2017_2018学年高中数学第二章函数3数的单调性课件北师大版必修1
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
2017-2018学年高中数学必修1北师大版函数的单调性ppt课件(34张)
2 4．若函数 y＝kx － x＋ 1 在[0，＋∞ )是减小的，则 k 的取值 3 (－∞，0] ． 范围是_____________
2
2 解析：若 k＝ 0 时，y＝－ x＋ 1 在 R 上为减函数，符合要求； 3 若 k≠ 0 时，由题意知 k＜0，此二次函数开口向下，对称轴 1 1 为 x＝ ，由题意需 ＜ 0， 3k 3k ∴ k＜ 0，综上 k 的取值范围是 (－∞， 0]．
(3)若函数y＝f(x)在闭区间A上单调，则函数y＝f(x)存在最大 值和最小值( √ )
(4)若函数y＝f(x)的最大值和最小值分别为M，m，则函数y＝
f(x)的最大值(最小值)点是唯一的( × ) (5)由于函数的单调性是一个局部性概念，所以叙述函数的单 调性要指出对应的区间( √ )
2．(2014· 成都高一检测)下列函数在区间(－∞，0)上为增函数 的是( D ) 1 A． f(x)＝ 3－ x B．f(x)＝ x－1 C． f(x)＝ x2－2x－ 1 D． f(x)＝－ |x|
方法归纳
一般地，证明函数的单调性需运用定义法．其基本步骤为：
“作差、变形、定号”.变形一般要变形成因式的“积、商、 平方和”x在(－∞，1]上是单调递减的．
证明：设 x1＜x2≤1， 则 f(x2)－f(x1)＝ 1－x2－ 1－x1 x1－x2 ＝ ，由假设可知 1－x2＋ 1－x1 x1－x2＜0, 1－x2＋ 1－x1＞ 0， ∴f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x1)＞f(x2)， 故函数 y＝ 1－x在(－∞，1]上是单调递减的．
第二章
函
数
§3 函数的单调性
第二章
函
数
学习导航 学习 目标
学法 指导
1.了解函数的单调特征． 2.理解函数单调性定义及应用．(重点) 3.掌握定义法证明函数单调性，并会求单调区间 和最值．(难点) 1.通过观察一些函数图像的特征，形成增(减)函数 的直观认识，再通过具体函数值的大小比较，认 识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律，在 经历从直观到抽象,以图识数的过程中，得出增(减 )函数单调性的定义,体验数学概念的形成过程． 2.掌握用定义证明函数单调性的步骤和判断函数 单调性的常用方法.
3.函数的单调性课件(北师大版必修1)[1]
![3.函数的单调性课件(北师大版必修1)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/abde02f0ba0d4a7302763a3d.png)
（3）单调性的理论证明
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.
——华罗庚
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f (x)
f (x1 )
当 x1 x 2时 ， 都 有 f （ x1） > f （ x 2）
f (x 2 )
O
x1
x2
x
那么就说 函数f (x)在 区间D上为减函数。
在区间D内
在区间D内
y=f(x)
y=f(x)
y f(x2)
y
图象
f(x1)
·
·
x1 x2 x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f ( x1 )
x 1O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
学高中数学第二章函数的单调性讲解与例题北师大版必修1
3函数的单调性(1)函数y＝f(x)在区间A上的增加与减少及单调区间在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y ＝f(x)在区间A上是递减的．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数y＝f(x)在数集A上的增加与减少及单调性一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在数集A上是减少的．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．谈重点函数单调性的理解函数的单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图像特征，它反映了函数图像的变化趋势(当自变量增大时，函数值是增大还是减小，图像是上升还是下降)．正确理解单调性的定义，应抓住以下几个重要字眼：(1)“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集，所以，在考察函数单调性时，必须先看函数的定义域．(2)“区间”．函数的单调性是对定义域内某个相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的增减性．我们不能说一个函数在x＝5时是增加的或减少的，因为这时没有一种可比性，没突出变化，所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增加的或是减少的．(3)“任意”和“都有”．“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．对“任意”二字不能忽视，如考查函数y＝x2在区间[－2,2]上的单调性，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y ＝x2在[－2,2]上是减少的，那就错了．原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．同样地，“都有”两个字也很重要，如函数y＝x2在[－2,2]上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(x1)＜f(x2)．我们可以看到对于x1＜x2，f(x1)并没有始终小于(或者大于)f(x2)，因此就不能说y＝x2在[－2,2]上是增加的或是减少的．【例1－1】下列说法不正确的有( )．①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减少的；②函数1yx的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0]上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1yx=的单调区间，在这两个区间上函数是减少的，但1yx=在整个定义域上不是减函数，因为存在x1＝－1＜1＝x2，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，有f(x1)＜f(x2)成立，不符合减函数的定义；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )．A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )．A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图像上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0＜x＋1＜3，∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图像法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图像较容易画出，因此，可利用图像的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．谈重点函数单调区间的求解及书写12．书写函数的单调区间时应该注意以下几点：(1)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如f(x)＝1x的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者写成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能写成(0，＋∞)∪(－∞，0)．(2)确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子集区间．(3)书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图像在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时，不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－1】已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )．