龙江大庆三模,理18)五一期间,某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中,选出3种商品进行促销活动.(1)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)该商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高60元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为n元的奖金;若中两次奖,则获得数额,请问:为3n元的奖金;若中三次奖,则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是14商场将奖金数额n最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?10.(15分)某小学对五年级的学生进行体能测试,已知五年级一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如右(单位:cm):男生成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“不合格”;女生成绩在165 cm以上(包括165 cm)定义为“合格”,成绩在165 cm以下(不包括165 cm)定义为“不合格”.(1)在五年级一班男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是“合格”的概率;(2)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用X表示其中男生的人数,写出X的分布列,并求X的均值.〚导学号21500661〛。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷二 函数Word版含解析
单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018河北衡水中学押题一,1)已知集合A={x∈N|-2<x<4},B=,则A∩B=()A.{x|-1≤x≤2}B.{-1,0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是()A.(0,1)B.(2,4)C. D.(1,2)3.(2018河北衡水中学押题一,2)下列函数中,既是偶函数,又在(-∞,0)内递增的为()A.y=x4+2xB.y=2|x|C.y=2x-2-xD.y=|x|-14.(2018湖北部分重点中学联考,5)下列各组函数中,表示同一函数的是()A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=-,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.(2018河北衡水八模,4)设a=lo3,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c6.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f-,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.27.(2018湖南长郡中学五模,8)y=x+cos x的大致图像是()8.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-D.-39.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.410.若函数f(x)=|log a x|-2-x(a>0,a≠1)的两个零点是m,n,则()A.mn=1B.mn>1C.mn<1D.以上都不对11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处12.(2018河北唐山三模,12)设函数f(x)=e x-2++(x-1)2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.--∪(3,+∞)D.-二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018宁夏银川一中一模,13)若a=log43,则2a+2-a=.14.(2018河南南阳一中月考,15)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=7,若f(1)=2,则f(107)=.15.(2018湖南长郡中学一模,14)使关于x的不等式|x+1|+k<x有解的实数k的取值范围是.16.(2018广东广州二测,16)设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间-上的所有零点的和为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上是减少的,求实数a的取值范围.18.(14分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间-上的最小值为-5,求此时t的值.21.(14分)已知函数f(x)=lg-,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.D因为A={x∈N|-2<x<4},所以A={0,1,2,3}.∵≤2x≤4 ∴-1≤x≤2 则A∩B={0,1,2}.2.A∵f(x)的定义域是(1,2),∴1<2x<2,即20<2x<21,∴0<x<1,故选A.3.D由函数的奇偶性可知,y=x4+2x是非奇非偶函数,y=2x-2-x是奇函数,故排除A、C;在(-∞,0)内,y=2|x|是减少的,故排除B,因此答案为D.4.D A,B,C的解析式相同,但定义域不同.D中因g(x)==|x|,所以解析式相同,定义域也相同,故选D.5.A∵>1>>0>3,∴a<b<c,故选A.6.D由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f-可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷六 数列(B)Word版含解析
单元质检卷六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东汕头潮南5月冲刺)等比数列{a n}的前n项和为S n,4a1,2a2,a3成等差数列,a1=1,则S4=()A.15B.-15C.4D.-42.(2018山东潍坊青州三模,7)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3+a4+a11=18,则S11=()A.9B.22C.36D.663.已知{a n}为等差数列,{b n}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a9=b9,则()A.a5=b5B.a5>b5C.a5<b5D.以上都有可能4.(2018辽宁大连二模,6)设等比数列{a n}的前n项和为S n,S2=-1,S4=-5,则S6=()A.-9B.-21C.-25D.-635.(2018江西教学质量监测,9)已知等比数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,若S5+4S3=5S4,则数列的最大项等于()A.-11B.-C.D.156.(2018河北衡水八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图像经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N+时,a n=,记数列{a n}的前n项和为S n,当S n=时,n的值为()A.7B.6C.5D.4二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018吉林实验中学期末)已知在公比q>1的等比数列{a n}中,a2+a3=12,a1a4=32,数列{b n}满足b n=log2a n,则数列{b n}的前10项和S10=.8.(2018河南六市联考一,16)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等,则a2=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9. (14分)(2018北京西城一模,15)设等差数列{a n}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}的前n项和为S n,求使S n>35成立的n的最小值.10.(15分)(2018山东师大附中一模,17)已知等差数列{a n}是递增数列,且满足a4·a7=15,a3+a8=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(n≥2),b1=,求数列{b n}的前n项和S n.11.(15分)(2018宁夏银川一中一模,17)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.参考答案单元质检卷六数列(B)1.A∵4a1,2a2,a3成等差数列且a1=1,∴4a1+a3=2×2a2,即4+q2-4q=0,解得q=2,∴a2=2,a3=4,a4=8,∴S4=1+2+4+8=15.故选A.2.D∵a3+a4+a11=18,∴3a1+15d=18⇒a1+5d=6,∴S11=11(a1+5d)=11×6=66,故选D.3.B由等差、等比中项的定义可知a 5=,b5=.又a1=b1,a9=b9,所以≥=,即a5>b5,故选B.4.B由题意,S2=a1+a2=-1,S4-S2=a3+a4=(a1+a2) q2=-4,q2=4,S6=S2+S4q2=-1+(-5)×4=-21.5.D由已知得,q≠1.由S5+4S3=5S4得+4×=5×,解得q=4.∴a n=2×4n-1=22n-1,∴=,由函数y==2+的图像得到,当n=4时,数列的最大项等于15.6.D由题意,得∴∴f(x)=2x+1.∴a n==-.∴S n=-+-+…+-=-=, ∴2n+1+1=33,n=4,故选D.7.55因为在等比数列{a n}中,所以解得或又q>1,所以所以q=2.所以a n=a2·q n-2=2n,b n=log22n=n,则S10==55.8.设数列{a n}的公差为d(d>0),又{}也是公差为d的等差数列,则==+d,两边平方得2a 1+d=a1+2d+d2,①==+2d,两边平方得3a 1+3d=a1+4d+4d2,②②-①得a 1=-2d+2d+3d2,③把③代入①得d(2d-1)=0.