2.1两条直线的位置关系(2)
两条直线的位置关系 (2)
∴a＝1，
故 a＝1 是直线 y＝ax＋1 和直线 y＝(a－2)x－1 垂直的
典 充要条件．
例 探 究 · 提
(2)由 3a－(a－2)a2＝0 得 a(a2－2a－3)＝0，
课
∴a＝－1 或 0 或 3.检验当 a＝0 或－1 时两直线平行，
后 作
当 a＝3 时两直线重合．
业
知
能
【答案】 (1)C (2)D
高 考
主
体
落 实 ·
(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由m 2 = m8 ≠ n1 得
验 · 明
固
考
基
础
m m 8 2 0, m 4, m 4,
8 1 n m 0, ∴ n 2. 或 n 2
情
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
体 验
实
·
· 固
－2＝0平行的直线方程是( )
明 考
基
础
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
情
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
典
例
课
探
后
究
作
· 提
【变式】若改成垂直，则所求直线方程为（ ）
业
知
能
菜单
2018届文科数学第一轮复习
自 （1）【答案】 A
高 考
主 落 实
【解析】 ∵所求直线与直线 x－2y－2＝0 平行，
典 例
(3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.
课
探
后
究 · 提
又 8n=-1,∴n=8.
作 业
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)(2)
斜率为0和不存在的特殊情况．
[通一类] 1．判断下列直线的位置关系．
(1)已知两条直线l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)已知两条直线l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0.
3 6 解：(1)直线 l1 化为斜截式为 y＝－ x＋ ， 5 5 3 3 直线 l2 化为斜截式为 y＝－ x－ ， 5 10 3 6 由此可知 l1 的斜率为 k1＝－ ，在 y 轴上的截距为 b1＝ ， 5 5 3 3 l2 的斜率为 k2＝－ ，在 y 轴上的截距为 b2＝－ . 5 10 3 6 3 因为 k1＝k2＝－ ，b1＝ ≠－ ＝b2， 5 5 10 所以 l1∥l2.
[悟一法]
在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，
若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或
垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线 的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．
[通一类]
2．已知直线：l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0
互相垂直，求a的值．
法二：利用直线系方程求解．
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为 3x＋4y＋m＝0. 由点A(2,2)在直线l1上，得 3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14. 故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)法一：设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2. 4 因为 klkl2＝－1，所以 kl2＝ ， 3 4 故直线 l2 的方程为 y－2＝ (x－2)， 3 即 4x－3y－2＝0.
解：(1)当 a≠0 时， 2a－1 l1 的斜率 k1＝a，l2 的斜率 k2＝－ a . 2a－1 ∵l1⊥l2，∴a· (－ a )＝－1， 即 a＝1. (2)当 a＝0 时，直线 l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在， 两直线垂直． 综上所述，a＝0 或 a＝1 为所求.
2.1两条直线的位置关系2
C
如图，过点C作直线AB的垂线，
●
垂足为D，垂线段CD的长度叫
做点C到直线AB的距离。
AD
B
议一议
你知道体育课上体育老师是如何测量跳
远成绩的吗？你能说说其中的道理吗？
垂线段AE的长度就是这位同学的跳远成绩
N
踏E
板
M
B
C
A
D
沙坑
随堂练习
1、如图，∠ABC=900，则AB与BC的位置关系是 _____;AB=6，BC=8,AC=10,则A到BC的距离是 ______,C到AB的距离是_______.
