不等式的简单变形
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
七年级数学下册 第8章 不等式3不等式的简单变形
总结:
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个正数， 不等号的方向不变
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个负数， 不等号的方向改变.
不 等 式 的 性 质：
性质1：不等式的两边加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变；
如果a b，则a c b c;a c b c.
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）一个 正数，不等号的方向不变；
4a-3 4b＜-3
(4)1-a 1-b＞
1-2a 1-2＞b
练习1、利用不等式的性质，用“<“或”>“号填 空。
(1)若x>-3,那么x-m > -3-m.
(2)若m-b<n-b,那么m < n.
(3)若a<b,那么b-a > 0. (4)若a<b, 且c>0,那么ac+c < bc+c. (5)若a<0,b<0, c<0,那么(a+b)c > 0.
(1) 7+3 ＞ 4+3 7+2 ＞ 4+2 7+1 ＞ 4+1
总结:
(2)7-3 ＞4-3 7-2 ＞ 4-2 7-1 ＞ 4-1
☆不等式的两边都加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变。
根据不等式7 > 4填空:
(3) 7×3 _＞_4×3 7×2 _＞_4×2 7×1 _＞_4×1
(4)7×(-3)_<_4×(-3) 7×(-2)_<_4×(-2) 7×(-1)_<_4×(-1)
不等式的简单变形
复习回顾
等式的基本性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，所得的结果仍是等式.
不等式的简单变形教案
不等式的简单变形教案一、教学目标1. 理解不等式的基本概念，掌握不等式的简单变形方法。
2. 能够运用不等式的性质进行简单的变形运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及其表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除的不等式性质。
3. 不等式的简单变形方法：同向相加、反向相减、乘除性质的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质和简单变形方法。
2. 教学难点：不等式变形过程中的符号变化和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和推理来发现不等式的性质和变形方法。
2. 利用具体例题，让学生动手操作，培养学生的实践能力。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入实际问题，引发学生对不等式的兴趣，导入新课。
2. 讲解不等式的定义和表示方法，引导学生理解不等式的基本概念。
3. 讲解不等式的基本性质，通过示例演示和讲解，让学生掌握不等式的性质。
4. 讲解不等式的简单变形方法，通过具体例题和练习，让学生熟练掌握不等式的变形技巧。
5. 课堂练习：布置一些不等式的变形题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些不等式变形的相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：评估学生对不等式的基本概念、性质和变形方法的理解和掌握程度。
2. 评价方法：通过课堂练习、作业和测试来评估学生的学习效果。
3. 评价内容：学生能够正确表示不等式，运用不等式的性质进行简单变形，并解决相关问题。
七、教学资源1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示不等式的定义、性质和变形方法。
2. 练习题库：准备一定数量的不等式变形练习题，包括基础题和拓展题。
3. 小组讨论工具：提供小组讨论所需的白板、彩笔等工具。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍不等式的定义和表示方法。
2. 第2周：讲解不等式的基本性质。
【最新】华东师大版七年级数学下册第八章《不等式的简单变形》公开课课件
华东师大·七年级下册
复习回顾
等式的基本性质
(1)等式的两边都加上（或减去）同一 个数或同一个整式，所得的结果仍 是等式. 若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c)
（2）等式的两边都乘以（或除以）同 一个数（除数不能为零），所得的结 果仍是等式. b a 若a=b,则ac=bc(或 c = c ,c≠0)
的什么变形类似?