所以d=0或d=.当d=0时,a1=0,不合题意,当d=时,代入③解得a1=.所以a2=a1+d=.9.解 (1)设等差数列{a n}的公差为d,d≠0.∵a2,a3,a6成等比数列,∴=a2·a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2,或d=0(舍去),∴a n=a2+(n-2)d=2n-3.(2)∵a n=2n-3,∴S n===n2-2n.依题意有n2-2n>35,解得n>7.因此使S n>35成立的n的最小值为8.10.解 (1)解得∴d=,∴a n=1+(n-1)=n+.(2)b n===(-)(n≥2),b1==1-满足上式,∴{b n}的通项公式为b n=-.∴S n =1-+-+…+-=1-=.11.解 (1)由+2a n =4S n +3,可知+2a n+1=4S n+1+3.两式相减,得-+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=-=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).∵a n >0,∴a n+1-a n =2, ∵+2a 1=4a 1+3,∴a 1=-1 (舍)或a 1=3,则{a n }是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{a n }的通项公式a n =3+2(n-1)=2n+1.(2)∵a n =2n+1,∴b n ===-,∴数列{b n }的前n 项和T n =-+-+…+-=-=.。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷九 解析几何Word版含解析
单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018名校联盟二模,4)“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019届河北武邑中学调研三,文7)双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,则该双曲线的离心率为()A. B.2 C.2 D.3.已知直线l:=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为()A.8B.4C.2D.14.(2018西藏自治区拉萨中学模拟,11)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB 为正三角形,则实数m的值为()A. B.C.或-D.或-5.(2018广东佛山七校联考,5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.2C.4D.37.(2019届湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则p的值等于()A. B.C.2D.48.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A. B.C.2D.29.(2018河北衡水二模,9)已知O是坐标原点,双曲线-y2=1(a>1)与椭圆+y2=1(a>1)的一个交点为P,点Q(,0),则△POQ的面积为()A. B.aC.1D.10.(2018河北衡水中学第十七次模拟,10)若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个11.(2018四川成都七中三诊,11)已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.412.(2018青海西宁二模,11)抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则的值为()A. B.1 C.2 D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是.14.(2019届河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q 反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.15.(2018河南南阳联考,15)M是抛物线C:y2=4x上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点且|MF|=2,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=.16.(2018云南曲靖一中质检七,16)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P到直线l的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019届广东广州测试,20)设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.18.(14分)(2019届广东湛江调研,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△PAB的面积.19.(14分)(2019届四川成都棠湖中学模拟,20)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD,AE,且AD,AE的斜率满足k AD·k AE=2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.20.(14分)(2018东北师范大学附中五模,20)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点在C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(-2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q,交y轴于点R,P为椭圆C上一点,且AQ∥OP,求证:为定值.21.(14分)(2019届江西抚州七校联考,20)已知圆M与直线3x-y+4=0相切于点(1,),圆心M在x 轴上.(1)求圆M的方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分别是S1,S2,求的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A当a=1时,直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3,直线ax-3y+3=0的斜率为,两直线垂直;当a=0时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的充分不必要条件,故选A.2.A∵抛物线的方程为y=x2,∴抛物线的准线方程为y=-.∵双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,∴双曲线的顶点坐标为0,-,∴a=.又∵b=1,∴c=,则双曲线的离心率为=.故选A.3.B圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则+=1≥2,∴ab≥8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab≥4.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷十一 计数原理Word版含解析
单元质检卷十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.(2018陕西延安6月模拟)展开式中含x2的项的系数为()A.120B.80C.20D.453. (2018辽宁沈阳质量监测一)若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有()种不同的站法.A.4B.8C.12D.244.在(x2+x+1)(x-1)6的展开式中,x4的系数是()A.-10B.-5C.5D.105.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶,则小明取出啤酒的方式共有()A.18种B.27种C.37种D.212种6. (2018江西南昌模拟)某校毕业典礼由6个节目组成,为考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种7.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.48.(2018湖北宜昌考前训练) 若(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)-(a1+a3)=()A.-1B.1C.2D.-29.(2018云南昆明模拟)从一颗骰子的六个面中任意选取三个面,其中只有两个面相邻的不同的选法共有( )A.20种B.16种C.12种D.8种10. (2018山东潍坊三模)若n=2x d x+1,则二项式的展开式中的常数项为()A. B.-C. D.-11.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A.50种B.51种C.140种D.141种12.(2018江西南昌二轮检测)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择骑共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则他们坐车不同的搭配方式有()A.12种B.11种C.10种D.9种二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2018广东东莞考前冲刺)x+(2x-1)5的展开式的常数项为. (用数字作答)14.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.15.(2018广东汕头5月冲刺)已知x+(2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=.16.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播1个商业广告与2个不同的公益宣传广告,且要求2个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有种.