做一做
（2）你能借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直 的直线吗？
做一做
（3）你能用折纸的方法得到两条互相垂直 的直线吗？试试看，请说明你的理由。
想一想 画一画
（1）如图，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线， 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 你能画出几条？点A在直线l外呢？
P
P
l
A
C BD
2、如图，这是马路上的人行横道线，即斑马线 的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条 线段AC、AB、AD中最短的是_____,道理是 __________
课堂小结
1、什么是垂直？
两条直线相交形成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相垂直， 其中一条直线是另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂直的表示方法
通常有符号“⊥”表 示
借助三角尺在白纸上画
3、垂线的画法 借助直尺在方格纸上画
用线的性质：
P
P
l
l
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线的性质：
2.1两条直线的位置关系2(余、补角)
C
E
D
三、对顶角及其性质 例3、如图，直线AB、CD相交于点O， ∠EOC=80°，OA平分∠EOC，求∠BOD 的度数。
E D
A O C
B
1、AB、CD、EF相交于点0，AB⊥CD， OG平分∠AOE，∠FOD=28°， 求∠AOG的度数。
判断下列说法是否正确： 1、有公共点，且相等的角是对顶角。 2、一个角的补角必大于这个角。 3、若∠1+∠2+∠3=180°，则它们互为 补角。
4、两条直线相交，构成两对对顶角。
1、如图，直线AB、CD、EF都过点O， 且∠AOC=25°，∠COE=45 °，则 ∠EOB=_______，∠BOC=_______， ∠DOF=___________， F A ∠FOA=__________。
C O D
B E
2、若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互补， ∠3=60°，那么∠1=_________。
3、∠A与∠B互为补角，且∠A>∠B，则∠B 的余角是( )
1 A. A B； 2 1 C. A B； 2
1 B. A ； 2 1 D. B 2
一、概念应用
例1、已知一个角的补角比这个角的余 角的3倍大10°，求这个角的度数。
学习助跑：
（1）互为余角：如果两个角的和是直角，那么称 这两个角互为余角。 （2）互为补角：如果两个角的和是平角，那么称 这两个角互为补角。 知道：余角、补角与两个角的大小有关系，与他 们的位置没有关系。 （3）对顶角：两条直线相交所形成的四个角中， 如果有两个角，它们有公共的顶点且两边 互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。 （1）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 （2）对顶角相等。
两条直线的位置关系第2课时课件北师大版数学七年级下册
垂线的性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)垂线段最短.
问题：两条相交直线在什么情况下是垂直的？ （（123））
新知生成
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，
其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做
另一条直线的垂线. C
2.垂直的表示：垂直用符号 “⊥”来表示，读作
“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作 A “AB⊥CD”,其中点O是垂足.
B O
D
任务二：学会利用工具点到直线的距离
自主探究：做一做.(1)你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直 的直线吗？你能归纳具体做法吗？
垂线的画法：一靠二移三画， 用工具（直尺、三角板）
(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
方格纸上每一条横线和竖线 都是互相垂直的,我们可以 利用格线来画出两条互相垂
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系 第2课时
1.能理解垂直与垂足的概念，会用几何符号表示垂直关系 2.能掌握垂线的相关性质，会作点到直线的距离
任务一：掌握垂线的相关概念
活动.在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具 有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗? 它们有什么特殊的位置关系?说说看.
A BO
C
垂线的性质2：直线外一点与直线上各点
连接的所有线段中，垂线段最短.
l
简单说成：垂线段最短 .
归纳小结
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意 （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
七下2.1两条直线的位置关系练习
2.1两条直线的位置关系（1）1.我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 在同一平面内，不相交的两条直线叫做2．如上图，直线 AB 与 CD 相交于点 O ，那么 ∠ 1与 ∠ 2 的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？在上图中，直线 AB 与CD 相交于点 O ，∠ 1 与 ∠ 2有公共顶点 O ，它们的两边 ，具有这种位置关系的两个角叫做 对顶角有如下性质：对顶角3．在上图中， ∠ 1 与 ∠ 3 有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个 角 .类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个 角 . 4.（1）在图2中，∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°那么∠1与∠3的大小关系是________。
证明：∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-又∵∠2+∠3=90°∴∠3=90°- ∴∠1____∠3 结论：①同角的余角______; 符号语言：∵∠2+∠1=90°，∠2+∠3=90°∴∠（2）在图3中，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°若∠1=∠3，问∠2与∠4的大小是________。
证明：∵∠1+∠2=90°，∠1=∠3∴∠___+∠2=90° ∴∠2=90°-∠___又∵∠3+∠4=90°∴∠4=90°-∠___∴∠2____∠4 结论：②等角的余角______。
符号语言：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3 ∴∠2____∠4 5.（1）若图4中，∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°则∠2，∠3的大小关系是_______结论：③同角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2____∠3 （2）若图5中，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3,则∠2,∠4的关系是：_______ 证明：132图4 图33412图5结论：④等角的补角_______.符号语言：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°∠1=∠3∴∠2____∠4自学检测：6. 如图，直线 a ，b 相交， ∠ 1 = 38°，求 ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4 的度数．7.如图，∠AOB 为一直线，∠1=∠2，∠3=∠4，则图 中互余的角共有（ ） A 、5对 B 、4对 C 、3对 D 、2对 8.一个角比它的余角的2倍大12°，试求这个角的度数。
北师大版七年级数学下册2.1《两条直线的位置关系(第2课时)》习题含答案
2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（ ） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（ ） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（ ） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（ ）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（ ） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对 二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ． （1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角 即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。
2.1 两条直线的位置关系(第2课时)
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容3】 体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗? 与同伴交流.