这里的变形，与方程变形中的移项相类似， 你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
当堂训练
1. 设a>b,用“<”或“>”填空Βιβλιοθήκη a －3____b > –3
< 2－3a______2 < －3b
－ 4a____ － 4b
2.判断
1. 因为－3<0,所以－3+1<1 3. 若a<b,则3 a< 3 b 4. 若－6a<－6 b,则a<b 5. 若a>b,则－a<－b 6. 若-2x>0,则x>0 (√ ( ×) ) (√ ) 2. 因为－3 × 2> －5 ×2,所以－3<－5 (× ) (√ ) (× )
(2)解：6x－5x<5x－1－5x x <－ 1 1) 1) ( － ( － (4)解: –4x× 4 <3× 4 3 x< － 4
x>15
4. 由x<y得mx>my的条件是 A . m≥0 B . m≤0
( D ) D. m＜0
C. m＞0
5.若mx<m,且x>1,则应为
( A )
A. m<0
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一般是指通过对不等式进行移项、通分、去分母等操作，将不等式转化为更简单的形式，以便于进一步求解或证明不等式的性质。
以下是一些常见的不等式变形方法：
- 移项：将不等式中的某一项从一边移到另一边，需要改变该项的符号。
- 通分：将不等式中的分母化为相同的分母，以便于进行加减运算。
- 去分母：将不等式中的分母去掉，需要将不等式两边同时乘以分母的倒数。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，以便于简化不等式。
- 取倒数：将不等式的两边同时取倒数，需要注意不等式的符号是否需要
改变。
- 平方：将不等式中的某一项平方，需要注意平方后的结果是否大于0。
8.2.2不等式的简单变形
2x 112 10x 112 2x 112 112
3
6
4
①去分母 4(2x 1) 2(10x 1) 3(2x 1) 12
②去括号 8x 4 20x 2 6x 312 ③移项 8x 23
⑤系数化为1
x1 6
不等式有类似的变形吗？
若两边乘以（或除以）的数的正负不确定时， 应分正、负、0三种情况讨论。
例4.已知a＞b，判断下列不等式变形是否正确，并 说明理由。
(1) a b cc
(2)ac2 bc2
× C≤0时不成立 × C=0时不成立
(3)a(c2 1)b(c2 1)
√
∵c2+1>0
（4）a(c-1)2＞b(c-1)2
× C=1时不成立
不等式的简单变形
方程的变形规则1
方程的两边都加上或减去同一个 数，方程的解不变。
方程中的某些项改变符号后,从方程的
一边移到另一边。即方程可移项. 方程的变形规则2
方程的两边都乘以或除以同一个 不为零的数，方程的解不变。
例题 解方程: 2x 1 10x 1 2x 1 1.
3
6
4
解:两边都乘以12,得
x 12 33
即 x 2.
9
例2 解不等式: 5x 2,
解：两边都除以-5,得
5x 2 5 5 即 x2
5
方程变形规则和不等式性质的比较
1.方程两边都加上或减去同一个数或整式，方程的解不变 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号 方向不变 2.方程两边都乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变 不等式两边都乘以或除以同一正数，不等号方向不变 不等式两边都乘以或除以同一负数，不等号方向改变
基本不等式的变形及其应用
基本不等式的变形及其应用基本不等式公式：当a＞0，b＞0，则，(当a=b时，等号成立)基本不等式公式的变形：上述7式中，当a=b时，等号成立备注：1.求最值的条件：一正，二定，三相等一正：a，b的范围为正数二定：“a·b”之积为定值或者“a+b”之和为定值三相等：等号成立时，a=b2.当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
这就是上面所说的“二定”，和为定值或者积为定值。
3.均值不等式：(a＞0，b＞0)，即“调和平均数”≤“几何平均数”≤“算术平均数”≤“平方平均数”，当a=b时，等号成立。