解析：来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．答案：B析规律 单调性图像的表现形式函数的单调性反映在图像上是函数图像在指定的区间上(也可以是定义域)从左到右越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C 中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图像上的直观表现．【例2－2】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图像，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：f (x )＝22230230.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，当x ≥0时，f (x )＝－(x －1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1,4)，且f (3)＝0，f (0)＝3；当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f (－3)＝0.作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．解技巧 利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、形状，确定函数的单调区间．【例2－3】(1)证明函数f (x )＝在定义域上是减函数；(2)证明函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数； (3)证明函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f (x 1)，f (x 2)的差f (x 1)－f (x 2)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)f (x )＝的定义域为[0，＋∞)， 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝((-=＝0=>，即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝在定义域[0，＋∞)上是减函数． (2)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 13＋x 1)－(x 23＋x 2)＝(x 13－x 23)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)2212213124x x x ⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． (3)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝121212()(1)x x x x x x --.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． ∴由单调函数的定义可知，函数f (x )＝1x x+在(0,1)上为减函数． 警误区 证明函数单调性的常见错误在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤<函数y =的单调性，而y =的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增加的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减少的，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：已知函数f (x )的单调性，比较两个函数值f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小，可以转化为判断a 2－a ＋1的取值范围以及a 2－a ＋1与34的大小关系．∵a2－a＋1＝2133244a⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a≠时，a2－a＋1＞34，有f(a2－a＋1)＜34f⎛⎫⎪⎝⎭；当12a=时，a2－a＋1＝34，有f(a2－a＋1)＝34f⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，f(a2－a＋1)≤34f⎛⎫⎪⎝⎭.答案：f(a2－a＋1)≤34 f⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图像，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3.谈重点分段函数的单调性求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系．【例4】已知函数f(x)＝(3)411a x a xaxx-+<⎧⎪⎨≥⎪⎩，，，是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x)是一个分段函数，其图像由两部分组成．当x＜1时，f(x)＝(3－a)x＋4a，其图像是一条射线；当x≥1时，f(x)＝ax，其图像由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线，若a≠0，则为反比例函数图像的一部分(曲线)．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图像位于x≥1时的图像的上方．解：由题意知，函数f(x)＝(3－a)x＋4a，x＜1与f(x)＝ax，x≥1都是减少的，且前者图像位于后者图像的上方(如图所示)．∴30(3)4aaa a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，，，即3,0,3.2aaa⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪≥-⎩∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，即y max ＝f (b )；最小值在左端点a 处取得，即y min ＝f (a )．若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，即y max ＝f (a )；最小值在右端点b 处取得，即y min ＝f (b )．解题时也可结合函数的图像，得出问题的答案．以下是基本初等函数的最值： ①正比例函数y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[a ，b ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .②反比例函数y ＝kx(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值，但在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b ；当k ＜0时，函数y ＝kx的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝ka .③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值，但在闭区间[m ，n ]上存在最值．当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .【例5－1】求函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域．解：函数y ＝x 2＋x －1的对称轴为12x =-，开口方向向上． ①当a ＋1＜12-，即32a <-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递减．∴当x ＝a ＋1时，y min ＝a 2＋3a ＋1；当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1. ②当12a >-时，区间[a ，a ＋1]在对称轴的右侧， ∴y 在[a ，a ＋1]上单调递增．∴当x ＝a 时，y min ＝a 2＋a －1；当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1.③当a ≤12-≤a ＋1，即3122a -≤≤-时， 当12x =-时，y min ＝54-；当1122a a ≤-<+，即－1＜a ≤12-时，当x ＝a ＋1时，y max ＝a 2＋3a ＋1； 当11122a a +≤-≤+，即32-≤a ≤－1时， 当x ＝a 时，y max ＝a 2＋a －1.