参考答案单元质检卷十一计数原理1.A从6个盒子中选出3个来装东西,有种选法,甲、乙都未被选中的情况有种,所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有-=20-4=16种,故选A.2.A原式可化为:,其展开式中可出现x2项的只有23与21两项,所以其展开式中x2项分别为x223=80x2,x321=40x2,则含x2项的系数为120x2.故选A.3.B由不对号入座的结论可知,另三个人排队不对号入座的方法共有2种,据此结合分步乘法计数原理可知,满足题意的站法共有: 2×4=8种.故选B项.4.D x2x2(-1)4+x x3(-1)3+x4(-1)2=10x4,所以x4的系数为10,故选D.5.C由题意知,取出啤酒的方式有三类,第一类:取6次,每次取出4瓶,只有1种方式;第二类:取8次,每次取出3瓶,只有1种方式;第三类:取7次,3次都取4瓶和4次都取3瓶,取法为=35(种),共计37种取法,故选C.6.A根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论:①甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有4×2×6=48种编排方法;②甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法;③甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种编排方法.则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种.故选A.7.C(1+2)3的展开式中常数项是1,含x的项是(2)2=12x;1-5的展开式中常数项是1,含x的项是(-)3=-10x,故(1+2)3(1-)5的展开式中含x项的系数为1×(-10)+1×12=2.8.A∵(5x+4)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,令x=-1,则(-1)3=a0-a1+a2-a3,∴(a0+a2)-(a1+a3)=-1,故选A.9.C从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有=20种情况,其中有三个面彼此相邻的有8种情况,所以只有两个面相邻的不同的选法共有20-8=12种.故选C.10.A由题意n=2x d x+1=2×x2+1=10,即二项式为,则展开式的通项为T r+1=-=--,当r=8时,得到常数项为-=,故选A.11.D因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以6次变化中“多一个”或“少一个”的天数必须相同,且“多一个”或“少一个”的天数可能是0,1,2,3,共4种情况,所以共有+++=141(种),故选D.12.B解法一:不对号入座的递推公式为:a1=0,a2=1,a n=(n-1)(a n-1+a n-2)(n≥3 ,据此可得:a3=2,a4=9,a5=44,即五个人不对号入座的方法为44种,由排列组合的对称性可知:若甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则坐车不同的搭配方式有=11种.故选B.解法二:设五位妈妈分别为ABCDE,五个小孩分别为abcde,对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故排列的第五个位置一定是a,对其余的四个小孩进行排列:bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc;cbde,cbed,cdbe,cdeb,cebd,cedb;dbce,dbec,dcbe,dceb,debc,decb;ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.共有24种排列方法,其中满足题意的排列方法为:bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.故选B.13.30因为(2x-1)5的展开式中含x项的系数为21(-1)4=10 ,所以x+(2x-1)5的展开式的常数项为3×10=30.14.36从4名优秀学生中选出2名组成复合元素,共有种选法,再把3个元素(包含一个复合元素)保送到甲、乙、丙3所学校,有种方法.根据分步乘法计数原理知,不同的保送方案共有=36(种).15.3(2x-1)5= [(2x)5+…+(2x)(-1)4+(-1)5],∴展开式中的常数项为··2x=30,解得a=3,故答案为3.16.120由题意知,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有=20种情况,增播1个商业广告,利用插空法有3种情况,再在2个空中插入2个不同的公益宣传广告,共有2种情况.根据分步乘法计数原理知,共有20×3×2=120种播放顺序.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：十 算法初步、统计与统计案例 Word版含解析
单元质检卷十算法初步、统计与统计案例(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北唐山三模,4)总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为()66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90A.05B.09C.11D.202.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为()A.2B.4C.5D.63.(2018河南安阳押题卷,6)我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如下程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数),若输出的结果为527,则由此可估计π的近似值是()A.126B.3.132C.3.151D.3.1624.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()5.(2019届福建形成性测试卷,7)某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中,从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机,已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间,且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损).利用这个残缺的频率分布直方图,可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A.31.4岁B.32.4岁C.33.4岁D.36.4岁6.在利用最小二乘法求回归方程y=0.67x+54.9时,用到了下面表中的5组数据,则表格中a的值为()x 12345y 62a758189A.68B.70C.75D.72二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)7.(2018重庆二诊,13)某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.8.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:分数段[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90]人234951数据此估计允许参加面试的分数线大约是分.9.(2018陕西宝鸡质量检测三,14)已知a、b、c为集合A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数a,则输出的数a=5的概率是.三、解答题(本大题共3小题,共37分)10.(12分)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出如图茎叶图.(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值和方差(不要求计算出具体值,得出结论即可);(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下列2×2列联表,并据此样本分析你是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.认可不认可合计A城市B城市合计P(χ2>k0 )0.050.01k03.8416.63511.(12分)(2018安徽六安仿真模拟,18)某地级市共有200 000名中小学生,其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为5∶3∶2,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1 000元、1 500元、2 000元.经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加n%,一般困难的学生中有3n%会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有2n%转为一般困难,特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份x取13时代表2013年,x与y(万元)近似满足关系式y=C1·,其中C1,C2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)(k i-)2(y i-)2(x i-)·(y i-)(x i-)·(k i-)2.31.23.14.621其中k i=log2y i,k i(1)估计该市2018年人均可支配年收入;(结果精确到0.1)(2)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=,α=-β.2-0.72-0.320.121.721.821.90.60.81.13.23.53.7312.(13分)(2018江西上饶检测)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.(1)求该学校高一新生A,B两类学生各多少人?