4.a3+b3+c3≥3abc (a+b+c＞0即可，当a=b=c或者a+b+c=0时，等号成立)常见题型一、凑系数(乘除变量系数)例题：当0＜x＜4时，求函数y=x(8-2x)的最大值解析：如果把x前面的系数变成2，那么2x+(8-2x)=8，为常数(和为定值)，这样就可以用基本不等式了。
原式变为，根据公式：，即，当且仅当2x=8-2x，即x=2时等号成立。
备注：1.这题也可以用一元二次函数求最值的方法来做，但是如果基本不等式运用的熟练的话解题速度更快一些2.运用基本不等式或者其变形的核心观念就是两个数的积或者和是定值。
3.运用基本不等式或者其变形，最后一定要确认等号是否成立变式：当0＜x＜4时，求函数的最大值二、凑项(加减常数)例题：已知，求的最大值解析：备注：1.当a＜0，b＜0，那么2.再此强调，运用基本不等式及其变形时，一定要确保最值的条件“一正，二定，三相等”变式：已知x＞-1，求的最大值三、分离“分子”或“分母”例题：x＞-1，求函数de de dd的最小值解析：变式：当x＞0，求的最大值四、公式变形例题：求函数，求最大值解析：备注：当题目中所求式子带有根号的，通常要想到和这两个基本不等式的变形。
不等式的基本变形
不等式的简单变形教学目标本节通过介绍不等式的变形，对解不等式作了理论上的准备，并引导学生体会不等式与方程的区别。
知识与能力1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。
2．启发学生在不的概念式的变形中分辨情况，正确应用。
3．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法。
4．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。
过程与方法1．通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论。
2．通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质（加法性质）。
3．引导学生发现不等式变形与方程变形的联系，从而引导学生概括不等式另外的性质。
4．通过对不等式的性质的讨论，应用其解简单的不等式。
5．练习巩固，能将本节内容与上节内容联系起来。
情感、态度与价值观1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力。
2．通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透。
3．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。
教学重、难点及教学突破重点1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。
2．对简单的不等式进行求解。
难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。
教学突破由于这一节探索性较强，在这一节中要让学生自主探索或联系方程的基本变形进行归纳。
在这一过程中关键是启发学生注意在不等式的变形中分辨情况，正确应用。
在探索简单不等式的解法时要注意不等式性质的应用，引导和鼓励学生自主探索一元一次不等式的一般解法，并注意在教学过程中“转化”思想的渗透。
教学过程：一、复习练习：1．不等式中的最小整数值是，不等式≤2中的最大整数值是．2．写出不等式的一个解是，=7 （填“是”或“不是”）不等式的解，不等式的解是大于的数．3．用不等式表示：的5倍与2的差不大于与1的和的3倍．．4．用不等式表示“的相反数的4倍减5不小于2”为．5．“不是一个正数”用不等式表示为．6．“与3的差的4倍大于8”用不等式表示为．7．在数轴上表示下列不等式的解集：（1） x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1 (4) -1<x≦。
803不等式的简单变形一
一、回顾
1、回顾一元一次方程的解法，特别对“移项”法则进行复习。
2、复习不等式的解集，解不等式的概念。
二、创设情境、引入新课
1、问题提出：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c平向左边。那么天平会发生什么变化？如果再把砝码c拿出来呢？
点评：解上述不等式首先依据不等式性质1进行变形，得到解集，而且通过过程教学，寻找规律，可以得到：采用解方程中的“移项”思想来解不等式较为简便。但是要使学生明确其根据是不等式的性质1 .