综上可知，函数y 在区间[a ，a ＋1]上的值域为当32a <-时，[a 2＋3a ＋1，a 2＋a －1]； 当32-≤a ≤－1时，25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦；当－1＜a≤12-时，25,314a a⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；当a＞12-时，[a2＋a－1，a2＋3a＋1]．【例5－2】求f(x)＝x+的最小值．分析：求函数f(x)＝x+的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：f(x)＝x[1，＋∞)，任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(-)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·1⎛⎝.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.④二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值2424b ac bfa a-⎛⎫-=⎪⎝⎭，无最小值．求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的位置关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图像解答．以上基本初等函数的最值作为结论记住，可以提高解题速度．6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f(x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1)≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f(x)在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f(x1)＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域的要求，最后取几个不等式解集的交集即可．又∵1＋1x1－1＋x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1.析规律利用单调性求最值利用函数的单调性求最值，其规律为：若f(x)在[a，b]上是递增的，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上是递减的，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a)，最小值为f(b)．【例6】已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．解：由题意可得2211111111aaa a-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，①，②，③由①得0＜a＜2，由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|，∴a<<，且a≠0.由③得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，∴1020aa->⎧⎨+<⎩，，或1020aa-<⎧⎨+>⎩，，∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．一般地，如果f(x)，g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，1()yf x=与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y=具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y=的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y=有意义，需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴1030xx-≥⎧⎨+≥⎩，，或1030xx-≤⎧⎨+≤⎩，，∴x≥1，或x≤－3.∴函数y={x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则y=，易知u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y=的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．警误区函数的定义域与单调区间由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝23 -.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.。
2017-2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)课件 北师大版必修1
命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的 取值范围.
－1<1－a<1，
解
f(1－a)<f(2a－1)等价于－1<2a－1<1，
解得 0<a<23，
1－a>2a－1，
即所求 a 的取值范围是 0<a<23.
知识点二 函数的单调区间
思考
我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝ 1 在区间 x
(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？ 答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝ 1 的减区间
x (－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝1x 的定义域.
跟踪训练2
求证：函数f(x)＝x＋
1 x
在[1，＋∞)上是增函数.
证明
命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0 时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.
证明
反思与感悟
因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助 题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需 要对抽象函数进行赋值.
解答
反思与感悟
若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小； 由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)< f(2a－1)，则a的取值范围又是什么？ 解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数， f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a<2a－1，即 a>23， ∴所求 a 的取值范围是(23，＋∞).
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 北师大
3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理 增加的 递增的 减少的 递减的 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。
2017-2018学年高中数学必修一(北师大版)第二章函数ppt课件(37张)
1－x2 [例 1] (1)函数 y＝ 2 的定义域为( ) 2x －3x－2 A．(－∞，1] B．[－1,1] 1 1 C．[1,2)∪(2，＋∞) D. －1，－2∪－2，1 (2)已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，求 f(x2＋1)的定义域________．
专题二 函数的值域(最值)问题 求函数值域的基本方法： 函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的 方法有：(1)配方法；(2)分离常数法；(3)图像法；(4)换元法；(5)单调 性法；(6)判别式法；等等．
[例 2]
求下列函数的值域： 2x (1)y＝ ； 5x＋1 2x2－2x＋3 (2)y＝ 2 ； x －x＋1 (3)y＝2x－3＋ 4x－13.