(2)经过测试,得到以下三个数据图表:75分以上A,B两类参加测试学生成绩的茎叶图图1100名测试学生成绩的频率分布直方图图2 100名学生成绩频率分布表:组号分组频数频率1[55,60)50.052[60,65)200.203[65,70)4[70,75)350.355[75,80)6[80,85)合计1001.00①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.参考答案单元质检卷十算法初步、统计与统计案例1.B从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.2.B由题得:诗词达人有8人,诗词能手有16人,诗词爱好者有16人,分层抽样抽选10名学生,所以诗词能手有16×=4人.3.D由程序框图可得x2+y2+z2<1发生的概率为π×13×=.当输出的结果为527时,x2+y2+z2<1发生的概率为,所以≈,解得π≈=3.162,故选D.4.D根据四个列联表的等高条形图知,图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大,它最能体现该药物对预防禽流感有效果.故选D.5.A由频率分布直方图可知[20,25)的频率为0.1,[25,30)的频率为0.3,[30,35]的频率为0.35.因为0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.35,所以中位数x0∈(30,35).由0.1+0.3+(x0-30)·0.07=0.5,得x0≈31.43,故选A.6.A由题意可得= (10+20+30+40+50)=30,= (62+a+75+81+89)= (a+307),因为回归直线方程y=0.67x+54.9过样本点的中心,所以 (a+307)=0.67×30+54.9,解得a=68.7.64设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码构成首项为a1,公差为20的等差数列,即a n=a1+(n-1)×20,又在第二组中抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以在第四组中抽取的号码为4+(4-1)×20=64.8.80因为参加笔试的400人中择优选出100参加面试,所以每个人被择优选出的概率P==.因为随机调查24名笔试者的成绩,所以估计能够参加面试的人数为24×=6,观察题中表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90]的有1人,故面试的分数线大约为80分.9.由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个,若输出的数为5,则这三个数中必须要有5,从集合A={1,2,3,4,5}中任选三个不同的数共有10种取法:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},满足条件的有6种,故所求概率为.10.解 (1)A城市满意度评分的平均值小于B城市满意度评分的平均值;A城市满意度评分的方差大于B城市满意度评分的方差.(2)2×2列联表如下:认可不认可合计A城5 15 20市B城10 10 20市合计15 25 40χ2==≈2.667<3.841,所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.11.解 (1)因为= (13+14+15+16+17)=15,所以(x i-)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10.由k=log2y得k=log2(C1·)=log2C1+C2x,所以C2==,log2C1=-C2=1.2-×15=-0.3,所以C1=2-0.3≈0.8,所以y=0.8×.当x=18时,2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8(万).(2)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200 000×7%=14 000(人),一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7 000人、4 200人、2 800人,2018年人均可支配收入比2017年增长=20.1-1=0.1=10%,所以2018年该市特别困难的中学生有2 800×(1-10%)=2 520(人),很困难的学生有4 200×(1-20%)+2 800×10%=3 640(人),一般困难的学生有7 000×(1-30%)+4 200×20%=5 740(人).所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5 740×1 000+3 640×1 500+2 520×2 000=1 624(万).12.解 (1)由题意知A类学生有500×=200(人),则B类学生有500-200=300(人).(2)①组号分组频数频率1 [55,60) 5 0.052 [60,65) 20 0.203 [65,70) 25 0.254 [70,75) 35 0.355 [75,80) 10 0.106 [80,85) 5 0.05合计100 1.00②79分以上的B类学生共4人,记80分以上的三人分别是{1,2,3},79分的学生为{a}.从中抽取2人,有(12)、(13)、(1a)、(23)、(2a)、(3a)共6种抽法,抽出2人均在80分以上有:(12)、 (13)、(23)共3种抽法,则抽到2人均在80分以上的概率为P==.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：十二 概率(A)
C.300D.500
5.(2018四川资阳二诊,8)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双),有放回地拿出2只,记事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”,则事件A的概率为()
A.B.C.D.
6.(2018河南开封一模,9)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架,一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()
则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m= =1 440种,
∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P= = = .
7. 根据题意知,从25人中选取2人,基本事件数为 =300,其中这2人成绩的平均数恰为100的基本事件为
(100,100),(95,105),(95, 105),(95,105),(94,106),(93,107)共6个,
组别
PM2.5(微克/立方米)
频数(天)
频率
第一组
[0,15]
4
0.1
第二组
(15,30]
12
0.3
第三组
(30,45]
8
0.2
第四组
(45,60]
8
0.2
第五组
(60,75]
4
0.1
第六组
(75,90]
4
0.1
(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);
(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;
则所求的概率为P= = .
8.基本事件总数n=6×6=36,
取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12,
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：二 函数 Word版含解析
单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018河北衡水中学押题一,1)已知集合A={x∈N|-2<x<4},B=,则A∩B=()A.{x|-1≤x≤2}B.{-1,0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2}2.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是()A.(0,1)B.(2,4)C. D.(1,2)3.(2018河北衡水中学押题一,2)下列函数中,既是偶函数,又在(-∞,0)内递增的为()A.y=x4+2xB.y=2|x|C.y=2x-2-xD.y=|x|-14.(2018湖北部分重点中学联考,5)下列各组函数中,表示同一函数的是 ()A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.(2018河北衡水八模,4)设a=lo3,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c6.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.27.(2018湖南长郡中学五模,8)y=x+cos x的大致图像是()8.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-D.-39.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.410.若函数f(x)=|log a x|-2-x(a>0,a≠1)的两个零点是m,n,则()A.mn=1B.mn>1C.mn<1D.以上都不对11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处12.(2018河北唐山三模,12)设函数f(x)=e x-2++(x-1)2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.∪(3,+∞)D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018宁夏银川一中一模,13)若a=log 43,则2a+2-a=.14.(2018河南南阳一中月考,15)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=7,若f(1)=2,则f(107)=.15.(2018湖南长郡中学一模,14)使关于x的不等式|x+1|+k<x有解的实数k的取值范围是.16.