四、随堂练习、巩固新知
1、课本第60页练习1、2题。
2、补充题：解下列不等式并在数轴上表示出它们的解集：
（1）7x－4 < 5＋6x（2）4＋1.5x > 0.5x＋7
七、布置作业。教科书第63页习题1 .（1）、（2）2 .（2）（3）
2、举例分析：
解不等式：
（1）x－7<8（2）3x<2x-3
解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以
x－7＋7<8＋7，
得x<15
（2）不等式的两边都减去2x（即加上－2x），不等号的方向不变，所以
3x－2x<2x－3－2x
得x<－3
教师活动：提出例1的问题。学生活动：小组学习，寻求规律，新旧知识联系，迁移“移项”含义。教学方法：合作学习。
教学过程设计
分析备注
第八章一元一次不等式
§8.2.2不等式的简单变形（一）
【教学目标】：
1、使学生了解不等式的概念。
2、使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1，并会用不等式的基本性质1将不等式变形。
不等式学案
庙子一中“五点一线”数学学案
课题： 8.2.2 不等式的简单变形 课型：探展课 课时:1课时 审核人： 学习目标：
1、不等式的性质
2、不等式简单变形——“将未知数的系数化为1”
学习重难点：不等式简单变形——“将未知数的系数化为1”
活动流程
【一】情景导入：
前面我们学过方程的简单变形，你能猜想一下不等式的简单变形么？有什么样的性质？ 【二】设疑定纲：
1、不等式的性质？
2、不等式的简单变形有哪些？
3、在不等式变形的时候，应该注意什么？
【三】自我探究：
阅读课本44—47页，独立解决创设情境问题、根据创设情境问题的解决方法回答你所提问的
问题。
【四】展示提升： 解不等式，并在数轴上表示出来：
（1）x+7＞8
（2）5x ＜4x-3 （3）21x ＜－3；
（4）－3x ＞6 （5）-4x ＜16 （6）-3x ＞2x-10
【五】【课堂检测】
解下列不等式，并在数轴上表示出来：
1．x －2＞0 2．x ＋1＞0 3．－2x ≤4 4．3x ≥0。
不等式的知识点
不等式的知识点不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解一下不等式的知识点。
首先，不等式的定义很简单，它是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个表达式的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞ 5 就是一个不等式。
不等式的性质是解决不等式问题的基础。
性质 1：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，给不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变。
性质 2：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果a ＞b 且c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
这意味着，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
在解不等式时，我们通常会运用这些性质将不等式进行变形，最终求出未知数的取值范围。
比如，解不等式 3x 5 ＜ 16 ，我们先将 5 移到右边得到 3x ＜ 21 ，然后两边同时除以 3 ，得到 x ＜ 7 。
一元一次不等式是最简单的不等式类型之一。
它的一般形式是 ax＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式性质的正确运用。
一元二次不等式则稍微复杂一些。
以 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （a ＞ 0 ）为例，我们需要先求出对应的二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
如果方程有两个不同的根x₁和 x₂（x₁＜ x₂），那么不等式的解集就是 x ＜ x₁或 x ＞ x₂；如果方程有两个相同的根 x₀，那么不等式的解集就是x ≠ x₀；如果方程没有实数根，那么不等式的解集就是全体实数。
绝对值不等式也是常见的类型。
对于｜x| ＜ a （a ＞ 0 ），其解集是 a ＜ x ＜ a ；对于｜x| ＞ a （a ＞ 0 ），其解集是 x ＜ a 或 x ＞ a 。
《不等式的简单变形》教学设计
④用等式的“移项”与不等式的基本性质①进行对比，可以简化解不等式的步骤，同时也加强了两者之间的联系。
⑤用实验法得出不等式的基本性质①，体现了数形结合的思想，比较直观，用计算归纳法得出不等式的基本性质②③，学生比较熟悉，易于接受。
主体参与式教学设计表
选题名称
不等式的简单变形
授课对象
七年级学生
课时
1
选题中所包含的数学知识
一.教学目标：
㈠知识与技能：
1.识记不等式的三条基本性质，理解不等式的三条基本性质的含义。
2．弄清它们与等式的基本性质的相同点与不同点。特别是不等式基本性质③
3.能够熟、练准确地运用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，会用不等式的三条基本性质解不等式。
2.实验感知，操作确认：