解:体育课上,老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
合作研学
探究活动4 垂线的应用
1.如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,
∠EOD＝40o,则∠BOC＝ 130° .
自主探学
探究活动2 垂线的画法 2.如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?
说出你的画法和理由.
自主探学
探究活动2 垂线的画法
3.你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗,试试看!
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容1】 如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条? 如图(2)所示,如果点A在直线l外呢?动手画一画,与同伴交流.
结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
自主探学
探究活动3 垂线段和点与直线的距离 【活动内容2】 如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在 直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?
结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短. 如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做 点A到直线l的距离.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上, 我们认为点到直线的距离为零.
检测评学
1.画一条直线l,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,分别经过 点A , B用三角尺或量角器画直线l的垂线．
解:作图如下：
检测评学
2.分别找出下列图中互相垂直的线段．
七年级数学下册《2.1 两条直线的位置关系(二)》教学设计 (新版)北师大版
1.做一做：
①点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？
②点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A、B、C在直线l上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
2.想一想：
①平面内，过一点___________________与已知直线垂直(性质1)
1.借助三角尺在白纸上画出 两条互相垂直的直线（复习小学学习过的画法）
2.借助直尺在方格纸上画出两条 互相垂直的直线 ，预计多数学生会画出AB和它的垂线，而直线CD和它的垂线考虑到的学生较少，若没有学生考虑到，老师可给出C D，请学生思考作法．
3.能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？（教学回归到生活实际）
教具准备：直尺、三 角板、圆规、网格纸，具有相交线和平行线情境的图片
教学方法：
教学过程
教学环节设计：
一.观察图片，引入两直线的位置关系
1. 出示具有相交线和平行线情境的图片，学生观察后回答：图中的直线有怎样的 位置关系？
2.明晰概念和表达
①若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
②在同一平面内，不相交的两条直线叫做平 行线．
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,____________最短.(性质2)
3.点到直线的距离:如图,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
4.解决问题:回忆体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?你能说出其中的道理吗 ?