(2018广东广州二测,16)设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间上的所有零点的和为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上是减少的,求实数a的取值范围.18.(14分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(14分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.D因为A={x∈N|-2<x<4},所以A={0,1,2,3}.∵≤2x≤4,∴-1≤x≤2,则A∩B={0,1,2}.2.A∵f(x)的定义域是(1,2),∴1<2x<2,即20<2x<21,∴0<x<1,故选A.3.D由函数的奇偶性可知,y=x4+2x是非奇非偶函数,y=2x-2-x是奇函数,故排除A、C;在(-∞,0)内,y=2|x|是减少的,故排除B,因此答案为D.4.D A,B,C的解析式相同,但定义域不同.D中因g(x)==|x|,所以解析式相同,定义域也相同,故选D.5.A∵>1>>0>3,∴a<b<c,故选A.6.D由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故选D.7.B当x=0时,y=1,选项A错误;当x=π时,y=π-1<π,选项D错误;f(-x)=-x+cos x≠f(x),函数不是偶函数,选项C错误;故选B.8.C x2+ax+1≥0⇔ax≥-(x2+1)⇔a≥-,∵函数f(x)=x+在(0, 1)上是减少的,∴当x∈时,f(x)≥f=+2=, ∴=-,即a≥-,a的最小值是-.9.B函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图像与函数y=sin x的图像在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图像如图所示,由图像可知,两个函数的图像在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B.10.C由f(x)=0,得|log a x|=2-x,函数y=|log a x|,y=2-x=的图像如图所示.由图像可知,n>1,0<m<1.不妨设a>1,则有-log a m=,log a n=,两式两边分别相减得log a(mn)=-<0,∴0<mn<1,故选C.11.A设仓库到车站的距离为x km,由题意,得y1=,y2=k2x,其中x>0.当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2=+x≥2=8,当且仅当=x,即x=5时取等号,故选A.12.C由f'(x)=e x-2-+2(x-1),显然f'(x)递增,且f'(1)=0,∴f(x)在(-∞,1)递减,在(1,+∞)递增.∵将f(x)的图像向左平移一个单位,对应函数为y=e x-1++x2,此函数为偶函数,图像关于y轴对称,自变量离y轴距离大对应的函数值大,∴f(x)的图像关于直线x=1对称,自变量离直线x=1距离大对应的函数值大,∴f(2x)>f(x+3)等价于|2x-1|>|x+3-1|,不等式两边平方,得3x2-8x-3>0,解得x>3或x<-,∴使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是∪(3,+∞).13.原式=+=+=.14.∵f(x+2)·f(x)=7,∴f(x)=,f(x+2)=,∴f(x)=f(x+4),∴函数周期为4.∴f(107)=f(26×4+3)=f(3)==.15.(-∞,-1)原不等式转化为k<x-|x+1|成立,因为y=x-|x+1|=对应图像如图,由图得其最大值为-1.故只需k<-1,即答案为(-∞,-1).16.3∵f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),∴f(-x)=f(2-x),∴f(x)的周期为2.画出y=f(x)和y=|cos(πx)|的大致图像,由图可知,g(x)共有5个零点,其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.∴所有零点的和为3.17.解 (1)设f(x)图像上任一点P(x,y),则点P关于(0,1)点的对称点P'(-x,2-y)在h(x)的图像上,即2-y=-x-+2,∴y=f(x)=x+(x≠0).(2)g(x)=f(x)+=x+,g'(x)=1-.∵g(x)在(0,2]上是减少的,∴1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即a≥3,故a的取值范围是[3,+∞).18.解 (1)由得解得故函数f(x)的解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).因为==(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,而函数y=log2x在(0,+∞)内递增,所以log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.19.解 (1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N+),飞机票价格为y元,则y=即y=(2)设旅行社获利S元,则S=即S=因为S=900x-15 000在区间(0,30]上是增加的,故当x=30时,S取最大值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21 000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解 (1)设f(x)=a-(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=-(t≠0).(2)因为f(x)=-(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)=-=-5,所以t=-;当-1≤≤,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5, 所以t=±2(舍去);当>,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5,所以t=-(舍去).综上所述,t=-.21.解 (1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-+在[2,+∞)内是减少的,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷九解析几何含解析
单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018名校联盟二模,4)“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019届河北武邑中学调研三,文7)双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,则该双曲线的离心率为()A. B.2 C.2 D.3.已知直线l:=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为()A.8B.4C.2D.14.(2018西藏自治区拉萨中学模拟,11)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB 为正三角形,则实数m的值为()A. B.C.或-D.或-5.(2018广东佛山七校联考,5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.2C.4D.37.(2019届湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则p的值等于()A. B.C.2D.48.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A. B.C.2D.29.(2018河北衡水二模,9)已知O是坐标原点,双曲线-y2=1(a>1)与椭圆+y2=1(a>1)的一个交点为P,点Q(,0),则△POQ的面积为()A. B.aC.1D.10.(2018河北衡水中学第十七次模拟,10)若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个11.(2018四川成都七中三诊,11)已知双曲线C:-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.412.(2018青海西宁二模,11)抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则的值为()A. B.1 C.2 D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是.14.(2019届河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q 反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.15.(2018河南南阳联考,15)M是抛物线C:y2=4x上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点且|MF|=2,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=.16.(2018云南曲靖一中质检七,16)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P到直线l的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019届广东广州测试,20)设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.18.(14分)(2019届广东湛江调研,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆C的标准方程;(2)求△PAB的面积.19.(14分)(2019届四川成都棠湖中学模拟,20)如图,已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上,抛物线上的点A到F的距离为2,且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD,AE,且AD,AE 的斜率满足k AD·k AE=2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线DE是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.20.