上等量的砝码c，如图：实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论.生盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）.即当a＞b时，有a+c＞b+c成立。从右边往左边看，能得到什么结论呢？让学生自己总结。
7×14×1，
7×0___4×0，
7×（－1）______4×（－1），
7×2 ______4×2，
7×（－2）______4×（－2），
7×3 ______4×3，
7×（－3）______4×（－3），
你从中你能发现什么？
在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外两条性质。不等式的性质2如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.不等式的性质3如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc。这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的简单变形讲
例2 解不等式：
解下列不等式，并将解集在数轴上表示。 (1) x-2<3 (2) x+1≥7 (3) 4+5x≤4x (4)7x+15>8x+13
15
⑴ x－ 2＞ 0 ， x
＞2 ＞1
，
⑵ x + 1 ＞ 2， x
⑶ － 2x ≥ 4， x ⑷ －3x ≤ 0， x ⑸ 6－2x＞0， x
，
≤ －2 ，
< 7×（－1）_______4 ×（－1）， < 7×（－2）_______4 ×（－2）， < 7×（－3）_______4 ×（－3）， 从中你能发现什么？
不等式的性质2： 如果a＞b，并且c＞0， 那么ac＞bc 不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0， 那么ac＜bc 即，不等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；不等式两边都 乘以（或除以）同一个负数，不等号的方 向要改变。
知识形成
不等式的基本性质
文字表示 符号表示 若a<b,则a+c < b+c （或a－c < b－c) 若a<b , 且c>0, a b 则ac <bc(或 c < c )
(1)不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. (2)不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
解: (1)不等式的两边都加上7,不等号的方向不变,
所以 x－7＋7<8＋7, 即 x<8+7 得 x<15 (2)不等式的两边都减去2x(即加上－这里的不等式的 2x),不等号的 方向不变， 变形与解方程中 的什么变形类似? 所以 3x－2x<2x－3－2x 即 3x-2x<-3 得 x <－ 3 这里的变形，与方程变形中的移项相类似， 你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
七年级数学下册《不等式的简单变形》教案、教学设计
2.学生在解决实际问题时，能否将问题抽象为不等式，并运用所学知识进行解决。
3.学生在合作交流中的参与度，以及能否在讨论中互相学习、共同提高。
针对以上学情，教师应采取以下措施：
1.加强对不等式性质的讲解和引导，让学生充分理解并掌握。
2.设计贴近生活的实际问题，引导学生将问题抽象为不等式，提高解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合、分类讨论等数学思想，提高解决问题的策略和方法。
3.培养学生将实际问题抽象为数学模型的能力，让学生在解决问题的过程中，感受数学与现实生活的联系。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生主动学习、积极探究的精神。
2.通过解决实际问题，让学生体验数学的价值，增强学生对数学的信心和热爱。
-学生之间相互出题，以小组为单位，挑选一道最具挑战性的不等式题目，并在课堂上进行解答和讨论。
5.自主反思总结：
-要求学生撰写一篇关于本章节学习的反思日记，内容包括：不等式的性质和简单变形方法的学习心得，以及在实际问题中的应用体会。
-鼓励学生提出在学习过程中遇到的问题和困惑，以便在课堂上进行针对性的解答。
-通过课后作业，让学生在课后自主复习，提高知识掌握程度。
6.关注个体差异，因材施教：
-针对不同学生的学习情况，制定个性化的教学方案，使每个学生都能在课堂上得到提高。
-注重培养学生的自主学习能力，激发学生的学习潜能。
7.教学评价，持续改进：
-从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面进行全面评价，了解学生的学习情况。
-根据评价结果，调整教学策略，不断提高教学质量。
四、教学内容与过程
基本不等式的公式及变形
基本不等式的公式及变形1. 引言大家好，今天我们要聊聊一个有趣又实用的数学话题——基本不等式。
听起来是不是有点严肃？别担心，我们会让这个话题轻松愉快。
你知道吗？在生活中，这种不等式其实无处不在，就像你每天的早餐一样，虽然看似简单，但背后却有不少道道！我们一起来深入探讨一下吧。
2. 什么是基本不等式？2.1 基本不等式的定义简单来说，基本不等式就是在某些条件下，两个数学表达式之间的关系。