(5)当 f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中 x 取值的实际意义． (6)已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，求函数 f[φ(x)]的定义域，可解 不等式 a≤φ(x)≤b 求得；如果已知函数 f[φ(x)]的定义域，可通过求函 数 φ(x)的值域，求得函数 f(x)的定义域．这类题目也是常见题型，因而 要掌握好它的解法．
4．细解函数的单调性与奇偶性 单调性与奇偶性是函数的两个珠联璧合的重要性质．它们之间的 关系非常密切，相辅相成 ，但两者之间既有联系又有区别． (1)单调性与奇偶性的区别 ①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区 间上单调，并不能说明函数在其整个定义域上也单调；函数的奇偶性 是对整个定义域而言的，是函数的整体性质． ②函数的单调性反映了图像的增减变化；函数的奇偶性反映了图 像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对 称． ③函数的单调性是在一定区间上讨论的， 而对函数的奇偶性而言， 其定义域可能是区间，也可能是离散的点．
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1
递减的 ． y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是_______
2．函数的单调区间 单调区间 ．在单调 如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为__________ 上升的 ；如果函数是_______ 减少的 ， 区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是 _______ 那么它的图像是下降的．对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任 意两数 x1 ， x2∈A ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，就称函数 y ＝ f(x) 在数集 A 上是 增加的 ． 在 函 数 y ＝ f(x) 在 定 义 域 的 一 个 子 集 A 上 ， 如 果 对 于 任 意 两 数 x1 ， _______ f(x1)>f(x2) ，就称函数y＝f(x)在数集A上是_______ 减少的 ． x ∈A，当x <x 时，都有__________
2 1 2
3．函数的单调性 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 ，那么就称函数y＝ 如果函数_______________________________________ f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减
单调函数 ． 增函数 或_______ 减函数 ，统称为__________ 少的，我们分别称这个函数为_______
新课标导学
数 学
必修① ·北师大版
第二章
函 数
§3 函数的单调性
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日 吗？ 通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1
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5．函数 f(x)＝－x2＋6x＋8 在[－2,1]上的最大值是________． 【解析】 f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17， 所以函数 f(x)在[－2,1]上是增函数． 所以 f(x)的最大值为 f(1)＝13. 【答案】 13
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课堂探究 类型一 函数单调性的判定或证明 [例 1] (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，其减区间是( )
(2)证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)．
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方法归纳,
函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可 以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确 定函数中参数的范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区 间内的任意子集上也是单调的．
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跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实 数 a 的取值范围．
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【解析】 函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函 数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x) 在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)， 从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
p k V
（常数k 0）
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压
强p将增大.试用函数的单调性证明.
12
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• 单击此课处堂编小辑结母版文本样式
– 二级 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？
• 三级
–关四键»级五词级： 三种语言，证明方法， 数学思想，情感体验，等.
则• 称单函击数此在处区编间辑D 母上版是递文增本的样，式区间 D 称为函数的单调增区间；
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
4
问题单2 击（1此）下处图编是函辑数母y 版f (x标) 的题图象样，式它在定
义域R上是递增的吗？
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
f (x) 0.001x 1
• 三级
数的变化规律，那么就基本上掌握了相应事物的变化规律.
• 单在击事此物处变化编过辑程母中版，文保本持样不变式的特征就是这个事物的性质.
– 二级 观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么 •变三化级趋势？
– 四级 » 五级
3
设函数的单定义击域此为I处，区编间辑D 母 I版. 在标区间题样式
上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即 y随x的增大而增大，
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
13
数学北师大版高中必修1北师大版 - 必修1第二章 函数— 第三节 函数的单调性
③函数 的单调递增区间是，单调递减区间是.
试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
二师生互动
例1画出下列函数的图像，根据函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1） ；（2） .
练一练：
变式：指出 、 的单调性.
例2求函数 的单调区间
练一练
1求函数 的单调区间
2.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
三巩固练习
1.函数 的单调增区间是（）
A. B. C.RD.不存在
2.如果函数 在R上单调递减，则（）
A. B. C. D.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的.
3.①图象如何表示单调增、单调减？
3.在区间 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
4.函数 的单调性是.
5.函数 的单调递增区间是，
6..求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数.
7.下列结论正确的是（）
A函数 （R为常数，R 0）在R上是增函数
B函数 在R上是增函数
C函数 在 上是减函数
D函数 在 上是增函数
四课后反思
五课后巩固练习
教学过程
一自主学习
1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是；
数学北师大版高中必修1北师大版必修1第二章函数第三节《函数的单调性》课件
可见：一次函数的单调性与其一次项的系
数有关，当ｋ＜０时，在Ｒ上为减函数， 当ｋ＞０时，在Ｒ上为增函数。
1 上是减函数 . 例３.证明函数f ( x) 在0， x y
0 思考:此函数在(-∞,0)的单调性呢?
x
错误分析
注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质 作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种 猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数 学方法。
感谢聆听！
§ 2.3 函数的单调性
一、复习回顾
1.函数有几个要素?各是什么? 2.函数的定义域怎样确定?怎样表示? 3.函数的表示方法常见的有几种?各有什 么优点?
二、讲授新课
Question: 2 3 对比函数 y x 与 y x 的图像,观察在自变量x
变化时,y有怎样的变化?
若规定,自变量x是从x轴左端向x轴右端变化,即 自变量x逐渐增大时,变量y是如何变化的? 图象演示
三、例题讲解
例1.下图是定义在闭区间[-5，4]上的函数y=f(x)
图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在 每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数. y
-5 –4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4
x
例２：证明函数
上是增函数。
f ( x ) 3 x 2 在Ｒ
思考：若 f ( x) 3x 2 ，则在Ｒ上的单
x2
x
(2) 下面我们就用数学语言给出函数单调的精确 定义: ⑴对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1, x ,2 当 x1 x2 时, 都 有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么就说f(x)在这个区间 上是增函数.