(14分)(2018东北师范大学附中五模,20)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点在C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(-2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q,交y轴于点R,P为椭圆C上一点,且AQ∥OP,求证:为定值.21.(14分)(2019届江西抚州七校联考,20)已知圆M与直线3x-y+4=0相切于点(1,),圆心M在x 轴上.(1)求圆M的方程;(2)过点M且不与x轴重合的直线l与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB,△OCD的面积分别是S1,S2,求的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A当a=1时,直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3,直线ax-3y+3=0的斜率为,两直线垂直;当a=0时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的充分不必要条件,故选A.2.A∵抛物线的方程为y=x2,∴抛物线的准线方程为y=-.∵双曲线my2-x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上,∴双曲线的顶点坐标为0,-,∴a=.又∵b=1,∴c=,则双曲线的离心率为=.故选A.3.B圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),则+=1≥2,∴ab≥8,当且仅当a=2,b=4时,等号成立.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab≥4.∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.4.D由题意得,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径r=1.因为△OAB为正三角形,则圆心O到直线x-y+m=0的距离为r=,即d==,解得m=或m=-,故选D.5.B双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),可得c=2, =,即=3,=3,解得a=1,b=,双曲线的焦点坐标在x轴,所得双曲线的方程为x2-=1,故选B.6.A由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),∴2m-1-1=0,∴m=1,点A(-2,1).∵AC=,CB=r=2,∴切线的长|AB|==4.7.C设F,0,MK是点M到准线的距离,点K是垂足.由抛物线定义可得|MK|=|MF|,因为=,所以=,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直线FA的斜率是-2,所以=-2,解得p=2.故选C.8.C∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.当四边形PACB的面积最小时,圆心C到点P的距离最小,最小值为圆心C到直线kx+y+4=0(k>0)的距离d,此时PA=PB=2.∴d==,解得k=±2.∵k>0,∴k=2.故选C.9.D由题意知两曲线有相同的焦点,设左右两个焦点分别为F1,F2,根据双曲线的定义得到|PF1|-|PF2|=2,根据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2, 联立两个式子得到|PF1|=+,|PF2|=-,由椭圆与双曲线的标准方程得|F1F2|=2,所以Q与F2重合,由余弦定理得到cos∠F1PF2==0,故∠F1PF2=,则S△POQ==×(+)(-)=,故选D.10.D因为点M(4,m)在抛物线y2=4x上,所以可求得m=±4.由于圆经过焦点F且与准线l相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,故圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形知对于点M(4,4)和(4,-4),线段FM的垂直平分线与抛物线都各有两个交点.所以满足条件的圆有4个.故选D.11.B由双曲线方程-4y2=1(a>0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为y=±x,即x±2ay=0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于,∴=,解得a2=,∴双曲线的方程为-4y2=1,∴双曲线的焦点为(1,0).又抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).如图,设点M到直线l1的距离为|MA|,到直线l2的距离为|MB|,则|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.结合图形可得当A,M,F三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点F到直线l1的距离d==2.故选B.12.B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),易知直线l存在斜率且不为0,设方程为y=k(x-1),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得A1+-,-,D1++,+, 联立得(k2+1)(x-1)2=1,解得B1-,-,C1+,,则=--+,--+,=+-,+-,则·=1.13.以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.∵直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化为3k2+4k≤0.解得-≤k≤0,则k的取值范围是.14.4点P关于x轴的对称点为P'(-1,-2),由反射的对称性可知,直线P'Q与圆相切,|PQ|+|QT|=|P'T|,∵圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|==4,故答案为4.15.45°由抛物线的对称性不妨设M(x1,y1)(y1>0),则x1+1=2,得M(1,2),因为K(-1,0),O(0,0),所以=(2,2),=(1,0),可得·=2,||=2,||=1.cos∠MKO=cos<,>==,所以∠MKO=45°.16.设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF'(图略),因为点A、B关于原点对称,所以|AF'|+|BF'|=|BF|+|AF|=2,则|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4,即2a=2,a=1,设P(0,b),因为点P到直线l的距离不小于,所以≥,即b≥,即c=≤,即∈0,,即椭圆离心率的取值范围是0,.17.解 (1)x2+y2+2x-6y+1=0⇔(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲线为以(-1,3)为圆心,3为半径的圆,由已知,得直线过圆心,所以-1+3m+4=0,解之,得m=-1.(2)设直线PQ的方程为y=-x+b,联立方程组得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=b-4,x1x2=,又·=0,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,将x1+x2=b-4,x1x2=代入上式得b2-2b+1=0,所以b=1,所以直线PQ的方程为y=-x+1.18.解 (1)由已知得c=2,=,解得a=2.b2=a2-c2=4,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得4x2+6mx+3m2-12=0,①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为E(x0,y0),则x0==-,y0=x0+m=,因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率为k==-1,解得m=2,此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2,所以|AB|=3,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,所以△PAB的面积S=|AB|·d=.19.解 (1)设抛物线方程为C:y2=2px(p>0),由其定义知|AF|=1+,又|AF|=2,所以p=2,y2=4x.(2)易知A(1,2),设D(x1,y1),E(x2,y2),DE方程为x=my+n(m≠0).把DE方程代入抛物线C,并整理得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由k AD·k AE=·=2及=4x1,=4x2得y1y2+2(y1+y2)=4,即-4n+2×4m=4,所以n=2m-1,代入DE方程得:x=my+2m-1,即(y+2)m=x+1,故直线DE过定点(-1,-2).20.解 (1)由题可得e==,且+=1,a2=b2+c2,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线AQ:y=k(x+2),R(0,2k),由⇒(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,由韦达定理可得:x1=-2,x2=x Q=,则|AQ|=|x Q-x1|=+2=·,|AR|=|0-(-2)|=2,|OP|=|x P-0|,令直线OP为y=kx且令y P>0,x P>0.得(1+4k2)x2-4=0,由韦达定理可得x2=x P=,所以|OP|=,==2,所以为2.21.解 (1)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,解得a=4,r=4,所以圆的方程为(x-4)2+y2=16.(2)由题意知:∠AOB=,设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OA的方程为y=kx,由得(1+k2)x2-8x=0,解得或则点A的坐标为,,又直线OB的斜率为-,同理可得点B的坐标为,.由题意知,C(8,8k),D8,-,因此,==·.又===,同理,=,所以==≤,当且仅当|k|=1时取等号.又>0,所以的取值范围是0,.。