比如，给你两个非负数 ( a ) 和 ( b )，那么 ( frac{a + b{2 geq sqrt{ab )。
这句话听上去好像挺高深的，但实际上就像朋友之间的关系一样，互相之间的支撑和帮助，可以让大家都过得更好！2.2 日常生活中的例子想象一下，你和你的朋友一起去吃饭，你们点了两道菜，一个是酸辣汤，一个是米饭。
你们两个人分着吃，就像不等式里的 ( a ) 和 ( b )，最后的分数（也就是你们的快乐）肯定是超过了单独吃的。
就像这个不等式，团队合作总能让事情变得更好，这可不是空话哦！3. 基本不等式的应用3.1 在数学中的应用除了生活中的小例子，基本不等式在数学里可是大显身手的。
比如在解决一些优化问题时，基本不等式就像一个万能钥匙，能帮助我们打开各种大门。
无论是代数、几何，还是微积分，基本不等式的身影都能随处可见，简直是数学界的小明星。
3.2 在其他领域的应用而且，它的魅力还不止于此。
比如在经济学中，基本不等式能够帮助我们分析资源分配问题，确保每个人都能吃到“蛋糕”。
在物理学里，它也能帮助我们理解能量守恒，真是一举多得。
就像那句老话，“不怕一万，就怕万一”，把不等式应用到生活的每一个角落，能够让我们的决策更加明智。
4. 基本不等式的变形4.1 变形的乐趣说到变形，那可是数学中最有趣的部分之一！基本不等式就像变魔术一样，你可以用不同的方式来表达它，而得到的结果依旧成立。
这就像我们的生活，时常需要调整和改变，才能找到最适合自己的方式。
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
不等式中变号规律
不等式中变号规律在数学中，不等式是一种比较两个数或两个式子大小的数学语句。
不等式中变号规律是指在不等式中，当两边同时乘以一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式3x > 6，我们可以将其变形为x > 2。
这个不等式的意思是x必须大于2才能满足不等式。
现在，我们来看看不等式中变号规律的应用。
我们来看一个简单的例子：-2x < 6。
我们可以将其变形为x > -3。
这个不等式的意思是x必须大于-3才能满足不等式。
现在，我们来看看如果我们将不等式两边同时乘以-1会发生什么。
-2x < 6如果我们将不等式两边同时乘以-1，那么不等式的方向会发生改变，变成：2x > -6我们可以将其变形为x > -3。
这个结果与原来的结果是一样的。
这就是不等式中变号规律的应用。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子：2x + 3 < 7x - 5。
我们可以将其变形为-5 < 5x，然后再将其变形为x > -1。
这个不等式的意思是x必须大于-1才能满足不等式。
现在，我们来看看如果我们将不等式两边同时乘以-1会发生什么。
2x + 3 < 7x - 5如果我们将不等式两边同时乘以-1，那么不等式的方向会发生改变，变成：-2x - 3 > -7x + 5我们可以将其变形为5x < 8，然后再将其变形为x < 8/5。
这个结果与原来的结果是不同的。
这就是不等式中变号规律的应用。
不等式中变号规律是一个非常重要的规律，它可以帮助我们解决很多不等式问题。
在解决不等式问题时，我们应该时刻记住这个规律，以便更好地解决问题。
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不等式的基本性质 文字表示
符号表示
(1)不等式的两边都加上（或减去） 若a<b,则a+c < b+c 同一个数或同一个式子，不等号的 （或a－c < b－c) 方向不变. (2)不等式的两边都乘以（或除以） a b 同一个正数，不等号的方向不变. 则ac <bc(或 c < c )
x>15
4. 由x<y得mx>my的条件是 A . m≥0 B . m≤0
( D ) D. m＜0
C. m＞0
5.若mx<m,且x>1,则应为
( A )
A. m<0
B. m>0
C. m≤0
D. m≥0
6.若m是有理数,则－7m与3m的大小关系应是 ( D )
A. －7m<3m B. －7m>3m C. －7m≤3m D. 不能确定 7.不等式17－3x＞2的正整数解的个数是( C ) B. 3 C.4 Ａ. 2 D. 5
复习回顾
等式的基本性质
(1)等式的两边都加上（或减去）同一 个数或同一个整式，所得的结果仍 是等式. 若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c)
（2）等式的两边都乘以（或除以）同 一个数（除数不能为零），所得的结 果仍是等式. b a 若a=b,则ac=bc(或 c = c ,c≠0)
新课导入Байду номын сангаас
≥ yz2 ; (3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥
你同意他的做法吗？
典例精析
例 解不等式：(1)x－7<8
所以 x－7＋7<8＋7， 得 x<15 (2)不等式的两边都减去2x(即加上－2x), 不等号的方向不变， 这两小题中不等 所以 3x－2x<2x－3－2x 式的变形与方程 得 x <－ 3
注意
1. 不等 式、等式 性质的异 同点. 2.对于零
若a=b,则 a+c=b+c(或a-c=b-c)
(2) 不等式的两边都乘以(或除以) (2)等式的两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. 同一个数(除数不能为零)， 若a<b且c>0, 则 所得的结果仍是等式.