五.巩固新知
1.你能找出实际生活中平行线,相交线或垂直相交的例子吗?§2.Βιβλιοθήκη 两条直线的位置关系三维目标：
1.知识与技能目标：在具体情境中了解平行线、相交线，能用符号表示平行或垂直的直线；会根据不同的条件作出两条互相垂直的直线，知道“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“垂线段最短”几何事实．
2_1两条直线的位置关系教案
2.1 两条直线的位置关系教学目标：知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。
过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观点、推理水平和有条理表达的水平。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，理解到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的相关问题，这些问题能够抽象成数学问题，用数学方法予以解决。
教学重点：（1）让学生了解同一平面，两条直线的位置关系（2）理解掌握对顶角的定义及其性质（3）理解掌握余角、补角的定义及其性质教学难点：补角、余角性质的应用教法与学法指导以学生活动为主线，通过精心设计的问题导语启发、点拨，引导学生观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等参与活动的综合形式教学.指导学生在课堂实践活动中，自主探索,合作交流,获得知识, 提升技能,培养创造意识.一、感受生活，引入课题请同学们欣赏幻灯片，同学们看到有一些相互平行的直线，也有纵横相交的直线。
--------由此引出课题。
二、自主学习，探究新知两条直线的位置关系：相交与平行1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种： 和 .2. _______________________________为相交线。
3. ________________________________叫做平行线.强调关键词“在同一平面内”的意义。
（结合反例）设计意图：独立思考、学会思考是创新的核心。
数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。
通过亲自经历提炼相关数学信息的过程，能够让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。
充分利用现代化教学手段增强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提升学课堂效率。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行； 必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1； 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析 若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析 由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析 由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析 由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程． 解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)， 又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解 依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0， 联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。
2.1两条直线的位置关系(2)
O
D
B
2、如图，OA⊥OC，OB⊥OD，∠BOC=30°，求∠AOB，∠COD，∠AOD
B A C
O
3、如图，要把水渠中的水引到水池 C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？请画出图来，并说明理由
D
水渠 C
4、点 C 在直线 AB 上,过点 C 引两条射线 CE、CD，且∠ACE=32°， ∠DCB=58°，则 CE、CD 有何位置关系关系？为什么？
七年级数学导学案第 18 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人：王文锦
Hale Waihona Puke 课题：2.1 两条直线的位置关系(2)
学习目标：1、了解垂直的概念，能说出垂线的性质；2、会用三角 尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
一、自主预习：
互余 对应图 形 数量关 系 性质 互补
C
1 ∠3 2 与 ∠4
3 3
对顶角
O B D
b a 1 2 4 3
D A C
B
线段 PO 的长度 叫做点 P 到直线 l 的距离。
AB＝5cm，那么点 B 到直线 AC 的距离等于 的距离等于 ，A、B 两点间的距离等于
七年级数学导学案第 18 课时 主备人：曹晓磊
审核人：
施晓海
审批人：王文锦
四、总结反思： 五、课后练习： 1、已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上 （1）画直线 DE⊥OB (2) 画直线 DF⊥OA，垂足为 F
E A C
D B
D C
5、如图，AO⊥OB，OD 平分∠AOC，∠BOC=150°，求∠DOC 的度数
A
O
B
课后反思：
4
2.1.2两条直线的位置关系七年级数学下册同步精品课堂(北师版) (1)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
讲授新课
总结归纳 垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
数学（北师大版）
七年级 下册
第二章 相交线与平行线
2.1.2两条直线的位置关系（2）
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点 到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决 实际问题.
导入新课
同一平面上的两条直线有什么位置关系?
a
b
平行
a b
相交
导入新课
2020-2021学年七年级下册数学北师大版习题课件 2.1 第2课时 垂线及垂线段最短
5．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( ) B A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短
6．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P 是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是( ) A A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，直线AB，CD相交于点O，P是直线CD上一点． (1)过点P画AB的垂线段PE； (2)过点P画CD的垂线，与AB交于点F； (3)试说明线段PE，PO，FO之间的大小关系，其依据是什么？
解：(1)(2)如图：
(3)PE＜PO＜FO，理由：垂线段最短
10．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝
1 3
∠BOC，OC是∠AOD的平
分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由． 解：(1)由题意得∠AOC＝14∠AOB＝45°， 由OC平分∠AOD得∠COD＝∠AOC＝45°
(2)OD⊥AB.∵∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°
＋45°＝90°，∴OD⊥AB
3．如图，已知AO⊥BC于O. (1)如果∠AOD＝30°，那么∠DOC＝______6_0_°； (2)如果∠AOC与∠AOD的度数比是5∶1，那么∠COD＝_____7_2_°.
知识点❷ 垂线段最短 4．如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后 沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是( ) B A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点只能作一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( ) C A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120° 8．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6是6cm，点C到AB的距离是_____cm4..8
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(2)
·
A
a
B
3
例：已知不共面的三直线a、b、c相交于点 O，M、P是a上两点，N、Q分别在 b、c上 ． 求证：MN、PQ异面 .