2020北师大高考数学(理科)模拟试卷A
３１．z２绝密★启用前考生须知:2 0 2 0 北师大高考模拟试卷(三)理科数学(A卷)考生必须在答题卡上答卷,否则成绩无效;选择题的答案涂到答题卡对应题目的标号上,非选择题的答案书写在答题卡指定区域内２．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡内３．本试卷满分１５０分．考试时间１２０分钟一、选择题(本题共１２小题,每小题５分,共６０分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)１．已知集合A＝{x|x２－２x－３≥０},B＝{x|l o g２x≤１}．则A∩B＝A．(０,２]B．[－１,２]C．[２,３]D．∅２．设z１,z２为共轭复数,且２z１＋z２＝３＋i,则z１＝A．１B．i C．－iD．(１＋i)/２３．已知a＝l o g２３,３b＝２,c＝π,则A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a４．函数f(x)＝x(x＋s i n x)的图像大致是５．一名奥林匹克１００m短跑选手在赢得比赛后,跑步向人群挥手,最后停下来观看体育场馆的大屏幕上比赛片段的重放．下面最能表示选手从比赛开始到比赛片段重放结束,选手跑过所有路程的速度变化的图象是第１页共４页３ ２ C ． D ． ２ ２ ２３３２２３a ２ ２b２ ６． 北京与上海空中直线距离大约１１６０k m ．民航机空中飞行的时间大约１３５ m i n ．飞机升空后,一位乘客从飞机的舷窗垂直俯看地面的景物,他发现地面上的一个湖面大约要用１m i n 的时间从舷窗中移过．已知飞机舷窗玻璃的宽度大约为２５c m ,乘客看地面时眼睛与舷窗的视线距离大约为３０c m ．根据这些信息估算,飞机距地面的高度大约是 A ．１１６k m B ．１０３k m C ．９６k m D ．８４k m７． 某公交车站每隔１０分钟来一辆公交车到站,乘客到车站的时间是任意的,一位乘客候车时间不超过３分钟的概率是A . １B . １ ３ ７１０１０８． 已知平面向量a ＝(x ,１),b ＝(１－x ,２x ),若(a ＋b )(a －b )＝０,则x ＝ A ．０ B ．１ C ．０或１ D ．０,１或１９． 阅读右面的程序框图,其中输入的变量x 是在０,１ 两个数中等可能产生,运行相应的程序,程序运行输出的结果可能性最大的是 A ．０或３B ．１C ．２D ．１或２１０．已知等差数列{a n}的公差不为零,且a １ ＝ － ２,a ２ ＋a ４ ＝a ３,S n 为 其前n 项和,则S ９＝A ．－１８B ．６C ．１９D ．７ １１．已知双曲线x ２ －y ２＝１ 的焦点分别为F １,F ２,P 是双曲线上一点,且∠F １P F ２＝１３５°,△F １P F ２ 的面积为２ ２－２,则b ２＝A ．２B ．１C ．２D ．２１２．四面体 P ＧA B C ,∠A P B ＋ ∠A P C ＋ ∠B P C ＝９０°,且∠P A B ＝ ∠B A C ＝ ∠P A C ＝９０°, A B ＝１,A C ＝２．则四面体P ＧA B C 的体积为 A ．１B ．２C ．５D ．２二、填空题 (本题共４小题,每小题５分,共２０分．) １３．曲线f (x )＝a x ２－l n x 在 (１,f (１))处的切线方程是y ＝２x －１,则a ＝ ．１４．已知等比数列 {a n}各项皆为正数,且公比q ≠１,a １＝３,S n 为其前n 项和,对任意的正整数a 有l o g a S ４－l o g a S ２＝l o g aa ３,则S ４＝ ． 第２页 共４页２１５．甲乙两人都想去看电影,但他们只有一张电影票,两人决定轮流掷一枚均匀的正反两面的硬币,正面先累计出现３次,甲去看电影,反面先累计出现３次,乙去看电影．当硬币掷出两次正面一次反面时,甲最终可以得到这张电影票的概率是 ． １６．已知椭圆Q :x ２＋y ２＝１ (x ＞０),O 为直角坐标系原点,点A ,B 在椭圆Q 上移动,且满足∠A O B ＝９０°．则△A O B 面积的最小值是 ．三、解答题(共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７~２１ 题为必考题,每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题,考生根据要求作答．) (一)必考题 (共６０分．) １７．(１２分)在△A B C 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 满足条件a １c －１＝c o s A．(１)求c o s C ;(２)若c ＝１,求△A B C 在边A B 上的高h 的最大值． １８．(１２分)如右图所示,在边长为１ 的正方体 A B C D ＧA １B １C １D １中,E ,F 分别是边A １D １,C １D １ 上的点,且D １E ＝D １F ＝a , ０＜a ＜１．连接EF ,A E ,A C ,C F ．(１)证明:平面A E F C ⊥平面B D D １B １;(２)求平面A E F C 与平面B B １C １C 所成锐二面角的余弦值,以及当a ∈(０,１)时,这个锐二面角的变化范围． ３b c a b１９．(１２分)在直角坐标系x O y 中,抛物线Q :y ２＝x 与过(１,０)的直线l 相交于不同的A ,B 两点,抛物线在点A ,B 处的切线分别是l １,l ２．(１)求两条切线交点的轨迹; (２)如果抛物线方程为y ２＝２p x ,p ＞０,所求轨迹方程是否与p 有关? 如果有,写出和p 相关的轨迹方程,若没有,请说明理由; (３)如果直线l 过(m ,０),m ＞０,则(１)中所求轨迹是否有变化? 若有,写出新的轨迹方程,若没有,请说明理由．２０．(１２分)已知函数f (x )＝a x ２－x s i n x －c o s x ,a 是大于０的常数． (１)判断f (x )的奇偶性; (２)若f (x )在定义域内只有唯一的极小值点,求a 的取值范围; (３)在(２)的情况下,证明f (x )只有两个零点;并简述当a 越来越小,接近于０ 的时候,f (x )的零点个数的变化情况． 第３页 共４页＝s i n ,αy － －２１．(１２分)李华家里的扫地机器人发生了故障,只能向左右两个方向随机移动,且碰到墙壁就会停下来不再移动．如果机器人正处于房间的某个位置它的左侧是一面墙壁,右侧是充电 插座所在墙面,如果机器人移动到右侧墙壁就正好可以碰到插座进行充电,如果移动到左侧墙壁就只能停下来不再移动也不能充电．假设机器人每秒钟移动一次,每次可以移动长度为单位长度的一格,每次向左边移动一格的概率为p ,向右移动一格的概率为q ,p≠ q ,p ＋q ＝１．以左侧墙壁为原点,从左到右为正方向建立坐标轴,如下图所示,O 为左侧墙壁,充电插座的位置在n 处．现假设扫地机器人在i 处．(１)用 X 表示扫地机器人在i 处发生第一次移动所到达的位置坐标,求X 的分布列;(２)设Q i 表示扫地机器人从i 出发左右随机移动,最终可以到达充电插座进行充电的概率,则有Q i ＝p Q i ＋１＋qQ i －１,且Q ０＝０,Q n ＝１． (ⅰ)证明 {Q i ＋１－Q i },i ＝０,１,２,,n －１ 是等比数列; (ⅱ)令p ＝０４,q ＝０６,求通项公式Q i ; (ⅲ)如果p ＝q ＝０５,求Q i ． (３)由前面结果,推断充分长时间后扫地机器人的行为,会在两个墙壁之间无休止的移动下去吗?(二)选考题(共１０分．请考生在第２２、２３ 题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．) ２２．【选修４Ｇ４:坐标系与参数方程】(１０分)在直角坐标系x O y 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C １ 的极坐标方程为:ρc o s θ－ρs i n θ＋１＝０,曲线C ２ 的参数方程为x ＝２c o s α,其中α 为参数． (１)写出C １ 与C ２的直角坐标方程; (２)求C １ 与C ２ 的交点坐标． ２３．【选修４Ｇ５:不等式选讲】(１０分) 已知a ,b 都是大于零的实数,且a ＞b ．(１)证明a b １b ２ ≥a４２; (２)证明a b １b ２ ＋a ≥３．第４页 共４页DF E2 0 2 0 北师大高考模拟试卷（三)理科数学(A 卷)阅卷标准1. DB = {x ∣0＜x ≤2} ⇒ A∩B = ∅2. B解析：设 z 1 = x + yi ， z 2 = x - yi 则3x + yi = 3 + i∴ x = 1， y = 1， z 1 = 1+ i ， z 2 = 1- iz 1= i 23. A解析： a ＞1，b ＜1c ≈ 1.04而 2a = 3 ， 322= 2 ⨯2 ≈ 2 ⨯1.414∴ a ＞ 3＞c ＞b24. C， '显然，x ＜0 时， f '(x ) ＜0x ＞0 时， f '(x ) ＞05. B解析：C 、D 可立刻排除，A 到 100m 后速度没有减下来，不合理。
北京市2020年高考理科数学质量检测试题及答案
北京市2020年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-2. 设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A. -1B. iC. 1D. 43. 已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B. 12x xD. 25. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤= A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07946.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为A.3B.2D.7. 若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为 A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =A. 5B. 4C. 3D. 210.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为1-111.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为A ．52πB ．5πC ．4πD ．53π 12.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