若a=b,则ac=bc a b (或 c = c , c≠0)
若a<b , 且c<0, (3)不等式的两边都乘以（或除以） a b 则 a c bc( 或 > > 同一个负数，不等号的方向改变. c c ) 若a<b , 且c>0,
等式的基本性质
(1) 等式的两边都加上(或减 去)同一个数或同一个式 子，所得的结果仍是等式.
不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个式子，不等号 的方向不变. 若a<b,则a+c<b+c (或a-c<b-c)
8. 若a>0,则3a>2a (√ )
(× )
3.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成 x>a或 x<a的形式. (1) x－2<3 (2) 6x<5x－1 (3) 1 x>5 (4) –4x>3 3
(1)解：x－2+2<3+2
x<5 1 x×3>5×3 (3)解： 3
(2)解：6x－5x<5x－1－5x x <－ 1 1) 1) ( － ( － (4)解: –4x× 4 <3× 4 3 x< － 4
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
社会主义是科学和文化的社会。要成为社会 主义社会的当之无愧的成员，应当努力地和 好好地学习，获得很多的知识。——加里宁
a b ac<bc(或 c < c )
(3) 不等式的两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
3. 特 别注意.
a b 若a<b且c<0, 则ac>bc(或 > ) c c
你认为是这样吗 ？ 小明在学了不等式的基本性质这一节后，他
觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题，
结果如下： ＞ y－z; (1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ ＞ 5x ; (2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤
2.判断
1. 因为－3<0,所以－3+1<1 3. 若a<b,则3 a< 3 b 4. 若－6a<－6 b,则a<b 5. 若a>b,则－a<－b 6. 若-2x>0,则x>0 (√ ( ×) ) (√ ) 2. 因为－3 × 2> －5 ×2,所以－3<－5 (× ) (√ ) (× )
7. 因为－2<1,所以－2a < a
的什么变形类似?
(2)3x<2x-3
解: (1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变,
这里的变形，与方程变形中的移项相类似， 你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
当堂训练
1. 设a>b,用“<”或“>”填空. a －3____b > –3
< 2－3a______2 < －3b
－ 4a____ － 4b
回忆 ：我们解一元一次方程有哪些基本步骤呢？ 例如 解方程： x 3 2 x 1 1
2 3
3x 3 22x 1 6 (去分母)
3x 9 4 x 2 6
3x 4 x 6 9 2
(去括号)
(移项) (合并同类项) (系数化1)
x 17
请同学们回答: 以上解法正确吗?
问题2：我们应怎么解答，不等式又有哪些性质？
知 识 形 成
用“>”或“<”填空 7___ ＞4 － 2＜ 6 ＜ ⑴ －2+4____6+4 (1) 7+3___ ＞4+3 ＜ －4 ⑵ －2－4____6 (2) 7－3＞ ___ 4－3 ＜ ×4 ⑶ －2×4____6 ＞ ×3 (3) 7× 3___4 ＜ ×(－3) ⑷ －2÷(－4)___6 ＞ ÷(－4) (4) 7×(－3)___4
解方程的基本步骤是：
x 17
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
问题1：如果把方程变为不等式我们该怎么解呢？
猜想1：能不能也象解方程那样去解答呢？ x 3 2 x 1 例如：解不等式 1 2 3
3x 3 22x 1 6
3x 9 4 x 2 6 3x 4 x 6 9 2 x 17 x 17