第7章 二次型与二次曲面

2 1 2 2
2 4
1 2 A= 0
T
0 0 −3
矩阵是对角矩阵
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
类似我们所考虑过的几何问题，我 们讨论在矩阵为Q的线性变换，即
定理 2.1
A 为正交矩阵的充要条件为
AT A = I. (2.4)
立则 证 ： 证 分 ， (2.4) 成 ， 明 先 充 性若
AX − AY = [ A( X −Y)]T A( X −Y) = ( X −Y)T AT A( X −Y) = ( X −Y)T ( X −Y)
2
= X −Y .
2
充分性得证。
x1 = q11y1 + q12 y2 +L+ q1n yn , x = q y + q y +L+ q y , 2 21 1 22 2 2n n
LLLL x = q y + q y +L+ q y n n1 1 n2 2 nn n
T
(1.7)
的作用下，二次型 f = X AX 会变成什么样子。
1 1 A= 0 0
2 3 0 3 0 −2 0 −2 −3
T
1
0
0
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
例1.2
解
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x + 2 x − 3x
再 必 性 在(2.3)中令Y = 0, 则有 证 要 .
X T ( AT A) X = X T X. (2.5)
AT A为 称 阵 设B = AT A = (bij ) = (bji ). 对 矩 。
在(2.5) 中分别令 X = (1,0,L,0)T , (0,1,L,0)T , L, (0,0,L,1)T , 可得 b11 = 1, b22 = 1 L, bnn = 1. ,
二次型化标准形式
二次型化为标准形式的方法
初等变换法 正交变换法 配方法
定义 1.1
将 n 元二次齐次式
f (x1, x2 ,Lxn ) = a x +a x +L+a x +
2 11 1 2 22 2
2 nn n
2a12x1x2 +2a13x1x3 +L+2an−1n xn−1xn
称为 n 元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为 实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。
证毕
正交矩阵的性质
(i) 正交矩阵 的行向量 或列向量 构成单位 正交基 ， 比 如令 A = (α1,α2 ,L,αn ), 则
1 , αi α j = δij = , 0
T
i = j,
i ≠ j;
(ii )
| A |= ±1;
(iii ) A非奇异 .
α1T T α2 T (α1, α2 , L, αn ) = (αi Tα j ), I = A A= 比 ,由 如 M α T n 即 (i). 得
主 讲 曾 金 平
第七章 二次型与二次曲面
§1 二次型的矩阵表示 二次型 考虑一个简单的几何问题：方程
13 2 10 13 2 x + xy + y =1 72 72 72 (1.1)
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（O,x,y) 逆时针旋转45度,即令
x= 2 u + 2 v, 2 2 2 2 y=− u+ v, 2 2
(i) A ≅ A; 反身性 (ii) A ≅ B ⇒B ≅ A; 对 性 称 (iii ) A ≅ B, B ≅ C ⇒A ≅ C; 传 性 递
定义1.3
只含有平方项的二次型
f (x1, x2 ,Lxn ) = a′ x + a′ x +L+ a′ x
2 11 1 2 22 2
2 nn n
称为 n 元二次型的标准形式。
a12 a22 a32 L an 2
a13 L a1n a23 L a2 n a33 L a3n L L L an 3 L ann
x1 x 2 M xn
例1.1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + 2 x2 − 3x4 + 2 x1 x2 + 6 x2 x3 − 4 x3 x4 解
定理 1.1
n 个变量的矩阵为A的二次型X AX,
T
通过一个矩阵为Q的线性变换X = QY, 变成 一个新变量Y的二次型， 且这个二次型的矩 阵为Q AQ.
T
定义 1.2
对于n 阶实对称阵 A 和B, 如果存在满秩 矩阵 P 使
B = P AP,
T
则 A 合 于B, 记 A ≅ B. 称 同 作
性质
(aij = a ji )
令 X = (x1, x2, L, xn ) , 则二次型的矩阵形式为
T
f (x1, x2 ,Lxn ) = X A X
T
= ∑ aij xi x j
i , j =1
n
(aij = a ji )
a11 a 21 =(x1, x2, L, xn ) a31 L an1
再 (2.5) 中 别 X = (1,1,0 L,0)T , (10,1,L,0)T , 在 分 令 ， ， L, (1,0,0 L,1)T , 可 ， 得
b = 0, b13 = 0, L, b1n = 0. 12
由对称性
b21 = 0, b31 = 0, L, bn1 = 0.
如此依次取 X 不同的值， bij = bji = 0, (i ≠ j). 可得
§2 正交变换
设 R n 是 n 维向量空间，X = ( x1 , x 2 , L , x n ), Y = ( y1 , y 2 , L , y n ). 我们定义向量的长度和 向量间的 距离如下：
X = (X X )
T 1/ 2
= ( ∑ xi2 )1 / 2 ,
i =1 n T 1/ 2
n
( 2 .1) = [ ∑ ( xi − y i ) 2 ]1 / 2 . ( 2 .2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。
将以上的论述与例题结合起来，你能看 出二次型化为标准形式的实质吗？
对称矩阵
对角矩阵
在保秩的条件下，化为 矩阵 A 的秩就是二次型的秩,记为r=r(A)。
在我们的例子中，通过变量的满秩线 性变换，我们将一个二次多项式化为标准 型。且容易看出，平面上任何两点在变换 前后的距离保持不变。下面我们将这种变 换单独进行讨论。
设有二次型
f (x1, x2 ,Lxn ) = a x +a x +L+a x +
2 11 1 2 22 2
矩阵 A 的秩就是二次型的秩， 记为 r = r(A)。
2 nn n
2a12x1x2 +2a13x1x3 +L+2an−1n xn−1xn 对称矩阵 则称矩阵A 为二次型的矩阵：
a11 a 21 A = a31 L an1 a12 a22 a32 L an 2 a13 a23 a33 L an 3 L L L L a1n a2 n a3n L L ann
i =1
X − Y = [( X − Y ) ( X − Y )]
定义 2.1
向 空 R 上 线 变 Λ称 正 变 ， 量 间 的 性 换 为 交 换
n
若 任 X , Y ∈R , 有 对 何
n
Λ( X ) − Λ(Y) = X −Y ,
n
(2.3)
即Λ 为R 上 保 变 。 所 应 矩 为 交 的 距 换Λ 对 的 阵 正 矩 。 阵
u v + = 1. 9 4
2 2
(1.2)
则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程：
y
(1.3)
v
从而曲线为一椭圆。
u
x
上述例子中，我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程(1.1)化为形如(1.3)的标准形 式。坐标变换(1.2)可以解释为满秩的线性 变换。应用此变换到(1.1)的左边，便说满 秩变换(1.2)将方程(1.1)的左边化为方程 (1.3)的左边。从代数的观点看，即一个二 次多项式通过变量的满秩线性变换化为标 准型。下面我们讨论更一般情形。
(1.7) 用矩阵形式表示为： X = QY , (1.8)
其 X = x1, x2, L, xn )T , Y = y1, y2, L, yn )T . 中 （ （
由(1.8),
X T = YT QT .
则 f = X T AX = YTQT AQY.
令 B = QT AQ, 则 f = YT BY.