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单元质检卷十二 概率(A )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019陕西黄陵中学模拟,6)在区间[-1,4]内取一个数x ,则2x -x 2≥14的概率是( ) A .12 B .13C .25D .352x -x 2≥14,所以x 2-x-2≤0,解得x ∈[-1,2],所以P=2-(-1)4-(-1)=35.故选D .2.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X 表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X 的均值E (X )是( ) A .115 B .125C .135D .145的可能取值为2,3,P (X=3)=25×14+25×14=15,P (X=2)=1-P (X=3)=45,∴E (X )=45×2+15×3=115,故选A .3.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( ) A .13B .25C .12D .35n=C 62C 42C 22=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C 31C 31C 21C 21C 11C 11=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P=m n =3690=25.4.(2019湖北武汉四校联考,6)如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷800个点,其中落入黑色部分的有453个点,据此可估计黑色部分的面积约为( ) A.11B.10C.9D.84的正方形二维码面积为42=16,设图中黑色部分的面积为S,则S16=453800,所以S=45350≈9.故选C.5.(2019江西九江模拟,6)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为()A.16B.14C.13D.124×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3个,故所求概率为P=312=14,故选B.6.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架,一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()A.17B.27C.37D.47,最近路线,即不能走回头路,不能走重复的路,∴一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次,∴最近的行走路线共有n=A77=5 040,∵不能连续向上,∴先把不向上的次数排列起来,也就是将2次向右和2次向前全排列A44,接下来,把3次向上插到4次不向上之间的空档中,5个位置排三个元素,也就是A53,则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m=A44A53=1 440种,∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P=mn =14405040=27.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019山西晋城三模,14)某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如右的茎叶图,则从中任取1名员工,迟到次数在[20,30)的概率为.,该公司共有20名员工,其中迟到次数在[20,30)的有6人,故所求概率P=310.8.(2019江西南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校联考,14)若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动,则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是.5名男同学和2名女同学中选出3人,有C73=35种选法.选出的男女同学均不少于1名,有C51·C22+C52·C21=25种选法.故选出的同学中男女生均不少于1名的概率P=2535=57.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019江西上饶三模,19)目前共享单车基本覆盖市区,根据统计,市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%,骑行过共享单车的人数中,有30%是学生(含大中专、高职及中学生),若市区人口按40万计算,学生人数约为9.6万.(1)任选出一名学生,求他(她)骑行过共享单车的概率;(2)随着单车投放数量增加,乱停乱放成为城市管理的问题,如表是本市某组织累计投放单车数量x与乱停乱放单车数量y之间关系图表:计算y关于x的线性回归方程(其中b精确到0.000 1,a值保留三位有效数字),并预测当x=26 000时,单车乱停乱放的数量;(3)已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中,其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准,在“大美上饶”活动中,检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量,X表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”,求X的分布列和均值.参考公式和数据:回归直线方程y=bx+a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a=y -b x ,∑i=15x i y i =2 117 000 000,∑i=15x i 2=1 398×108骑行单车的学生人数为40×60%×30%=7.2,故任选一学生骑行过单车的概率为7.29.6=34.(2)由题意得x =160 000,y =2 400,b=2 117×106-5×16×24×1061 398×108-5×256×108=197118×1102≈0.016 7,a=2 400-0.016 7×160 000=-272,故所求回归方程为y=0.016 7x-272,当x=26 000时,y ≈162,即单车投放累计26 000辆时,乱停乱放的单车数量为162. (3)X 的取值为0,1,2, P (X=0)=C 22C 42=16;P (X=1)=C 21C 21C 42=23;P (X=2)=C 22C 42=16,X 的分布列为E (X )=0×16+1×23+2×16=1.10.(14分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费,超出w 立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,(1)求a ,b ,c 的值及居民用水量介于2~2.5的频数;(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ,求其分布列及其均值.∵前四组频数成等差数列,∴所对应的频率也成等差数列,设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,∴0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,解得d=0.1,a=0.3,b=0.4,c=0.5.居民月用水量介于2~2.5的频率为0.25.居民月用水量介于2~2.5的频数为0.25×100=25人.(2)由题图和(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,≈2.83(立方米).应定为ω=2.5+0.10.3(3)将频率视为概率,设A代表居民月用水量,由题图知:P(A≤2.5)=0.7,由题意X~B(3,0.7),P(X=0)=C30×0.70×0.33=0.027,P(X=1)=C31×0.32×0.7=0.189,P(X=2)=C32×0.3×0.72=0.441,P(X=3)=C33×0.73=0.343.∴X的分布列为:∵X~B(3,0.7),∴EX=np=2.1.11.(16分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X 的分布列与均值;(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率; ②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的均值.由题意可知,X 的可能取值为0.9a ,0.8a ,0.7a ,a ,1.1a ,1.3a ,由统计数据可知:P (X=0.9a )=1,P (X=0.8a )=1,P (X=0.7a )=1,P (X=a )=3,P (X=1.1a )=1,P (X=1.3a )=1,∴X 的分布列为:∴EX=0.9a ×15+0.8a ×110+0.7a ×110+a ×310+1.1a ×15+1.3a ×110=9.810a=931. (2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C 331001-3103+C 3131011-3102=0.784. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y 的可能取值为-5 000,10 000,P (Y=-5 000)=310,P (Y=10 000)=710,∴Y 的分布列为:EY=-5 000×310+10 000×710=5 500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的均值为100EY=550000(元)=55(万元).。