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2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为
单调区间 ．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图
像是 上升 的；如果函数是减少的，那么它的图像是 下降 的．
3．函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是
增加的或是减少的 ，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具 有 单调性 ． 4．单调函数 如果函数y＝f(x)在整个 定义域 内是增加的或是减少的， 我们分别称这个函数为 增函数或 减函数，统称为
(1)求函数单调区间的常用方法有：
①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的
单调性判断；②图像法；③定义法；
(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须 在函数的定义域内进行．
练一练
2．求函数y＝|x＋1|＋|2－x|的单调区间．
解：函数可化为分段函数形式： －2x＋1， x＜－1， y＝ 3， －1≤x≤2， 2x－1， x＞2， 法一：由解析式可知函数的单调递增区间为(2，＋∞)，单 调递减区间为(－∞，－1)． －2x＋1， x＜－1， 法二：作出 y＝ 3， －1≤x≤2， 的图像，由图像 2x－1， x＞2 观察得． 单调增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)．
判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证 明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1＜x2；
(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；
(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；
(4)判号：结合题设判定差的符号；
练一练
a 1．试讨论函数 f (x )＝ (a≠0)在其定义域内的单调性． x 解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． a (1)设 x1<x2<0 ，则由已知 f(x)＝ (a≠0)，有 x a a a x2－x1 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ . x1 x2 x1x2 ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1x2>0. a x2－x1 当 a>0 时，有 >0，即 f(x1)>f(x2)； x1x2 a x2－x1 当 a<0 时，有 <0，即 f(x1)<f(x2)． x1x2 a ∴当 a>0 时，f(x)＝ (a≠0)在(－∞，0)上是减函数； x
讲一讲
1. 试判断函数 f(x)＝
x
x－1
在其定义域上的单调性，并加ห้องสมุดไป่ตู้证明．
[尝试解答] 函数定义域为{x|x≠1}， x－1＋1 1 x 又 f ( x) ＝ ＝ ＝ ＋1， x－1 x－1 x－1 1 可由反比例函数 y＝x 图像得其图像如图所示： 由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x 2 －1
单调函数 ．
[问题思考]
1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A” 改为“存在x1，x2∈A”？ 提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1) ＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是增加的．
1 2． 函数 f (x )＝ 的单调减区间能否写成(－∞， 0)∪(0， ＋∞)? x
a 当 a<0 时，f(x)＝ (a≠0)在(－∞，0)上是增函数． x a (2)同理，f(x)＝ (a≠0)在(0，＋∞)上， x 当 a>0 时是减函数，当 a<0 时是增函数． a 综上所述，函数 y＝ (a≠0)， x 当 a>0 时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当 a<0 时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
讲一讲
2.求函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的增区间和减区间．
[尝试解答] y＝－x2＋2|x|＋3
2 －x－1 ＋4x≥0， ＝ 2 －x＋1 ＋4x<0.
函数图像如右图所示． 由图像可知： 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．
提示：不能，如x1＝－1，x2＝1满足x1＜x2，但有f(x1)＝－1 ＜f(x2)＝1，不符合减少的要求．
3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？ 提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调
性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予 考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在 区间端点处无定义，则必须写成开区间．
讲一讲
3. (1)已知函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较 f(a －a＋1)与
2
3 f4的大小；
(2)已知 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＜f(1－x)，求 x 的取值范围．
[尝试解答] (1)∵a
2
12 3 3 －a＋1＝ a－2 ＋4≥4，
[核心必知] 1．函数在区间上增加(减少)的定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两 数x1，x2∈A，当x1＜x2时： (1)都有 f(x1)＜f(x2) ，就称函数y＝f(x)在区间A上是增
加的．
(2)都有 f(x1)＞f(x2) ，就称函数y＝f(x)在区间A上是减 少的．
x1－x2 x2 x1 f(x2)－f(x1)＝ － ＝ . x2－1 x1－1 x2－1x1－1 ∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证 f(x)在(－∞，1)上为减函数． 综上，f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
3 ∴4与 a2－a＋1 都是区间(0，＋∞)上的值．
3 又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f4≥f(a2－a＋1)；
－1≤x－2≤1， (2)由题意可知 －1≤1－x≤1，