M O P a
10
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 b 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
O a a’
0 90 5、两条异面直线垂直
α
如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面 直线垂直。记作：a⊥b
6
典型例题
例1、如图表示一个正方体
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
8
例3．求异面直线所成的角． 转化为平面角
D1 A1
M
M
D A
E N
B1
L
C1
* 中位线
C
O
B
F
主要步骤：①构造平面角；
②证明； ③求角计算．
9
定量 ——异面直线的距离 ——公垂线段的长度 和两条异面直线都垂直、相交的直线，
叫做两条异面直线的公垂线．
处理所有课本练习：P48，51习题 2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2） （3） 5， 6
Q
N b
c角的两边和 另一个角的两边分别对应平行， A 那么这两个角相等或互补
D
B
E
C
A1
D1 E1 C1
B1
5
4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
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做一做
用折纸法折出垂线
根据图示能折出互相垂直的线， 您不妨试试看！
(1)
(2)
(3)
(4)
返回
合作探究
(1)在图中点A在直线m上，过点A作m的垂线， 你能作多少条？点A在直线外呢？ A
· A · m m
性质1： 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。
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点到直线的距离
看图回答
P
线段PA, PB, PC , PD 谁最短？
返回
用三角尺作两条互相垂直的直线
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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1
2
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做一做
7 0
8 1
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做一做
在方格纸上画两垂直的直线
试讨论一下，有几种画法？
C
B
A D 若取定A、B 两点 怎样再取两点 C、D、才能使CD⊥AB？ 有什么规律？ ——横4 竖3，横 3竖4 。
5.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、 N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所 示。 M 当汽车行驶到 当汽车行驶到 Q 何处时，分别 点P、Q时， B A P 对两个学校影 分别对M、N 响最大？ 影响最大。 N
一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N 分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示。 M 当汽车由 A向B行 在AP 这段路上，对两个 驶时，在哪一段 村庄影响越来越大； 上对两个学校影 在QB 这段路上，对两个 响越来越大？越 村庄影响越来越小。 来越小？
Q
A
P
B N
一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N 分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示。 M
Q
A
P
B N
问题3 3：在从 ： 问题 P到Q这段路 在哪一段对M学校影响逐 上在哪一段对 M学校影响 渐减小而对N学校影响逐 逐渐减小而对 N学校影响 渐增大？ 逐渐增大？
线段与线段垂 2. 如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下 直是指他们所 面结论中正确的有（ ）个。 在的直线垂直。 ①点B到AC的垂线段是线段AB ；
②线段AC是点C到AB的垂线段； ③线段AD是点A到BC的垂线段； ④线段BD是点B到AD的垂线段。 A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。 A
A O D
n C
B
m
直线 m 与直线 n 垂直 记作：m⊥n ；
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
注意
“⊥”是“垂直”的记号， 是图形中“垂直”(直角)的标记。 而“ ”
做一做
2.你能画出两条互相垂直的直线 吗？你有哪些方法？
（1）你能用三角尺在白纸上画两条互相 垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相 垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸 上画 出两条互相垂直的直线吗？
3. 如图: 点O在直线AB上，OE⊥AB于点O， OC⊥OD,若∠DOE=320，请你求出∠EOC、 ∠BOD的度数，并说明理由。 4. 如图，点O在直线AB上，OC平分∠BOD， OE平分∠AOD，则OE和OC有何位置关系？ 请简述你的理由。
D A
E
C B A
E O 3题
D C B
O 2题
共同探究
A B C D
m
你能用一句话 表示这个结论吗？
性质2 直线外一点与直线上各点连接的所有线 段中，垂线段最短。
m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
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1.判断 (1)一条直线的垂线只能画一条（ ） (2)两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线 互相垂直（ ） (3)点到直线的垂线段就是点到直线的距离( ) (4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直( )
a
b c
北浦中学七年级数学组
谢玲
想一想： 平面内的两条直线有哪些位置关系?
a
b a b
平行
a
b
相交
议一议: 下面两种相交的情况有什么不同？
两直线不垂直
两直线垂直
自主学习
定义：如果两条直线相交成直角，
那么这两条直线互相垂直。
l o m
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垂直的表示
图中，直线AB与直线CD垂直 记作： AB⊥CD；